Teoretická fyzika Základy speciální teorie relativity Michal Lenc " podzim 2013 Obsah Teoretická fyzika " Základy speciální teorie relativity....................................................1 1. Princip relativity.....................................................................................................2 1.1 Galileiho princip relativity.........................................................................................2 1.2 Události, interval........................................................................................................3 1.3 Lorentzova transformace............................................................................................4 1.4 Einsteinii!' princip relativity.......................................................................................4 1.5 Relativistická kinematika...........................................................................................5 1.6 Hybnost a energie.......................................................................................................6 1.7 Více o intervalu..........................................................................................................V 2. Pfíklady relativistických jevili................................................................................8 2.1 Aberace svätia............................................................................................................8 2.2 ComptonliS' rozptyl...................................................................................................11 2.3 DopplerLl^ jev...........................................................................................................12 2.4 Vstfícné svazky........................................................................................................14 2.5 Hafeleho a KeatingliS' experiment............................................................................15 3. CtyfVektory...........................................................................................................16 3.1 Základní pojmy........................................................................................................16 3.2 Lorentzova grupa......................................................................................................18 3.3 C ty frychlo st a Tty fzrychlení.....................................................................................19 3.4 Princip nejmenpŕho úTinku.......................................................................................21 4. Náboj v elektromagnetickém poli........................................................................22 4.1 Ctyfľozmarný potenciál a úTinek.............................................................................22 4.2 Invarianty elektromagnetického pole.......................................................................25 1 4.3 Pohyb náboje v konstantním homogenním poli.......................................................25 4.4 Adiabatický invariant...............................................................................................29 5. Cástice v gravitaTním poli....................................................................................30 5.1 GravitaTní pole v nerelativistické mechanice...........................................................30 5.2 EotvosliS'experiment................................................................................................32 5.3 Kovariantní a kontravariantní tensory......................................................................33 5.4 Metrický tensor........................................................................................................35 5.5 Neinerciální soustavy v Minkowskiho prostoroTase................................................36 1. Princip relativity 1.1 Galileiho princip relativity Princip relativity pká, Te fyzikální zákony mají stejný tvar ve vfech inerciálních soufftdných soustavách. Inerciální soustava je definována tak, Te se v ní volná Tástice pohybuje rovnomarným ppřmoTarým pohybem, musí tedy být vzájemný pohyb dvou rUíných inerciálních soustav rovnomarný ppřmoTarý. Galileiho princip relativity ppedpokládá vztah mezi Tasem a prostorovými souf&dnicemi v soustava K a K1 (ta má se soustavou stejná orientované soufftdné osy) t = T + ť , r = p + r'+Vt' , (1.1) pfitom obvykle ztotolníme poTátek odeTítání Tasu a prostorových soufftdnic, tj. pokládáme t=0 , p = 0. Porovnání druhého Newtonova pohybového zákonu v soustavách K a K1 m^- = F{r,t) , m^ = F'(?',ť) (1.2) dr dt v ' vede po dosazení (1.1) do druhé rovnice v (1.2) k podmínce transformace síly F{f,t) = F'[f-Vt,t) . (1.3) Jestlile síla splKuje podmínku (1.3), vyhovuje pohybová rovnice daná druhým Newtonovým zákonem Galileiho principu relativity. Je tomu tak nappklad vidy, závisí-li síla na vzdálenosti Tástice od najakého silového centra (nebo od jiné Tástice). Ale také nappřklad Lorentzova síla v homogenním elektrickém a magnetickém poli by vyhovovala Galileovu principu relativity, pokud by se pole transformovala podle vztahu 2 K ~Eo +VxB0 , Bq-B0 . Pole se ale ve skuteTnosti (jako pepení Maxwellových rovnic) transformují jako (1.4) ĚL E' BĹ = B, E0+VxB0 Bn VxEn c (1.5) Podívejme se, jak se ppi Galileiho transformaci chová vlnová rovnice 'H2 d2 d2 d2 ^ Uy/--. c2 dt2 dx2 dy2 dz2 y/ = 0 (1.6) Pro jednoduchost ppedpokládejme, Te se soustava K1 pohybuje vLlTi K podél osy x. Je pak ô _ôx' ô dť ô dx dx dx' dx dť d _ dx1 d dť d dt dt dx' dt dť dx2 d2 dx'2 d^ dx dt (1.7) J dt2 ■V2 d2 d2 2V- d2 dx'2 dť2 ' dx1 dť Máme tedy pro ďAlembertliS' operátor v pohybující se soustava jiný výraz nel v pli^odní soustava, a mohli bychom tedy principiálna odlipLt privilegovanou inerciální soustavu v klidu. 