masarykova univerzita
přírodovědecká fakulta
Bakalářská práce
Diferenční počet a iterování funkcí
Brno 2007 Eva Dubjaková
Prohlášení
Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracovala samostatně, pouze za odborného vedení
prof. RNDr. Ondřeje Došlého, DrSc. Dále prohlašuji, že veškeré zdroje, prameny a literaturu,
které jsem při vypracování použila, jsem uvedla v seznamu literatury.
V Brně, 25. května 2007 ......................
E v a D u b j a k o v á
Poděkování
Ráda bych poděkovala svému vedoucímu bakalářské práce, prof. RNDr. Ondřeji Došlému,
DrSc., za pečlivé pročítání textu, cenné rady a připomínky k práci, které mi pomohly při
zpracování tématu.
Obsah
Úvod 5
1 Iterace funkce 6
2 Pevné body 8
3 Cykly 12
4 Stabilita a chaos 21
5 Použití iterací 24
Seznam použité literatury 28
Úvod
Iterace spojitých a nespojitých funkcí v reálném oboru jsou už dlouho předmětem zájmu matematiků.
První práce zabývající se tímto tématem jsou známy z 30. let minulého století.
Všechny úvahy se však věnují jen konkrétním, ne příliš složitým funkcím. Proto v 70. letech
minulého století vyvolala velký rozruch práce ruského matematika A. N. šarkovského uveřejněná
v roce 1964, která řeší problémy ve všeobecnosti a především obecně osvětluje existenci
cyklů iterovaných funkcí.
Cílem této práce je seznámit čtenáře s problematikou iterace funkce z pohledu diferenčních
rovnic a diskrétních dynamických systémů. Zvláštní pozornost je věnována existenci limitních
cyklů a Šarkovského uspořádání na množině přirozených čísel. Při čerpání informací o těchto
tématech byly využity především [2] a [7].
V první kapitole zavádíme pojem iterace funkce, a to pomocí jednoduchého příkladu, kde se
snažíme najít přibližné řešení jisté rovnice. Druhá kapitola objasňuje význam pevných bodů
a zabývá se jejich klasifikací. Ve třetí kapitole nalezne čtenář pojednání o cyklech, jejichž vznik
a vývoj je vysvětlen na příkladě s parametrem. Zde je také uvedena a dokázána významná
Šarkovského věta, která měla vliv na rozvoj dynamických systémů a teorii chaosu. Právě
teorie chaosu je předmětem kapitoly 4, ale vzhledem k rozsahu této práce jde o pouhé uvedení
do problému. Především jsou studovány otázky stability chaotických a nechaotických funkcí.
Konečně, kapitola 5 se dotýká možných aplikací iterací v biologii a epidemiologii.
Pro lepší představu je celá práce doplněna obrázky. Použité značení je v souladu s běžně
užívaným. Práce předpokládá, že čtenář má středoškolské znalosti matematiky.
KAPITOLA 1. ITERACE FUNKCE 6
Kapitola 1
Iterace funkce
Jako motivaci pro vyšetřování iterací funkcí, pokusme se najít řešení rovnice
cos x = x pro x ∈ [0,
π
2
], (1.1)
kde úhel x měříme v obloukové míře. Zvolme libovolné číslo x = x0, x ∈ [0, π
2 ], vypočítejme
x1 = cos x0, pak x2 = cos x1 = cos (cos x0) atd. Získáme posloupnost čísel x0, x1, x2, . . . ,
o které numerickým výpočtem zjistíme, že konverguje k číslu α = 0, 73908 . . . jako na obrázku
1.1.
Obrázek 1.1: Graf iterace funkce cos x = x
Popišme si tedy blíže tuto metodu. Nechť f je spojitá funkce definovaná na uzavřeném intervalu
[a, b] a nechť tento interval zobrazuje do sebe. Zvolme libovolnou počáteční aproximaci
x0 ∈ [a, b]. Generujme posloupnost {xn}∞
n=0 takto:
xn+1 = f(xn), n = 0, 1, 2, . . . (1.2)
Funkci f nazveme iterační funkcí a metodu (1.2) iterační metodou nebo také metodou prosté
iterace. Složená funkce fn, kde n ∈ N, se nazývá n - tá iterace funkce f a lze ji rekurzivně
KAPITOLA 1. ITERACE FUNKCE 7
definovat takto:
f1
(x) = f(x), fn+1
(x) = f(fn
(x)), n = 1, 2, 3, . . .
Tato metoda je v mnohých případech jediným prostředkem pro nalezení řešení různých rovnic,
hodnot některých funkcí, a podobně.
