1    Označení rozdělovačích funkcí
Rozdělovači funkci rychlosti částic budu označovat g(v), přičemž platí
g(v) dví dv2 dv%,
kde n je koncentrace těchto částic. Pokud rozdělovači funkce není symetrická, tj. závisí na směru vektoru v, je možné její tvar hledat ve tvaru nekonečné řady obsahující Legendrovy polynomy kosinu 6, např.
g(v) = go(v) + cos(%i(v) + ...,
kde 6 je úhel mezi rychlostí částice a nějakým význačným směrem, nebo v obecnějším případě rozvojem do sférických funkcí. Pokud ale rozdělovači funkce symetrická je, pak lze lehce spočítat rozdělovači funkci velikosti rychlosti částic gv(v) a rozdělovači funkci energie částic f(E) (v případě elektronů označovaná např. EEDF, tj. electron energy distribution function):
9v(v)   = 4irv2g(v) f{E)áE   = gv{v)áv
f(E)
a l J2£
V2mĚ
Často se místo vlastní rozdělovači funkce uvádí funkce
HO = m
v případě elektronů označovaná EEPF (electron energy probability function).
Homogenní izotropní soubor částic, na které nepůsobí vnější síly a které se nesrazí s jinými částicemi, by byl v rovnováze popsán Maxwellovou rozdělovači funkcí
/   m   \ I       / mv2 9M   =   "\2ÍkŤ> eW\-2kŤ
1{e) = "^ťsí^ «■■(-#
V plazmatu se nejčastěji zabýváme rozdělovači funkcí energie elektronů. Když je frekvence vzájemných srážek mezi elektrony vysoká, pak jejich rozdělovači funkce bývá blízká Maxwellově. Pružné srážky s neutrálními částicemi naopak způsobují odklon od Maxwellova rozdělení např. k Druyvesteynovu rozdělení
f(E) oc n VĚ~ exp í — —
1
0.8
E/<E>
Obrázek 1: Maxwellovo (M) a Druyvesteynovo (D) rozdělení energií.
E/<E>
Obrázek 2: Maxwellova (M) a Druyvesteynova (D) EEPF.
kde K je konstanta související se střední energií elektronů. Řadu rozdělovačích funkcí je možné psát ve tvaru nazývaném standardní rozdělovači funkce
RE)   = cWEexpj-^}
c-i   = 23/2KK(3-2K)/2K£'3/2r(3/(2K))
_ F r(V(2«))
<E>   -   Ep{2n)' r(3/(2#6))
je nejpravděpodobnější a < E > střední energie). Pro k = 1 přejde standardní rozdělení na Maxwellovo, pro k = 2 na Druyvesteynovo. Ukázka Maxwellova a Druyvesteynova rozdělení energií je nakreslená na obr. 1, na obr. 2 jsou odpovídající fp (EEPF). Mnohem výrazněji se ale neutrály projevují ve vysokoenergetické části rozdělovači funkce díky nepružným srážkám, které snižují koncentraci rychlých elektronů. Naopak vyrážení elektronů z elektrod s následující ionizací ve stěnové vrstvě (sheath) nebo stochastický ohřev v silném elektrickém poli na okrajích plazmatu můžou vést ke vzniku skupiny extrémně rychlých elektronů. Skutečný tvar rozdělovači funkce tak může být komplikovaný a může nést mnoho informací o plazmatu.
2   Langmuirova sonda
Langmuirovou sondou se nazývá vodič vložený do plazmatu, z jehož V-A charakteristiky je možné určit některé parametry plazmatu, zejména koncentraci a střední energii elektronů, elektrický potenciál plazmatu a rozdělovači funkci energie elektronů. Když sonda není na potenciálu plazmatu, vznikne v jejím okolí vrstva prostorového náboje ovlivňující dráhy nabitých částic. Ne-dochází-li v této vrstvě ke srážkám a předpokládáme-li, že za hranicí stěnové vrstvy není plazma sondou ovlivněno, lze relativně jednoduše spočítat, které částice na sondu dopadnou, a zjistit tak proud tekoucí na sondu. V této kapitolce zatím uvedu jen základní vzorce pro výpočet elek-
2
Obrázek 3: Schéma dráhy částice ve stěnové vrstvě okolo sondy.
trického proudu tekoucího na Langmuirovu sondu. Sondy mívají různé tvary, nejčastější bývá sonda válcová. Zde budou uvedeny vztahy pro rovinnou, válcovou a kulovou sondu.
