Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení • Jde o seznam typových úloh, které se probírají na cvičení a dalších obdobných úloh na procvičení za domácí úlohu. Na písemkách se objeví výhradně modifikace příkladů z této sbírky a jim obdobné příklady • Příklady označené hvězdičkou jsou určeny pro studenty kteří by se na cvičení příliš nudili a jsou zde uvedeny pouze jako doplňující příklady které nebudou obsahem písemek. • Program jednotlivých cvičení si sestavují vyučující sami a mohou se lišit i v rámci jednotlivých cvičení jednoho vyučujícího. • Velké množství příkladů je převzato ze sbírky „Seminář ze středoškolské matematiky" autorů Herman, Kučera, Simša (skriptum MU, 2004). Dalšími příklady přispěli doc. Čadek, dr. Kruml (oba v roce 2019), doc. Šilhán (2020) a doc. Klíma (2019-2020). Aktuální verze sbírky ze dne 4. prosince 2020. 1 Úvodní hodina - zápis množin Cvičení konaná 6. až 8. 10. 2020. Příklad 1.1: Pomocí množinového zápisu zapište následující množiny definované slovně: 1. Množinu všech přirozených čísel, která jsou dělitená třemi. 2. Množinu všech celých čísel, která dávají po dělení osmi zbytek 5. 3. Množinu všech (kladných) reálných čísel, jejichž druhá mocnina je větší než 3. 4. Množinu všech (kladných) reálných čísel, jejichž druhá mocnina je menší než jejich trojnásobek. 5. Množinu všech dvojic reálných čísel, kde první je trojnásobkem druhého. 6. Množinu všech dvojic kladných reálných čísel, kde první je větší než trojnásobek druhého. 7. Množinu všech trojic přirozených čísel, která mohou být délkami stran pravoúhlého trojúhelníka. Je tato množina prázdná? Řešení: 1) {3k | k G N}; 2) {8A; + 5 | k G Z}, 3) {x G JR | x2 > 3} = (-oo, -y/Š) U (y/Š, oo), resp. {x G JR | x > VŠ} = (VŠ, oo), 4) {x G JR | x > 0, x2 < 3x} = (0,3) = {x G R | x2 < 3x} - pro záporná x totiž platí 3x < 0 < x2, 5) {[3y, y] \ y G JR} = {[x, |] | x G IR} - přímka se směrnicí | procházející počátkem, 6) {[x, y] \ x, y G JR, x > 3y > 0} - výseč v prvním kvaárantu mezi klaánou částí osy x a přímkou y = ^x, 7) {[x, y, z] | x, y, z G N, x2 + y2 = z2} U {[x, y, z] x, y, z G N, x2 + z2 = y2} U {[x, y, z] \ x, y, z G N, y2 + z2 = x2}. Příklad 1.2: Pomocí množinového zápisu zapište následující množiny definované slovně: 1. Množinu všech lichých přirozených čísel, která jsou dělitená 5. 2. Množinu všech dvouciferných celých čísel, která jsou dělitená 17. 3. Množinu všech reálných čísel x, která jsou řešením nerovnice x2 + 2x + 1 > 0. 4. Množinu všech kladných reálných čísel, jejichž třetí mocnina je menší než jejich druhá mocnina. 5. Množinu všech dvojic přirozených čísel, kde první dělí druhé. 6. Množinu všech dvojic celých čísel, která se navzájem dělí, tj. první dělí druhé a naopak. 7. Množinu všech čtveřic celých čísel, kde třetí je součtem prvních dvou a čtvrté je součinem prvních tří. Řešení: 1) {10k+5 | k E N0}; 2) 2) {17k | k E Z, k ^ 0, |fc| < 6} = {±17, ±34, ±51, ±68, ±85}, 3) {x E R I x2 + 2x + 1 > 0} = R, 4) {x E R | x > 0,x3 < x2} = (0,1), 5) {[x,y] | x,y E N,x | y} = {[x,kx] \x,k E N}; 6) {[x,y] | x,y E Z,x | y,y | x} = {[x,y] \ x,y E Z, \x\ = \y\} = {[x,x] | x E Z} U {[x, —x] | x E Z}; 7) {[x,y,x + y,xy{x + y)] \ x,y E Z}. Příklad 1.3: Napište formální definice: 1. Celé číslo a je sudé. 2. Celé číslo a je liché. 3. Celé číslo a je dělitelné třemi. 4. Celé číslo a není dělitelné třemi. 5. Celé číslo a je dělitelné číslem b. Řešení: 1) Existuje k E Z takové, že a = 2k. 2) xistuje k E Z takové, že a = 2k + 1. 3) Existuje k E Z takové, že a = 3k. 4) Nexistuje k E Z takové, že a = 3k. 5) Existuje k E Z takové, že a = k ■ b. Příklad 1.4: Dokažte platnost následujících tvrzení pro libovolná celá čísla a a b. 1. Z čísel a, b a a + 6 je aspoň jedno sudé. 2. Pokud je a + 6 sudé, pak a — 6 je sudé. 3. Číslo a + 6 je sudé právě tehdy, když je sudé číslo a — b. 4. Pokud je a + b sudé, pak a2 + b2 je také sudé. 5. Pokud je a + b liché, pak a2 + 62 je také liché. 6. Číslo a2 + a je sudé číslo. 7. Číslo a3 — a je dělitelné 3. 8. Číslo a4 — a2 je dělitelné 4. Řešeni: 1) Pokud a nebo b je sudO tvrzení platí. Pokud jsou obě liché, tj. a = 2k + 1 a b = 21 + 1 pro vhodná celá čísla k, l, potom a + b = 2{k + £ + 1) je snde a tvrzení opět platí. 2) Protože a — b = (a + b) — 2b, z předpokladu, že a + b je sudé, vidíme, že a — b je rozdíl dvou sudých čísel, a tedy sudé číslo. 