Ústav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 2 3. Elektrické pole, můstkové metody měření Úkoly k měření Povinná část • Změřte odpor dvou rezistorů a jejich sériové a paralelní kombinace pomocí Wheatstonova můstku. • Ověřte vztahy pro skládání odporů. Varianty povinně volitelné části A. Změřte rozložení elektrického pole v okolí dvouvodičového vedení. B. Změřte rozložení elektrického pole v elektrostatické čočce. Povinná část Teorie Můstkové metody jsou často užívané pro stanovení hodnoty odporů. Principiální zapojení můstku je na obrázku 3.1. Čtyři odpory jsou zapojeny do „čtverce“ v jehož jedné úhlopříčce je zapojen zdroj napětí a v druhé měřící přístroj určující velikost procházejícího proudu I. Neprochází-li touto větví proud, říkáme, že můstek je vyvážen. Tento stav (I = 0) zřejmě nastane, je-li napětí mezi body B a D nulové, tj. UBD = 0. (3.1) Toto napětí můžeme vyjádřit jako rozdíl potenciálů v bodech B a D vzhledem k bodu A UBD = UBA − UDA. (3.2) Obdobně lze uvažované napětí určit vezmeme-li za vztažný bod bod C UBD = UBC − UDC. (3.3) Z podmínek (3.1) až (3.3) plyne UBA = UDA, UBC = UDC. (3.4) 3. Elektrické pole, můstkové metody měření 23 protože mezi body B a D neprochází proud, musí odpory R1 a R2 procházet proud I1 a odpory R3 a R4 proud I3. Pak lze podmínku (3.4) psát následovně R1I1 = R3I3, R2I1 = R4I3, (3.5) odkud dělením obou rovnic dostáváme podmínku rovnováhy na můstku R1 R2 = R3 R4 . (3.6) Je-li např. hodnota odporu R1 neznámá, lze ji stanovit ze vztahu R1 = R3 R4 R2, (3.7) tzn. musíme znát absolutní hodnotu jednoho odporu a poměr zbývajících dvou odporů. Uvedený závěr nám poslouží ke stanovení hodnoty neznámého odporu Rx v zapojení můstku podle obrázku 3.2. Odpory jsou v tomto případě tvořeny přesně lineárním potenciometrem realizovaným homogenním odporovým drátem s posuvným kontaktem, kterým nastavujeme můstek do rovnováhy. Je-li délka drátu l, pak v rovnováze platí Rx = RN a b = RN a l − a . (3.8) Rozsah můstku lze měnit změnou známého odporu RN . Měření je nejpřesnější, je-li R3 ≈ R4, tj. a ≈ b. Odpor R slouží jako předřadný odpor, kterým zmenšujeme proud měřícím přístrojem v případě, že most není ještě vyvážen. R R RR 21 3 4 I I I I I 1 2 43 B C D A G Obrázek 3.1: Obecné zapojení stejnosměrného můstku. R R R a b X N G Obrázek 3.2: Můstek s lineárním potenciometrem. 3. Elektrické pole, můstkové metody měření 24 Z Z ZZ 21 3 4 I I I I 1 2 43 B C D I A D D Obrázek 3.3: Obecný střídavý most Můstkovou metodou je možné měřit odpory v poměrně širokém intervalu s dostatečnou přesností. Při měření odporů řádu 100 Ω a menších se začíná uplatňovat vliv spojů. Při měření velkých odporů řádu 106 Ω a vyšších je proud procházející můstkem malý a můstek je málo citlivý. Tato otázka je diskutována např. v [2]. Proudová citlivost můstku udává jak velká je změna proudu vyvolaná jednotkovou změnou odporu. Citlivost můstku úzce souvisí s požadovanou přesností měření. Čím větší přesnosti chceme dosáhnout, tím větší jsou požadavky na citlivost můstku a měřící přístroje. Úkoly 1. Změřte hodnoty dvou odporů a hodnoty jejich sériového a paralelního zapojení 2. Ověřte platnost vztahů pro výpočet sériově a paralelně řazených odporů. Společná teoretická část pro obě volitelné varianty Střídavý můstek Střídavý