Všimněme si, že tvar rovnice xn+1 = f(xn), je vlastně diferenční rovnicí 1. řádu. Systém těchto
rovnic tvoří tak zvaný diskrétní dynamický systém, který popisuje změnu stavu v určitých pravidelných
časových intervalech např. po rocích, hodinách, sekundách, tedy popisuje dynamické
chování. Pomocí vhodných dynamických systémů můžeme modelovat průběhy některých matematických,
fyzikálních a biologických dějů, jako např. průběhy některých algoritmů, pohyby
planet, počty jedinců určitých populací. Časový průběh takových systémů bývá různý. Někdy
se systém po určitém počtu kroků (tj. po určitém čase) ustálí na nějaké hodnotě nebo se
alespoň nějaké hodnoty v pravidelném cyklu opakují, jindy rostou nabývané hodnoty nade
všechny meze. V následujícím textu se budeme zabývat vlastnostmi těchto dosažených stavů.
Také nás zajímá, jak se bude systém pro různé počáteční podmínky vyvíjet, proto studujeme
tzv. orbity bodů. Jsou to posloupnosti x0, x1 = f(x0), x2 = f2(x0) = f(f(x0)), x3 = f3(x0) =
f(f(f(x0))) . . ., kde x0 udává počáteční stav, x1 stav po prvním časovém intervalu, x2 stav
po druhém časovém intervalu, atd.
Obrázek 1.2: Orbita bodu x0
Na obrázku 1.2 je znázorněna orbita bodu x0 nějakého diskrétního dynamického systému.
„Schody spojují body o souřadnicích (x0, 0), (x0, f(x0)), (f(x0), f(x0)), (f(x0), f(f(x0))) . . .
Z obrázku je vidět, jak se body o souřadnicích (fn(x0), fn+1(x0)) blíží k jednomu bodu.
KAPITOLA 2. PEVNÉ BODY 8
Kapitola 2
Pevné body
V této části se budeme zabývat existencí a klasifikací bodů, ke kterým se „schody popsané
v předcházejícím odstavci mohou blížit, utíkat do nekonečna nebo se v pravidelných cyklech
opakovaně přibližovat. Mluvíme o tak zvaných pevných bodech.
Definice 1. Řekneme, že bod α ∈ [a, b] je pevným bodem funkce f, jestliže platí f(α) = α.
Samozřejmě, všechny funkce nemají pevný bod, dokonce i když jsou spojité. Příkladem je
funkce f(x) = x+1, která nemá žádný pevný bod, protože neexistuje řešení rovnice x+1 = x.
Pro spojité funkce platí následující věta, která (jak je vidět z obrázku 2.1) zaručuje existenci
pevných bodů.
Věta 2.1. Nechť f je spojitá funkce na intervalu I a nechť existují takové body x, y ∈ I, že
f(x) > x a f(y) < y. Potom f má pevný bod ležící mezi x a y.
Obrázek 2.1: Pevný bod α ležící mezi body x a y
Důkaz. Položme g(t) = f(t)−t. Protože f(x) > x a f(y) < y, tak platí, že g(x) > 0, g(y) < 0.
Vzhledem k tomu, že funkce g je spojitá, musí mít podle Bolzanovy věty1 mezi x a y nulový
bod α. Potom ale f(α) = α.
1
Nechť f je spojitá funkce na intervalu [a, b]. Pak f nabývá všech hodnot mezi svou největší a nejmenší
hodnotou.
KAPITOLA 2. PEVNÉ BODY 9
Důsledek 2.2. Nechť f je spojitá funkce definovaná na uzavřeném intervalu I. Jestliže f(I) ⊂
I, pak f má v I pevný bod.
Důkaz. Nechť I = [a, b] a předpokládejme, že ani a ani b nejsou pevné body. Potom f(a) > a
a f(b) < b a stačí použít větu 2.1.
Pevné body lze podle chování funkce f v okolí těchto bodů klasifikovat následovně:
Definice 2. Nechť f : I → I, kde I je interval v R, a α je pevný bod funkce f. Pak
1. α je stabilní pevný bod, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro každé x ∈ I
splňující |x − α| < δ platí |fn(x) − α| < ε pro všechna n ∈ N. Jinak se pevný bod
α nazývá nestabilní.
2. α je přitahující pevný bod, jestliže existuje η > 0 tak, že pro každé x ∈ I splňující
|x − α| < η platí limn→∞ fn(x) = α.
3. α je asymptoticky stabilní pevný bod, jestliže je jak stabilním, tak přitahujícím pevným
bodem. Jestliže limn→∞ fn(x) = α pro každé x ∈ I, pak α je globálně asymptoticky
stabilní pevný bod.
Následující věta uvádí jiná kritéria, kterými můžeme rozhodnout o nestabilitě a asymptotické
stabilitě pevných bodů.