1.2 Události, interval Základním pojmem pro úvodní úvahy o Einsteinova principu relativity je událost (pro jednoduchost na chvíli dva prostorové dimenze potlaTíme), charakterizovaná Tasem t a bodem na ose x, kdy a kde k události dopio. Hodnoty samozpejma závisí na volba soupadné soustavy. PptpomeKme si známou situaci, kdy poloha bodu v rovina je charakterizována kartézskými soupadnicemi x a y. Hodnoty závisí na poloze poTátku a na orientaci os soupadné soustavy. Vezmeme-li vpak Ttverec vzdálenosti dvou bodni l2 =(x2 -xx)2 +(y2 -yx)2 , (1.8) zjistíme snadno, Te je ve vpech kartézských soustavách stejný. TransformaTní rovnice mezi soustavami K a K1 jsou x = a + cos^x7 + sin^» y' , y = b — sin^x7 +cos^»y/ . (1.9) Einstein ppedpokládal, Te rychlost pípení svatla ve vakuu c =299 792 458 m s-1 je ve vpech inerciálních soupadných soustavách stejná. Potom pro dva události, spojené pípením svatla ve vakuu (napp první událostí je emise najakého fotonu, druhou událostí absorpce tohoto fotonu) 3 platí (první Hen je Ttverec souTinu rychlosti a doby pípení, ten musí být ppirozena roven druhému Henu, col je Ttverec vzdálenosti, kterou svatlo urazilo) c2(t2 -tx)2 -(x2 -xx)2 = 0 , c2(ť2 -t[)2 -(x2 -x'2f = 0 . (1.10) V zobecnaní pak nazveme veliTinu s2 = c2(t2 -řj)2 -(jc2 - JCj)2 (1-11) Ttvercem intervalu mezi (libovolnými) dvama událostmi. Vpimname si, Te invariance (1.8) vzhledem k transformaci (1.9) vychází ze vztahu cos2 ^» + sin2 q> = \. Vztah (1.11) se od (1.8) odlipuje znaménkem minus místo plus, budeme tedy hledat transformaci, která vychází ze vztahu cosh2 y/ — sinh2 y/=l, tedy ct = ct + coshy/cť + sinhy/x' , x = • cosh y/ = . , sinh y/ = . (1-13) a výsledný vztah pro Lorentzovu transformaci (ppidáme dva dosud potlaTené rozmary geometrického prostoru) x'+Vť , , , x= ,-- , y = y , z = z . (1-14) 1.4 Einstein Lif princip relativity Pro infinitezimálna blízké události muieme psát interval jako ds2 =c2dt2-[dx2+dy2+dz2) (1.15) a Lorentzovu transformaci jako cdť +— dx' , 1 , T/ j c , dx +Vdt 1 1 cdt =-, c — , dx = —, , dy = dy , dz = dz • (1.16) 4 Poladavek, aby rovnice vyjadpující fyzikální zákony byly invariantní vzhledem k Lorentzova transformaci, nazýváme Einsteinovým principem relativity. Vidy jsou uvádany dva klasické ppřklady na poulití vztahu (1.14) " kontrakce délek a dilatace Tasu. V soustava K je podél osy x v klidu mapřtko, jeho! dva rysky mají v této soustava soupadnice xí,x2. Vzdálenost (klidová) rysek je tedy Ax0=x2-xí. Vzdálenost v soustava K1 je (soupadnice jsou urTovány ve stejném Tase t[ = ť2) Ax' = x2—x[ = Ax0 yjl-fí2 . (1.17) Protole vzdálenost zjipupvaná v pohybující se soustava je menpř nel vzdálenost v klidové soustava, mluvíme o kontrakci délky. Nyní ppedpokládejme, Te se v soustava K1 odehrají v Tasech t[ a t2 v jediném místa x[ = x'2 , y[ = y'2 , z[ = z2 dva události (interval mezi událostmi je tedy At0 =t2 —t[. V soustava K je interval mezi tamito událostmi At = t2-t= ,At° . (1.18) Časový interval zjipjpvaný v soustava, vLlTi které se soustava, kde se události odehrály v jednom místa prostoru je delpí, mluvíme proto o dilataci Tasu. Je dufelité uvadomit si pftsný význam poTítaných veliTin a tedy i pojmLuKkontrakce délek" a Kdilatace Tasu \ 1.5 Relativistická kinematika Pro rychlost (v =dr/dř, v1 =dr'/dť ) dostaneme z rovnice (1.16) transformaTní vztahy .._ ví+v VJ,^7- , . (U9) Vztah pro transformaci rychlosti odvodíme také následující úvahou. Majme v soustava K1 Tástici, která se pohybuje konstantní rychlostí u, tedy platí pro ni x' =uť. Z hlediska vnajpřho pozorovatele v soustava K dostaneme podle (1.14) _ x'+Vť _ {u + V)ť _ ť+Vx'/c2 _ {l + Vu/c2)ť pro rychlost v soustava K máme pak (1.20) x u + V V = — =-i-r . (1-21) x t 1 + uV/c2 Velikost této rychlosti ul nemHe ppekroTit velikost rychlosti svatla a pro u = c dostáváme pfirozenav^ =c. 5 1.6 Hybnost a energie Pfi odvození výrazLUpro hybnost a energii Tástice hmotnosti m musíme vycházet zjil známé invariantní veliTiny " to je interval (1.15). Ten mLHeme poulit pro konstrukci invariantního úTinku pro volnou Tástici, který by pro malé rychlosti ppecházel do klasického tvaru. Vezmame tedy za základ rozmarova správný a úmarný hmotnosti invariantní výraz b S = -mc J ds . (1.22) a Poulijeme-li pro parametrizaci Tasovou soupidnici, dostáváme b S = —mc | dt — dr =—mc 1-^-dř . (1.23) Lát tak dostáváme pro Lagrangeovu funkci WJl-^ . (1.24) Hybnost a energii získáme obvyklým postupem dL mv ^ dL mc2 E = y—- — L= . . (1-25) Pro malé rychlosti ppechází výraz pro hybnost na klasický tvar p = mv a pro energii dostáváme z prvních dvou TlenLUrozvoje odmocniny E = mc2 + —mv2 . 