Ústav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 2 1. Studium elektromagnetické indukce Úkoly k měření Povinná část • Změřte závislost tvaru napěťových pulzů na cívce na výchylce kyvadla s magnetem. • Z předchozí závislosti určete poloměr cívky a magnetický moment magnetu. Varianty povinně volitelné části A. Studujte tlumení indukovaných pulzů. B. Studium činnosti galvanoměru. Povinná část Teorie Jedním z pilířů elektrodynamiky je Faradayův zákon [1], který vyjadřuje vztah mezi napětím U indukovaným v uzavřené smyčce a časovou změnou magnetického toku Φ procházejícího plochou smyčky: U = − dΦ dt . (1.1) V této úloze1 budeme studovat elektromagnetickou indukci v systému znázorněném na obrázku 1.1. Zdrojem magnetického pole je permanentní magnet upevněný na dvojitém kyvadle. Při kmitavém pohybu magnet periodicky prolétává cívkou a indukuje v ní napěťové pulzy, jejichž časovou závislost zaznamenáváme. Aby mohla být hodnota měřeného napětí přenesena do počítače, je třeba ji převést do číselné podoby. K tomu slouží tzv. analogově-digitální (AD) převodník – zařízení, na jehož vstupu je analogový signál (v našem případě napětí a převodník tak slouží jako voltmetr) a na výstupu číselná (digitální) reprezentace tohoto signálu. AD-převodník použitý v praktiku má rozlišení 8 bitů, tedy osm číslic ve dvojkové soustavě. Je schopen rozeznat 28 = 256 úrovní napětí, což při jeho napěťovém rozsahu 2,5 V představuje měření s přesností 0,01 V. 1 Sestavení úlohy bylo inspirováno článkem [2]. 1. Studium elektromagnetické indukce 2 R C m ϑ L V Obrázek 1.1: Schéma experimentálního uspořádání. Permanentní magnet prolétávající cívkou v ní indukuje napětí, které je snímáno počítačem. Cívka je zatížena proměnným rezistorem o odporu R, což způsobuje elektromagnetické tlumení pohybu magnetu. Pro potlačení vysokofrekvenčního šumu můžeme paralelně k rezistoru zapojit kondenzátor s malou kapacitou C (řádově 100 nF). -3 -2 -1 0 1 2 3 Φ(x) x -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 y Obrázek 1.2: Nahoře: Indukční čáry magnetického pole válcového magnetu, jehož osa je totožná s osou x. Dole: Magnetický indukční tok cívkou souosou s magnetem v závislosti na její vzdálenosti od magnetu. Polohy cívky pro zvýrazněné body na křivce jsou znázorněny přerušovanými čarami v horním panelu. Průběh indukovaných napěťových pulzů K indukci měřitelného napěťového pulzu dochází, pokud se magnet pohybuje v blízkosti snímací cívky. Pohyb magnetu vůči cívce v této oblasti můžeme pro jednoduchost nahradit rovnoměrným pohybem magnetu po ose cívky, popřípadě cívky po ose magnetu. Na obrázku 1.2 je ukázáno magnetické pole válcového permanentního magnetu. Uvažujme o cívce, která se pohybuje v poli magnetu, přičemž osa cívky splývá s osou magnetu. Tok magnetických indukčních čar cívkou v závislosti na vzdálenosti cívky od magnetu je vynesen ve spodní části obrázku 1.2. Napětí, které 1. Studium elektromagnetické indukce 3 ∆t m 0 0 x a t t Φ U maxU (a) (b) (c) vmax Obrázek 1.3: (a) Boční pohled na kruhový závit o poloměru a, jímž prolétá magnet s dipólovým momentem m. (b) Časová závislost magnetického indukčního toku. (c) Napětí indukované v