Věta 2.3. Nechť f : I → I je spojitá funkce a nechť α je její pevný bod.
1. Jestliže pro všechna x = α z nějakého okolí V bodu α platí
f(x) − f(α)
x − α
< 1, (2.1)
pak α je asymptoticky stabilní pevný bod.
2. Jestliže pro všechna x = α z nějakého okolí V bodu α platí
f(x) − f(α)
x − α
> 1, (2.2)
pak α je nestabilní pevný bod.
Důkaz. Dokážeme tvrzení týkající se asymptotické stability, v případě nestability je důkaz
analogický. Nechť x0 ∈ V je libovolné číslo, x0 = α. Označme xn = fn(x0) pro n = 1, 2, . . .
Jestliže v (2.1) položíme x = xn, dostaneme
| f(xn) − f(α)| < | xn − α|
a jestliže f(α) = α a f(xn) = xn+1, tak
| xn+1 − α| < | xn − α|.
Je vidět, že posloupnost an = | xn −α| je klesající a zdola omezená (například nulou), má tedy
nějakou limitu a. Stačí ukázat, že a = 0. Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme tedy,
KAPITOLA 2. PEVNÉ BODY 10
že a > 0. Z (2.1) vyplývá, že f(α − a) ∈ (α − a, α + a) = J. Protože f je spojitá funkce,
pak existuje takové okolí V− bodu α − a, že f(V−) ⊂ J. Podobně existuje okolí V+ bodu
α + a se stejnou vlastností, že f(V+) ⊂ J. Protože limn→∞ | xn − α| = a, existuje takové n, že
xn ∈ V− nebo xn ∈ V+. Potom ale xn+1 = f(xn) ∈ J, tedy | xn+1 − α| < a, a to není možné.
Dostali jsme spor, a tak jsme dokázali tvrzení 1.
Podmínka (2.1) znamená, že graf funkce f v okolí bodu α leží v oblasti, která je vyšrafovaná
na obrázku 2.2, podmínka (2.2) znamená, že graf leží v oblasti vyšrafované na obrázku 2.3.
Obrázek 2.2: oblast asymptoticky
stabilního pevného bodu
Obrázek 2.3: oblast nestabilního
pevného bodu
Jestliže funkce f má v pevném bodě α derivaci, pak v některých případech můžeme rozhodnout
o charakteru pevného bodu podle následující věty:
Věta 2.4. Nechť spojitá funkce f : I → I má v pevném bodě α ∈ I derivaci.
1. Jestliže |f (α)| < 1, pak α je asymptoticky stabilní pevný bod.
2. Jestliže |f (α)| > 1, pak α je nestabilní pevný bod.
Důkaz. Dokážeme vztah, který platí pro asymptotickou stabilitu. Pro nestabilitu je důkaz
analogický. Nechť |f (α)| < 1. Ze vztahu
f (α) = lim
x→α
f(x) − f(α)
x − α
vyplývá, že pro všechny x = α, které leží dostatečně blízko k α, musí platit (2.1) a stačí použít
větu 2.3.
Vyšetřovat případ, kdy |f (α)| = 1, je poněkud složitější. Může vzniknout situace, kdy při
počáteční iteraci na jedné straně okolí bodu α je proces konvergentní a na druhé divergentní.
V závěru této části ještě uveďme větu, kterou použijeme později.
Věta 2.5. Nechť f : I → I je spojitá funkce a nechť pro nějaké x0 ∈ I posloupnost {fn(x0)}∞
n=1
konverguje k nějakému bodu α. Potom α je pevný bod funkce f.
KAPITOLA 2. PEVNÉ BODY 11
Důkaz. Nechť ε > 0. Protože f je spojitá funkce v bodě α, existuje δ > 0 takové, že pro každé
y ∈ (α − δ, α + δ) je
|f(y) − f(α)| < ε. (2.3)
Můžeme předpokládat, že δ < ε. Protože fn(x0) konverguje k α, pro všechna dostatečně velká
n bude
|fn
(x0) − α| < δ < ε, (2.4)
tedy podle (2.3)
|f(fn
(x0)) − f(α)| = |fn+1
(x0) − f(α)| < ε. (2.5)
Z (2.4) a (2.5) vyplývá, že
|f(α) − α| ≤ |f(α) − fn+1
(x0)| + |fn+1
(x0) − α| < ε + ε = 2ε
pro všechna dostatečně velká n. Ukázali jsme, že |f(α)−α| je menší než libovolné kladné číslo,
tedy f(α) − α = 0, α je pevný bod funkce f.