2 Často se vztahy (1.25) pro hybnost a energii chápou jako nárLlát hmotnosti Tástice s rychlostí. Vhodnajpř je ale povalovat hmotnost za charakteristickou vlastnost Tástice a vztah (1.25) prosta fiká, Te vztah mezi rychlostí a hybností je slolitajpí nel v nerelativistické aproximaci. Snad nejslavnajpř fyzikální rovnicí je (uvalujme Tástici v klidu) E = mc . (1.26) Ppedstavme si najaké atomové jádro hmotnosti M, jako celek v klidu. Oddalíme-li postupná jednotlivé nukleony a vzdálíme tak, Te jejich interakci lze zanedbat, zjistíme, Te rozdíl energií f AE M-Y4ma c2 , (1.27) kde sTítáme hmotnosti vfech volných nukleonuj je obecná nenulový. Je-li rozdíl kladný, lze rozptapením jádra energii získat, je-li záporný, lze sloTením lehTích jader do tarpřho jádra energii získat. PouTíváme-li pro popis jevLUdUáledna fyzikální terminologie, nemuie dojít k filosofickým diskusím o ppemana hmoty na energii Ti naopak. S pomocí veliTin energie a vektoru hybnosti vyjádpřme celkovou energii E a kinetickou energii T E=^p c +m c , 1 =t-mc =-\jp c +m c —mc . (l-2o) V limitních ppřpadech má výraz pro kinetickou energii tvar r«mť T 2m , T~»mc2 =i> T a;\p c (1.29) Vztah mezi energií a hybností muieme vyjádfit stejná jako jsme vyjádfili interval Ttverec Tasoprostorového intervalu p2 2 2 ^ -*2 m c = — — p c Pfi Lorentzova transformaci (1.14) bude pak Px = Y E — = r c E1 - + 0p'x c E1 P- + P'x c P', > P, = PÍ (1.30) (1.31) 1.7 Více o intervalu Majme dva události popsané v inerciální soustava K soupidnicemi a (t2,r2). Události jsou spojeny Tasupodobným intervalem a druhá událost nastala pozdaji nel první s2 =c2(Atf -(Ar)2 >0 , At = t2-t1>0 , Ař = ř2-ř1 . Ukáleme, Te popidí událostí vidí stejná pozorovatelé ve vfech inerciálních soustavách. Osu x zvolíme jako spoleTnou osu soustavy K a soustavy K1, která se vuTi K podél této osy pohybuje rychlostí V . Lorentzova transformace (1.16) je cAt = r(cAť + jSAx') , Ax = r(Ax' + V Ať) , Ay = Ay' , Az = Az' . Máme c Ať =r{cAt-j0Ax)>r(cAt-\Ař\)>O . Poslední nerovnost plyne z toho, Te interval je Tasupodobný, ppedposlední nerovnost z toho, Te odeTítáme vatpř hodnotu, protoTe vTdy j80. Potom máme s2 = c2 (Atf - (Axf < 0 , Aŕ>0 , Ax>0 , Takle c Atl ■ Pro vfbchny soustavy K' s l/y? < /? <1 je pak opravdu Ař' =ť2—t[ < 0. 2. Ppíklady relativistických jevili 2.1 Aberace svätia Ppi pozorování hvazd ze Zema se projevuje (mimo jiné) to, Te Zema obíhá kolem Slunce. Na obrázcích je znázornan jev aberace svätia, který se nejvíce projeví v bodech A a C, Hvězda zatímco paralaxa se nejvíce projeví pp pozorování v bodech B a D. Kdy! svatelný paprsek od pohybu O 8 hvazdy S vstupuje do tubusu v boda Ti, je okulár v místa Oi tak, aby pp posunutí tubusu vlivem pohybu Zema byl v poloze O2, kde zachytí uvalovaný paprsek. Hvazda se ovpem jeví v poloze S*. Obecný výraz pro transformaci slolek vektoru rychlosti máme vztah (1.19) Vx 1 + v^/c2 ' ^ 1 + v^/V ' ^ 1 + v^/c2 • Sledujeme-li pípení svatelného paprsku v rovina x— y (vz=v'z=0 pp vhodné volba úhliu<9 resp. <97,tj. vx =csiné*, v =-ccosé? resp. v'x =csin0' , v' =-ccos6'/) . _ siné'' + p _ cos siné/ =-——— , cost/ (2.2) l + /?sin^ l + /?sin^ dostaneme po podalení výrazlllve (2.2) vztah mezi úhly v soustava spojené se zdrojem vysílajícím paprsek K1 a soustava spojené s detektorem pojímajícím paprsek K (tubus dalekohledu), která se vuTi K1 pohybuje rychlostí —V podél osy x (2.3) Pro 0' = 0 dostaneme z (2.3) tg£?=/?/>/l-/?2 => s>mO = 0 (2.4) Na obrázku je ppřpad O1 =0 nakreslen. Pro pohyb Zema kolem Slunce je maximální velikost aberace rovná 20,5". Jestlile nelelí smar ke hvazda v rovina ekliptiky, pozorujeme zdánlivou polohu hvazdy jako elipsu s velkou osou 41", jak je vidat na dalpím obrázku. Zdánlivá poloha hvazdy v rovina ekliptiky (/?=0°) se posouvá po úseTce, pro hvazdu smarem k pólu ekliptiky (/?=90°) lelí pozorované polohy na krulnici. 9 41" (3 = + 30° Č = +15° (3 = 0° 0 = -15° Výraz (2.3) je nesymetrický vzhledem k soustavám K a K7, col vypadá v teorii relativity podivná. Malá úprava, kdyl zvolíme pro vyjádpení úhly 3 = 6—nfl, 3' =6' — njl a do trigonometrické identity 3 sin^ tan- 2 1+cos^ dosadíme z (2.2) vede vpak k symetrickému vztahu 3 (2.5) tan- 1-0 3' -—tan— 1 + 0 2 (2.6) Velmi výrazná se jev aberace projevuje v úhlovém rozlolení. Ppedpokládejme, Te zdroj elektromagnetického zápení má ve své klidové soustava K' izotropní rozlolení intenzity (úhel 6 je nyní poTítán jako úhel s osou x, v ppedchozím znaTení tedy úhel 3) áť dE< áť I0 dQ' = I0 sm&' &61 dcp' (2.7) Vztah (1.31)vyjádpřme pro veliTiny v soustava K' a napípeme v diferenciálním tvaru dE' Y dE J3dpx . dPÍ = r -j3— + dPx c , dp'=dpy , dp'=dpz (2.8) a dosadíme (pro elektromagnetické vlnaní platí E = pc) dE dpx=—cos6 , dp -siné'cos^ , dp dE siné* sin q> , dE1 dE1 dE1 dp'x=-cose?' , dp' =-sin^'cos^' , dp' =-sin 6' sin cp' . (2.9) c c c Je vidat, Te azimutální úhly se rovnají, tj. cp = cp' a pro polární úhly platí vztahy analogické vztahům (2.2) 10 siné?' siné* , cosé?' cos0-J3 (2.10) y(l-/3cos0) \-0cosO Dosadíme jepta za dť z (1.16) (v soustava zdroje vychází zápení z jednoho bodu, tedy dx' = 0) a máme dl dE 1 dE1 dQ' dt y2 l-0cosO dť y2 l-/?cos# dQ dQ (2.11) Jednoduchý výpoTet dává dQ' dcosč?' 1 dQ dcosé? r2(l-j3cos8) takle pro intenzitu dostáváme výsledný vztah dQ (2.12) dl = l0 i-/?' (2.13) ;i-/?cosč?) Vztah (2.13) reprezentuje pozoruhodnou úhlovou závislost rozkolení intenzity izotropního (rozumí se ve vlastní klidové soustava) zdroje. Integrací vztahu se ppesvadTíme, Te se ppirozena nezmanila celková intenzita I = 4ttI0. 2.2 ComptonLlf rozptyl Podél osy x dopadá foton rentgenového zápení s energií h cd na elektron v klidu, po rozptylu pokraTuje odchýlen od původního smaru o úhel 0 a s niipř energií h co1. Zákony zachování nám dají (pohyb se daje v rovina) hco + mc2 = h co1 + p2 c2 + m2 c4 , hco hco' . . hco' . . -=-cost/ + pcosi// , 0 =-smt?