3) Předchozí je jedna implikace. Pro druhou implikaci „pokud je a —b sudé, pak je a + b sudé" se stejným způsobem využije vztah a + b = (a — b) + 2b. 4) i 5) Lze využít vztah a2 + b2 = (a + b)2 — 2ab. 6) Číslo a2 + a = a (a + 1) je součinem dvou po sobě jdoucích celých čísel, z nichž jedno je sudé. 7) Číslo a3 — a = (a — l)a(a + 1) je součinem dvou po sobě jdoucích celých čísel, z nichž jedno je dělitelné 3. 8) Platí a4 — a2 = a2{a2 — 1). Pokud je a sudé, pak je a2 dělitelné 4. Pokud je a liché, pak je dělitelném číslo a2 — 1 = (a — l)(a+ 1). (Iv jiných podpříkladech lze použít metodu, že rozebírají možnosti a = 2k resp. a = 2k + 1 apod.) Příklad 1.5: V následujících příkladech zapište množinu M bodů v rovině, a pak určete výčtem prvků množinu všech dvojic celých čísel x a, y takových, že [x,y] G M. 1. M je obdélník, jehož tři vrcholy jsou [—2, —2], [—2, 0] a [1, —2]. 2. M je trojúhelník ABC, kde A = [3,2], B = [1, -2] a C = [-1,1]. 3. M je množina bodů [x, y] v kruhu se středem (8, 3) a poloměrem 4, pro které navíc platí x < y. 4. M je průnik trojúhelníku, jehož vrcholy jsou počátek [0, 0] a body [0,4] a [4, 0], s množinou všech bodů [x, y], pro které platí {x — y — 2)2 = 9. 5. M je tvořena body (x, y) rovnoběžníku, jehož tři vrcholy jsou [0, 0], [—6, 0] a [4,3], které zároveň leží pod přímkou y = x + 1. Pozn.: Body obdélníku, trojúhelníku atd. míníme body, které jsou bud' „uvnitř" nebo „na hranici" tohoto útvaru. Rozmyslete si, jak by se řešení lišilo v případě, kdybychom uvažovali pouze „vnitřní" body. Řešení: 1) M = {[x, y] | x, y E R, -2 < x < 1, -2 < y < 0},MnZxZ = {[-2,-2], [-2,-1], [-2,0], [-1,-2], [-1,-1], [-1,0], [0,-2], [0,-1], [0,0], [1,-2], [1,-1], [1,0]}. Vnitřní body: M1 = {[x, y] | x, y e R, -2 < x < 1,-2 < y < 0},M' n Z x Z = {[-1,-1], [0,-1]}. 2) M = {[x, y] x,y E R,3x+2y > -l,2x-y < 4,x-4y > -5},MnZxZ = {[-1,1], [0,0], [0,1], [1,-2], [1,-1], [1,0], [1,1], [2,0], [2,1], [3, 2]}. Vnitřní body: M' = {[x,y] | x,y G R,3x + 2y > -l,2x - y < A,x-Ay > -5},M'nZ x Z = {[0, 0], [0,1], [1,-1], [1, 0], [1,1], [2,1]}. 3) M = {[x,y] \ x,y e R, (x-8)2 + (y-3)2 < 16,x < y}, MnZxZ = {[5,5], [6,6]}. Vnitřní body: M' = {[x,y] \ x,y G R,0e-8)2 + (?/-3)2 < 16,x < í/}, m'nZxZ = {[5,5],[6,6]}. ^ M = {[x,x +1] | 0 < x < §}, MHZxZ = {[0,1], [1,2]}. Vnitřní body: M' = {[x,x + 1] | 0 < x < §}, M' fl Z x Z = {[1,2]}, 5; M = {[x, y] I x,y e R,3x < 4í/,í/-x < 1,0 < y < 3},MnZxZ = {[0,0], [1,1], [2,2], [3,3]}. Vnitřní body: M = {[x, y] | x, y G R, 3x < 4y, y - x < 1,0 < y < 3}, M n Z x Z = {[1,1], [2,2]}. 2 Vyhodnocení vstupního testu Cvičení konaná 13. až 15. 10. 2020. Příklad 2.1: Nechť T = [r,s] je těžiště AABC, kde A = [2,-1], B = [-1,3] a C = [5,7]. Určete hodnoty ras. Řešení: r = 2, s = 3. Příklad 2.2: Nechť S = 72 cm2 je povrch krychle vepsané do kulové plochy o poloměru r. Určete hodnotu r. Rešení: k = 15. Příklad 2.3: Nechť M je množina všech reálnych čísel, která splňují nerovnici |2rr+l| < x + 3. Určete množinu M. Řešení: M = (-f,2). Příklad 2.4: Komplexní číslo z je řešením rovnice z + |z| = 5 + (2 + i)2. Určete komplexní číslo z2. Řešení: z2 = —7 + 24i. Příklad 2.5: Čísla a, b G R, a < b, jsou řešením rovnice x2logx+3'5 = 100^/x. Určete číslo k = oh2. Rešení: k = ^. Příklad 2.6: Nechť číslo c je součtem všech řešení rovnice cos x + sin x = y/2 v intervalu [0,27r]. Určete hodnotu c. Rešení: c=\ (jediné řešení v daném intervalu). Příklad 2.7: Určete počet všech lichých pěticiferných přirozených čísel, která neobsahují ve svém zápisu cifru 9. Řešení: 8 • 93 • 4. Příklad 2.8: Nechť c = a2 + b2, kde a a b jsou délky poloos kuželosečky k o rovnici k : 3x2 + 5y2 + 6x — 20y + 8 = 0. Určete hodnotu c. Řešeni: c = 8. Příklad 2.9: Definujte, co je to aritmetický průměr n-tice reálných čísel a1; a2,..., an a co je medián těchto čísel. Na příkladech čtyř čísel ukažte, že někdy je medián menší než aritmetický průměr a jindy je tomu naopak. Řešeni: Průměr: ai+tt2H ha". Za dodatečného předpokladu ci\ < a2 < • • • < an je medián roven a»+i pro liché (nepárne) n, resp. \ • (am + cin+1) pro sudé (párne) n. Pro čvteřici 1,1,1,5 2 ^22 je medián 1 a průměr 2. Pro čvteřici 1,5,5,5 je medián 5 a průměr 4- Příklad 2.10: Pro n-tici kladných reálných čísel se definují kromě aritmetického průměru i jiné průměry. Nejznámější je geometrický a harmonický průměr: G (cti, a2, ■ ■ ■, &n) = \Jcii • ci2.....an, H(a1, a2, ■ ■ ■, an) = j_ j_ - j_ • Dokažte, že pro každá dvě kladná reálná čísla ai,a2 platí A(ai,a2) > G(ai,a2) > H(cii,a2). Pro která a1? a2 nastane rovnost? (A značí aritmetický průměr čísel v závorce.) Řešeni: V platné nerovnosti (cii — a2)2 > 0 přičteme (kladné číslo) 4ciia2 k oběma stranám a dostaneme (cii + a2)2 >4ciia2. Po odmocněni (opět se využije, že jsou obě ai i a2 kladná čísla) a podělení dvěma dostaneme nerovnost A(cii,a2) > G(cii,a2). Pokud v této nerovnosti dosadíme cii = £j- ci a2 = -j^, potom po podělení oběma stranami dostaneme G(bi,b2) > H(bi,b2). Z postupu je jasné, že pro cii ^ a2 lze psát nerovnosti ostré. Rovnost tedy nastává právě pro dvojice cii = ci2, kdy A(aľ, a2) = G(aľ, a2) = H(cii, a2) = aľ. Příklad 2.11*: Jaká je průměrná rychlost auta, které jede n stejně dlouhých úseků postupně rychlostmi Vi,v2,..., vnl Řešení: H(vi,v2,..., vn) Příklad 2.12*: Nerovnosti z příkladu 2.10 platí nejen pro dvojice, ale pro všechny n-tice kladných reálných čísel. Dokažte, že z nerovnosti A > G plyne nerovnost G > H. Zkuste dokázat nerovnost A > G. Řešení: To, že z nerovnosti A > G plyne nerovnost G > H lze ukázat stejně jako v řešení příkladu 2.10. Elementárně lze nerovnost A > G dokazovat indukcí, kde pro n = 2 jsme již provedli v příkladě 2.10. Indukční krok je poměrně jednoduchý pro n = 2k, kdy se sečtou nerovnosti A(cii,a2) > G(a1,a2) = h, A(a3,a4) > G(a3,a4) = b2, A(an-1,an) > G(an-1,an) = bk, a potom se použije nerovnost A(bľ, b2,..., bk) > G(bľ,..., bn). Z nerovnosti pro n = 2k (kde jsme využili indukční předpoklad pro 2 a k), lze volbou a2fc = A(ai, ■ ■ ■, ci2k-i) dokázat nerovnost pro 2k — 1. (Poznamenejme, že s jistými znalostmi z matematické analýzy lze dostat nerovnost také takto: ex je konvexní funkce na intervalu (0,oo); proto platí (Jensenova) nerovnost e"^lH hXn') < \{eXx + • • - + eXn), kde levá strana lze psát jako \/eXl.....eXn. Po substutuci eXi = di dostnaneme požadovanou nerovnost.) 3 Reálné funkce a jejich grafy Cvičení konaná 20. 10. až 22. 10. 2020. Zopakujte si, co je zobrazení množiny A do množiny B. O zobrazení do množiny reálných čísel IR budeme mluvit jako o funkci. Příklad 3.1: Určete definiční obor a obor hodnot zadaných funkcí. Dále načrtněte graf a rozhodněte, zda je funkce injektivní, surjektivní (zobrazení ze svého definičního oboru) a zda je rostoucí, resp. klesající. 1. = 2x + 7, 2. /(*) = \3x + 1| -x, 3. /(*) _ i x-l' 4. /(*) = x2 + 2x - f 3, 5. /(*) = logio(aM -2), 6. /(*) = 2X~3, 7. 8. /(*) /(*) = (x-l)2 = 3 cos x, + (x 9. /(*) = tan(—x). Řešeni: 1) D(f) = H(f) = IR; injektivní, surjektivní a rostoucí. 2) D(f) = IR; H(f) = [|,oo); není injektivní, není surjektivní, není rostoucí, není klesající. 3) D(f) = M\{1}, H(f) = IR\{0}; injektivní, není surjektivní, není rostoucí, není klesající. 4) D(f) = IR; H(f) = [2,oo), není injektivní, není surjektivní, není rostoucí, není klesající. 5) D(f) = (—2,oo); H(f) = IR, injektivní, surjektivní, rostoucí. 6) D(f) = IR, H(f) = (0, oo), injektivní, není surjektivní, rostoucí. 7) D(f) = IR, H(f) = [|,oo); není injektivní, není surjektivní, není rostoucí, není klesající. 8) D(f) = IR, H(f) = [—3,3], není injektivní, není surjektivní, není rostoucí, není klesající. 9) D(f) = IR \ {| + /ot | k G Z}; H(f) = IR, není injektivní, je surjektivní, není rostoucí, není klesající. Příklad 3.2: Funkce / je dána následujícím předpisem log10(x2 - 1) - ľ Najděte její definiční obor jako podmnožinu reálných čísel. Najděte její obor hodnot. Řešení: D(f) = (-00,-y/Tí) U (-\/IT, -1) U (1, y/Tí) U (vTT, 00), H(f) = R\ {0}. Příklad 3.3: Zkoumejte, jak se mění graf funkce y = f (x), když přejdeme k funkci: 1. y = 2f(x). 2. y = i-m, 3. y = -/(*: ), 4. y = /(-*: ), 5. y = f(x + 3). 6. y = f(x- 2). 7. y = m- - 4 8. y = /(*)H h 6 9. y = f(3x). 10. y = /(!)• Je-li původní funkce rostoucí na svém definičním oboru, co můžeme říci o nově vytvořených funkcích? Řešení: 1) Graf se „roztáhne na dvojnásobek" ve směru osy y. Bude rostoucí. 2) Graf se „smrskne na třetinu" ve směru osy y. Bude rostoucí. 3) Graf je zrcadlově převrácený podle osy y. Bude klesající. 4) Graf je zrcadlově převrácený podle osy x. Bude klesající. 5) Graf je posunutý ve směru osy x o 3 doleva. Bude rostoucí. 6) Graf je posunutý ve směru osy x o 2 doprava. Bude rostoucí. 7) Graf je posunutý ve směru osy y o A dolů. Bude rostoucí. 