most pracuje na stejném principu jako stejnosměrný most Wheatstonův a rozumíme jím čtyři impedance zapojené dle obrázku 3.3. Most je vyvážen tehdy, jestliže detektorem D neprochází proud, pak jsou splněny jisté relace mezi impedancemi v jednotlivých větvích mostu. V případě střídavého mostu je situace poněkud komplikovanější ve srovnání se stejnosměrným mostem, protože na impedancích dochází obecně k fázovému posuvu proudu a napětí. Napětí na jednotlivých impedancích je rovno ˆUi = ˆZi ˆIi, tady ˆU1 = ˆZ1 ˆI1, ˆU2 = ˆZ2 ˆI2, ˆU3 = ˆZ3 ˆI3, ˆU4 = ˆZ4 ˆI4, (3.9) Jestliže detektorem neprochází proud, je ˆID = 0 a platí ˆI1 = ˆI2, ˆI3 = ˆI4 a ˆU1 = ˆZ1 ˆI1, ˆU2 = ˆZ2 ˆI1, ˆU3 = ˆZ3 ˆI3, ˆU4 = ˆZ4 ˆI3, (3.10) a současně je zřejmé, že ˆUBD = 0. Tedy musí platit ˆU1 = ˆU3 a ˆU2 = ˆU4. Pak dostaneme obecnou podmínku rovnováhy na střídavém mostě ˆZ1 ˆZ2 = ˆZ3 ˆZ4 . (3.11) 3. Elektrické pole, můstkové metody měření 25 Tato podmínka představuje vlastně dvě rovnice, pro reálnou a imaginární část impedancí ˆZi. Jestliže vyjádříme impedanci ˆZ ve tvaru ˆZ = | ˆZ|eiφ , (3.12) kde | ˆZ| je absolutní hodnota a φ fázový posuv, dostaneme ze vztahu (3.11) amplitudovou pod- mínku | ˆZ1| | ˆZ2| = | ˆZ3| | ˆZ4| (3.13) a podmínku fázovou φ1 − φ2 = φ3 − φ4 + 2kπ, k = 0, 1, 2, . . . . (3.14) Aby byl střídavý most vyvážen, musí být obě podmínky splněny současně. Měření rozložení elektrostatického pole Elektrostatické pole je svou podstatou vektorovým polem, tvořeným vektorem intenzity E. Můžeme je však stejně dobře popsat, užijeme-li skalárního pole hodnot elektrostatického potenciálu V . Uvedené vektorové pole intenzity a skalární pole potenciálu jsou si zcela ekvivalentní a platí E = −∇V. (3.15) Ekvipotenciální hladinou se nazývá v obecném případě plocha, na které má potenciál všude stejnou hodnotu V (x, y, z) = V0 = konst. (3.16) Pro každý elementární posuv δx, δy, δz po této ploše platí zřejmě podmínky δV = 0 a tedy také − (Exδx + Eyδy + Ezδz) = −E · δl = 0. (3.17) Tato rovnice říká, že skalární součin intenzity s libovolným posunem po hladině je nulový tj. intenzita je všude kolmá k ekvipotenciálním hladinám a siločáry jimi probíhají kolmo. Vztah (3.15) vede ryze matematickým postupem [1] k další důležité rovnici rotE = 0, (3.18) tedy elektrostatické pole je pole nevírové. V místech, kde není nábojů je také div E = 0, (3.19) to znamená, že uvažované pole je nezřídlové. Měření rozložení potenciálu v elektrostatickém poli je z experimentálního hlediska dosti obtížné. Využívá se proto analogie mezi elektrostatickým polem v homogenním dielektriku a elektrickým polem uvnitř homogenního vodiče, kterým protéká stacionární proud. V jednotlivých případech je pole popsáno: Pole stacionárního proudu Elektrostatické pole Es = −∇Vs Ee = −∇Ve (3.20) js = σEs De = ǫEe div js = 0 div De = 0 Es · dl = 0 Ee · dl = 0, kde Es, Ee je vektor intenzity pole, js proudová hustota, De vektor elektrostatické indukce, σ vodivost prostředí, ve kterém teče proud, ǫ permitivita prostředí v němž se elektrostatické pole vyskytuje. Za předpokladu, že dielektrikum je homogenní a neexistují v něm volné náboje a vodič 3. Elektrické pole, můstkové metody měření 26 M M S 2 1 (a) S M1 2 M (b) V D Obrázek 3.4: Střídavý můstek pro měření v elektrolytické vaně (a). Náhradní schéma