Teoretická mechanika
Úlohy ke cvičení
Šikmý vrh Mimozemšťan o hmotě m skáče na povrchu Měsíce. Pomocí aparátu analytické mechaniky vypočtěte co nejobecnější parametrickou křivku popisující jeho pohyb. (15. října 20201)
Harmonický oscilátor Odvoďte pohybové rovnice harmonického oscilátoru přímou variací akce, tj. bez použití Euler-Lagrange rovnic. (15. října 2020)
Zahradní houpačka Na obrázku vidíme zahradní houpačku. Vypočtěte pohybové rovnice hmotných bodů na koncích a určete podmínku rovnováhy. (23. října 2020)
Kyvadlo a Langrangeovy multiplikátory Rovinné kyvadlo s hmotou m je zavěšeno na tenkém vlákně o délce l. Systém je umístěn v homo-gením gravitačním poli. Vypočtěte pohybové rovnice kyvadla dvěma metodami:
1. Zavedením zobecněných souřadnic.
2. Pomocí metody Langrangeových multiplikátorů. Ověřte, že obě metody řešení si navzájem odpovídají. Tento postup interpretujte v rámci Newtonovy mechaniky. (23. října 2020)
Kladkostroj Zařízení se skládá ze dvou kladek: první kladky, pevně uchycené ke stropu, a druhé volné kladky pohybující se vertikálně. Kladky samotné jsou nehmotné. Pod volnou kladkou je umístěn hmotný bod í?i2. Přes kladky je nataženo vlákno konstantní délky l na jehož konci je hmotný bod m\. Vypočtěte zrychlení obou hmotných bodů v homogenním gravitačním poli. Nápověda: změní-li se poloha m\ o Ay, pak poloha rri2 bude změněna o ^Ay jako důsledek dvou pohyblivých konců vlákna. (29. října 2020)
xJde o datum zadání. Odevzdání je očekáváno následující týden
m
• mi
m2
Skluz po pohyblivé rampě Tělísko o hmotnosti m se pohybuje bez tření po nakloněné rovinně s neměnným vrcholovým úhlem a o hmotnosti M, která se také může pohybovat bez tření po vodorovné podložce. Vyšetřete pohyb systému. (29. října 2020)
Harmonický oscilátor S uvážením zákonů zachování nalezněte funkci popisující časovou závislost polohy harmonického oscilátoru: Zjistěte které veličiny se zachovávají, vypočtěte zobecněnou energii, převeďte problém na diferenciální rovnici prvního řádu, a vyřešte ji. Interpretujte výsledek. Nepoužívejte Euler-Lagrangeovu rovnici. (5. listopadu 2020)
Sférické kyvadlo Vypočtěte Euler-Lagrange rovnice pro sférické kyvadlo: Hmotný bod m na niti konstantní délky l, který se může bez odporu kývat vertikálně, a zároveň opisovat horizontální elipsu. Zjistěte, které fyzikální veličiny se zachovávají. (5. listopadu 2020)
Třetí Keplerův zákon Ukažte, že třetí Keplerův zákon vyjádřený obecně
lze pro Slunce a Zemi !/u = 1/m@ + 1/ms>, k = GMqM© zapsat ve tvaru a3 = T2, kdy a vyjadřujeme v astronomických jednotkách a T v rocích. Dále spočtěte vzdálenost středu Slunce od středu soustavy Slunce - Země v poloměrech Slunce Rq. (12. listopadu 2020)
Na niti Dvě tělesa jsou spojena nehmotnou nití o pevné délce l. Jedno z nich, o hmotě M, se může pohybovat bez tření po stole v němž je malý otvor. Tímto otvorem je protažena nit, na níž je zavěšeno druhé těleso o hmotě m. Předpokládejme, že se spodní těleso m může pohybovat pouze vertikálně. Systém je umístěn v gravitačním poli. Pokuste se popsat pohyb systému:
i) Kolik stupňů volnosti má daná soustava?
ii) Ve vhodných souřadnicích sestavte Lagrangián L
iii) Zjistěte cyklické souřadnice a jim příslušné fyzikální veličiny.
iv) Vypočtěte zobecněnou energii.
v) Nakreslete graf efektivního potenciálu.
vi) Pohybuje-li se horní těleso M po kružnici, vypočtete její poloměr. Energie odpovídající tomuto pohybu odpovídá energii v minimu efektivního potenciálu.
vii) Zapište řešení pro r (i) ve tvaru diferenciální rovnice prvního řádu, ale neztrácejte čas jejím analytickým řešením. (12. listopadu 2020)
M
m