-psmi// (2.14) 11 Po kratpřm výpoTtu (vylouTením Knepotpibných" neznámých p a ž!) dojdeme k výslednému známému vztahu pro rozdíl vlnových délek (k = ha>lc = 27Tl A) InŤi A A = A' - A = Ac (l - cos #) , Ac (2.15) mc kde /lc je konstanta " Comptonova vlnová délka. 2.3 DopplerLLv jev DopplerLLf jev je pozorovaná zmana energie fotonu (frekvence vlnaní co'), emitovaného zdrojem, který se sám pohybuje rychlostí y podél osy x vuTi laboratorní soustava ("pozorovateli") K (v ní je pozorována frekvence vlnaní cd). Soustava spojená se zdrojem je K1. Uvalujme rovinnou vlnu s vlnovým vektorem v rovina x — y. Napprklad polohy míst s danou intensitou vlny musí urTit stejná pozorovatelé v obou soustavách, pouze jim pppidí rUíné soupidnice a frekvence, ale fáze vlny je relativistický invariant. V napem pppada pípeme rovnost fází jako f J J \ co ť -— COS01 y sin ď ■■cul t-—cos6-—siné* v c c (2.16) Úhel mezi smarem přpbní vlny a smarem pohybu zdroje (tj. osou x) jsme oznaTili 0. Dosadíme-li do (2.16) ze vztahu pro Lorentzovu transformaci (1.14), dostáváme ' x * c co ť -—cos e1 y sin 6' ■■ co f\-/3cose , cos6-/3 x y' . ^ H t-- --—svc\6 c c (2.17) Porovnáním Tlen Lilu ť dostaneme vztah vyj adpující DopplerLLf jev (0=0) co ŕ \ + Bcos6 + — cos 2<9 2 (2.18) l-^cosč Klasický DopplerLLf jev (bez Tlenu u y?2) je rozdíl ve frekvenci ppblilujícího se (0 = 0) a vzdalujícího se (0 = n) zdroje, relativistický DopplerLLf jev (Tlen u y?2) pozorujeme pro 0 = 71/2. Porovnáním Tlen LU u x1 dostaneme vztah vyjadpující aberaci svätia, ale s jiným znaTením a jinou situací (zde se pohybuje soustava spojená se zdrojem, v 2.1 se pohybovala laboratorní soustava). Pokud budeme uvalovat o vzájemném pohybu zdroje a detektoru po spoleTné ppmce, mLLTeme si ppedstavit diagram na obrázku (nemusí se jednat jen o svatlo, mLLTe jít tpeba o zvukové vlnaní). V obrázku je znázornan svatelný kuiel, po kterém by se z bodu O píply 12 svatelné paprsky. Protole na osách máme soupidnice x a ct a pro svatlo máme interval s2 = c212 — x2 = 0, je úhel povrpek kulele s osami roven 45°. Naopak ppřmky znázorKující 1 ct Ia \zdroj f 1 detektor světelný kužel s \ / X 0/ pohyb zdroje OE a detektoru OA musí svírat s osou c t úhel menpř jak 45°, jejich rychlost je menpř jak rychlost svätia. ÚseTka EA svírá s osou c t úhel mnohem menpř nel 45°, jde-li o zvukovou vlnu, nebo úhel práva 45°, jde-li o elektromagnetické vlnaní. Máme tedy pro rychlosti signálu, zdroje a detektoru Rychlosti poTítáme tak, Te kladné jsou pp vzdalování zdroje a detektoru. Kdy! se zdroj a detektor potkají v O, zapne se signál. Vypnutí signálu po uplynutí jedné periody nastane u zdroje v boda E a detektor je zaznamená v boda A. Vlastní Tas, který uplynutí periody odpovídá je pro zdroj a detektor dán vztahy OE r~Ť 9 1 2" /1 2 1 2" Tz=-= ^tE-XEjC =tE^]l-Vz/c , — (2.19) Pomar frekvencí je ppevrácenou hodnotou pomaru period f p _ rz _tE ^-v2z/c2 f Z td f a ^/l — V2D/c2 Pomar Tasových údajlllzískáme úpravou c =xa~XE = vdta+VZtE ^ h =1~vd/CS takle 13 f d _ l-vD/cs ^-v2z/c2 (2.20) fz l+vz/cs Vl-v^/c2 Pro vpechny rychlosti malé ve srovnání s rychlosti svätia (zvukové vlny) dostáváme klasický vztah pro DopplerliS' jev " pp vzdalování (vz>0,vD>0) vnímaná frekvence klesá, pp ppblilování (vz <0, vD <0) vnímaná frekvence roste f d j_ l~vD/cs f z l+vz/cs (2.21) Pro svatlo (cs =c) muieme (2.20) ppepsat na fz l~vD/c U+vzA l~vz/c l + vD/c (2.22) Vezme tebl v úvahu vztah pro skládání rychlostí (1.21) a pro vzájemnou rychlost zdroje a detektoru máme vz +vd l + vzvD/cz Roznásobením výrazLUve (2.22) a dosazením relativní rychlosti dostáváme vztah fi fl-v/c (2.23) fz V + v/c ' který pfirozena souhlasí se vztahem (2.18) pro 6=0 . 2.4 Vstpícné svazky Pfi srálce dvou Tástic (pekname elektronu a positronu) mule vzniknout nová Tástice. SpoTtame maximální hmotnost vzniklé Tástice. (a) Na elektron v klidu dopadá positron s kinetickou energií T = ^Jm2 c4 + p2 c2 — mc2. Zákony zachování dávají mc2 + ^m2 c4 + p2 c2 =^M2 c4 + P2 c2 , 0+p = P , (2.24) takle (pro ľ»mc2 ) M c2 * ^2mcT . (2.25) (b) Celná se srálejí elektron a positron stejné energie. Ze zákonlllzachování pak ■Jm2 c4 + p2c2 + ^m2 c4 + p2 c2 =^M2 c4 + P2 c2 , p-p = P , (2.26) takle (opat pro ľ»mc2) M c *2T (2.27) 14 Pro kinetickou energii v LEP T U 200 GeV a klidovou energii elektronu mc2 U 500 keV jde o vskutku propastný rozdíl v dosalitelné maximální hmotnosti Tástice vytvopené ppi srálce elektronu s positronem. 2.5 Hafeleho a KeatingLif experiment Hafele s Keatingem navrhli a provedli1 pozoruhodný pokus s atomovými hodinami, které nechali obletat zemakouli východním i západním smarem a porovnali jejich údaje s údaji hodin, které zUátaly na zemi. Ppitom je tpeba uvalovat nejen jev dilatace Tasu, ale i rozdílného gravitaTního potenciálu. Základním výrazem je interval Schwarzschildova pepení Einsteinových rovnic ds2 2Z c2dt2 dr Yr2 d#2 + sin2#d^2 2j (2.28) kde gravitaTní potenciál je X GM (2.29) Pro element vlastního Tasu dr = ds/c dostáváme 2x dr 1+ 1 H c 1/2 dt (2.30) kde dr d6 . .dep 2222 uT=— , ug = r— , u = rsmff— , u =ur+u0+u . (2.31) dt dt dt Parametrizace je dána pomocí soupadnicového Tasu " Tasu najakého pozorovatele hledícího na severní pól Zema z dostateTna velké vzdálenosti. V pptblílení slabého pole a malých rychlostí (|j|«cc2, w2 * = 8 xt (3-5) (s Einsteinovou sumaTní konvencí). Interval pak muieme psát jako s2 = x' xi = gik x' xk = gik xi xk =c2t2 - (x2 + y2 + z2) . (3.6) Vanujme