Príklady na precvičovanie — nevlastné viacrozmerné Podobne ako v analýze funkcií jednej reálnej premennej i v integrálnom počte funkcií viac premenných je prirodzenou nadstavbou štandardnej teórie problematika nevlastných viacrozmerných integrálov. Klasická definícia dvojného integrálu z funkcie f (x, y) na neprázdnej množine Q G IR2 vyžadovala dva dôležité predpoklady: • Množina Q je merateíná, a teda nutne ohraničená v IR2. • Funkcia f (x,y) je ohraničená na množine Q. Mnohokrát je však žiadúce nejakým rozumným spôsobom zadefinovať dvojný integrál jJQ f (x, y) dxdy aj v prípade, keď aspoň jeden z týchto predpokladov je porušený. Rozlišujeme dve základné situácie. Nevlastný dvojný integrál — neohraničený integračný obor Nech teda množina Q G IR2 je neohraničená a nech funkcia f (x, y) je definovaná na celom Q a Uvažujme nejakú postupnosť meratefných podmnožin {Mn}^=1 množiny Q, t.j., Mn C fž pre každé n G N. Povieme, že postupnosť {Mn} vyčerpáva množinu Q, ak pre každý (otvorený) kruh K so stredom v bode [0, 0] existuje index tik taký, že pre každý index n > n k platí inklúzia fž H K C Mn. Premyslíme si, čo vlastne hovorí táto definícia :). Je zrejmé, že čím väčší polomer bude mať kruh K, tým viac bodov z množiny Q sa bude nachádzať vo vnútri K (to je vyjadrené prienikom Q H K a zaručené neohraničenos-ťou množiny fž). Vždy však bude existovať dostatočne veľký index tak, že všetky tieto body množiny Q budú obsiahnuté v každej množine Mn s indexom n väčším (nanajvýš rovným) než tik (to je reprezentované inklú-ziou Q H K C Mn). To znamená, že postupným zakresľovaním množín Mn budeme čoraz viac „vyčerpávať" množinu Q :) (pokúste sa samy ilustrovať tieto skutočnosti pomocou vhodného obrázku ;)). Nech teda {Mn} je nejaká postupnosť merateľných podmnožin, ktorá vyčerpáva množinu Q. Uvažujme číselnú postupnosť {Jn} definovanú integrály integrovateľná na každej merateľnej podmnožině M C. Q. 1 (číslo In je pre každé n G N definované korektne, nakoľko podľa predpokladu (1) je funkcia f (x, y) integrovateľná na merateľnej množine Mn). Potom hovoríme, že nevlastný integrál jjQ f (x, y) dxdy konverguje (alebo tiež existuje), ak pre každú takúto postupnosť {Mn} existuje konečná limita J := limn^oo In, pričom táto limita nezávisí na výbere postupnosti {Mn}. V tomto prípade číslo J nazývame hodnotou nevlastného integrálu jjn f (x, y) dxdy a píšeme / / f(x, y) dxdy = lim In = I. J Jíi n^°° V opačnom prípade, t.j., ak aspoň pre jednu postupnosť {Mn} je limita limn^00 In nevlastná, resp. vôbec neexistuje, alebo ak hodnota limn^00 In závisí na výbere postupnosti {Mn}, hovoríme, že daný nevlastný integrál jjQ f (x, y) dxdy diverguje (alebo aj neexistuje). Vidíme teda, že na to, aby sme ukázali konvergenciu nevlastného integrálu jjQ f (x, y) dxdy je vo všeobecnosti nutné preveriť všetky postupnosti merateľných množín {Mn}, ktoré vyčerpávajú množinu Q :-j. Avšak v prípade, keď funkcia f (x, y) nemení znamienko na Q, je situácia veselšia :). Konkrétne, dá sa dokázať, že ak platí f{x,y) > 0, resp. f (x,y) < 0, pre každý bod [x, y] G Q, potom nevlastný integrál jJQ f (x, y) dxdy konverguje práve vtedy, keď aspoň pre jednu uvedenú postupnosť {Mn} existuje konečná limita J = limn^oo In. Toto pozorovanie má význam najmä pri praktickom výpočte neurčitých integrálov. Nevlastný dvojný integrál — neohraničená funkcia Budeme sa zaoberať najjednoduchšou situáciou - množina Q je ohraničená a funkcia f (x,y) má v Q (uzáver množiny Q v IR2) práve jeden singu-lárny bod A. To znamená, že pre každé okolie O (A) bodu A platí, že funkcia f (x,y) nie je ohraničená na množine Q H O (A). Ďalej budeme predpokladať, že funkcia f (x,y) je integrovateľná na Q \ M pre každú merateľnú množinu M, ktorá vo svojom vnútri obsahuje bod A. (2) Uvažujme nejakú postupnosť merateľných množín {Mn}. Hovoríme, že postupnosť {Mn} sa zmršťuje do bodu A, ak A je vnútorným bodom každej z množín Mn a postupnosť priemerov d(Mn) konverguje do nuly. Nechávame na čitateľa, aby si sám premyslel (napríklad i pomocou vhodného obrázku), že uvedené pomenovanie skutočne vystihuje túto definíciu :). Množiny 2 Mn sa budú s rastúcim indexom n neobmedzene čoraz viac sťahovať okolo bodu A ako lačné vnútra smrteľných slučiek :). Nevlastný dvojný integrál Iln fixiV) dxdy potom definujeme v podobnom duchu ako v prípade neoh-račeného integračného oboru. Pre nejakú postupnosť merateľných množín {Mn}, ktorá sa zmršťuje do bodu A, zostrojíme číselnú postupnosť (vlastných) dvojných integrálov ln ■= // f (x, y) dxdy, n E N. Nevlastný integrál jjQ f (x, y) dxdy konverguje (existuje), ak pre každú uvedenú postupnosť {Mn} existuje konečná limita J := lim^oo In, ktorá nezávisí na výbere postupnosti {Mn}. V tomto prípade píšeme f (x, y) dxdy = lim In = I. n—>oo Inak hovoríme, že nevlastný integrál diverguje, resp. neexistuje. Obzvláť, ak je funkcia f (x,y) nemení znamienko na množine Q \ {A}, stačí vyšetriť -podobne ako v prípade neohraničeného integračného oboru - len jednu postupnosť {Mn}, ktorá sa zmršťuje do bodu A. Pre obidva typy vyššie definovaných nevlastných integrálov je nutné poznamenať jednu prekvapujúcu a na prvý pohľad možno paradoxnú skutočnosť. Podobne ako pre klasický jednorozmerný nevlastný integrál, zavedený v Matematickej analýze I, tak i pre viacrozmerné nevlastné integrály definujeme ich absolútnu konvergenciu. Presnejšie, nevlastný dvojný integrál lín fixiV) dxdy konverguje absolútne, ak konverguje nevlastný integrál \f(x,y)\dxdy. n Nie je nič nové pod slnkom, že z absolútnej konvergencie vyplýva „štandardná" konvergencia, t.j., platí implikácia / / \f{xi y)\ dxdy konverguje j j f (x, y) dxdy konverguje. J J n J J n Omnoho prekvapivejšia je však skutočnosť, že z vyššie uvedených definícií nevlastných integrálov nutne vyplýva i platnosť opačnej implikácie. Inak povedané, v tomto prípade platí ekvivalencia / / \f(x,y)\dxdy konverguje <í=^ / / f (x, y) dxdy konverguje. J J n J J n 3 Tento výsledok platí dokonca i pre jednorozmerné nevlastné integrály. V Matematickej analýze sme sa však stretli s nevlastnými integrálmi, ktoré boli konvergentné, ale neboli absolútne konvergentné. Napríklad nevlastný integrál smrr x dx konverguje, ale nevlastný integrál smi x dx diverguje (samy sa pokúste ukázať :)). Aká je teda pravda? :) Kľúčom k tejto zdanlivej záhade je pozorovanie, že ak aplikujeme vyššie uvedené definície nevlastných integrálov na jednorozmerný prípad, nedostaneme klasické definície nevlastných integrálov, predstavené v Matematickej analýze I, ale omnoho všeobecnejšie definície. Podľa tejto novej definície obidva nevlastné integrály smrr dx, x siní x dx diverguji!, a teda nenastáva nijaký spor :). Nechávame na čitateľa, aby si pripomenul klasické definície nevlastných integrálov z Matematickej analýzy I a pozorne ich