Gamma funkcie
Jan Tungli
I.   Gamma funkcie
Gamma funckie [1] sú funkcie definované integrálom:
T (z) = /   ŕ-Vdŕ (1) Jo
Vyskytujú sa veľmi často pri počítaní momentov v štatistickej fyzike. Tam ich väčšinou vidíme v inom tvare, s kvadratickou funkciou v exponente, napr.:
f{y) = ľx^dx (2) Jo
Táto funkcia sa dá prepísať do predošlého tvaru Gamma funkcie substitúciou (výhodou sú potom tabuľkové hodnoty). Substitúcia bude x2 = t:
x2
t      =>      x = \ft (ŕ > 0) (3)
=>-       dt = 2xdx = 2\/idx       =>       dx = —Fdŕ (4)
reo 0 t-od       1/1 1     ľ00 i/_i
/(y)= / xye-xdx= / V?e-t^dt=^- / V? e-řdř= (5) 1 y      Jo Jo 2y/t        2 Jo
1 ľ°° ti   ,       1 ľ°° m. i    ,       1   íy + l\
Príklad:
2       ,      1^ f2 + l\     1^ /3\ 1
0  * ^=2^—J =2^2 J =4^ (7)
Posledný krok je vyhľadanie v tabuľke (napr. [2])
I.   Konštanta v exponente
Často okrem iného tvaru je v exponente konštanta:
v2
g(y) = /   Xye~ax dx (8) Jo
1
V tomto prípade substitúcia ŕ = ax1 rieši problém:
ax2 = t       =>       x = \Jl- (ř > 0) (9)
/T i f\
-dx = 2\ŕaldx => dx=-\—dř (10) a                                           2 V at
^/JVe^d^f (í)2e-^d«^ ,11,
=7?r*'"ár <i2)
Integral uz bol spočítaný:
g(y) = 4r/(y) = ^rrr (*±±) (13) iV        2aV  V 2
Príklad:
'xV-2dx= -VíT) (14)
II.   Konkrétne hodnoty Gamma funkcie
r(i) = i r(l) = v^ (15)
r(2) = i r(^) = ^ (16)
r(3) = 2 r(^) = ^ (17)
r(4) = 6 r(^) = |v^ (18)
III.   Nemám po ruke tabuľky..
(19)
Hodnoty v predchádzajúcej časti je možné vypočítať ešte relatívne jednoducho. Môžeme si odvodiť užitočný vzťah pomocou per partes na definíciu Gamma funkcie:
r(z) = yo  ŕz-1e-ídŕ= [-ŕ    e-íJo +J   (z-l)íz-2e_tdí = (20)
= (z-l)/   ŕz-2e_ídŕ = (z-l)r(z-l) (21)
Z toho je zrejmé, že predošlú tabuľu je možné odvodiť celú, pokiaľ poznáme (napr.) ľ(l) a
r(i/2).
Príklad:
r(3) = (3 -1) r(3 -1) = 2 r(2) = 2-1 r(i) = 2 (22)
r(f) = (f -1) r(| -1) = \ Ti1-) = \yfR (23)
2
Pre ľ(l) vyzerá integrál takto
r
Jo
Pre ľ(j) je to o niečo horšie
I ř°e-řdř= / e-řdř = e° - e"00 = 1 o Jo
ř"2e_ídř
(24)
(25)
Niektoré matematické problémy sa riešia jednoduchšie keď sa zkomplikujú. Preto vyriešime:
rco     rco . .
i i e     dxdy (26)
zavedením polárnych súradníc:
x (r, (p) = r cos (py{r, (p) = r sin (p (27) Potrebujeme Jakobián transformácie:
dx		
dr	dr	
dx	'dy_	
df	df	
cos cp sm (p
-rsintp rcostp
= r cos2 (p + r sin2 (p = r
Náš integrál je:
CO fCO
0 JO
<x2+y^ áxáy = [J j~e-r2\J\drdf= // [  e'^rdr ácp
t r- _,2 o Jo
Tí
Tí   / ^      r2   , 7t   / ^      , i
2Ío  6    rd^2Ío  6 2df=4
(28)
(29)
(30)
Myšlienka, ktorou sa dostaneme späť ku Gamma funkciám: môžeme napísať pôvodný integrál ako:
CO rco
_ 2 _ 2 /       _ 2 /       _ 2
e x dx e y dy =      e x dx      e y dy, o  Jo Jo Jo
je vidieť, že integrály sú nezávislé, takže:
e x dx / e v dy o Jo
Tým sa výsledok samozrejme nezmenil:
2
e"z^ dz'
o
_ 2 /       _ 2
e z dz / e z dz o io
e"z dz
7t
4
e"z dz
Už bolo ukázané J0°° e ^ dz sa dá prepísať na Gamma funkciu:
'e-z2dz = ir(i
2   V 2
r i - i = v7t
(31)
(32)
(33)
(34)
References
[1]   WolframAlpha. Gamma Function. 2017. url: http://mathworld.wolf ram.com/GanimaFunction. html (visited on 10/20/2017).
[2]   Wikipedia. Particular values of the Gamma function. 2017. url: https : //en. wikipedia. org/ wiki/Particular_values_of_the_Gamma_function (visited on 10/20/2017).
3