Tenzorová algebra Tenzory ve více rozměrech Tenzory různých řádů Počítání s tenzory výsledná veličina = = fyzikální vlastnost ● příčinná veličina Počítání s tenzory • tenzory 0. řádu = skaláry • tenzory 1. řádu = vektory • tenzory 2. řádu = matice • tenzory 3. řádu • tenzory 4. řádu tenzor = složená veličina míru složenosti určuje řád tenzoru Počítání s tenzory • 1D = na přímce • 2D = v rovině • 3D = v prostoru • 4D = ve čtyřrozměrném prostoru • atd. tenzor = složená veličina počet parametrů určuje také rozměr (dimenze – D) Počet parametrů Rozměry → Řád tenzoru↓ 1 2 3 4 Tenzory 0. řádu Skalární veličiny Skalární veličiny • Hustota • Teplota, změna teploty • Čas • Všesměrný tlak • … Lineární skalární vlastnosti: = lineární vztah dvou skalárních veličin neboli c = t . a Počet parametrů Rozměry → Řád tenzoru↓ 1 2 3 4 0. - skalár Počet parametrů Rozměry → Řád tenzoru↓ 1 2 3 4 0. - skalár 1 1 1 1 Tenzory 1. řádu Vektorové veličiny Vektorové veličiny • Poloha (rádiusvektor), přemístění („vektor“), směr (směrový vektor) • Síla, napětí (tlak) • Intenzita pole elektrického E, magnetického H • Elektrická indukce D, magnetická indukce B • Polarizace elektrická P, magnetizace • Minerální či chemické složení • ... Vektorové vlastnosti: • Pyroelektrické vlastnosti krystalu ∆P = γ.∆T • Elektrokalorický jev ∆T = q.∆E • … Tenzor prvního řádu – vektor ve dvou rozměrech a a 1 a 2 a 1 a 2 Tenzor prvního řádu – vektor ve třech rozměrech a a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 3 Tenzor prvního řádu - vektor a = [ai] Počet parametrů Rozměry → Řád tenzoru↓ 1 2 3 4 0. - skalár 1 1 1 1 1. - vektor Počet parametrů Rozměry → Řád tenzoru↓ 1 2 3 4 0. - skalár 1 1 1 1 1. - vektor 1 2 3 4 Počítání s tenzory • počítání s tenzory 1. řádu – vektory – skalární příčina, vektorový výsledek → vlastnost musí být vektorová: – vektor = vektor . skalár (násobení vektoru skalárem) – např. pyroelektrický jev (po ohřátí se na krystalu objeví elektrická polarizace) ∆P = γ.∆T – γ = vektor pyroelektrických koeficientů – je možný jen u krystalů bez středové symetrie – ∆Pi = γi. ∆T Počítání s tenzory • počítání s tenzory 1. řádu – vektory – vektorová příčina, skalární výsledek → vlastnost musí být vektorová: – skalár = vektor . vektor (skalární součin vektorů) – např. elektrokalorický jev (vlivem změny intenzity vnějšího elektrického pole krystal změní teplotu) ∆T = q.∆E – q = vektor elektrokalorických součinitelů – ∆T = q1.∆E1+ q2.∆E2+ q3.∆E3 = Σ qi.∆Ei Tenzory 2. řádu Matice Tenzorové veličiny 2. řádu = lineární vztah dvou vektorů b=T.a neboli: b1=t11.a1 + t12.a2 + t13.a3 + t11.a1 … nebo tenzoru a skaláru • Napjatost s = T.n (směrový vektor plochy a vektor napětí) • Deformace (polohový vektor původní a po deformaci, příp. polohový vektor a vektor přemístění při deformaci, aj.) • Magnetická susceptibilita (magnetická polarizace a intenzita magnetického pole) • Permitivita D = ε . E (elektrická indukce a intenzita elektrického pole) – určuje i optické vlastnosti, např. optickou indikatrix (indexy lomu) • Teplotní roztažnost Tε = α . ∆T (teplota a tenzor deformace) • Matice převodu chemického na minerální složení či naopak • … Tenzor druhého řádu ve dvou rozměrech a a 11 a 21 a 12 a 22 a 11 a 21 a 12 a 22 Tenzor druhého řádu ve třech rozměrech a a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 Tenzor druhého řádu (matice) a = [aij] Počet parametrů Rozměry → Řád tenzoru↓ 1 2 3 4 0. - skalár 1 1 1 1 1. - vektor 1 2 3 4 2.(matice) Počet parametrů Rozměry → Řád tenzoru↓ 1 2 3 4 0. - skalár 1 1 1 1 1. - vektor 1 2 3 4 2.