porovnal s novými definíciami ;). Riešené príklady Príklad 1 Vypočítajme nevlastný dvojný integrál 1= xy e~x2~y2 dxdy, J J n kde množina Q = [0, oo) x [0, oo). Riešenie: Funkcia f (x, y) = xye~x ~y je spojitá na množine Q a ohraničená na každej ohraničenej podmnožině v Q (samy overte :)). Preto je splnený predpoklad (1), t.j., f (x,y) je integrovateľná na každej merateľnej podmnožině v Q (i toto si samy premyslite ;)). Keďže naviac je funkcia f (x,y) nezáporná na 4 oblasti Q, stačí podľa úvodných poznámok preveriť len jednu postupnosť merateľných množín {Mn}, ktorá vyčerpáva množinu Q. Uvažujme systém množín M„ C Q tvaru Mn := [0,n] x [0,n], n E N. Merateľnosť každej z podmnožin Mn je zrejmá (samy overte :)). Ukážeme, že postupnosť {Mn} vyčerpáva množinu Q. Pre dané R > 0 uvažujme otvorený kruh K so stredom v bode [0, 0] a s polomerom R a položme n k '■= [R\ + 1 (výraz [R\ značí celú časť reálneho čísla R, t.j., najväčšie celé číslo nepresahujúce R; v našom prípade je prirodzené číslo ostro väčšie než R :)). Potom platí Q C\ K C. Mn pre každé n > (samy sa přesvědčte pomocou vhodného nákresu ;)). Postupnosť {Mn} teda podľa definície v úvode skutočne vyčerpáva množinu Q. Pomocou Fubiniho vety postupne máme xye —x2—y2 i i Fubini xye -x2-y2dx dxdy 'n xe~x^dx^j ye~y2dy pre každé n G N (samy overte detaily výpočtu :)). Následne platí dy e x2 n 2 0 2 4 0 lim J„ lim n—>oo 1 4 1 4' Teda nevlastný dvojný integrál v zadaní príkladu konverguje s hodnotou I = II xye x2 y2dxdy = -. n 4 Príklad 2 Stanovme hodnotu nevlastného dvojného integrálu "dxdy. 5 Riešenie: Postupujeme analogicky ako v predchádzajúcom príklade. V tomto prípade opäť množina Q í0 x K0 [0, oo) x [0, oo) a funkcia f (x,y) = e -x"-y je nezáporná a spojitá na Q. Preto je f (x, y) integrovateľná na každej merateľnej podmnožině M C O (samy overte :)). Budeme teraz uvažovať podmnožiny Mn tvaru Mn := {x2 + y2 = n2, x > 0, y > 0}, n E N, t.j., uzavreté štrťkruhy v prvom kvadrante so stredmi v bode [0,0] a s polomermi n, kde n E N. Nechávame na čitateľa, aby si premyslel, že každá z množín Mn je merateľná a že postupnosť {Mn} vyčerpáva množinu Q :). Ďalej určíme pre každé n G N dvojný integrál dxdy. M„ Na jeho výpočet využijeme transformáciu do polárnych súradníc x = p cos

oo 7T lim — • (1 n—>oo 4 ) 4' nevlastný integrál v zadaní príkladu konverguje a má hodnotu dxdy 7T 4" Príklad 3 Overme existenciu tzv. Poissonovho integrálu 1= / e-i2dŕ. Jo 6 Ďalej dokážme platnosť (Fubiniho) identity *dxdy oo e-i2dŕ o ŕ. (3) S jej pomocou potom určme hodnotu Poissonovho integrálu J. Riešenie: Metódami Matematickej analýzy I sa dá ukázať platnosť nerovnosti e* > 1 + t pre každé nezáporné reálne číslo t (pokúste sa samy dokázať :)). Následne, dostaneme nerovnosti e*2 > 1 +12 0 < e"*2 < —í— pre každé t G R 1 +t2 (samy si pozorne premyslite ;)). A keďže nevlastný integrál °° 1 7T -- dŕ = [arctgŕl^ = - o 1 +t2 [ & Jo 2 konverguje, podľa porovnávacieho kritéria konverguje i nevlastný integrál e-*2dŕ o (samy overte na základe poznatkov z Matematickej analýzy I :)). Tým sme overili existenciu Poissonovho integrálu J. Okrem toho z uvedenej analýzy vyplýva i odhad 0 < / < | :). Dokážeme ďalej platnosť rovnosti (3). V Príklade 2 sme ukázali konvergenciu a určili hodnotu nevlastného dvojného integrálu na ľavej strane formuly (3). Podľa definície v úvode dokumentu to znamená, že pre každú postupnosť merateľných