kruhovém závitu. se v ní indukuje při jejím pohybu po ose, je podle Faradayova zákona (1.1) rovno záporně vzaté časové derivaci magnetického indukčního toku cívkou. Přibližuje-li se cívka k magnetu, vzrůstá tok její plochou a objevuje se záporné indukované napětí. Při průchodu kolem magnetu dosahuje magnetický indukční tok maxima, jeho časová derivace a tedy indukované napětí je v tomto bodě rovno nule. Konečně při vzdalování indukční tok klesá a indukované napětí je kladné. Svého maxima (minima) nabude indukované napětí v místě, kde magnetický indukční tok klesá (roste) nejstrměji. Amplituda napěťového pulzu závisí na rychlosti pohybu. Čím rychleji se vůči sobě cívka a magnet pohybují, tím rychlejší jsou změny indukčního toku cívkou, což má podle Faradayova zákona za následek vyšší hodnotu indukovaného napětí. Jednoduchý kvantitativní popis našeho experimentu je možný v přiblížení, kdy permanentní magnet nahradíme magnetickým dipólem a cívku kruhovým závitem. Dále budeme pohyb magnetu v těsné blízkosti cívky aproximovat rovnoměrným přímočarým pohybem po ose cívky rychlostí vmax, která odpovídá nejnižšímu bodu skutečné kruhové trajektorie. Zjednodušená situace je znázorněná na obrázku 1.3a. Magnetické pole magnetického dipólu je dáno vztahem [3, 4] (v jednotkách SI 2) B(r) = µ0 4πr3 3(r · m)r r2 − m , (1.2) kde r je polohový vektor vztažený na magnetický dipól, m magnetický dipólový moment a µ0 je permeabilita vakua. Snadným výpočtem lze ověřit, že magnetický indukční tok pole magnetického dipólu orientovaného ve směru osy x plochou kruhového závitu je roven Φ(x) = µ0m 2 a2 (a2 + x2)3/2 , (1.3) kde a je poloměr kruhového závitu, do jehož středu umístíme počátek osy x. K určení napětí indukovaného v závitu při pohybu magnetu užijeme Faradayův zákon (1.1). Nechť v čase t = 0 s prochází dipól středem cívky, pak je jeho souřadnice x vyjádřena vztahem x = vmaxt. Provedeme-li za tohoto předpokladu časovou derivaci magnetického indukčního toku (1.3), získáme pro napětí indukované v cívce s N závity: U(t) = −N dΦ dt = 3Nµ0mvmax 2a2 vmaxt/a [1 + (vmaxt/a)2]5/2 . (1.4) 2 Jednotkou magnetické indukce je 1 T (tesla). Pojmenována byla po srbském fyzikovi Nikolovi Teslovi (1856 – 1943). 1. Studium elektromagnetické indukce 4 Časový průběh magnetického indukčního toku a indukovaného napětí jsou vykresleny v obrázku 1.3b,c. Křivka závislosti indukovaného napětí na čase obsahuje jedno minimum a jedno maximum, které nám umožní zavést šířku pulzu ∆t jako časový rozdíl mezi okamžikem maximálního a minimálního napětí a amplitudu napěťového pulzu Umax. Je-li indukované napětí popsáno rovnicí (1.4), najdeme minimum napětí v bodě tmin = −a/2vmax a jeho maximum v bodě tmax = +a/2vmax. Šířka pulzu je tedy nepřímo úměrná rychlosti průletu: ∆t = a v−1 max . (1.5) Dále můžeme určit amplitudu napětí Umax = 24 25 √ 5 Nµ0m a2 vmax , (1.6) která je naopak přímo úměrná rychlosti prolétajícího magnetu. Zbývá určit rychlost vmax, nejsnáze ze zákona zachování energie. Je-li hmotnost magnetu spolu s jeho nosníkem rovna M, platí 1 2 Mv2 max = MgL(1 − cos ϑmax) , (1.7) kde g je zemské tíhové zrychlení, L délka kyvadla a ϑmax úhlová amplituda jeho