se na chvíli trojrozmarnému eukleidovskému prostoru. Tam máme polární a axiálni vektory. Ppi zámana orientace kartézských soupadných os se zmaní zápis vektoru prli^odiTe ? = xi+yj + zk=(-x)(-i) + (-y)(-j) + (-z)(-k) . (3.7) Definujeme operaci zrcadlení jako f'=P>r = -r . (3.8) Pro vektor rychlosti máme tedy _ dr v dt Pro vektor uhlové rychlosti ale d(iSF) dŕ J dr' dr dt dt (3.9) co = rxv , co' = Pco = f' xv' = (-r)x(-v) = f xv = co . (3.10) Vektory, které se ppi zrcadlení transformují stejná jako prli^odiT, se nazývají polární a vektory, které se transformují stejná jako úhlová rychlost, se nazývají axiální. Obecná zavádíme ve trojrozmarném prostoru axiální vektor jako pseudovektor duální k antisymetrickému tenzoru C„ lÉfi^Cír • Cflr=AflBr-ArBfl C = AxB . (3.11) 2 Ar=i Ve Ttyprozmarném prostoroTase jsou duálními antisymetrický tenzor 2. pádu s antisymetrickým pseudotenzorem 2. pádu a antisymetrický pseudotenzor 3. pádu s vektorem *Aik =^eik'm A,m , "Aikl =siklmAm . (3.12) 17 3.2 Lorentzova grupa Setkali jsme se sjil s Lorentzovou transformací. Tato transformace je jednou z transformací, tvopících Lorentzovu grupu. Tak jako se skalární souTin vektorLU v trojrozmarném eukleidovském prostoru nemaní ppi transformacích z grupy rotací, nebude se skalární souTin TtypvektorLUmanit ppi transformacích z Lorentzovy grupy. Pptblilna muieme píci, Te Lorentzova grupa obsahuje rotace v trojrozmarném prostoru, Lorentzovy transformace a rUlné operace inverse. Transformaci budeme popisovat pomocí transformaTní matice A (v zápisu pomocí matic je horní index pádkový a spodní sloupcový) Ai k k* Ax (3.13) x —> X Skalární souTin TtypvektorLUje definován jako (x,y) = xiyi = gikxkyi . (3.14) Lorentzova transformace je lineární zobrazení, které zobrazuje prostoroTas sám na sebe a které zachovává skalární souTin Im In \ l i \ m k i k /o 1 r\ 8tmx x = glm Aŕ x Ak x = gik x x . (3.15) Podmínka pro invarianci skalárního souTinu je tedy s,„ a| a? = at . (3.16) Jsou-li A a M Lorentzovy transformace, jsou také A-1 a AM Lorentzovy transformace, col snadno odvodíme *,.=«,.a:.a:(a-);(a-);=í„(a-);(a-); , (317) s,=s,.m!m;=í„a;a;m:m; = si.,(am);(am); . Lorentzovy transformace tvopt grupu. Grupa má Ttypi podmnoliny, charakterizované signaturou determinantu a AjJ, nebo 14 (detA)2=l , (A°)2-Z(A02=1 (3.18) Máme (3.19) sgnA°=l , /GL+ , , sgnA°=l , IsEL+ , sgnA°=-l , IS1EL-+ , , sgnA°=-l , ItEL . Speciální Lorentzova grupa je tvopena transformacemi s detA = l a sgnAo=l. Speciální Lorentzova grupa obsahuje identickou transformaci, dalpí podmnoliny jsou charakterizovány 4 : detA ú : detA LI : detA L : detA -1 -1 18 prvky Is (prostorová inverse), It (Tasová inverse) a Ist (Tasoprostorová inverse), definovanými pomocí vztáhni (/s*)°=*° , (I,x)a=-ť , (Itx)°=-x° , (Itx)a=xa , (3.20) (/„*)°=-*° , (/„*)"=-*- • Se speciální Lorentzovou grupou je spojena grupa komplexních matic druhého pádu s determinantem, rovným jedné, platí SO(3,l) = SL(2,C)/Z2. Nappŕklad matici Lorentzovy transformace (1.14) (tanh^/=/?) nebo matici rotace kolem osy z o úhel cp zapípemejako 'y Y P 0 0 y/3 y 0 0 A: cosh^/ sinh^/ 0 0 sinh^/ cosh^/ 0 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 nebo A: 10 0 0 0 cos<^> sin<^> 0 0 — sin<^> cos<^> 0 0 0 0 1 (3.21) Zkrácené znaTení y. (3.22) je velmi Taste a budeme jej také poulívat. Dalpím velmi Tastým postupem bude ulití výrazu pro interval s parametrizací podle Tasu ds = ^c2dt2-dr2 =c^\-/32 át = -át r 3.3 Ctyprychlost a Ttypzrychlení Definujeme Ttypvektor rychlosti ppirozeným zpUäobem jako (3.23) dx u' U- = 1 (3.24) ds V c Slovem ppirozena míníme, Te máme automaticky zajiptano, Te jde o Ttypvektor a prostorová Tást je úmarná Tasové zmana polohy. Obdobná ppirozena definujeme Ttypvektor zrychlení du' d2 x' w ds ds2 u' w. = 0 (3.25) 19 Podívejme se na relativistický popis pohybu s konstantním zrychlením. V soupadné soustava spojené s Tásticí K, kde okamlitá rychlost Tástice je samozpejma v = 0 (soustava nemusí být inerciální) máme u'K =(1,0,0,0) , <=(0,«/c2,0,0) , (3.26) kde a = dv/dt je obyTejné zrychlení. V obecné soupadné soustava je rychlost podle (3.24) ul=y{\,J3,Q,Q) . (3.27) Vpimname si, Te pro stanovení Ttyprychlosti jsme mohli také poulit vztah u = A[ uK s maticí A ze (3.21) (3.28) Protole se jedná o zrychlený pohyb, není tento jednoduchý postup pro výpoTet Ttypvektoru zrychlení poulitelný, protole nejde o ppechod mezi inerciálními soustavami. Musíme tedy provést ppímý výpoTet podle definice (3.25). Ve vztahu (3.28) muieme derivovat bubl výsledný tvar Ttypvektoru rychlosti nebo derivovat transformaTní matici. S uválením dy y3 dv v d ( o) u ( Y /3y 0 0^ ť ( \ Y u1 Pr r 0 0 0 Pr u2 0 0 1 0 0 0 u3 0 0 0 1 0 0 dt dospajeme obama postupy k výrazu w c2 ' dt c2 dŕrv) y d{yv] (^,1,0,0) (3.29) c1 dt Tento výraz ppechází po dosazení /?=0, y=la dv/dt = a do výrazu wKuvedeného v (3.26). Po malé úprava (z rovnosti w1 wi = wK wKi) dostáváme f \ d_ dt c2 J (3.30) S poTáteTními podmínkami v0 = 0, x0 =0 dostáváme pepení at 1 + at a ll + l^ (3.31) 20 ZpoTátku ve shoda s klasickými výrazy v~ař, x~ař2/2, po delpí doba se ale rychlost limitná blili k rychlosti svätia v^c a trajektorie Tástice je blízká dráze svatelného paprsku x—>cr . 