množín {Mn}, ktorá vyčerpáva množinu Q := Mq x Mq, platí -x2-y2ArAi, = Um / / P-*2-y2 áxáy = lim / / e x y dxdy n^°°JJMn (samy si overte :)). Uvažujme postupnosť {Mn} z Príkladu 1. Potom máme *-x2-y2dxdy Fu=im lim / ( / e~x2~y2dy) dx 7 o = lim / e x dx • / e y dy n^°° [ \Jo ) \Jo (samy si pozorne premyslite jednotlivé argumenty a kroky ;)). Na druhej strane, z konvergencie Poissonovho integrálu J vieme, že 1=1 e^dt = lim ( / e~í2dŕ t.j., uvedená limita existuje a je konečná. Kombináciou posledných dvoch rovností teda dostaneme dxdy lim n—>oo e x dx lim | / e ř dí n—>oo lim n—>oo e 9 dí/ oo n 2 e-*2dŕ čo potvrdzuje platnosť formuly (3) (premenovaním integračných premenných x, y na t sa hodnota určitého integrálu nemení ;)). Napokon, využitím výsledku z Príkladu 2 odvodíme e x2 v2dxdy Platí teda takáto pekná identita e"4 dŕ Príklad 4 Dokážme konvergenciu tzv. Fresnelových integrálov OO ľOO cosŕ2dŕ, J = / sinŕ2dŕ. o Jo Riešenie: Dokážeme konvergenciu nevlastného integrálu I = J0°° cos ŕ2 dŕ. Daný integrál môžeme intuitívne vyjadriť ako súčet ??? ľ1 cos t2 dt = / cos t2 dt + / cos ť dŕ. 8 Troch otáznikov nad symbolom = sa môžeme zbaviť jedine vtedy, keď ukážeme existenciu oboch integrálov na pravej strane uvedenej rovnosti :). Nakoľko funkcia cos ŕ2 je spojitá na intervale [0,1], určitý Riemannov integrál J01cosŕ2dŕ bez problémov existuje a má konečnú hodnotu. V druhom, nevlastnom integrále cos ŕ2 dŕ vykonáme substitúciu ŕ = y/u, t.j., cos ŕ dŕ t = y/u dŕ = 1 ^ 1, ■7TT= du OO ^ OO COS u 2yftL du. Všimnime si účelnosť rozdelenia pôvodného nevlastného integrálu na dva integrály. Uvedená substitúcia totiž nie je použiteľná na celom intervale [0, oo) (samy si premyslite :)). Vzniknutý nevlastný integrál teraz vyšetríme pomocou Díríchletovho kritéria, známeho z Matematickej analýzy I. Položme /(«) cos u, 9W Funkcia f [u] je iste spojitá na [1, oo), a teda určitý integrál J"p f [u] du ako funkcia hornej hranice p existuje pre každé p G [1, oo). Naviac je rovnomerne ohraničený vzhľadom na p na [1, oo). V ľudskej reči to znamená, že f (u) du f (u) du cos u du = [sin p\\ = sin p — sin 1, |smp sin 1| < | sinp| + | sin 1| < 2, oo cos ŕ dŕ lim n—>oo sin ŕ dŕ existujú a sú konečné (samy si premyslite :)). Preto i lim^oo In existuje a je konečná. Výborne, takže nevlastný dvojný integrál v zadaní príkladu konverguje a sme v pohode :)... alebo nie? Čo sa bude diať, keď namiesto uvažovanej postupnosti {Mn} použijeme postupnosť {iVn} z Príkladu 2, konkrétne, zoberieme {x2 + y2 n x>0,y>0}, neN ??? Využitím transformácie do polárnych súradníc a Fubiniho vety máme J n = s'm(x2 + y2) dxdy J Jn„ x p cos p, y = psmip, jakobián J = p, 0 1 je dané reálne číslo. Uvažujme (vlastný) trojný integrál 1 nR (x2 + y2 + z2)' dxdydz, kde množina fž# je uzavreté „medzigulie :)" so stredom v bode [0,0,0] a s polomermi 1 a f?, t.j., QR ■= {[x,y,z] e R3, 1 |, pričom v tomto prípade J = 2^3- Príklad 7 Vypočítajme nevlastný trojný integrál 1 in (1 + x + y + z) kde množina íž = [0, 00) x [0, 00) x [0, 00). - dxdydz, Riešenie: Postupujeme analogicky ako v predchádzajúcom príklade. Pre dané kladné reálne číslo R uvažujme štvorsten flR daný í), x + y + z0, y>0, z > 0, a nech IR = JJJnR {1+xly+zy dxdydz. Keďže funkcia f {x,y, z) = ^+x^+zyr je nezáporná, platí J = lim^oo Ir (samy si premyslite :)). Množina Vír je zrejme elementárna oblasť vzhľadom na každú súradnicovú