kmitů. Odtud vmax = 2 gL sin ϑmax 2 ≈ gL ϑmax . (1.8) Úkoly 1. Změřte závislost amplitudy a šířky napěťového pulzu indukovaného v cívce na úhlové amplitudě kmitů (a tedy na rychlosti magnetu prolétajícího cívkou) a ověřte, že přibližně platí Umax ∼ ϑmax a ∆t ∼ ϑ−1 max. 2. Užitím vztahu (1.5) mezi šířkou pulzu a rychlostí průletu určete efektivní poloměr použité cívky. S pomocí parametrů cívky a vztahu (1.6) dále odhadněte magnetický dipólový moment použitého magnetu. Varianta A: Tlumení pohybu magnetu Teorie V předchozí povinné části jsme uvažovali o netlumeném kmitavém pohybu magnetu s konstantní amplitudou výchylky. Ve skutečnosti bude ovšem pohyb tlumený a to mechanicky (kvůli odporu vzduchu) a elektromagneticky (je-li snímací cívka zatížena odporem). Časová závislost poklesu amplitudy v důsledku těchto dvou tlumení má odlišný charakter, který nám umožní v experimentu rozlišit režim s převážně mechanickým a převážně elektromagnetickým tlumením. Vyšetříme nejprve případ mechanického tlumení přičemž budeme sledovat úbytek mechanické energie E = Mv2 max/2. Předpokládejme, že odporová síla způsobená třením o vzduch při nízkých rychlostech je úměrná rychlosti magnetu3, F = kv. Pokud je tlumení pohybu malé, můžeme pohyb magnetu během jednoho kyvu popsat vztahem ϑ = ϑmax cos ωt, kde ϑmax je amplituda kmitů v daném okamžiku a ω = 2π/T je frekvence kmitů. Rychlost magnetu je v tomto případě 3 Skutečný charakter odporové síly bude zřejmě mnohem složitější. Použitý předpoklad však dává výsledky v přibližném souladu s experimentálně stanoveným poklesem amplitudy. 1. Studium elektromagnetické indukce 5 rovna v = −vmax sin ωt, kde vmax = ϑmaxωL. Úbytek mechanické energie během jednoho kyvu, který získáme integrací výkonu odporové síly ∆E = T/2 0 Fv dt = T/2 0 k v2 max sin2 ωt dt = 1 4 Tk v2 max , (1.9) je malý vůči E a pro pozvolna klesající E je tak možné sestavit diferenciální rovnici dE dt ≈ − ∆E T/2 = − 1 2 k v2 max = − k M E . (1.10) Řešením této rovnice s počáteční podmínkou E(0) = E0 zjistíme, že mechanická energie, maximální rychlost magnetu i amplituda jeho kmitů exponenciálně klesají s časem E(t) = E0 e−kt/M , vmax(t) ∼ √ E ∼ e−βt , ϑmax(t) ∼ e−βt , kde β = k 2M . (1.11) Nyní uvažujme o případu, kdy je tlumení pohybu magnetu čistě elektromagnetické. Ke ztrátě mechanické energie dojde při průletu magnetu cívkou, kdy indukované napětí vyvolá proud cívkou a její pole pak brzdí pohyb magnetu. Úbytek mechanické energie během jednoho kyvu stanovíme pomocí ztrátového výkonu na zatěžovacím odporu R a vlastním odporu cívky Rc ∆E = průlet U2 R + Rc dt . (1.12) Vzhledem k tomu, že amplituda napětí je úměrná vmax a čas průletu je úměrný v−1 max, je úbytek energie úměrný vmax. Podrobný výpočet využívající vztahu (1.4) ukazuje, že ∆E = K vmax , kde K = 45π 512 N2µ2 0m2 (R + Rc)a3 . (1.13) V analogii s rovnicí (1.10) můžeme psát dE dt ≈ − ∆E T/2 = − 2K T vmax = − 2K T 2E M odkud E(t) = E0 − K T 2 M t . (1.14) Řešením rovnice jsme tedy našli lineární pokles amplitudy kmitů v čase (ϑmax ∼ √ E): ϑmax(t) = ϑmax(0) − αt , kde α = 2K TM √ gL . (1.15) Tento vztah je možné použít, dokud je amplituda kmitů dostatečně velká. Poté přestává