8) Graf je posunutý ve směru osy y o 6 nahoru. Bude rostoucí. 9) Graf se „smrskne" ve směru osy x v poměru 1:3. Bude rostoucí. 10) Graf se „roztáhne" ve směru osy x v poměru 2:1. Bude rostoucí. Příklad 3.4: S využitím úlohy 3.3 rozložte následující funkce jako složení "jednodušších" funkcí. 1. f(x) = \3x-8\ + 2, 3. h(x) = log10(2x + 3) — 5. Nakreslete grafy těchto funkcí. Rozhodněte, zda jsou funkce rostoucí, resp. klesající, případně dejte příklad vhodných intervalů, na kterých je funkce rostoucí, resp. klesající. Řešeni: 1) f = /4 o f3 o f2 o fx, kde fx(x) = 3x, f2(x) = x - 8, f3(x) = \x\, fA(x) = x + 2. Funkce f je rostoucí na intervalu [|,oo) a klesající na intervalu (—oo, |]. 2) g = og3 og2 og1, kde gi{x) = x + 5, #2 0*0 = \, g3(x) = 3x, g^{x) = x + 2. Funkce g je klasající na intervalech (—oo, —5) a (5, oo). 3) h = /i4 o h3 o h2 o fcde hi(x) = 2x, h2{x) = x + 3, h3(x) = log10(x), h^x) = x — 5. Funkce h je rostoucí na celém definičním oboru (—|, oo). Příklad 3.5: 1. Definujte (formálně) pojem „funkce / je rostoucí na intervalu J". 2. Definujte formálně „maximální interval, kde je funkce / rostoucí". 3. U funkcí z příkladů 3.1, 3.2 a 3.4 zjistěte, na kterých maximálních intervalech jsou rostoucí, resp. klesající. 4. Zformulujte precizně tvrzení, že složení rostoucích funkcí (na intervalu) je rostoucí funkce (na intervalu) a větu dokažte. Zejména si uvědomte, jaké všechny předpoklady je třeba uvést. Přesněji: pokud g je rostoucí funkce na intervalu J, kde I C D(g), a dále / je rostoucí funkce na intervalu J C D(f), potom ještě musíme něco předpokládat o množině {g(x); x G /}, abychom mohli dokázat, že f o g je rostoucí na intevalu I. Řešení: 1) Funkce f je rostoucí na intervalu I jestliže (\/x1,x2 G I){xi < x2 f{xi) < f{x2)). 2) I je maximální interval, kde je funkce f rostoucí, jestliže (i) funkce f je rostoucí na I a (ii) pro libovolný interval J obsahující množinu I, na kterém je f rostoucí, platí J = I. 3) Ad 3.1: 3.1.1: Rostoucí na celém definičním oboru D(f) = IR. 3.1.2: Maximální interval, kde je funkce rostoucí, je [—|,oo). Maximální interval, kde je funkce klesající, je (—oo, — |]. 3.1.3: Maximální intervaly, kde je funkce klesající, jsou (—oo, 1) a (l,oo). 3.1.4: Maximální interval, kde je funkce klesající, je (—oo, — 1]. Maximální interval, kde je funkce rostoucí, je [—l,oo). 3.1.5: Rostoucí na celém definičním oboru D(f) = (—2, oo). 3.1.6: Rostoucí na celém definičním oboru D(f) = IR. 3.1.7: Maximální interval, kde je funkce klesající, je (—oo, — |]. Maximální interval, kde je funkce rostoucí, je [—|,oo). 3.1.8: Maximální intervaly, kde je funkce rostoucí, jsou Jfc = \{2k — l)7r,2Äľ7r]; kde k je libovolné celé číslo. Maximální intervaly, kde je funkce klesající, jsou = [2kiT, (2k + 1)tv], kde k je libovolné celé číslo. 3.1.9: Maximální intervaly, kde je funkce klesající, jsou = (—| + kir, | + kir), kde k je libovolné celé číslo. Ad 3.2: Funkce je sudá a stačí si tedy rozmyslet v kladné částí definičního oboru. Maximální intervaly, kde je f je klesající jsou (1,\/TT) a (vTT, oo), Proto maximální intervaly, kde je f rostoucí, jsou (—oo, — \/TT) a (—vTT, — 1). Ad 3.4-' Intervaly zmíněné v řešení příkladu 3.4 jsou maximální intervaly, kde je funkce monotónní. 4) Tvrzení: pokud g je rostoucí funkce na intervalu I, kde I C D (g), a dále f je rostoucí funkce na intervalu J C D(f) taková, že H 1(9) = {9Íx)'-> x £ 1} C J, potom fog je rostoucí na intevalu I. Důkaz: pokud x±, X2 G / takové, že x\ < X2, potom (protože g je rostoucí na I) g(xi) < g(x2). Odtud (protože g{xi),g(x2) G J a f je rostoucí na J) dostáváme f(g(xi)) < f(g(x2)). Příklad 3.6: Nakreslete graf funkce f(x) = 2cos(3x + ^) - 1. Určete všechny maximální intervaly, na nichž je funkce klesající (resp. rostoucí). Určete všechna x G IR splňující f(x) = 0. Určete zejména, kolik je takových reálných čísel v intervalu (0, 2tt). Řešení: Maximální intervaly monotonie: pro každé k G Z je f klesající na intervalu = l^nk— |, |7rA; + ^] a rostoucí na intervalu = [|7rA; + ^, |7rA; + |]. Množina všech řešení rovnice f(x) =0 je je {^nk + ^n; A; G Z} U {^nk + j^n; k G Z}; 6 řešení leží v intervalu (0, 2n), a to lln 19^ Ún 31n a 35^ 18 ' 18 ' 18 ' 18 ' 18 18 Příklad 3.7: Nechť f a g jsou rostoucí funkce na intervalu J, tj. zejména I C D(f) fl D(g). Rozhodněte, zda je rostoucí nebo klesající funkce h daná následujícím předpisem: 1. h(x) = f(x) +g(x), 2. h(x) = f(x) - g(x), 3. h(x) = f(x) ■ g(x), 4. h(x) = —g(x), 5. h(x) = g(x) ■ g(x), 6. h(x) = \g(x)\, 7. h(x) = -7-r. V případech, kdy odpovídáte „ano", se pokuste o formální důkaz. V případech, kdy odpovídáte „ne", dejte protipříklad a navíc se pokuste (přidáním vhodných předpokladů pro funkce / a g) zformulovat platné tvrzení. Řešení: 1) Rostoucí. 