rovinu. Napríklad ako elementárna oblasť vzhľadom na rovinu xy má reprezentáciu 0 < x < R, QR : l 00 X (samy overte :)). Preto postupnosť určitých integrálov ^ 'sin x I o Jo J n '■= / f(x)dx= / -dx, n E N x je korektne definovaná. Keďže funkcia f (x) je nezáporná na intervale [0, oo), číselná postupnosť {Jn} je nezáporná a neklesajúca (samy overte :)). To znamená, že limita limn^oo Jn existuje a je buď konečná alebo oo (i toto si samy premyslite ;)). Divergencia nevlastného integrálu J je teda ekvivalentná s limn^00 Jn = oo. Za týmto účelom sa pokúsime vhodne zdola ohraničiť integrály Jn. Nechávame na čitateľa, aby pre každé k EN0 overil relácie Isinrrl 1 . . . . ,, . , > j--r— • | smrr|, x E [kir, [k + lj7r|, x (k + l)n 16 (fc + l)7T I sinx\ dx = 2. Využitím týchto pozorovaní potom pre každý index n máme ľ1* I sin d , ^ rk+1^ I sin d Jn = / -dx = y. \ - 0 ^ fc=0Jfer :(feTí>-lsin:El n_1 /-(fc+l)7r r ^ 1 n_1 ]_ /-(fc+l)^ > > /---—-(smrcl dx = >---—• / Isinrrldrr n—l „ „ n—1 A 2 _2 ^ 1 _2 AI ^(A; + l)7r_7r ^ k + 1 ~ n k=0 v y k=0 k=l kde v poslednom kroku sme posunuli indexáciu k i—>• A; + 1 (samy pozorne overte jednotlivé výpočty :)). Odvodili sme teda odhad 2 .n ^ 12/ 11 1 \ Jn>--V- = --H---1---1-----h - ) pre každé n G N. 7T k 7T V 2 3 n / fc=i v 7 A nakoľko harmonický rád ^2 ^ diverguje k oo, môžeme usúdiť, že skutočne limn^oo Jn = oo (samy si premyslite ;)). Preto nevlastný integrál J diverguje (k oo). Dirichletov integrál I teda podľa klasickej definície z MA I konverguje neabsolútne. Na druhej strane nevlastný integrál J diverguje i podľa novej definície v úvode dokumentu. Vyplýva to jednak z nezápornosti funkcie f (x) na množine Q = [0, oo), a jednak zo skutočnosti, že postupnosť merateľných množín {Mn} definovaná Mn := [0, rar], n e N, vyčerpáva množinu Q (samy overte :)) a spĺňa lim / f (x) dx = lim / f (x) dx = lim Jn = oo, n^°° Jm„ n^°° J o n^°° 17 ako sme práve ukázali. Podľa poznámok v úvode dokumentu teda v rámci novej definície musí nutne divergovat' i Dirichletov integrál J. Príklad 10 Stanovme nevlastný dvojný integrál 1 ln- _ n \Jx2 + y2 dxdy, kde množina Q má vyjadrenie x2 + y2 < 1. Riešenie: Množina Q je zrejme uzavretý kruh so stredom v bode A = [0,0] a s polomerom 1. Funkcia f (x,y) = ln —= je definovaná a spojitá na Q \ {A}, y/x2+y2 pričom bod A je zrejme singulárnym bodom funkcie f {x, y) (samy overte :)). Okrem toho je splnená podmienka (2) (i toto si samy premyslite ;)). A keďže f {x, y) je nezáporná na fž\{A}, stačí preveriť nejakú jednu postupnosť {Mn} merateľných množín, ktorá sa zmršťuje do bodu A. Uvažujme napríklad Mn:= ■>[x,y]eR2, x2 + y2< 1 n G N. (n + l)2 Zostrojíme príslušnú postupnosť (vlastných) dvojných integrálov 1 ln dxdy. 'n\Mn \Jx2 + y2 Nakoľko množina Q \ Mn je zrejme uzavreté medzikružie s vyjadrením ( 7i— ln(7r — ŕ) ' vyplýva podľa limitného porovnávacieho kritéria absolútna konvergencia nevlastného integrálu f (t) dŕ. V kombinácii s predchádzajúcim výsledkom teda existuje aj nevlastný integrál /»7r/2 /»7T— 1 /»7T /»7T /»7T / /(ŕ)dŕ+ / f(t)dt+ / f(t)dt= / /(ŕ)dŕ= / lnsinŕdŕ JO J-k/2 J-k-1 JO Jo p7r/2 ťTT—l L/2 -*- >-v-' konverguje vlastný integrál (samy si všetky tieto argumenty pozorne premyslite :)). Pristúpime teraz k samotnému výpočtu integrálov v zadaní príkladu. Označme /»7r/2 /»7T I := / lnsinŕdŕ, J := lnsinŕdŕ. Jo Jo Aplikáciou substitúcie u = ^ — ŕ sa prvý integrál transformuje I