elektrolytické vany (b). je homogenní (σ = konst. = 0) jsou soustavy rovnic (3.20) pro pole stacionárního proudu a elektrostatické pole zcela ekvivalentní. Pak lze elektrostatické pole trojrozměrného systému v prostředí s permitivitou ǫ studovat jako pole proudu js v prostředí s vodivostí σ. Měření obyčejně provádíme v rovině, tj. studujeme takové trojrozměrné systémy, které mohou být popsány rozložením pole v určité rovině. Jsou to jednak systémy nezávislé na jedné ze souřadných os a jednak systémy, které mají rotační symetrii. Poslední případ se týká elektrostatických čoček. Elektrické pole v rovině obsahující osu rotační symetrie nemá normálovou složku v důsledku této symetrie. Provedeme-li řez v této rovině a jednu polovinu systému nahradíme dielektrikem (vzduch), rozložení pole se zachová, protože normálová složka je opět nulová avšak v tomto případě na hranici vodič-dielektrikum. Na tomto principu se zakládá metoda řezu, kterou použijeme pro vyšetření pole v elektrostatické čočce tvořené dvěma válcovými elektrodami a rozdílem potenciálů U. Postup měření: Měření se provádí v elektrolytické vaně zapojené jako střídavý můstek. Je to nevodivá nádoba se slabým elektrolytem, do níž se umístí modely vodičů, jejichž elektrické pole chceme vyšetřovat. Rozměry nádoby je nutno volit tak, aby hustota proudu u jejich stěn byla mnohem menší než v prostoru, kde měříme. Na obrázku 3.4 je schema zapojení vany do střídavého mostu se dvěma elektrodami M1 a M2. Sondou S, jejíž potenciál nastavíme na předem zvolenou hodnotu vzhledem k některé elektrodě, hledáme ta místa v elektrolytu, jejichž potenciál je stejný jako potenciál sondy. Je-li potenciál sondy a daného místa v elektrolytu stejný, pak detektor D vykazuje minimální signál. Pomocí odečítacího zařízení (pantografu) lze postupně na graf přenést síť bodů o stejném potenciálu. Jejich spojením dostáváme průběh ekvipotenciální čáry. Siločáry jsou v každém bodě kolmé k ekvipotenciálním čarám: takovým způsobem lze postupně zmapovat průběh elektrostatického pole v určité rovině. Měření zpravidla provádíme střídavým proudem. Vyhneme se tím možné chybě způsobené polarizací elektrod [3]. Je-li frekvence střídavého proudu 102 až 103 Hz, pracujeme v podstatě s kvazistacionárními proudy a ekvivalentnost systému rovnic (3.20) je splněna v tomto případě s dostatečnou přesností. Popsaná metoda je již poněkud překonaná moderními metodami, poskytuje však velmi dobrou představu o průběhu ekvipotenciálních čar v sestavené konfiguraci. Je-li napětí na elektrodách ∼ 10 V a detektorem lze měřit změny napětí řádově 10−2 V, určíme polohu ekvipotenciálních čar s přesností asi 1 % [2]. 3. Elektrické pole, můstkové metody měření 27 x+τ−τ y M[x,y] a a r r 1 2 λ>10<λ<1 Obrázek 3.5: Ekvipotenciální hladiny v rovině kolmé na dva rovnoběžné nekonečně dlouhé nabité vodiče. Varianta A: Rozložení potenciálu v okolí dvouvodičového vedení. Potenciál elektrostatického pole v okolí rovnoběžných válcových vodičů Potenciál pole ve vzdálenosti r od přímého vodiče s lineární hustotou náboje τ je V = τ 2πǫ ln R r , (3.21) kde R je vzdálenost od vodiče, ve které klademe potenciál roven nule V (R) = 0 (nelze volit V (∞) = 0, protože náboj je rozložen na vodiči, jehož délka není omezena). Volíme-li místo nulového