platit rovnice (1.13) a především výchozí předpoklad o malém relativním úbytku mechanické energie během jednoho kyvu. Při určení amplitudy kmitů z měřené závislosti amplitudy indukovaného napětí je třeba vzít v úvahu, že amplituda napětí závisí také na odporu v obvodu. Skutečně naměřené napětí je rovno napětí pouze na zatěžovacím odporu Umax,measured = Umax,theoretic R R + Rc , (1.16) kterážto oprava je podstatná pro malé hodnoty zatěžovacího odporu. Závislost amplitudy napětí na výchylce byla měřena v povinné části. Alternativně je možno určit amplitudu kmitů z šířky pulsu ∆t, kde není žádná korekce nutná. 1. Studium elektromagnetické indukce 6 Úkoly 1. Pro několik hodnot zatěžovacího odporu R sledujte tlumení kmitavého pohybu magnetu a určete časovou závislost amplitudy kmitů ϑmax. Využijte přitom amplitudy napětí i šířky jednotlivých napěťových pulzů. V případě malého zatěžovacího odporu byste měli pozorovat lineární pokles amplitudy kmitů [viz. (1.15)], v opačném případě je charakter poklesu spíše exponenciální [viz. rovnice (1.11)]. 2. Ověřte, zda je směrnice poklesu amplitudy kmitů pro případ dominantního elektromagnetického tlumení nepřímo úměrná R + Rc, jak předpovídá teorie. 3. Stanovte koeficient útlumu β pro případ dominujícího mechanického tlumení. Varianta B: Studium činnosti galvanoměru Teorie Nejobyklejší typ galvanoměru je tvořen otočnou cívkou umístěnou v dutině mezi póly permanentního magnetu podle obrázku 1.4. Vhodným uspořádáním můžeme dosáhnout toho, že v dutině b ϕ Obrázek 1.4: Schéma galvanoměru s otočnou cívku. je konstantní hodnota magnetické indukce B. Na cívku s N závity o rozměrech a, b působí při průchodu proudu Ig silový moment daný vztahem Mg = Fb = BNabIg = BSIg, (1.17) kde S = Nab je sumární plocha cívky. Tento moment vychyluje cívku o úhel ϕ. Proti výchylce působí torzní moment závěsného vlákna Md = −Dϕ, (1.18) kde D je torzní moment vlákna závěsu. Při pohybu cívky na ni dále působí odpor prostředí úměrný rychlosti s koeficientem odporu prostředí K Mo = −K dϕ dt . (1.19) V pohybující se cívce v magnetickém poli se také indukuje proud Ii Ii = E Rg + R0 + R2 , (1.20) kde E je indukované elektromotorické napětí, Rg vnitřní odpor galvanoměru a R0 + R2 je celkový odpor v obvodu galvanoměru. Magnetický tok cívkou Φ je Φ = BS sin ϕ, E = − dΦ dt , E = −BS cos ϕ dϕ dt . (1.21) 1. Studium elektromagnetické indukce 7 Indukovaný proud pak vyjádříme v aproximaci malých výchylek jako Ii = − BS R0 + R2 + Rg dϕ dt . (1.22) Silový moment způsobený indukovanými proudy je Mi = BSIi = − B2S2 R0 + R2 + Rg dϕ dt . (1.23) Pohybová rovnice cívky pro otáčivý pohyb kolem osy má tvar J d2ϕ dt2 = Mg + Md + Mo + Mi. (1.24) Pohybovou rovnici můžeme přepsat do tvaru 0 ϕ0 0 5 10 15 20 ϕ(t) t ω0>β ω0<β ω0=β Obrázek 1.5: Průběh výchylky galvanoměru v závislosti na čase pro případy slabého, silného a kritického tlumení. d2ϕ dt2 + 2β d2ϕ dt2 + ω2 0ϕ = f, (1.25) kde β = K 2J + B2S2 2J(R0 + R2 + Rg) , ω2 0 = D J , f = BSIg J . (1.26) Pohyb cívky galvanoměru charakterizuje vlastní frekvence ω0 a útlumová konstanta β, která se skládá ze složky mechanického útlumu K 2J a elektrického B2S2 2J(R0+Rg). Rovnovážná výchylka