u = I — ŕ, du = —dŕ, (W tt/2, tt/2^ 0 0 c* \ r12 ln sin--u) du = / ln cos u du tt/2 v2 / J0 22 (samy si premyslite; zároveň overte existenciu integrálu j^2 ln cos u du ;)). Odvodili sme teda zaujímavú identitu 7r/2 ln sin t dt k/2 Jej využitím následne dostávame f7r/2 /.7I-/2 ln cos t dt pirfZ i>k/Z i>k/2 21 = ln sin t dt + / ln cos tdt = (ln sin t + ln cos ŕ) dŕ Jo Jo Jo /.tt/2 /.tt/2 /-^ \ y ln(sin ŕ • cos ŕ) dŕ = J ln ^- • sin 2t J dt tt/2 / 1 ln - + ln sin 2ŕ ) dŕ tt/2 fl ln f - I dŕ ■k/2 ln sin 2ŕ dŕ 'o V * / Jo \*/ Jo (samy overte výpočty :)). Rozdelenie na dva integrály v poslednom kroku je korektné, nakoľko integrály I a J"*7'2 ln (|) dŕ sú konvergentné; konvergovat' teda musí i nevlastný integrál f^2 ln sin 2ŕ dŕ :). Avšak pomocou substitúcie u = 2ŕ sa tento integrál transformuje k/2 In sin 2ŕ dŕ o Platí teda formula Ck/2 21 o u = 2t, du = 2dt, 0 0, 7ľ/2 ^ 7T ln ( - J dŕ + -2 J 2 1 2 2J In sin -u du = — — • n2 + -. 2 2 Na druhej strane, rozpísaním integrálu J dostávame ľk/2 J In sin ŕ dŕ In sin ŕ dŕ In sin tdt = I k/2 In sin ŕ dŕ . tt/2 konverguje Pomocou substitúcie u = t — | sa integrál j\2 lnsinŕdŕ transfromuje In sin ŕ dŕ 'tt/2 u = t — |, dtí = dŕ, 7r/2^0, 7T^7r/2 tt/2 7T In sin (-u + — j du 23 f 7r/2 ln cos udu = I, 'o podľa vyššie odvodenej identity (samy overte :)). Platí teda i rovnosť J = 1 + 1 = 21. Kombináciou s predchádzajúcou formulou napokon dostávame n 21 7T 21 =---ln2 + — =>■ 1 =--bi 2, 2 2 2 a následne J = 21 = —7rln2 :). Príklad 13 Určme hodnotu nevlastného dvojného integrálu 1 = lnsin(x — y) dxdy, J J n kde množina fž má vyjadrenie 0 < y < x < -k. Riešenie: Množina Q je zrejme oblasť pod grafom funkcie y = x na intervale x G [0, 7r]. Je to teda elementárna oblasť vzhľadom na obe súradnicové osi (samy overte nakreslením obrázku :)). Množina fž je teda merateľná. Integrovaná funkcia f (x,y) = lnsin(x — y) je definovaná a spojitá na celom fž okrem bodu [tt,it] a bodov na priamke y = x patriacich do Q. Vo všetkých týchto bodoch je f (x,y) neohraničená - uteká do — oo. Čelíme teda prípadu s nekonečným počtom singulárnych bodov :-/. Významným pozorovaním je skutočnosť, že funkcia f (x,y) nemení znamienko na množine fž, konkrétne je nekladná na íž (v bodoch, v ktorých nie je definovaná, uniká do — oo :)). Skúsme formálne vykonať zámenu premenných x = u, y = u — v, kde u, v sú nové integračné premenné. Množina fž sa transformuje na množinu íž*, ktorá má v rovine uv rovnakú reprezentáciu ako fž v rovine xy, t.j., Q* : 24 (samy si pozorne premyslite a nakreslite obrázky oboch množín fž a fž* ;)). Jakobián uvedenej tranformácie je J(u, v) xu xv y'u y'v -i -1^0 takže uvedená transformácia je prostá a regulárna na celom IR2, a teda pre nás vhodná. Pre dvojný integrál J v zadaní príkladu potom formálne platí / / ln sin [tí — (u — v)] \J(u,v)\ dudv = J J n* J Jn* ln sin-u dudv. Všimnime si, že podobne ako f (x, y), i funkcia g(u,v) = ln sin v je nekladná na množine fž*. Tieto fakty spolu s regulárnosťou danej transformácie potom implikujú, že nevlastné dvojné integrály / / ln s'm(x — y) dxdy, / / ln sin-u d-ud-u J Jn J J n* buď obidva konvergujú alebo obidva určito divergujú k — oo. Ak napríklad jjnt ln sin-u d-udi; konverguje, musí nutne konvergovat i transformovaný integrál jjnt ln sin v dudv a naopak (samy si premyslite :)). To potom znamená, že rovnosť J = JJQt lnsinwdwďi; platí „skutočne", nielen iba formálne :). A keďže premenovaním integračných premenných sa hodnota integrálu nemení, dostávame identitu // lnsin(x — y) dxdy = // ln sin y dxdy JJn JJn (4) (samy overte; premenné u, v premenujeme na x, y, množina fž* je potom totožná s množinou fž :)). Pre posledný dvojný integrál teraz uvažujme takúto transformáciu x = n — u, y = n — v. V tomto prípade sa množina fž transformuje na množinu fž**, ktorá má v rovine uv vyjadrenie ' 0 < V < 7T 0 < u < v Nechávame na čitateľa, aby overil, že množina fž** má v rovine uv rovnakú reprezentáciu ako obraz množiny fž v stredovej súmernosti podľa bodu [tt, tt] 25 (opäť samy zakreslite obidve množiny Q a Q** :)). Pre jakobián tejto transformácie platí J{u, v) Xu Xv -1 0 y'u ů 0 -1 1^0. Jedná sa teda opäť o prosté a regulárne zobrazenie, pričom dvojný integrál jJQ ln sin y dxdy nadobudne formálne tvar 1= lnsin(7r — v) | J {u, v)\ dudv = j j ln sin-u d-ud-u J J n** J J n** (samy overte ;)). Táto rovnosť z podobných dôvodov ako vyššie platí „naozaj", nielen formálne (funkcia g(u, v) = ln sin v je nekladná na množine fž**, a teda nevlastné dvojné integrály J a ln sin-u d-ud-u buď oba konvergujú alebo oba určito divergujú k — oo :)). Premenovaním integračných premenných u, v na x, y získame formulu ln sin y dxdy, (5) kde množina A, ako premenovanie množiny fž**, je obraz množiny Q v stredovej súmernosti podľa bodu [tt,tt] (samy overte ;)). Platí teda Q U A = S, kde S je štvorec [0, tt] x [0, tt], a miera množiny fž H A je nulová (samy si premyslite :)). Kombináciou identít (4) a (5) potom máme 21 ln sin y dxdy 7 = 1 2 ln sin y dxdy ln sin y dxdy ln sin y dxdy (6) Náš úvodný problém sme teda previedli na stanovenie nevlastného integrálu jJ's ln sin y dxdy. Uvažujme štvorec M£ := [e, n — e] x [e, n — e], kde pre nejaké dané e G (0, tt). Zrejme M£ C S* a funkcia h(x, y) = ln siny je spojitá, a teda i štandardne integrovateľná na M£ (samy overte :)). A nakoľko h(x,y) nemení znamienko na S (je nekladná), platí ln sin y dxdy lim e^0+ ln sin y dxdy ME 26 (i toto si samy premyslite ;)). Pomocou Fubiniho vety postupne máme ln sin y dxdy = lim 5 e^0+ ln sin y dy dx J dx J ■ lnsinydy j = lim (ir — 2e) ■ lnsinydy Avšak z Príkladu 12 vieme, že platí identita = lim lim / lnsinydy = / lnsiny dy = — n ■ ln2. Preto napokon dostávame rovnosť // msinyďrdy = lim (n — 2e) ■ lim ( / lnsinydy ) = —7r2ln2, JJs e->o+ \J£ J z ktorej ihneď pomocou (6) vyplýva finálny výsledok 7T2 / = / j ln sin(x — y) dxdy = —— ln 2 Príklad 14 Vyšetrime konvergenciu nevlastného trojného integrálu ädxdydz n (x2 + y2 + z2) v závislosti na reálnom parametri a. Množina Q predstavuje uzavretú jednotkovú sféru so stredom v bode [0, 0, 0]. Riešenie: Tento príklad možno chápať ako doplnok či pokračovanie Príkladu 6. Postupujeme preto v podobnom duchu. Pre R E (0,1) uvažujme uzavreté „medzi-gulie" so stredom v bode [0, 0, 0] a s polomermi f? a 1 a trojný integrál 27 Výpočet integrálu Ir je takmer navlas rovnaký ako v Príklade 6. Nechávame na čiateľa, aby overil, že pomocou transformácie do sférických súradníc dostaneme vyjadrenie Ir = 4tt- í p J R 2-2a dp Ďalej platí p2-2adp p3-2a 3-2a l-R R 3 3-2a ' T 2' ln i?, (samy overte :)). Pre trojný integrál Ir potom máme 1 - R 3-2a 3 2' 2' Funkcia f (x, y, z) = ^x2+yl+z2^a Je nezáporná na množine fž\{[0, 0, 0]}, pričom bod [0, 0, 0] je zrejme jej singularitou. Preto stačí vyšetriť limitu limÄ^0+ Ir v závislosti na mocnine a. Keďže platí lim Ir R^0+ 3-2a> 2' OO, " — 2' nevlastný trojný integrál J v zadaní príkladu konverguje práve vtedy, keď a < |, pričom v tomto prípade J = 3*7T2a- Príklad 15 Dokážme platnosť formúl / (sin2ŕ) • (lnsinŕ) dŕ = - (1 - ln4), ./o 4 y (cos2ŕ) • (lnsinŕ) dŕ = --(1+ ln4). 