Ústav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 2 7. Odraz a lom světla. Fresnelovy vztahy, Snellův zákon. Úkoly k měření Povinná část • Změřte závislost odrazivosti v S a P polarizaci na dielektriku. • Z Brewsterova úhlu určete index lomu a porovnejte naměřené závislosti s vypočtenými. Varianty povinně volitelné části A. Průchod světla planparalelní deskou. B. Průchod světla hranolem. Povinná část Úvod Chování elektromagnetické světelné vlny při odrazu na rozhraní dvou neabsorbujících prostředí zjistíme z Maxwellových rovnic [1, 2]. Situace je znázorněna na obr. 7.1. Rovina dopadu je definována dopadajícím paprskem světla a kolmicí k uvažovanému rozhraní dvou dielektrických prostředí. ¯A a ¯R jsou amplitudy dopadající a odražené vlny, přičemž p a s jsou složky amplitudy lineárně polarizovaného světla rovnoběžné s rovinou dopadu resp. kolmé k této rovině. Symbolem n0 je označen index lomu okolního prostředí (vzduch), n je index lomu měřeného dielektrika. Řešením vlnové rovnice dostáváme pro odraženou vlnu Fresnelovy amplitudy rp a rs (rp = ¯Rp/ ¯Ap, rs = ¯Rs/ ¯As; ¯Rs a ¯As jsou kolmé k rovině nákresu obrázku), které jsou dány vztahy rp = tan(ϕ0 − ϕ1) tan(ϕ0 + ϕ1) rs = − sin(ϕ0 − ϕ1) sin(ϕ0 + ϕ1) (7.1) kde úhel ϕ0 je úhel dopadu světelného paprsku na rozhraní a ϕ1 označuje úhel lomu. Tyto úhly souvisí prostřednictvím Snellova zákona n0 sin ϕ0 = n1 sin ϕ1. (7.2) Na základě Snellova zákona (7.2) je možné vztahy (7.1) přepsat do tvaru rp = n cos ϕ0 − n0 cos ϕ1 n cos ϕ0 + n0 cos ϕ1 rs = n0 cos ϕ0 − n cos ϕ1 n0 cos ϕ0 + n cos ϕ1 . (7.3) 7. Odraz a lom světla. Fresnelovy vztahy, Snellův zákon 62 Z této dvojice vztahů je zřejmé, že amplitudy jsou závislé na úhlu dopadu ϕ0 světelného paprsku a na indexech lomu obou prostředí. Rozbor vztahů (7.1) ukazuje,že amplituda rs < 0 pro všechny úhly dopadu, zatímco rp > 0 pro ϕ < ϕB a rp < 0 pro ϕ > ϕB, kde ϕB je tzv. polarizační (Brewsterův) úhel, pro nějž je rp = 0. Tento fakt je významný pro optickou praxi. V tomto případě se totiž odráží pouze s-složka lineárně polarizovaného světla. To platí i pro odraz přirozeného světla a proto lze odrazem na povrchu dielektrického zrcadla při polarizačním úhlu dosáhnout lineárně polarizované vlny. Je-li rp = 0, pak jmenovatel v prvním vztahu (7.1) roste do nekonečna, tedy ϕ0 + ϕ1 = π/2; paprsek odražený a lomený jsou navzájem kolmé. Ze vztahu (7.3) pro rp = 0, dostáváme matematický zápis Brewsterova zákona tan ϕB = n, (7.4) pokud n0 = 1. Je-li intenzita složek dopadajícího světla I0 p a I0 s a intenzita odraženého světla pro obě složky IR p a IR s , pak definujeme odrazivosti Rp a Rs jako Rp = IR p I0 p Rs = IR s I0 p . (7.5) ϕ0ϕ0 ϕ1 ¯As ¯Ap ¯Rp ¯Rs n0 n Obrázek 7.1: Rozklad amplitudy elektromagnetické vlny do s- a p- polarizace při odrazu na roz- hraní. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Odrazivost uhel dopadu (o ) IS (r) IP (r) I(r) Obrázek 7.2: Závislost odrazivosti s-polarizované (I (r) S ) a p-polarizované (I (r) P ) vlny na úhlu odrazu podle Fresnelových vztahů na prostředí s indexem lomu n = 1,6. Odrazivost nepolarizovaného světla (I(r)). 7. Odraz a lom světla. Fresnelovy vztahy, Snellův zákon 63 Odrazivosti jsou pak dány vztahy Rp = r2 p Rs = r2 s. (7.6) Závislosti Rp a Rs na úhlu dopadu mají odlišný charakter (viz obr. 7.2). Veličina Rs monotonně roste s rostoucí hodnotou ϕ0, a při úhlu dopadu 90 stupňů je rovná jedné. Intenzita IR p s rostoucí hodnotou úhlu dopadu nejprve klesá k nule, při ϕ0 = ϕB je IR p ˙=0 a pro ϕ0 > ϕB opět rychle roste: pro 90 stupňů je opět IR p = 1. Intenzita přirozeného světla odraženého na rozhraní dvou neabsorbujících prostředí je dána vztahem IR = IR p /2 + IR s /2. (7.7) Z odrazivostí Rp a Rs jsme také schopni stanovit hodnoty indexu lomu měřeného dielektrika. Výrazy ± Rp a ± √ Rs odpovídají pravé straně vztahů (7.3), přičemž znaménko plus nebo mínus před