2) Volbou f(x) = x, g(x) = 2x (případně naopak) vidíme, že h není rostoucí, ani klesající. Nejde ani přirozeně opravit/doplnit. 3) Volbou f(x) = x, g(x) = x vidíme, že h není rostoucí, ani klesající. Lze opravit: pokud H(f) C (0, 00), H(g) C (0,oo); pak je h rostoucí. 4) Klesající. 5) viz 3. 6) Volbou g(x) = x vidíme, že h není rostoucí, ani klesající. Rozumný předpoklad na doplnění H(g) C (O, oo), aby h bylo rostoucí, tvrzení trivializuje, protože potom g = h. Podobně H(g) C (—oo,0) vede ke klesající funkci popsané předpisem v části ^. 7) Volbou g{x) = x vidíme, že h není rostoucí, ani klesající. Lze opravit: pokud H(g) C (0,oo), pak je h klesající. Příklad 3.8: Nechť g je rostoucí funkce na intervalu J, tj. zejména I C D (g) a nechť c G IR je pevně zvolené reálné číslo. Rozhodněte, zdaje rostoucí nebo klesající funkce h daná následujícím předpisem: 1. h(x) = g{x) + c, 2. h(x) = c — g (x), 3. h(x) = c ■ g (x). Pozor, odpověď se může lišit v závislosti na paramatru c. Řešení: 1) Rostoucí. 2) Klesající. 3) Pro O 0 je h rostoucí; pro c < 0 je h klesající. (Pro c = 0 je h konstantní funkce.) 4 Vlastnosti monotónních funkcí, kvadratické funkce Cvičení konaná 27. a 29. 10., resp. 4.11. 2020. Kontrola řešení a výsledků příkladů z minulé kapitoly. Příklad 4.1: Udejte příklad rostoucích funkcí f a g s definičním oborem IR takových, že funkce h, daná předpisem h(x) = f(x) ■ g(x), je klesající funkce na celém definičním oboru D(h) = R. Nápověda: Pokuste se nejdříve načrtnout grafy vašich funkcí f, g ah. Poté se pokuste vymyslet nějaký vhodný předpis pro tyto funkce (jako složení elementárních funkcí). Řešení: f(x) = g(x) = ^, h{x) = ±. Příklad 4.2: Nechť / je rostoucí funkce na celém definičním oboru D(f) = R s oborem hodnot H(f) = (0, oo). Uvažujme dále funkci g danou předpisem g(x) = x ■ f (x). Dokažte, že funkce g je rostoucí na intervalu I = (0, oo). V důkazu identifikujte krok, kde se využije předpoklad H(f) = (0,oo), a dále krok, kde se využije předpoklad, že I obsahuje pouze kladná reálná čísla. Ukažte, že oba tyto předpoklady jsou nutné. Zejména dejte příklad rostoucí funkce / s definičním oborem D(f) = R, takové, že H(f) obsahuje 0 nebo záporné číslo, pro niž funkce g (x) = x ■ f {x) není rostoucí na intervalu J = (0,oo). Poté zformulujte podobně tvrzení o existenci funkce / v druhém případě a dejte vhodný příklad takové funkce. Řešení: Pro libovolné x1}x2 E /, splňující x i < x2 platí f (xi) < f(x2). Protože X\ > 0 dostáváme X\ ■ f(xi) < X\ ■ f(x2). Z X\ < x2 dostáváme také, vzhledem k předpokladu f(x2) > 0, nerovnostx\-f (x2) < x2- f(x2). Tedy celkem g(xi) = x\- f(xi) 0 a pro a < 0. Určete, jaké maximum nebo minimum tato funkce nabývá a v kterém bodě. Řešení: ax2 + bx + c = a(x2 + \x + f) = a {{x + - ^ + f) = a {{x + + ^) . Odtud při označení D = b2 — Aac dostaneme x + J^ = o, dále vzoreček x = ^h\^ ■ Parabola je otočená („otevřená") nahoru pro kladná a, resp. dolů pro záporná a. „Vrchol" paraboly je v bodě 4ac4ab2], tj. minimum/maximum je 4ac4ab2 = c — kterého nabývá v bodě Příklad 4.4: Určete všechny hodnoty parametru r G IR tak, aby daná nerovnost platila pro všechna x E A. (Kreslete si, jak musí vypadat grafy příslušných kvadratických funkcí.) a) (r + A)x2 - 2rx + 2r - 6 < 0, A = R. b) rx2 - Ax + 3r + 1 > 0, A = (0, oo). c) (r - 2)x2 + rx + 1 - r > 0, A = (0, oo). d) (x - 3r)(x - r - 3) < 0, A = [1, 3]. Řešení: a) r E (—oo, —6), b) r E (1, oo), c) nemá řešení, d) r E (0,1/3). Příklad 4.5: Určete všechny hodnoty parametru r G IR tak, aby nerovnost (rx — l)(x + r) < 0 platila pro všechna x E A. a) A = (0,1). b) A =(-1,1). c) A = (-2, 2). d) A = (0,oo). Rešení: a) r E [0,1], b) r = 1, c) nemá řešení, d) r = 0. Příklad 4.6: Určete, kdy pro řešení x\ < X2 rovnice 2x2 - 2(2a + l)x + a(a-l) = 0 platí x\ < a < X2- Nápověda: Vyznačte na grafu příslušné kvadratické funkce její hodnotu v a. Řešení: a G (—00, —3) U (0, 00). Příklad 4.7: Určete, kdy pro řešení x\ a X2 rovnice (a - 2)x2 - 2(a + 3) x + 4a = 0 platí x\ > 3 a X2 < 2. Řešení: a G (2, 5). Příklad 4.8: Určete, pro která a G IR má následující polynom dvojnásobný kořen (2a - 5)x2 - 2(a - l)x + 3. Řešení: a = 4. Příklad 4.9: Najděte nejmenší celé číslo k, pro něž má rovnice x2 - 2(k + 2)x + 12 + k2 = 0 dvě různá reálná řešení. Řešení: k = 3, diskriminant D = 16(k — 2). Příklad 4.10*: Nalezněte kvadratickou rovnici s celočíselnými koeficienty, jejímž jedním řešením je _ y/5- y/3 Řešení: x\ = 4 — y/TE, X2 = 4 + VTŠ, rovnice x2 — 8x + 1 =0. Příklad 4.11*: Označme a=y3\/2T + 8, 6=y3v^T-8. Dokažte, že součin i rozdíl těchto dvou reálných čísel je celočíselný a určete jej. Zjednodušte algebraické výrazy pro čísla a a b tak, aby obsahovala kromě celých čísel a obvyklých operací již pouze druhé odmocniny. Nápověda: Napište si kvadratickou rovnici s dvojicí řešení a, —b. Řešení: ab = 5, a — b = 1. Potom a = V^I+1> b = ^I-1. První vnitrosemetrální písemka Psaná dne 12.11.2020 na obsah kapitol 1, 3 a 4. 1. Čtverec. Nechť M je množina bodů v rovině, které jsou uvnitř (tj. nikoli na stranách) čtverce se středem v bodě [4, 3], stranou délky 2, jehož úhlopříčky jsou rovnoběžné s osami x a,y. Napište množinu M formálně (tj. body roviny o souřadnicích, které splňují vhodné nerovnosti). Určete dále všechny body s celočíselnými souřadnicemi, které množina M obsahuje. Řešení: Délka úhlopříčky je 2y/2, proto jsou vrcholy čtverce v bodech [4 — y/2, 3], [4, 3 + y/2], [4+\/2,3], [4, 3—y/2]. Směrové vektory stran jsou (1,1) a (1,-1) a jsou na sebe kolmé, proto mají přímky procházející stranou rovnicí bud' x — y = d (pro dvojící stran se směrnicí (1,1)), nebo x + y = d (pro dvojící stran se směrnicí (1, —1)), kde vhodné d se dopočítá dosazením vrcholů. Dvojíce nerovností x — y > 1 — y/2, x — y < 1 + y/2 (ostré nerovností zde jsou, protože nás zajímá vnitřek čtverce bez stran) lze vyjádřit ekvivalentně podmínkou \x — y — 1| < y/2. Podobně dostaneme pro druhou dvojící stran, resp. přímek, podmínku \x + y — 7\ < y/2. Proto M = {[x,y]; \x-y-l\ < y/2, \x + y-7\ < y/2}. DáleMC)ZxZ = {[4,3], [3,3], [5,3], [4,2], [4,4]} 2. Funkce. Mějme funkci f(x) = ^e2x-i_^ ■ Určete její definiční obor, obor hodnot, načrtněte její graf a určete, na kterých maximálních intervalech je tato funkce rostoucí nebo klesající. Řešení: D(f) = IR\{|}, H(f) = (0,oo). Funkce je rostoucí na intervalu (—oo, |) a klesající na intervalu (|,oo). [Graf zhruba vypadá jako hyperbola, která má levou větev překlopenou do druhého kvadrantu a posunutou o 1 směrem nahoru, a obě větve posunuté doprava, neboť funkce není definovaná v bodě | - pro doplnění uveďme, že lim^-oo = 1, lim^i^ = oo, lim^-xx) = 0./ 3. Kvadratická nerovnost. Určete všechny hodnoty parametru r g IR tak, aby nerovnost (r — 2)x2 + rx + 3r + 2 > 0, platila pro všechna x g [3,5]. Řešení: (í) V případě r > 2 je grafem funkce f{x) = (r — 2)x2 + r x + 3r + 2 parabola „otevřená nahoru" (funkce je konvexní) a vzhledem k tomu, že má všechny koeficienty (tj. r — 2, r a 3r + 2) kladné, tak nabývá funkce f na intervalu (0, oo) kladných hodnot. Tím spíše platí nerovnost (r — 2)x2 + rx + 3r + 2 > 0 pro všechna x g [3,5]. (ii) V případě r = 2 je funkce f{x) = 2x + 8 a nerovnost 2x + 8 > 0 opět platí dokonce pro všechna kladná reálná čísla. (ííí) V případě r < 2 je grafem funkce f{x) = (r — 2)x2 + rx + 3r + 2 parabola „otevřená dolů" (funkce je konkávni). Proto je podmínka „\/x g [3,5] : f (x) > 0" ekvivalentní podmínce „f (3) > 0 A /(5) > 0". Po dosazení dostanem požadavky 15r — 16 > 0 a 33r — 48 > 0 a tedy r g ("[1,2) (protože řešíme případ (iii) a y| < || = j^). Celková odpověď (spojením všech tří možností výše) je: r > . 4. Monotonie. Mějme funkci f(x) s definičním oborem D(f) = IR a oborem hodnot H(f) = (0,7r/2) a předpokládejme, že f{x) je klesající na celém definičním oboru. a) Dokažte, že pak funkce cos(/(rr)) je rostoucí na celém definičním oboru. b) Rozhodněte o chování funkce g(x) = c°s^/xna intervalu (0,7r/2). Možné odpovědi jsou, že funkce g (x) je na tomto intervalu buď rostoucí nebo klesající nebo se takto chová jen na části daného intervalu nebo monotonie závisí na volbě funkce f(x). Odpověď je vždy třeba dokázat. Řešení: a) Pro libovolná x±,x2 G IR, taková že x\ < X2, máme f{xi) > f{x2) (neboť f(x) je klesající funkce na celém definičním oboru M), z čehož vyplývá, že cos(/(rri)) < cos(/(0:2)) (neboi cosx je na intervalu (0,7r/2) klesající), b) Označme h(x) = cos(x — 7r/2), což je na intervalu (0,7r/2) funkce rostoucí a kladná; pak pro X\ < x2 z nerovností h(xi) < h{x2) a f{xi) > f{x2) dostaneme h(x1)f(x2) < h(x2)f(xi) a odtud h(xi)/f(xi) < h{x2)f{x2) (nebot f{x) nabývá pouze kladných hodnoty). Tedy cos(x — -k/2)/f(x) je rostoucí funkce na (0,7r/2). 