potenciálu ve vzdálenosti R = 1 j od vodiče, pak můžeme vztah (3.21) psát V = − τ 2πǫ ln r. (3.22) Potenciál v bodě M (obrázek 3.5) od dvou lineárních rovnoběžných vodičů je podle principu superpozice s přihlédnutím ke vztahu (3.22) dán V = V1 + V2 = τ 2πǫ ln r2 r1 . (3.23) Na vodičích jsou rozloženy elektrické náboje s konstantními lineárními hustotami +τ a −τ. Pro ekvipotenciály platí τ 2πǫ ln r2 r1 = konst., nebo r2 r1 = λ, (3.24) kde r1 = (a − x)2 + y2, r2 = (a + x)2 + y2 a λ > 0 je parametr ekvipotenciálních hladin. Geometrickým místem bodů v rovině, které mají od daných dvou bodů konstantní poměr vzdáleností λ je pro λ = 1 přímka a pro λ = 1 Apolloniova kružnice. Ve zvolené soustavě kartézských souřadnic je touto přímkou osa y, středy S[xs, 0] a poloměry r Apolloniových kružnic určíme tak, že rovnice (3.24) upravíme na tvar x − a λ2 + 1 λ2 − 1 2 + y2 = a2 λ2 + 1 λ2 − 1 2 − a2 . (3.25) Pak xs = a λ2 + 1 λ2 − 1 , r = x2 s − a2. (3.26) Z prvních tří rovnic (3.20) plyne pro potenciál elektrostatického pole Laplaceova rovnice ∇2 V = 0. (3.27) 3. Elektrické pole, můstkové metody měření 28 x M[x,y] r r 1 2 −τ AS a a +τ S1 2 0<λ<1 λ>1 R R y hh B Obrázek 3.6: Výpočet potenciálu v bodě M od dvou válcových nekonečných vodičů s poloměrem R mezi nimiž je rozdíl potenciálů U . Problém určení elektrostatického pole dvojvodičového vedení tvořeného rovnoběžnými válcovými vodiči nahradíme řešením elektrostatického pole dvojice rovnoběžných vodičů. Okrajové podmínky zachováme, postupujeme-li takto: dané válcové vodiče nahradíme válci z dielektrika s permitivitou prostředí ǫ a do každého z nich vložíme přímkový vodič s lineární hustotou náboje τ respektive −τ (obrázek 3.6), tzv. elektrické osy. Polohu os a hodnotu τ stanovíme tak, aby elektrické pole, které vytvářejí mělo ekvipotenciální plochy V1 a V2 s poloměry R právě v místech povrchu válců, přičemž musí být V1 − V2 = U. Ve zvolené souřadné soustavě je vzdálenost středů S1 a S2 vodivých válců 2h, pak poloha náhradních vodičů A a B se určí z rovnice (3.26) a = h2 − R2. (3.28) Z poslední rovnice je zřejmé, že body A a B jsou vzájemně sdružené v kulové inverzi vzhledem ke kružnicím se středy S1 a S2. Opravdu platí R2 = h2 − a2 = (h − a)(h + a) = S2A.S2B = S1B.S1A. (3.29) Potenciál v bodě M bude podle (3.23) V = τ 2πǫ ln r2 r1 = τ 2πǫ ln λ. (3.30) Pro potenciály na ekvipotenciálních plochách totožných s válcovými vodiči dostaneme podle (3.30) s použitím (3.29) V1 ≡ τ 2πǫ ln AP BP = τ 2πǫ ln h + a R , V2 ≡ τ 2πǫ ln AQ BQ = τ 2πǫ ln R h + a . (3.31) Hodnotu τ určíme z podmínky U = V1 − V2 τ = πǫU ln h+a R . (3.32) Dosazením (3.32) do (3.30) dostaneme V = U 2 ln h+a R ln r2 r1 . (3.33) Rovnice (3.30) je odvozena pro symetrické rozložení nábojů, které v běžném experimentálním uspořádání není splněno (obyčejně máme V1 = U a V2 = 0 nebo naopak a nikoliv V1 = U/2 3. Elektrické pole, můstkové metody měření 29 P P v v v v v 1 2 v 1 α α2 1 1t 1n 2n 2t 2 A B V V 1 2 Obrázek 3.7: Demonstrace odvození dráhy elektronu při průchodu rozhraním mezi poloprostory s různými potenciály. a V2 = −U/2). V souhlase s naším experimentálním uspořádáním posuneme hladinu od které počítáme potenciál o U/2, tedy V = U 2 ln h+a R ln r2 r1 + U 2 . (3.34) Parametr λ příslušející konkrétní ekvipotenciální hladině s potenciálem V pak vypočteme jako ln λ = V − U 2 U 2 ln h + a R = V U − 1 2 2 ln h + a R . (3.35) Úkoly 1. Určete rozložení ekvipotenciálních čar v okolí dvouvodičového vedení tvořeného rovnoběžnými válcovými vodiči. 