28 Riešenie: Obidva integrály v zadaní príkladu konvergujú absolútne. Ukážeme to pomocou limitného porovnávacieho kritéria. Položme f (t) := (sin2 ŕ) • (lnsinŕ), g (t) := (cos2 ŕ) • (lnsinŕ), h{t) := — lnsinŕ I := / (sin2ŕ) ■ (lnsinŕ) dŕ, J := / (cos2ŕ) ■ (ln sin ŕ) dŕ. Jo Jo Funkcie f (t) a g (t) sú spojité a nekladné na otvorenom intervale (0, 7r), pričom v krajných bodoch ŕ = 0 a ŕ = 7r platí lim f (t) = 0 = lim f (t), lim g (t) = — oo = lim g (t) t^0+ t^TT- t^0+ í-Hr" (samy overte :)). Z toho ihneď vyplýva, že integrál J konverguje (správa sa ako klasický určitý integrál). Ďalej funkcia h(t) je nezáporná na (0, 7r) a |#(ŕ)| -(cos21) ■ (lnsinŕ) 2 hm -T7-T- = hm---= hm cos t = 1, í^o+ í^o+ —lnsinŕ t^o+ \g(t)\ -(cos2 ŕ) ■ (lnsinŕ) hm -T7-T- = hm---= hm cos ŕ = 1. t^TT- h(t) t^TT- —lnsinŕ t-nr- A keďže v súlade s Príkladom 12 nevlastný integrál h(t) dŕ = lnsinŕdŕ konverguje, podľa limitného porovnávacieho kritéria musí absolútne konvergovat' i nevlastný integrál f™g(t)dt = J (samy si pozorne premyslite ;)). Stanovíme teraz hodnoty integrálov J a J. Z výsledkov Príkladu 12 máme I + J = / (sin2 ŕ) • (ln sin ŕ) dŕ + / (cos2 ŕ) • (ln sin ŕ) dŕ Jo Jo = / (sin2ŕ + cos2ŕ) -(lnsinŕ) dŕ = / lnsinŕdŕ n = —7rln2. Jo *-v-' Jo i Na druhej strane, platí J — I = (sin2 ŕ) • (ln sin ŕ) dŕ - / (cos2 ŕ) • (ln sin ŕ) dŕ Jo Jo 29 cos2ŕ — sin2 ŕ) -(In sin ŕ) dŕ = / (cos 2r) ■ (ln sin ŕ) dŕ. cos 2t Obzvlášť, posledný integrál konverguje. Pomocou integrácie per-partes postupne dostaneme (cos2ŕ) • (lnsinŕ) dŕ ■u' = cos2ŕ, u = ^rr^ = sin ŕ cos ŕ, v = ln sin ŕ, v' = cote; ŕ [(sin ŕ cos ŕ) • (lnsinŕ)]^ — / (sin ŕ cos ŕ) • (cotg ŕ) dŕ Jo = [(sin ŕ cos ŕ) • (lnsinŕ)]^ (samy overte :)). Nakoľko máme cos ŕdŕ [sin ŕ cos ŕ lnsinŕ] q = lim sin ŕ cos ŕ ln sin ŕ — lim sin ŕ cos ŕ ln sin ŕ = 0 t^0 + cos ŕdŕ 1 + cos 2ŕ 'o Jo (i toto samy overte ;)), získame rovnosť dŕ 2ŕ + sin 2ŕ 4 7T J -I (cos2ŕ) • (lnsinŕ) dŕ 7T Pre integrály J a J sme teda odvodili formuly J + J=-7rln2, J-I Z toho už hravo zistíme, že 7T 7T 7 = ^(1-In4), J 7T 1 + ln4) 30 Príklad 16 Nájdime hodnotu nevlastného dvojného integrálu I = ln (x2 + í/2) dxdy, J J n kde integračný obor Q má tvar x2 + y2 < 2xR pre 0 < R < |. Riešenie: Všimnime si, že množina Q je vďaka podmienke 0 < R < | podmnožinou uzavretého jednotkového kruhu so stredom v bode [0, 0] (samy overte nakreslením vhodného obrázku :)). Funkcia f (x,y) = \n(x2 + y2) je preto nekladná a spojitá na Q \ {[0, 0]}, pričom lim^^co) f {x, y) = —oo, t.j., v bode [0, 0] má singularitu. Na vyšetrenie nevlastného integrálu stačí teda uvažovať ľubovoľnú postupnosť merateľných množín {Mn}, ktorá sa zmršťuje do bodu [0,0]. Takouto postupnosťou je napríklad 1 1 x V <—, n e N, n > — nz 2R (samy sa přesvědčte :)). V tomto prípade je výhodné pracovať s polárnymi súradnicami x = p cos

„ln(^-= 4i?2 J cos2 (p ■ ln cos p dp + i?2 ln ^-j • (2pn + sin 2y„) + -<ŕn \ - / n Vypočítame teraz limitu limn^oo In. Nechávame na čitateľa, aby overil, že n ln (f lim y?n = lim arctg \/AR2n2 — 1 = —, lim n—>oo n—>oo 2 ' n—>oo ít,2 Potom dostávame 9 9 9 Í4R2\ / 7T 7T lim in = 4ir / cosz