F7567 – Struktura a kinematika galaxií – test (leden 2021)
I. Potenciál a hustota galaxií, Poissonova rovnice, radiální síla, kruhová a úniková rychlost –
sférické modely.
(Literatura: Binney & Tremaine, Galactic Dynamics, str. 30-41)
Úlohy:
1. Najděte potenciál uvnitř a vně homogenní sféry o poloměru Rs:
a) integrací Poissonovy rovnice;
b) s využitím 1. a 2. Newtonova teorému.
Načrtněte radiální průběh tohoto potenciálu.
2. Spočítejte a načrtněte radiální průběh následujících veličin vně a uvnitř gravitačního pole
homogenní sféry:
a) radiální síla
b) kruhová rychlost
c) úhlová rychlost rotace po kruhové dráze
d) perioda rotace po kruhové dráze
e) úniková rychlost
3. Napište a vyřešte pohybovou rovnici pro částici pohybující se po radiální dráze uvnitř homogenní
sféry.
4. Předpokládejte, že kruhová rychlost v dané galaxii je konstantní a galaxie je sféricky symetrická.
Ukažte, jak pro takovou galaxii vypadají následující veličiny:
a) potenciál
b) hustota
c) hmotnost uvnitř sféry o daném poloměru r.
d) perioda rotace po kruhové dráze.
5.
a) Spočítejte a načrtněte radiální průběh kruhové rychlosti a úhlové rychlosti rotace pro tzv.
Plummerovu sféru (tato sféra má hustotu ρ (r) = ρ0 / [1 + (R/b)2
]5/2
a potenciál
Φ = -GM / [r2
+ b2
]1/2
, kde M je hmotnost sféry a G gravitační konstanta).
b) Srovnejte tyto průběhy s kruhovou a úhlovou rychlostí pro gravitační pole hmotného bodu
a homogenní sféry.
c) Pro jakou hodnotu r/b má maximum radiální síla a kruhová rychlost ?
II. Pohyb částice ve sféricky symetrickém potenciálu.
Úhlová a epicyklická frekvence, velikost a tvar epicyklu
(Literatura: Binney & Tremaine, Galactic Dynamics, str. 120-124)
Označení:
Ω – úhlová rychlost rotace (úhlová frekvence) po kruhové dráze
κ - epicyklická frekvence
Úlohy:
1. Napište vztahy mezi:
a) potenciálem a úhlovou frekvencí
b) epicyklickou frekvencí a potenciálem
c) epicyklickou frekvencí a úhlovou frekvencí
(Pozn.: Předpokládejte blíže neurčený sféricky symetrický potenciál).
2. Spočítejte a načrtněte radiální profily κ, Ω a κ/Ω pro:
a) potenciál hmotného bodu;
b) potenciál homogenní sféry;
c) galaxii s plochou rotační křivkou.
3. Jaký je poměr poloos epicyklu pro
a) potenciál hmotného bodu;
b) potenciál homogenní sféry;
c) galaxii s plochou rotační křivkou ?
III.
Pohyb částice v poli galaktické příčky
Pohybová rovnice v rotující soustavě. Lindbladovy rezonance, korotace.
(Literatura: Binney & Tremaine, Galactic Dynamics, str. 135-137, 146-149)
Označení:
Ω – úhlová rychlost rotace (úhlová frekvence) po kruhové dráze
κ - epicyklická frekvence
OLR – vnější Lindbladova rezonance
ILR – vnitřní Lindbladova rezonance
CR – korotace
Úlohy:
1. Napište pohybovou rovnici částice v souřadné soustavě rotující konstantní rychlostí.
Předpokládejte přitom, že částice se pohybuje v rovině, tj. napište tuto rovnici pro 2-dimenzionální
případ, a to jednak v polárních, jednak v kartézských souřadnicích.
2. Napište vztahy pro Lindbladovy rezonance a korotaci v potenciálu slabé příčky.
3. Jaký je poměr poloměrů OLR a CR v galaxii se slabou příčkou a plochou rotační
křivkou ?
4. Je pozorována galaxie, jejíž příčka má velkou poloosu 2 kpc. Za předpokladů, že příčka
končí na vlastní korotaci a že galaxie má plochou rotační křivku s kruhovou rychlostí 200
km/s, určete úhlovou rychlost pohybu příčky, její rotační periodu a polohu OLR.
5. Předpokládejte, že simulace galaxie vede ke vzniku příčky s úhlovou rychlostí 60
km/s/kpc. Za předpokladu ploché rotační křivky (s kruhovou rychlostí 300 km/s) určete
polohy CR a OLR.