je dána vztahem ϕ0 = BSIg D . (1.27) Rovnovážná výchylka je úměrná ustálenému proudu tekoucímu galvanoměrem. Obecné řešení pohybové rovnice můžeme vyjádřit ve tvaru ϕ(t) = C1eλ1t + C2eλ2t + ϕ0, (1.28) kde C1,2 jsou integrační konstanty a kořeny charakteristické rovnice vyjádříme jako λ1,2 = −β ± β2 − ω2 0. (1.29) Řešení pohybové rovnice může spadat do jednoho ze tří případů podle chování diskriminantu rovnice (1.29): 1. Studium elektromagnetické indukce 8 1. β2 − ω2 0 < 0 slabé tlumení, cívka vykonává tlumený harmonický pohyb podle vztahu ϕ(t) = ϕ0 1 − e−βt 1 + β2/ω2 sin(ωt + ψ) , (1.30) kde frekvence ω = ω2 0 − β2 a fázový posun tgψ = ω/β. Amplituda kmitavého pohybu se časem exponenciálně zmenšuje. 2. β2 − ω2 0 > 0 silné tlumení, cívka vykonává aperiodický pohyb podle vztahu ϕ(t) = ϕ0 2 β − δ δ e−(β+δ)t − β + δ δ e−(β−δ)t + 2 , (1.31) kde δ = β2 − ω2 0. Vždy platí β > δ, a řešení je tedy součtem dvou exponenciálních klesajících funkcí. 3. β2 = ω2 0 kritické tlumení, řešením je vztah ϕ(t) = ϕ0 1 − (1 + βt)e−βt . (1.32) V tomto případě je řešení součinem exponenciální a lineární funkce a systém opět vykonává aperiodický pohyb. Systém však dosahuje rovnovážné polohy rychleji než v jakémkoli jiném případě. Experimentální uspořádání Galvanoměr zapojíme do obvodu podle schématu na obrázku 1.6. Odpory R1 a R2 tvoří dělič napětí, jejich velikost je třeba zvolit s ohledem na proudový rozsah galvanoměru, aby nedošlo k jeho poškození. Pohyb cívky galvanoměru je dán konstantou útlumu galvanoměru β. Mechanická část konstanty útlumu galvanoměru je konstantní, zatímco její elektrickou složku můžeme ovlivnit velikostí odporu R0. Existuje kritická hodnota odporu R0k, pro niž platí β = ω0. V takovém případě systém dosahuje rovnovážné polohy nejrychleji. G R R R U 0 2 1 Obrázek 1.6: Schéma zapojení obvodu s galvanoměrem. Hodnotu konstanty útlumu můžeme určit v případě, že systém vykonává tlumený harmonický pohyb, tedy pro R0 > R0k. Rozkmitáme-li galvanoměr kolem nulové polohy, pak podle rovnice (1.30) maximální výchylky dosahuje galvanoměr v čase, kdy sin(ωt + ψ) = ±1. n-tého maxima dosahuje systém v čase tn = nT 2 , kde T = 2π ω je perioda. Maximální výchylka závisí na čase podle vztahu an = (−1)n a0e−βnT/2 . (1.33) Logaritmus podílu dvou po sobě následujících maximálních výchylek se nazývá logaritmický dekrement útlumu a je definován vztahem Λ = ln an an+1 = βT/2, (1.34) 1. Studium elektromagnetické indukce 9 který nám umožňuje určit koeficient útlumu pro různé hodnoty odporu R0. Podle vztahu (1.26) závisí koeficient útlumu na převrácené hodnotě odporu obvodu lineárně. Z uvedené závislosti můžeme určit hodnotu kritického odporu R0k, kdy pro kritické tlumení platí βk = ω0 = 2π T0 . Úkoly 1. Určete konstantu útlumu pro několik hodnot odporu R0. 2. Stanovte hodnotu kritického odporu. Literatura: [1] R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands: Feynmanovy přednášky z fyziky s řešenými příklady 2/3, Fragment (2006). [2] A. Singh, Y.N. Mohapatra, S. Kumar, Am. J. Phys. 70, 424 (2002). [3] D. Griffith, Introduction to electrodynamics, Prentice-Hall (1999). [4] J.D. Jackson: Classical electrodynamics, Willey (1999).