odmocninou je dáno v každém konkrétním případě fyzikální podstatou problému. Za předpokladu, že se měření provádí ve vzduchu, platí n0 = 1 a můžeme např. z prvního vztahu (7.3) vypočítat cos ϕ1 a dosadit jej do druhého vztahu (7.3). Jednoduchou úpravou pak dostaneme za předpokladu, že provádíme měření na skle, následující vztahy pro hledaný index lomu skla: pro úhly dopadu ϕ0 < ϕB platí n = (1 + √ Rs)(1 + Rp) (1 − √ Rs)(1 − Rp) , (7.8) pro případ ϕ0 > ϕB pak n = (1 + √ Rs)(1 − Rp) (1 − √ Rs)(1 + Rp) . (7.9) Tento postup v sobě skrývá určitou potíž spočívající v tom, že výpočet indexu lomu je v tomto případě založen na znalosti absolutních hodnot odrazivosti p- a s- složky lineárně polarizovaného světla. Postup měření Smyslem této úlohy je zjistit průběh křivek Rp = f(ϕ0) a Rs = f(ϕ0) pro danou neabsorbující látku a využitím vztahu (7.4) určit pro použitou vlnovou délku světla index lomu dané látky. Principiální uspořádání experimentu je uvedeno na obr.: úzký svazek paprsků vycházející z laseru (L) prochází polarizátorem (P). Zde se světlo lineárně polarizuje a otáčením polarizátoru lze docílit toho, že kmitová rovina je rovnoběžná (kolmá) s rovinou dopadu, což odpovídá p- (s-) složce amplitudy dopadajícího světla. Po odrazu světla na měřeném vzorku umístěném na stolečku (G) goniometru svazek světla dopadá na detektor (D) spojený s měřícím přístrojem. Otáčením stolečku se vzorkem kolem jeho svislé osy měníme úhel dopadu světelného svazku a odečítáme signál na měřicím přístroji detektoru. Chceme-li určit úhlovou závislost odrazivosti Rp a Rs, je třeba před začátkem měření odstranit ze stolečku měřený vzorek a v místě označeném (A) detektorem stanovit celkovou intenzitu svazku. Intenzity odraženého světla IR p , IR s pak vyjádříme jako příslušnou část této intenzity, tedy Rp = IR p I0 p Rs = IR s I0 s . (7.10) Úkoly 1. Stanovte úhlové závislosti signálu detektoru, resp. odrazivosti Rp, Rs lineárně polarizovaného světla pro danou látku. 2. Určetě hodnotu Brewsterova úhlu daného dielektrického zrcadla. 7. Odraz a lom světla. Fresnelovy vztahy, Snellův zákon 64 vzorek Goniometr Laser Detektor A Polarizator Obrázek 7.3: Experimentální uspořádání pro měření úhlové závislosti odrazivosti dielektrika. A – referenční pozice pro měření signálu bez vzorku. α1 α2 β1 β2 n0 n d x A B C Obrázek 7.4: Průchod světla planparalelní deskou. 3. Stanovte ze vztahu (7.4) hodnotu indexu lomu dané látky. 4. Pro tři úhly dopadu stanovte index lomu destičky ze vztahu (7.8), případně (7.9). Výsledek porovnejte s předchozím výpočtem. 5. Vypočítejte a znázorněte průběh signálu detektoru (odrazivosti) přirozeného světla ze vztahu (7.7). 6. Sestrojte grafy závislostí Rp a Rs na úhlu dopadu a porovnejte s teoretickou závislostí podle vztahů (7.1) nebo (7.3) a (7.6). Do teoretických vztahů dosaďte index lomu určený z Brewsterova úhlu. Varianta A: Průchod světla planparalelní deskou Teorie V této části odvodíme závislost posuvu vystupujícího a vstupujícího paprsku na úhlu dopadu α, tloušťce desky d a indexu lomu skla n. Planparalelní deska je v prostředí s indexem lomu n0. Situace je znázorněna na obrázku: Protože obě rozhraní jsou rovnoběžná, je úhel dopadu α1 na první rozhraní roven úhlu lomu α2 na druhém rozhraní, α1 = α2 = α, a úhel lomu β1 na prvním rozhraní je roven úhlu dopadu β2 na druhém rozhraní, β1 = β2 = β. Zákon lomu na prvním rozhraní je n0 sin α = n sin β (7.11) a na druhém rozhaní n sin β = n0 sin α (7.12) 7. Odraz a lom světla. Fresnelovy vztahy, Snellův zákon 65 Sroub Vzorek R3 R1 Zdroj − laser R2 D x posunu Indikator Obrázek 7.5: Experimentální uspořádání pro měření průchodu světla planparalení deskou a hra- nolem. Délka dráhy paprsku AB v planparalelní desce je |AB| = d cos β . (7.13) Odchylka x vstupujícího a vystupujícího paprsku je x = |BC| = |AB| sin(α − β) (7.14) Úpravou a použitím vztahů cos β = 1 − sin2 β, sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β, (7.15) obdržíme z (7.11)–(7.13) vztah pro odchylku paprsků, x =  1 − n0 cos α n2 − n2 0 sin2 α   d sin α (7.16) Z tohoto vztahu můžeme určit index lomu skla za předpokladu, že α = 0: n = n0 sin2 α + 1 − x d sin α −2 cos2 α (7.17) Popis experimentu Pro měření úhlu dopadu deviace a posuvu x použijeme goniometru, jehož schéma je na obrázku 7.5. Goniometr obsahuje kruhovou stupnici ST, po které se pohybují tři ramena: R1 se zdrojem, kterým je laserová dioda, R2 s detektorem tvořeným Si fotodiodou a R3 se stolečkem umístěným ve středu kruhu. Na stolek klademe zkoumanou planparalelní desku nebo hranol. Detektorem lze posunovat šroubem Š ve směru x kolmo na rameno R2. Posuv se měří číselníkovým úchylkoměrem I. Úhel dopadu α určujeme z polohy ramen R1 a R3, úhel deviace δ z polohy ramen R1 a R2. Před měřením je třeba nastavit stolek S tak, aby paprsek dopadal kolmo na měřenou planparalelní desku nebo hranol. Dosáhne se toho pomocí tří stavících šroubů pod stolečkem S. Kolmost dopadajícího paprsku na lámavou plochu poznáme podle chodu odraženého paprsku: oba paprsky musí mít totožnou dráhu – sledujeme stopu odraženého paprsku u výstupního otvoru zdroje Z. Lámavý úhel použitého hranolu je 60◦. Úhel dopadu měňte otáčením stolečku S ramenem R3. Správnou polohu detektoru poznáte podle maximální hodnoty fotoproudu, který měřte digitálním ampermetrem M (na rozsahu 200 µA). POZOR! ZÁŘENÍ LASERU JE NEBEZPEČNÉ PRO OKO!! 7. Odraz a lom světla. Fresnelovy vztahy, Snellův zákon 66 α1 α2 β1 β2 δ ω n0 n A B C D V Obrázek 7.6: Průchod parsku světla hranolem. Úkoly 1. Proveďte justaci přístroje a určete závislost posuvu vystupujícího paprsku z planparalelní desky na úhlu dopadu. Naměřte asi 10 hodnot dvojic x a α. 2. Z naměřené závislosti určete pomocí vztahu (7.17) index lomu desky. Tloušťku planparalelní desky d určete pomocí posuvného měřítka nebo mikrometru. 3. Vyneste naměřenou závislost posuvu na úhlu dopadu do grafu a porovnejte s teoretickou závislostí podle vztahu (7.16). Varianta B: Průchod světla hranolem Teorie V této části odvodíme závislost úhlové odchylky δ vystupujícího paprsku na úhlu dopadu α1 = α, lámavého úhlu ω, který svírají stěny hranolu jimiž vstupují a vystupují paprsky a na indexu lomu skla n. Zákon lomu na prvním rozhraní je n0 sin α = n sin β1 (7.18) a na druhém rozhraní n sin β2 = n0 sin α2 (7.19) Deviace δ je vnější úhel v trojúhelníků ABD při vrcholu D, δ = (α − β1) + (α2 − β2) (7.20) Lámavý úhel ω je vnějším úhlem při vrcholu C v trojúhelníku ABC, neboť strana AC je kolmá k prvnímu rozhraní AV a strana AC je kolmá k druhému rozhraní BV: ω = β1 + β2. (7.21) Deviace δ je z (7.20) a (7.21) rovna δ = α + ω + α2. Vyjádříme –li α2 ze vztahů (7.19), (7.21) a (7.18), obdržíme závislost deviace na úhlu dopadu α ve tvaru δ = α − ω + arcsin  sin ω n n0 2 − sin2 α − cos ω sin α   (7.22) 7. Odraz a lom světla. Fresnelovy vztahy, Snellův zákon 67 Poznamenejme, že tato závislost má minimum δm pro takový úhel dopadu, kdy paprsky vstupující a vystupující leží symetricky vzhledem k rovině půlící lámavý úhel hranolu. Pak platí n = sin([δm + ω]/2) sin(ω/2) . (7.23) Tento případ se používá k měření indexu lomu metodou minimální deviace a je popsán v úloze 9. Experimentální uspořádání je společné s variantou A – průchod světla planparalelní deskou. Úkoly 1. Proveďte justaci hranolu a naměřte závislost deviace δ na úhlu dopadu α. 2. Z minima deviace určete index lomu hranolu pomocí vztahu (7.23). 3. Vyneste naměřenou závislost deviace na úhlu dopadu a porovnejte se závislostí podle vztahu (7.22). Literatura: [1] A. Vašíček, Optika tenkých vrstev, NČSAV Praha 1956. [2] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands: Feynmanovy přednášky z fyziky s řešenými příklady 2/3, Fragment (2006). [3] A. Kučírková, K. Navrátil, Fyzikální měření I, SPN Praha 1986.