(matice) 1 4 9 16 Počítání s tenzory • počítání s tenzory 2. řádu (matice) – vektorová příčina, vektorový výsledek → vlastnost musí být tenzor 2. řádu: – vektor = matice . vektor (součin matic příslušných rozměrů) – např. napjatost: T = tenzor napjatosti (vztah mezi směrovým vektorem normály k ploše n a na ní působící napětí s): – s = T.n – např. s1 = t11.n1 + t12.n2 + t13.n3 – si = Σ tij.nj → si = tij.nj Počítání s tenzory • počítání s tenzory 2. řádu (matice) – skalární příčina, výsledek tenzor 2. řádu → vlastnost musí být tenzor 2. řádu: – matice = matice . skalár (skalární násobek matice) – např. Teplotní roztažnost Tε = Tα . ∆T (teplota ∆T a tenzor deformace Tε) – např. ε11 = α11. ∆T – εij = αij. ∆T Tenzory 3. řádu Tenzorové veličiny 3. řádu = lineární vztah tenzoru 1. a 2. řádu b=T.a • Piezoelektrický jev P =D.Tσ (vektor piezoelektrického náboje a tenzor napjatosti) • … Tenzor třetího řádu Tenzor třetího řádu Tenzor třetího řádu Tenzor třetího řádu Tenzor třetího řádu Tenzor třetího řádu Tenzor třetího řádu Tenzor třetího řádu a = [aijk] Počet parametrů Rozměry → Řád tenzoru↓ 1 2 3 4 0. - skalár 1 1 1 1 1. - vektor 1 2 3 4 2.(matice) 1 4 9 16 3. řád Počet parametrů Rozměry → Řád tenzoru↓ 1 2 3 4 0. - skalár 1 1 1 1 1. - vektor 1 2 3 4 2.(matice) 1 4 9 16 3. řád 1 8 27 64 Počítání s tenzory • počítání s tenzory 3. řádu – příčina tenzor 2. řádu, výsledek vektor → vlastnost musí být tenzor 3. řádu: – vektor = tenzor3 . matice (násobení tenzorů) • Piezoelektrický jev P =D.Tσ (vektor piezoelektrického náboje P a tenzor napjatosti Tσ) – Pi = Σj Σk Dijk . Tjk – devět členů – Pi = Dijk . Tjk Tenzory 4. řádu Tenzor čtvrtého řádu a = [aijkl] Počet parametrů Rozměry → Řád tenzoru↓ 1 2 3 4 0. - skalár 1 1 1 1 1. - vektor 1 2 3 4 2.(matice) 1 4 9 16 3. řád 1 8 27 64 4. řád Počet parametrů Rozměry → Řád tenzoru↓ 1 2 3 4 0. - skalár 1 1 1 1 1. - vektor 1 2 3 4 2.(matice) 1 4 9 16 3. řád 1 8 27 64 4. řád 1 16 81 256 Tenzorové veličiny 4. řádu • počítání s tenzory 4. řádu – příčina tenzor 2. řádu, výsledek tenzor 2. řádu → vlastnost musí být tenzor 4. řádu: – matice = tenzor4 . matice (násobení tenzorů) = lineární vztah dvou tenzorů 2. řádu b=T.a • např. tenzor napjatosti Tσ a tenzor elastické deformace Te dávají do souvislosti dvě tenzorové veličiny 4. řádu: tenzor pružnosti a tenzor poddajnosti Tenzorové veličiny 4. řádu Tenzor napjatosti T a tenzor elastické deformace Te dávají do souvislosti dvě tenzorové veličiny 4. řádu: • Tenzor pružnosti/tuhosti C = [Cijkl] = stiffnes constants/tensor • Tσ = C . Te • tij = Σk Σl Cijkl . ekl = Cijkl . tkl – devět členů • Tenzor poddajnosti S = [Sijkl] = compliance constants/tensor • Te = S . Tσ • eij = Σk Σl Sijkl . tkl = Sijkl . tkl – devět členů • je tedy C-1 = S a zároveň S-1 = C Počet parametrů Rozměry → Řád tenzoru↓ 1 2 3 4 0. - skalár 1 1 1 1 1. - vektor 1 2 3 4 2.(matice) 1 4 9 16 3. řád 1 8 27 64 4. řád 1 16 81 256 Počet parametrů Rozměry → Řád tenzoru↓ 1 2 3 4 0. - skalár 10 = 1 20 = 1 30 = 1 40 = 1 1. - vektor 11 = 1 21 = 2 31 = 3 41 = 4 2.(matice) 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 3. řád 13 = 1 23 = 8 33 = 27 43 = 64 4. řád 14 = 1 24 = 16 34 = 81 44 = 256 Počet parametrů p – počet nezávislých prvků r – počet rozměrů s – řád tenzorové veličiny p = rs Počet parametrů Rozměry → Řád tenzoru↓ 1 2 3 4 0. - skalár 10 = 1 20 = 1 30 = 1 40 = 1 1. - vektor 11 = 1 21 = 2 31 = 3 41 = 4 2.(matice) 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 3. řád 13 = 1 23 = 8 33 = 27 43 = 64 4. řád 14 = 1 24 = 16 34 = 81 44 = 256 Symetrické tenzory Symetrie tenzorů • Prvky tenzorů jsou stejné, pokud se vymění dva indexy např. u tenzoru napjatosti Tσ platí:  t12 = t21 , t13 = t31 , t23 = t32 (jsou shodné)  dále jsou zde t11, t22, t33  je zde tedy místo devíti nezávislých prvků pouze prvků šest Počet parametrů (symetrický) Rozměry → Řád tenzoru↓ 1 2 3 4 0. – skalár 1 1 1 1 1. – vektor n 1 2 3 4 2. (matice) n.(n+1)/2 1 3 6 10 3. řádu n * n.(n+1)/2 1 6 18 40 4. řádu [n.(n+1)/2]2 1 9 36 100