3.4 Princip nejmenfího úlínku ÚTinek musí být invariantní a co nejjednoduppř. Nabízí se integrál podél svatoTáry. Abychom dostali pro úTinek známý nerelativistický výraz, musíme konstantu úmarnosti zvolit rovnu -mc, tedy S = — mc jds = —mc2 a Lagrangeova funkce a hybnost jsou 2 L v2 _ dL mv L = -mc ji--- , P= — = , V c ov ' --2 1 v 2 Hamiltonova funkce je pak H = p-v-L mc ■sjp2 c2 + m2 c4 (3.32) (3.33) (3.34) Z ppedchozích rovnic (3.33) a (3.34) vidíme, Te Hv c2 p dH c~ H d p Pohybové rovnice dostaneme z variaTního principu ó S = -mcôjds , ôás = ô[gikáx' dxk^j a b 8 S = —mc jukS dxk = -mcukô x i/2 gik dx' 8dxk ds ■■ uk 8dx b + mc k duk 8xk—±ds ds Odsud pak du' n d S U , pt= —;—- = mcu; (3.35) (3.36) ds ' d x' Ctypvektor hybnosti definujeme jako Tasupodobný vektor (Ttverec velikosti je kladný) (3.37) H ^ P =| —,P i 2 2 p Pi =m c (3.38) a Ttypvektor síly jako prostorupodobný vektor (je kolmý na Tasupodobný vektor hybnosti) 21 dp' ~~ďš~ /•v / ťPi=0 Čtverec velikosti Ttypvektoru síly je 2/2 2 c [c —v /■v) -c2/2 <0 . Hamiltonova - Jacobiho rovnice volné Tástice je z (3.38) dS dS dx' dxk 2 2 m c 1 Kôt j fdS^\ (dS}2 fdS^2 \dxJ 2 2 - m c (3.39) (3.40) A' = M (c j (c j 4. Náboj v elektromagnetickém poli 4.1 C ty prozmarný potenciál a úTinek Elektromagnetické pole popisujeme pomoci Ttyprozmarného potenciálu (4.1) kde (j) je skalární a A vektorový potenciál. Pomocí derivací Aŕvytvopíme antisymetrický tensor druhého pádu 9 A d A. F*=irr-irT ■ (4-2) dx dx Dimense prostoroTasu je Ttypi, má tedy tensor Fik pest nezávislých slolek. Snadno se ppesvadTíme, Te jsou to slolky dvou trojrozmarných tpřrozmarných vektorlll£ a B , které jsou v tpřrozmarném zápisu dány vztahy dÄ -y (p dt ß=VxA . Tensor elektromagnetického pole má pomocí E a ßvyjadpeni (4.3) (4.4) K úTinku volné Tástice ppidáme Tlen závislý na elektromagnetickém poli " nejjednoduppím invariantním výrazem obsahujícím Ttypvektor Ai je skalár Ai dx1. Vezmeme tedy jako úTinek S = J (— mcds — e Ai dx' a Parametrizujeme-li integrál pomocí soupadnice Tasu, dostáváme (4.5) 22 -mc2 Jl--- -\- e A-v — etfi dt . (4.6) Ukáleme odvození pohybových rovnic jak ve Ttyprozmarném, tak tpřrozmarném zápisu. Pro variaci ds jsme jil odvodili vztah ve (3.36), tj. ôds = ui ôdx' , takle variací (4.5) dostáváme ÔS D J {mcui ô dx' +eAS dx' + e S A. dx' mcu, + e Ať) ô x' + J {mc du; + e ô x' dA: — e ô Av dxk Infinitesimální zmany potenciálu rozepípeme dA dA dx '-dxk , ô A. d x' ô x' a parametrizujeme integrál pomoci elementu ds (tedy dxk =u ds), dostáváme tak (4.7) S S = — (mcu. +eA)óx' + dume—;— e ds dAk dA, dx' dxk ô x' ds (4.8) VariaTní princip nám tak dává jak výraz pro zobecnanou hybnost pt = mcu, + e A, , tak pohybovou rovnici d«, mc—- = e ds dAk dA, dx' dxk (4.9) (4.10) Pomocí tensoru pole (4.2) resp. jeho kontravariantních slolek F'k = g'1 gkm Flm muieme (4.10) zapsat jako me- du ds eFik u, (4.11) Odvození pohybových rovnic z (4.6) vychází z Lagrangeovy funkce L = - mc2 A\--- + e A-v - e 0 (4.12) Je pak 23 ÔL mv -r -r — = i , +eA = p + eA , dt\ i dt dŕ 1 7 — = eV(A-v)-eV^ = e(v-V)A + evx(VxA)-eV^ <3r Dosazením do Lagrangeovy rovnice dostáváme ^l = e(Ě + vxB) . Zopakujme dLÚleTité vlastnosti TtypvektorLLlrychlosti a zrychlení (4.13) d x u, u' = 1 => —{ui u') = 0 M; -" = U;W = 0 (4.14) ds ' dsv ' 7 ' dx' Ctypvektor rychlosti je Tasupodobný, Ttypvektor zrychlení prostorupodobný. Pro Tasupodobný Ttypvektor hybnosti máme p' =mu = [p° ,p) = (ymc ,ymv) , pt p'= (mcf . (4.15) Pp Tasové inversi ŕ—> —ŕ je p°—>■p° a p^ — p. Má-li zLLítat pohybová rovnice (4.13) nezmanana, musí pak být E^E a B^ — B.Ze vztahu (4.3) pak pro potenciály musí být (j)^(j) a A^ — A . Pp prostorové inversi r^ — r je opat p° —>■ p° a p^ — p. Má-li zLLítat v tomto popadá pohybová rovnice (4.13) nezmanana, musí pak být E^ — E a B^B. Ze vztahu (4.3) pak pro potenciály musí být opat 0) nebo B = 0 (pokud je c2 Bq — Eq <0) Naopak, platí-li v najaké soustava E0B0^0, muieme vidy najít inerciální soustavu, kde budou oba pole rovnobainá. 4.3 Pohyb náboje v konstantním homogenním poli Konstantním polem nazýváme pole, které se s Tasem nemaní. Homogenní pole má pak v celém prostoru stejný smar i velikost. Elektrické pole intenzity E získáme ze skalárního potenciálu

y(mv0c)]~ 1 + 1/2[eZ?>>/(mv0c)] dostáváme ppirozena z nerelativistické teorie známou parabolickou trajektorii eE 2mv'r ■y Nyní budeme poTítat pohyb v homogenním magnetickém poli, v jeho! smaru orientujeme osu z ■ Pohybová rovnice je p = evxB . Z toho Te v • p = e v ■ [v x B j = 0 hned vidíme, Te se zachovává kinetická energie d£ dE ^ c2 ^ + n — =--p=—v p = U . dř dp £ Pohybovou rovnici si tedy muieme ppepsat na nebo ve skolkách kde K. = CO V„ £ dv . B —--= e v x B c2 dt -cov„ v =0 co ec2B £ (4.24) (4.25) (4.26) Pro komplexní promannou w=x + i y získáme kombinací prvních dvou rovnic v (4.25) w = —icow =>• w = v0t exp[—i(cot + a)j , kde v0ř a a jsou reálné konstanty. Oddalíme-li reálnou a imaginární Tást, dostáváme v* =vot cosi co t+a) -v0f smlcot + a) (4.27) Ze (4.27) vidíme, proT jsme konstantu oznaTili v0ř " je to velikost rychlosti v rovina kolmé ke smaru magnetického pole. Rovnice (4.27) integrujeme a dostáváme x = x0 + aÚYi(ct) t + a) , y = _y0 + acos{ct)t + a) , (4.28) 27 kde fl = ^ = AÍ = A. . (4.29) co ec B e B Integrace poslední z rovnic v (4.25) dává z = z0+v0zt . (4.30) Je tedy pohyb v homogenním magnetickém poli pohybem po kruhové spirále, v ppípada v0z =0 pohybem po krulnici polomaru a v rovina z = z0. V pfípada malých rychlostí bude mít trajektorie stejný tvar, pouze ve (4.29) dosadíme nerelativistické výrazy, tedy a = mv0t/(eB). Nakonec rozebereme pohyb ve zkpftených (tj. navzájem kolmých) elektrických a magnetických polích. Vidali jsme, Te relativistické výrazy pro pohyb v elektrickém poli nejsou ppflip jednoduché, budeme proto pepit úlohu v nerelativistické aproximaci. Osu z orientujeme opat podél magnetické indukce a rovinu y z volíme tak, aby v ní lelel vektor elektrické intenzity. Pohybová rovnice mv = e[É + vxB je pak ve slolkách mx = eyB , my = eEy—exB , m'i = eEz . (4.31) Tpetí rovnici v (4.31) muieme hned integrovat z = ^ť+v0zt + z0 . (4.32) Kombinací prvních dvou rovnic ve (4.31) dostaneme d /. . . x ./. . . x . e _, e B —(x + iy) + ico(x + iy) = i — Ev , co =- . dt m y m nepení homogenní rovnice pro promannou w = x + i ý známe z ppedchozího ppípadu, ptpením nehomogenní rovnice je konstanta EyJB, takle i + i j = aexp[—i(a)t + a)\ + —^ . Oddálení reálné a imaginární Tásti a následná integrace rovnic vede na CL E d x = x0-\—ÚYi(ct)t + a)-\—-t , y = y0-\—cos(cot + a) . (4.33) co B co Konstanty zvolíme tak, aby se Tástice v Tase t = 0 nacházela v poTátku. Potom 28 ci . / \ E ci r / ř£ 7 ,, „ ,. x = — sin(í»f) + — t , y = —\cos(cot)-l\ , z =—z-t +v0t . (4.34) co B co 2m OznaTíme-li slolku rychlosti podél osy x v Tase t = 0 jako v0x , je parametr a dán vztahem a = v. Ox EyJB .V rovina x y je prumat trajektorie , x E. — sin(co t) H--—\co t — sin( co t ] y- co co cos o t) coB ll+i[l J coBv (4.35) ■cos oř Ppi v0x=0 je to rovnice cykloidy (obrázek c). Pohyb nabité Tástice ve zkpřlených polích je docela pozoruhodný, srovnáme-li orientaci elektrického pole a stpední hodnoty rychlosti Z tachto hodnot také vidíme meze platnosti nerelativistického pptblílení. Uvalujeme-li jen pohyb v rovina x y, je podmínkou Ey<^cB . U pohybu ve smaru osy z zase zálelí na doba, po kterou se Tástice bude pohybovat. V y 4.4 Adiabatický invariant Z obecné Hamiltonovy teorie muieme odvodit existenci tzv. adiabatických invariantUJ které ppi pomalých zmanách podmínek pohybu zUátávají konstantní. Ppi pohybu v témap homogenním magnetickém poli je adiabatickým invariantem 29 kde integrální kpivkou je prUmat trajektorie (krulnice) v rovina kolmé k magnetickému poli a Pt je prUmat zobecnané hybnosti do této roviny. Dosazení Pt = pt + e A (vektorový potenciál volíme takový, Te lelí celý v této rovina) do (4.36) dává Orientace krulnice je po smaru hodinových ruTiTek pro eB>0 a proti smaru hodinových 5 112/ ruTiTek pro e B . Stokesova vata proto dává pro druhý integrál hodnotu — \eB\r /2,kde r je polomar krulnice (podle (4.29) r = pj\e Z?|), zatímco hodnota prvního integrálu je r pt. Adiabatický invariant je tedy P2 I = -rL—y ■ (4-37) 2\eB\ Ppi adiabatické zmana magnetické indukce se proto maní ppřTná slolka hybnosti jako^C|fí| , kde C je kladná konstanta. Této skuteTnosti je s výhodou ulito nappíklad ppi udrlování vysokoteplotního plazmatu uvnitp daného objemu. Je-li v centrální Tásti indukce pomarna malá a k okrajovým Tástem se zvypuje, máme pro podélnou slolku hybnosti pf = p2-pf = p2-C\B(r)\ . V oblasti silného pole se pohyb podél siloTáry zastaví a obrátí zpat. OpaTná situace, kdy jsou nabité Tástice uvolKovány v oblasti silného pole a pohybují se do oblasti slabpřho pole je vyulita ve spektrometrech k vytvápení témaprovnobainých svazklll 5. Částice v gravitaTním poli 5.1 GravitaTní pole v nerelativistické mechanice Pohyb Tástice v gravitaTním poli je urTen Lagrangeovou funkcí L = ^--m(t>{f) , (5.1) kde = -Q—-s0 Ans^ r dv qQ r m— = —---- . (5.3) dt A7is0 r Tady hraje hmotnost Tástice dullelitou roli. Naopak pro pohyb Tástice s hmotností m v gravitaTním poli bodové Tástice hmotnosti M máme .(3) , _ „ 1 A(p = A7iGM ôy,{7) (p = GM- r odkud dv r — = -GM— (5.4) dř r a hmotnost Tástice se v rovnici zkrátila, pokud ovpem platí zmínaná rovnost hmotností. Tato rovnost je jedním ze stavebních kamenlllEinsteinovy teorie gravitace. Je také experimentálna s vynikající ppesností potvrzena. Na vztah (5.4) se muieme dívat tak, Te na levé strana je zrychlení a , na pravé strana intenzita gravitaTního pole g a rovnice přká, Te lokálna jsou si zrychlení a intenzita gravitaTního pole rovny, tj. nemineme je od sebe odlipit. Z pohledu soupadné soustavy s patpiTným zrychlením lokálna pole temizf nebo naopak, ppechod z inerciální do zrychlené soustavy se projevuje jako ppřtomnost gravitaTního pole. Úvahy o analogii mezi gravitaTními poli a neinerciálními soustavami vedou k zobecnaní pojmu 6 Platí a|—j = —4^"(J^3^ (f), protole integrál p pes kouli polomaru R dá na pravé strana —4tt, na levé strana pak divgrad(l/r) dV = R2 [grad(l/r) • r/r]| ^ d <9sin<9 dep = - 4 n. 31 intervalu. Pptdtím se ale zmíníme o historicky velmi významném pokusu, dokazujícím rovnost hmotnosti setrvaTné a gravitaTní. 5.2 Eotvosllf experiment Na isolované, elektricky neutrálni taleso na povrchu Zema pUäobí v podstata dva sily: gravitaTní aodstpedivá, na obrázku oznaTené intenzitami g a a. Zvolíme soupadnou osu tak, aby na dané (severní) zemapisné pĺpce A smapovala osa z ke stpedu Zema, osa y po rovnobaice k východu a osa x po poledníku smarem k rovníku. Potom máme g= — gez a pro odstpedivou sílu a = Úx(^Řxťlj s Q = — QcosAex + Q.únAez a R = R(Sez potom a = Q2 i?ffi cos/l(cos/l ez + sin A ex) . 