Príklad 1
Vyšetrime konvergenciu funkcionálneho radu
∞∑
n=1
1
nx
, x ∈ R. (1)
Riešenie:
Stanovíme najprv obor bodovej konvergencie radu funkcií (1). Zrejme pre
žiadne x ≤ 0 nie je splnená nutná podmienka konvergencie radu (1), keďže
lim
n→∞
1
nx
=
{
1, x = 0,
∞, x < 0,
}
̸= 0,
a teda v tomto prípade daný rad diverguje (samy overte :)). Na druhej strane,
pre x > 0 môžeme aplikovať Cauchyho integrálne kritérium, keďže každá z
funkcí fx(t) := 1/tx
, x > 0, je nezáporná a nerastúca na intervale [1, ∞).
Okrem toho platí (detaily overte samy :))
∫ ∞
1
fx(t) dt =
∫ ∞
1
1
tx
dt =
{
∞, x ∈ (0, 1],
1
x−1
, x > 1.
Funkcionálny rad (1) v zadaní príkladu má teda za obor (bodovej) konvergencie
otvorený interval (1, ∞). Okrem toho, na každom konečnom a uzavretom
intervale I ⊂ (1, ∞) konverguje dokonca rovnomerne (samy overte využitím
Weierstrassovho kritéria rovnomernej konvergencie funkcionálneho radu
:)). Priamo z definície teraz dokážeme, že rad (1) na celom svojom obore
konvergencie (1, ∞) nekonverguje rovnomerne. Ukážeme to sporom. Predpokladajme,
že rad (1) konverguje rovnomerne na (1, ∞). To znamená, že pre
každé ε > 0 existuje index N ∈ N tak, že pre každý index n ≥ N a každé
m ∈ N platí nerovnosť
1
(n + 1)x
+
1
(n + 2)x
+ · · · +
1
(n + m)x
< ε pre každé x ∈ (1, ∞).
Nakoľko členy radu (1) sú kladné, nemusíme písať absolútnu hodnotu, t.j.,
1
(n + 1)x
+
1
(n + 2)x
+ · · · +
1
(n + m)x
< ε pre každé x ∈ (1, ∞).
1
Každý člen na ľavej strane poslednej nerovnosti je pre každé dané n, m a
x ∈ (1, ∞) väčší alebo rovný než zlomok 1
(n+m)x . Preto platí
1
(n + m)x
+ · · · +
1
(n + m)x
m členov
≤
1
(n + 1)x
+ · · · +
1
(n + m)x
< ε
⇓
m
(n + m)x
< ε pre každé x ∈ (1, ∞).
Zvoľme ε := 1/3 a pre každé dané n ≥ N položme m := n. Platí teda
n
(n + n)x
=
n
(2n)x
<
1
3
pre každé n ≥ N a každé x ∈ (1, ∞). (2)
Pre každé n ∈ N zrejme číslo 1 + 1
n
∈ (1, ∞). Zvoľme preto pre každé dané
n ≥ N hodnotu x := 1 + 1
n
. Potom podľa (2) máme
n
(2n)1+ 1
n
<
1
3
⇐⇒
1
21+ 1
n · n
1
n
<
1
3
pre každé n ≥ N.
Limitovaním poslednej rovnosti pre n → ∞ dostávame
lim
n→∞
1
21+ 1
n · n
1
n
<
1
3
⇓
1
21+0 · 1
<
1
3
⇐⇒
1
2
<
1
3
. . . spor!!!
To znamená, že rad (1) nemôže konvergovať rovnomerne na celom otvorenom
intervale (1, ∞). Všimnime si, že v prípade uzavretého intervalu typu [a, ∞)
pre dané a > 1 nenastáva žiadny problém, pretože hodnota x = 1 + 1
n
patrí
do [a, ∞) iba pre konečne veľa indexov n, avšak nie pre všetky n ∈ N.
2