2.1   Tok částic odpuzovaných od sondy
Částice s nenulovou kinetickou energií můžou pronikat i na sondu, která je elektrostaticky odpuzuje, tj. q(4>a ~ 4>pl) > 0? pokud mají rychlost větší než mezní hodnota
2 ^ 2<?Oa - <f>pl) V    > -—,
m
kde q je náboj částice, <f>a potenciál sondy a <f>pi potenciál plazmatu. Dalším omezením je maximální rychlost V2 (viz obr. 3), při které částice nemine sondu. Ze zákonů zachování energie a momentu hybnosti vyplývá podmínka pro dopad částice na sondu
„2
\r2a      J    ~     1 m
kde ra je poloměr sondy a rs poloměr stěnové vrstvy (sheathu) okolo sondy, takže ani úhel a mezi počáteční rychlostí částice a její radiální složkou v\ nesmí překročit mezní hodnotu am popsanou vztahem
sin2aí.
r,
2
'  _ 2q (cj)a - (f>pl)
Podívejme se na příklad kulové sondy. Celkový proud částic na sondu pro bezsrážkovou stěnovou vrstvu lze počítat integrálem
oo        2w otm
I = qSs J dv jáíp Jda v2 sin a. g (v) v cos a,
Vmin       0 0
kde Ss označuje plochu vnějšího povrchu stěnové vrstvy, vmin = y/2q((f)a — (ppi)/m a am je maximální úhel a, pod kterým může částice dopadnout na okraj stěnové vrstvy aby ještě dopadla na sondu, v2 sin a je Jacobián transformace do sférických souřadnic a qg(v)vcosa vyjadřuje hustotu elektrického proudu částic ve směru složky rychlosti v±.
3
Uvedený postup vede k výsledku
Sqir  J   v g(v)
2qU
mu'
dv
2V2m J     V E
qU
(1)
(2)
kde napětí mezi plazmatem a sondou <f>a — <fipi bylo označeno U a S je plocha povrchu sondy. Tento výsledek platí pro rovinnou, válcovou i kulovou sondu. Pokud mají částice Maxwellovu rozdělovači funkci odpovídající teplotě T, vychází pro proud
1 _ ( qU qS-nv exp! - —
(3)
8kT
irm
{v je střední velikost rychlosti částic).
Výhodou je, že libovolné rozdělení energií elektronů můžeme zjistit z druhé derivace elektronového proudu pomocí Druyvesteynovy formule
f(qU)
2^f2m\U\ d2I
q5/2S d\U\
(4)
2.2   Tok částic přitahovaných k sondě
V případě částic sondou přitahovaných (qU < 0) se už vztahy pro proud tekoucí na rovinnou, kulovou a válcovou sondu liší. Oproti předchozímu výpočtu odpadá potřeba vybírat jen částice, které mají dostatečnou energii, protože tentokrát se na sondu může dostat částice s jakoukoli počáteční energií. Na druhé straně ale musíme vzít v úvahu, že pro nízké vstupní rychlosti částic si sonda dokáže částici přitáhnout, i kdyby do stěnové vrstvy vstoupila s úhlem a = 90°. To platí pro rychlosti menší než vc odvozené z podmínky sin am = 1
2 _     2q((f>a ~ <f>pl)
-71
1
Pro kulovou sondu pak dostáváme
vc      2n     t/2 00      2-7t am
/   =   qSs   dv   dip / da v2 sin a. g(v) v cos a + qSs   dv   dip / da v2 sin a. g(v) v cos a
vc      0 0
qA7rr27t^ j v3 g (v) dv + j v3 g (v)
.0 vc
_ 2q (cj)a - (f>pi)
mír
dv
(5)
4
Komplikací získaného vztahu je, že závisí nejen na poloměru sondy, ale také na poloměru stěnové vrstvy okolo sondy, což je veličina, kterou bez simulace stěnové vrstvy neznáme.
Pro případ Maxwellova rozdělení rychlostí vychází pro rovinnou, kulovou a válcovou sondu vztahy:
Ir h
—Sqnv 4
— Sqnv
—Sqnv 4
/ erf
exp
qU
r? — r2, kT
-qU
"2 kT
I erf
-qU
-2 kT
exp
qU kT
(6)
(7)
,(8)
kde
erf x =        I e * dí
Nevýhodou je stále ještě skutečnost, že vztahy závisejí na poloměru rs, který při měření není známý. Užitečná je limita pro rs » ra, tzv. OML (orbital motion limited) teorie, ve které vychází pro kulovou sondu
gř7%
h~\sqnv[l ^
a pro válcovou
/„ « \Sqnv ^1 -
5