2. Ověřte výpočtem experimentálně získané rozložení ekvipotenciálních čar – nakreslete vypočtené ekvipotenciální čáry do naměřeného rozložení. Varianta B: Rozložení potenciálu v elektrostatické čočce. Konstrukce dráhy elektronu v elektrostatickém poli Známe-li průběh ekvipotenciálních čar ve vyšetřovaném systému, můžeme sestrojit přibližný průběh dráhy nabité částice (např. elektronu), který by se v tomto systému pohyboval. Chování elektronu při průchodu rozhraním mezi dvěma poloprostory P1 a P2 s odlišnými potenciály V1, V2 je schematicky uvedeno na obrázku 3.7. Předpokládáme, že rozhraní R má tloušťku konečně velkou. Částice se v poloprostoru P1 pohybuje s rychlostí v1. V rozhraní se mění potenciál spojitě z hodnoty V1 na V2. Od bodu B se pohybuje částice opět konstantní rychlostí v2. Je-li V2 > V1, pak v2 > v1. Z teorie elektromagnetického pole plyne [4], že při průchodu rozhraním se zachovávají tečné složky mechanické hybnosti částice. Musí se tedy měnit normálové složky rychlosti. Z obrázku 3.7 plyne, že sin α1 = v1t/v1 a sin α2 = v2t/v2. Protože v1t = v2t platí sin α1 sin α2 = v2 v1 . (3.36) 3. Elektrické pole, můstkové metody měření 30 V Vn+1n n−1V A B α α 1 2 D’ C’ C D n k Obrázek 3.8: Konstrukce dráhy částice. Práce, kterou vykoná pole při průchodu elektronu z prostředí P1 do P2 je rovna e(V2 − V1). Ze zákona zachování energie elektronu plyne: 1 2 mv2 2 = 1 2 mv2 1 + e(V2 − V1), v2 v1 = 1 + e(V2 − V1) 1 2mv2 1 . (3.37) Položíme-li kinetickou energii elektronu v prostředí P1 rovnu eV1, pak v2/v1 = V2/V1 a výraz (3.36) lze psát sin α1 sin α2 = V2 V1 . (3.38) Na základě vztahu (3.38) lze graficky určit přibližnou dráhu nabité částice, známe-li z měření systém ekvipotenciálních čar. Lze předpokládat, že mezi sousedními čarami příslušejícími potenciálu Vi a Vk je konstantní potenciál daný jejich aritmetickým průměrem Vik = (Vi + Vk)/2. Na obrázku 3.8 je znázorněna konstrukce dráhy částice. Nechť Vn+1 > Vn. Aplikujeme-li vztah (3.38) na čáru Vn, dostaneme sin α1 sin α2 = (Vn + Vn+1)/2 (Vn−1 + Vn)/2 = ∆1 ∆2 . (3.39) V bodě B sestrojíme normálu n k ploše Vn. Kolem bodu B opíšeme kružnici k o libovolném poloměru. Směr dráhy dopadajícího elektronu prodloužíme až do bodu D; z tohoto bodu spustíme kolmici na normálu. Ze změřené velikosti úseku DD′ vypočítáme délku úsečky CC′ tak, aby platilo DD′ CC′ = ∆1 ∆2 = κ. (3.40) Najdeme bod C na kružnici k tak, aby úsečka CC′ byla kolmá k normále n. Lomený paprsek bude mít směr BC. Popsané metody sledování elektrostatického pole lze užít i pro měření v magnetickém poli např. při modelování magnetických čoček. Úkoly 1. Určete rozložení ekvipotenciálních čar v elektrostatické čočce. 2. Zkonstruujte průběh dráhy elektronu v elektrostatické čočce. 3. Elektrické pole, můstkové metody měření 31 Literatura: [1] Z. Horák, F. Krupka, Fyzika, SNTL Praha (1976). [2] J. Brož a kol., Základy fyzikálních měření I, SPN Praha (1983). [3] V. Petržílka, S. Šafrata, Elektřina a magnetismus, NČSAV Praha (1956). [4] V. Votruba, Č. Muzikář, Teorie elektromagnetického pole, NČSAV Praha (1955).