5. Jednociferná čísla. Nechť a,b,c,d jsou různá jednociferná kladná celá čísla taková, že 3 dělí a2 + b2 + c2 + d2. Dokažte, že potom a2 + b2 není dělitelné 3. Řešení: Po delení 3 dává druhá mocnina celého čísla n zbytek 0 (v případe, kdy n je dělitelné 3) nebo 1 (v případě, kdy n není dělitelné 3). Protože jsou naše jednociferná čísla různá, nemohou být všechna čtyři dělitelná 3. Je tedy dělitelné 3 právě jedno z nich. Součet a2 + b2 tak po dělení 3 dává zbyek 1 nebo 2. 5 Funkce s absolutní hodnotou, racionální kořeny celočíselných polynomů Cvičení konaná 3.11, 11.11. a 12.11. 2020. Příklad 5.1: Uvažujme funkci / : IR —y IR danou předpisem f(x) = \2x - 3| - \x + 2| + 110 - 3a;| - 1. 1. Nakreslete graf funkce / : IR —y IR na intervalu [—5, 5]. 2. Najděte obor hodnot funkce /. 3. Určete maximální intervaly, na kterých je funkce / monotónní. 4. Určete, pro která x G IR platí f(x) < 2. Řešení: 2) H(f) = [—|,oo). 3) Klesající na intervalu (—00, y]; rostoucí na intervalu [f,oo).4) {xeR;f(x)<2} = (!,!). Příklad 5.2: Řešte v IR rovnice 1. \x + II - Id + 3b - II - 2\x - 21 = \x + 21, 2. \x2 — Ax + 3 x2 + X -5 = 1 Řešení: 1) x E (-00,-2] u [2, 00). 2) x E {-2/3,1/2,2}. Příklad 5.3: Uvažujme dvě funkce /, g : ir —y ir dané předpisy f (x) = J \x + 1| + \x — 1| J , = J |rr + 1| — \x — 1| | . 1. Načrtněte grafy funkcí f a. g. 2. Najděte obor hodnot těchto funkcí. 3. Najděte maximální intervaly, na kterých je funkce / rostoucí, resp. klesající. 4. Najděte maximální intervaly, na kterých je funkce g rostoucí, resp. klesající. 5. Určete všechna řešení nerovnice g(x) < f(x), tj. I |rr + 1| — \x — 1| I < I |rr + 1| + |rr — 1||. Řešení: 1) Pro x E (—00, —1] je f {x) = —2x, pro x E [—1,1] je f {x) = 2, pro x E [l,oo) je f (x) = 2x. Pro x E (—00, —1] je g{x) = 2, pro x E [—1,1] je g{x) = \2x\, pro x E [1, 00) je f (x) = 2. 2)H(f) = [2,oo), H (g) = [0,2]. 3) Maximálni interval, kde je funkce f klesající je (—00,— 1]. Maximálni interval, kde je funkce f rostoucí je [l,oo). 4) Maximálni interval, kde je funkce g klesající je [—1,0]. Maximálni interval, kde je funkce f rostoucí je [0,1]. 5) Nerovnost platí pro všechna x E ir kromě čísel —1,1 (pro něž platí /(—1) = g{—1) = 2 = /(l) = g(l)). Příklad 5.4*: Určete všechna x E ir, pro která platí 1 H--> 1. x + 1 ~ Řešení: x E ir \ {-1} Příklad 5.5: Najděte nějaký polynom s celočíselnými koeficienty, 1. jehož kořeny jsou 0,1,—1/2, 2. jehož jediný reálný kořen je —1, ale stupeň polynomu je větší než 1, 3. který má trojnásobný kořen 1, 4. jehož kořeny jsou y/2, —la případně další reálná čísla. Řešení: 1) Např. x3(x — l)(2x + l). 2) Např. (x + 1)3 nebo (x2 + l)(x + 1). 3) Např. (x— l)3. 4) Např. (x2 - 2)(x + 1). Příklad 5.6: Dokažte kritérium pro racionální kořeny polynomů s celočíselnými koeficienty: Pokud zlomek ve zkráceném tvaru | je kořenem polynomu / = anxn + an-ixn~1 H-----\-aiX-\-OQ s celočíselnými koeficienty, potom p \ a0 a q \ an. Řešení: Z rovnosti /(-) = 0 dostaneme pronásobením číslem qn rovnost anpn + an_1pn~1q + an-2pn~2q2 + • • • + Oipgn_1 + a0qn = 0. Tedy a0qn = -anpn - an_ipn_1g - an_2pn~V -■ ■■ — a\pqn~x, kde všechny sčítance (všechny tyto sčítance jsou celá čísla) na pravé straně jsou dělitelné p, a proto p dělí a0qn. Protože p a q jsou nesoudělná čísla je totiž zlomek ve zkráceném tvaru), dostáváme, že p dělí a$. Podobně se dokáže q \ an z rovnosti anpn = -an_xpn-xq - an_2pn~2q2-----axpqn-x - a0qn. Příklad 5.7: Najděte všechny racionální kořeny polynomu: 1. 2x3 + x2 - Ax - 3, 2. 27x3 + 27x2 - 4, 3. 4x4 + 7x3 + 2x2 + 7x - 2. Řešení: 1) Adepti podle kritéria: ±1,±3,±|,±|. Vyjde dvojnásobný kořen —1, a jednoduchý kořen |, tedy 2x3 + x2 — Ax — 3 = (x + l)2(2x — 3). 2) Adepti podle kritéria: |, kde p G {1,2,4,-1,-2,-4} a q E {1,3,9,27}. Vyjde dvojnásobný kořen —|, a jednoduchý kořen |, tedy 27x3 + 27x2 - 4 = (3x + 2)2(3a; - 1). 