2 "2 Maximálni hodnota amax =Q Äffi na rovníku je ppibliTna 0,03 m.s . Ve srovnání s hodnotou g na pólu 9,83 m.s je tato hodnota malá, ale zdaleka ne nemapitelná. EôtvôsliS' experiment spoTívá v g +a umístaní dvou stejná hmotných (se stejnou gravitaTní hmotností) koulí z různých materiálni (tedy s ppŕpadna různými setrvaTnými hmotnostmi) na rameno torzního kyvadla. Pro jednoduchost uvalujme polohu ramena ve smaru západ " východ, a podle napi volby sou padne soustavy je proto rozdíl polohových vektorlll/j — r2 = y ey. Na koule pUäobí sily 32 Fi = mx(g) 8 + mKi) ä , F2= m2{g] g + m2{i) ä Výsledný moment, kterým soustava pUáobí na závas je Ť = řxxFx + ř2xF2 , (5.5) (5.6) pptom závas smapuje podél výslednice sil F = FX+F2. Kroutící moment bude tedy prUmatem (Fx + F2) ■ (rx x Fx + r2 x F2) F2 ■ (rx x Fx) + i? • (r2 x F2 Jx-r2)\FxxF2 Fx + F2 Fx + F2 Fx + F2 (5.7) VýpoTtem dostáváme / i x /•'. = /;/. > /;/, > 1 2 l(g) 2(g) 1U) 2(g) mnt, 2(i) m,, x mn( x 2(i) m,( x iU) mn( x axg: a: sin {2A)e„ (5.8) Ve velikosti souTtu Fx + F2 stalí uvalovat jen gravitaTní pole, takle máme T m«g)m2( 2{mx()+m2( m,, m0 m,, (5.9) V rovnováze tento moment zpUáobí natoTení o úhel 6 T e=- K (5.10) kde k je torzní tuhost závasu . Ppi zmana orientace o 180°, tj. ppi zámana y^ — y dojde ke zmana rovnoválné polohy. Ppi experimentech se tato zmana daje periodicky, takle vliv náhodných ppřTin úhlové výchylky je silná potlaTen. V moderních experimentech je ovapeno, Te rovnost setrvaTné a gravitaTní hmotnosti je ovaptna s vynikající ppesností m, m. m„ m0 <10 (5.11) "Ks) '"2W 5.3 Kovariantní a kontravariantní tensory Pro popis dajLLlse zapoTtením gravitace musíme podle Einsteina ppejít od Minkowskiho geometrie prostoroTasu kobecnajpř, Riemannova geometrii. Kaldému bodu P prostoroTasu 7 Pro drát kruhového prujlfezu o polomaru r a délky í je K = t]7F rA j(21^, kde Tj je modul pruTnosti ve smyku. 33 p pi pádíme Ttvepici soupadnic Poc{x} = ( jc 7 jc 7 jc 7 jc ). To muieme udalat mnoha různými zpUáoby, napp {•^/} = ( jc 7 7 7 ). Protole ale jde o tentýl bod, musí platit xn=xn(x) . (5.12) ProstoroTas (nebo alespoK jeho Tást) pokryjeme soustavou takových soupidnicových funkcí " je pprozené, Te infinitesimálna blízkým bodům P a P budou p^slupet soupidnice, pro které |x' — x'| —>0. (Blízkost bodnimusí jepta pptsnaji definovat.) Uvalujme tebl o najaké skalární funkci cp = cp(x). Ppi transformaci soupadnic {■x}-se transformuje skalární funkce tak, Te její hodnota v daném boda se nemaní, tj. (p'[x') = (p(x) . (5.13) Derivujme tebl vztah (5.13) podle x1' (pravou stranu jako skolenou funkci, ulíváme Einsteinova sumaTního pravidla) dep1 dxk dep dx1' dx'1 dxk (5.14) Objekt, tvoptný slolkami Ai [x), které se transformují stejná jako parciální derivace skalární funkce podle odpovídajících soupadnic v (5.14), nazveme kovariantním vektorem. Je tedy Diferenciál výrazu (5.12) pro transformaci soupadnic je (opat je na pravé strana skolená funkce) dx" dxk dx'^^dx' . (5.16) Objekt, tvoptný slolkami A1 (x), které se transformují stejná jako diferenciály odpovídajících soupadnicových funkcí v (5.16), nazveme kontravariantním vektorem. Pro jeho slolky tedy Tyto definice zobecníme na tensory vyppřho pádu, nappíklad T!HA~^^-Tl(x) . (5.18) 13 1 ' dx1 dx11 dx'J mnK ' 34 5.4 Metrický tensor Pojem intervalu mezi událostmi jako invariantní veliTiny se zachovává i v Riemannova geometrii. Máme ds2 = gik(x)dxídxk , (5.19) kde gik (yXj jsou kovariantní slolky symetrického tensoru druhého pádu " metrického tensoru. PpísvadTíme se o invariantnosti výrazu pro interval: dr' drk drlm drln I A Im A I" UX UX UX A l UX A j gm„dx dx =—;--— g,k-rdx--dxJ = dxlm dxln ,k dx1 dx1 dx1 dx'm , , dxk dx'" , ,■ , ,• , k git—;--rdx—;---dxJ = g., dx dx . ,k dx'm dx1 dx'" dx1 ik Také skalární souTin dvou vektoruj definovaný jako A1 Bt je invariantní veliTinou: A"B' dx" Al dxk dx1 dx" jí b* dxk dx" A, j(n -;--rA B, = A B, dx' dx1 k k Kroneckorovo delta 5lk je tensor: si! dx" dx" dx dx 51 .1 a ,Jk m dx" dx1 dx1 dx'k si Definujeme inversní metrický tensor glk pomocí vztahu pro slolky gikgkj=S) ■ (5.20) Pomocí slolek metrického tensoru ppevádíme kontravariantní slolky na kovariantní, pomocí slolek inversního metrického tensoru kovariantní slolky na kontravariantní. Pro vektory Ai = gikAk , Al = gikAk (5.21) Vhodnou volbou soupidnic muieme v infinitesimálním okolí zvoleného bodu dát metrickému tensoru tvar známý z Minkowskiho prostoru " pro tuto chvíli takové soupidnice oznaTíme {xg} (podle Landaua a Lif pice jsou to Galileovy soupidnice) a metrický tensor je 'Gik 10 0 0 0-100 0 0-10 0 0 0 -1 (5.22) 35 OznaTíme jakobián transformace od Galileových soupadnic k obecným jako / " jakobián je determinant vytvopený z derivací dx /dxG , ve standardním znaTení J=—r-0-;---- d[xG , Xq , Xq , Xq Jakobián muieme vyjádpit pomocí determinantu metrického tensoru g=det(grjlj. Zapípeme transformaci inversního metrického tensoru od Galileových soupadnic k obecným _ik dx dxg _lm ^ — = -j2 dx'G dxmG (Platí det(gcj = -l a det(gr* gH) = det(ViJdet(gH) = det(í5'; J = l.) Máme tedy pro jakobián výraz J = l/yj—g ■ Ppi integraci je objemový element v Galileových soupadnicích skalár, musí se mu tedy rovnat objemový element v obecných soupadnicích dQr = dx° dxr dxl dxí = \ ° ' *G ' *G ' \J dx° dx1 dx2 dx3 = J^g dQ G G G G G o/ 0 1 2 3\ V ° (Triviálním ppíkladem je ppechod od kartézských ke kpivoTarým soupadnicím 2 2 2 2 2 v Eukleidovském prostoru. Nappřklad pro sférické soupadnice dl =dr +r d6-\-r sin 6 dep, odkud yfg= r2 siné* a tedy dxdydz = r2sin0drd0dtG , zG = z má interval ds2 = gGik dxG dxG = c2 dt2 - [dx2G +dy2G +dz2c tvar ds 2 c2-a>2(x2 + y2 dtG-(dx1+dyz+dz) + 2a)(ydxdtG-xdydtG) . (5.23) 36 37