3) Adepti podle kritéria: ±1, ±2, ±|, ±\. Vyjdou jednoduché kořeny —2a\, což dává Ax4 + 7x3 + 2x2 + 7 x — 2 = {Ax — l)(x + 2)(x2 + 1) (a tedy další kořeny jsou komplexní čísla i a —i). Příklad 5.8: Určete všechny hodnoty parametru a G IR tak, aby obě rovnice měly aspoň jedno společné řešení. x2 + ax + 8 = 0, x2 + x + a = 0. Řešení: a = —6 Příklad 5.9: Určete všechny hodnoty parametru a G IR tak, aby obě rovnice měly aspoň jedno společné řešení. (1 - 2a)x2 - 6ax - 1 = 0, ax2 - x + 1 = 0. Řešení: a = -3/4, 0, 2/9 6 Příklady s odmocninami, Vietovy vztahy Cvičení konaná 10.11., 18.11. a 19.11. 2020. Příklad 6.1: Řešte v IR rovnice: 1. y/x + 1 — 1 = \J X — yfx + 8, 2. y/3x + 4 + y/x - 4 = 2Vi, 3. V3a; + 2 = ^ + 3 + 2V2ar + 1. Řešeni: a) 8, b) 4, c) -1/2. Příklad 6.2: Řešte v IR nerovnice: 1. 3 > x + 3 • Vl - a;2, 2. y/x + 3 - Vrr - 1 > V2a: - 1, 3. 1 > x + \/4 - x2. 4. y/2x + 1 - V2a; - 1 > + 4 - A + 2 Äesera: 1) [-1,0) U (3/5,1]. jgj [1,3/2). 5; [-2,±(1 - v/Ť)]- ^ [|,3). Příklad 6.3: Označme x±, x2 řešení rovnice 3x2 + 8x + 4 = 0. Aniž danou rovnici řešíte, určete číslo: 1. X~\~ «2^2 ? 2. X~\~ j 3 J- + J- 4. xi — x2. 6. x2 — x\. Řešení: l)f. 2) -§^. Sj -2. ^ | neĎo -§. 5j -f. tfj f neĎo -f. Příklad 6.4: Označme xi,X2,xs řešení rovnice x3 + 3x2 — 7x — 6 = 0. Aniž danou rovnici řešíte, určete číslo: 1,y 2 I ,y.2 I ,y. 2 ti/~~\ 2 ~~r~ 2* O'3 _|_ ,y.S _|_ ,y>3 • Ju -j^ | t,L 2 I tX/^í 3. ^ + ^ + ^, 3)1 £2 13 ' 4. (rri - x2)2 + (x2 - x3)2 + (rr3 - rri)2, 5,><2,r,2 _i 2 2 _i 2 2 i,l i,l 2 ~~r~ 1,0 ju "p i,l 2 -ĺ, . Äesera: 23. -72. 5; -|. 4) 60. 5j 85. Příklad 6.5*: Nechť polynom x3 + ax2 + bx + c má tři kladné kořeny. Dokažte, že a3 < 27c. Řešeni: Součet kořenů —a i součin —c jsou kladná čísla. Podle AG nerovnosti z příkladu 2.12 platí—a/3 > v^—č- Umocnením na třetí a pronásobením —1 dostaneme požadovanou nerovnost. Původní příklad 6.6. byl odsunut na neurčito, rozhodně nebude v druhém semestrálním testu. 7 Exponenciální a logarimické funkce Cvičení konaná 24. až 26. 11. 2020. Příklad 7.1: Mocniny a exponenciální funkce ax. 1. Pro a > 0 a n G Z definujte an. 2. Je-li a > 1 reálné číslo a, n < m celá čísla, pak an < am. Dokažte. 3. Pro a > 0 reálné a :r = |, p G Z, g G N definujte ď. 4.* Pro a > 0 reálné &, x,y racionální, dokažte, že a^a^ = ax+y a (a:E)ž/ = a^. 5. Pro a > 1 a x E R definujeme ď = supja^ G IR; y G Q, y < x}. Udělejte totéž pro a G (0,1). 6. * Dokažte, že funkce je rostoucí pro a > 1 a klesající pro a G (0,1). 7. * Pro a > 0 reálné a x, y reálná, dokažte, že cŕa^ = ax+y a (a:E)ž/ = a^. 8. Nakreslete graf exponenciální funkce pro různá a. Řešení: Většina podpříkladů je značně náročná. Rozhodně příklad přesahuje požadavky k ukončení tohoto předmětu, a proto nebude tento typ příkladu v písemkách. Příklad 7.2: Logaritmická funkce loga:r. 1. Definujte inverzní funkci k funkci /. 2. Definujte \ogax jako inverzní funkci k exponenciální funkci ď. 3. Jak je to s monotonií logaritmické funkce? Nakreslete grafy logaritmické funkce pro různé základy. Příklad 7.3: Z vlastností exponenciálních funkcí dokažte tyto vlastnosti logaritmických funkcí: 1- loga(^) = ^gax + \ogay. 3. loga(a*) = y loga x. 4. l0g„ X = 7^—. to« logb a 5. log„ b = i-. ton logb a 6. blogaC = clogař). Doplňte vždy chybějící předpoklady na použité parametry a, b, c, x, y. Příklad 7.4: Určete 1. 49Wlo§725. 2. log(logV/?10). 3. 81'°S5 3. 4. log2| + log4f. 5 32 log3 2+log3 5 _ 1 1 1 6 —— + log23 log49 log83 7. 36logs5 + 101_logl°2 — 3loS936. Řešení: 1) ff. 2) -1. 5; 625. ^ 0. 5J 20. -log32. 7) 24. 8 Exponenciální a logarimické funkce — dokončení Cvičení konaná 1. až 3. 12. 2020. Příklad 8.1: Pomocí čísel a, b, c vyjádřete x: 1. x = log100 40; a = log2 5. 2- x = log6 16; a = log12 27. 3. x = \og^; a = log2, 6 = log3, c = log5. 4. x = log140 63; a = log2 3,6 = log3 5, c = log7 2. iíeW: j; |g. ž; 5; -(2a+ 6 +2c). 4) ^L_. Příklad 8.2: Řešte v IR rovnice: 1. 4X + 2X+1 = 24. 2. I^2-2* = 1. 3. 6 • 9X - 13 • 6X + 6 • 4X = 0. 4- (ir+i=2*. Řešeni: 1) 2. ^ — 1, 1, 2. 3) 1, —1. ^ i (lze snadno ukázat, že má právě jedno řešeni). Příklad 8.3: Řešte v IR rovnice: 1. log5 + \og(x + 10) = 1 - log(2x - 1) + log(21x - 20). 2- log0,5x ^2 - 14 logi6x ^3 + 40 log4x y/x = Q. 3. 15logs3 • ^i+iogsí^) = 1. 4. log \/l + x + 3 log \/l — x = log \/l — x2 + 2. flesera: 1) 3/2, 10. \/2/2, 1, 4. 5; 1/15, 1/3. ^ nemá řešení. Příklad 8.4: Řešte v IR nerovnice: 1 -L- < 1 3^+5 — 3X + 1-l^ 2. 8X + 18x - 2 • 27x > 0. 3- log(:c_2)(2x - 3) > log(:c_2)(24 - 6x). 4. xlog2x > 2. Řešení: 1) (-1,1]. -2; (-00, 0). 5; (2,3) U (27/8,4). ^ (0,1/2) U (2, 00).