KAPITOLA 3. CYKLY 12
Kapitola 3
Cykly
V matematickém modelu představuje pevný bod ustálený režim. Například v modelu vývoje
populace to znamená, že jestliže úroveň populace dosáhne hodnoty xn = α, kde α je pevný
bod, pak se už dále nemění. To jistě platí v případě, kdy posloupnost {xn}∞
n=0 konverguje
(podle věty 2.5 k nějakému pevnému bodu). Ustálený režim ale mohou představovat i některé
nekonvergentní posloupnosti, například periodická posloupnost 1, 2, 3, 1, 2, 3, . . . s periodou 3.
V této části se budeme věnovat funkcím, které generují periodické posloupnosti a otázkám
existence a stability periodických bodů.
Definice 3. Nechť x0 ∈ D(f). Pak řekneme, že bod x0 je bodem cyklu řádu n funkce
f (periodickým bodem funkce f s periodou n nebo že x0 generuje cyklus řádu n či n-periodní
limitní cyklus), jestliže fn(x0) = x0 a současně fi(x0) = x0 pro i = 1, 2, . . . , n − 1.
Zřejmě posloupnost generovaná takovýmto bodem x0 je periodická a má (základní) periodu n.
Orbita periodického bodu x0 funkce f s periodou n, je tedy posloupnost x0, f(x0), . . . , fn−1(x0).
Je zřejmé, že body této posloupnosti tvoří cyklus řádu n.
Příklad 1. Uvažujme funkci f(x) = −x, definovanou na celé množině R. Tato funkce má jediný
pevný bod α = 0 (který je vlastně bodem cyklu řádu 1) a všechny ostatní body jsou cykly
řádu 2. To znamená, že každý takový bod x0 generuje periodickou posloupnost x0, −x0, x0, −x0,
. . . s periodou 2.
Příklad 2. Definujme funkci f z R do R takto:
f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1 a f(x) = 0 pro ostatní x.
Tato funkce má právě jeden cyklus řádu 3 tvořený body 1, 2, 3 a nemá žádný jiný cyklus.
Naše funkce má ale nevýhodu – je nespojitá.
Kdybychom se snažili najít spojitou funkci v R, která by měla právě jeden cyklus řádu 3 a žádné
jiné cykly, tak bychom neuspěli. Jak uvidíme v následujícím příkladě, pro existenci cyklů
spojitých funkcí platí jisté zákonitosti. Například spojitá funkce, která má cyklus řádu 3,
musí mít cykly všech možných řádů, včetně pevných bodů. Dále budeme zkoumat pouze
spojité funkce. Uvedeme příklad funkce závislé na parametru, kde si ukážeme, jak se změnou
parametru vznikají cykly různých řádů. Dříve než uvedeme tento příklad, vyslovíme definici
a větu, které využijeme při vyšetřování stability vzniklých cyklů.
KAPITOLA 3. CYKLY 13
Definice 4. Nechť f : I → I je spojitá funkce a nechť body α1, . . . , αk tvoří její cyklus řádu
k. Potom tento cyklus je:
1. asymptoticky stabilní, jestliže alespoň jeden z bodů tohoto cyklu je asymptoticky stabilním
bodem funkce fk;
2. nestabilní, jestliže alespoň jeden z bodů tohoto cyklu je nestabilním bodem funkce fk.
Věta 3.1. Nechť f : I → I je spojitá funkce, která má všude v I derivaci a nechť α1, . . . , αk je
její k-cyklus. Označme D = f (α1) · f (α2) · · · · · f (αk). Potom uvedený cyklus je asymptoticky
stabilní, jestliže |D| < 1, a nestabilní, jestliže |D| > 1.
Důkaz. Pro derivovaní složené funkce g(h(x)) platí vztah [g(h(x))] = g (h(x)) · h (x). Když
toto pravidlo opakovaně použijeme v případě složené funkce fk(x), dostaneme
[fk
(x)] = f (fk−1
(x)) · f (fk−2
(x)) · · · · · f (f(x)) · f (x).
Když za x dosadíme α1 a použijeme vztahy α2 = f(α1), α3 = f(α2) = f2(α1), . . . a větu 2.4,
dostaneme tvrzení věty 3.1.
Příklad 3. Vyšetřeme stabilitu pevných bodů funkce f(x) = Ax(1 − x) pro x ∈ [0, 1] a A ∈
[0, 4] v závislosti na parametru A. Touto funkcí můžeme například modelovat růst populace
na omezeném teritoriu. Za výše uvedených předpokladů je funkce f spojitá na intervalu [0, 1]
a zobrazuje tento interval do sebe. V případě, kdy A ∈ [0, 4], funkce f nezobrazuje interval
[0, 1] do sebe. Tímto problémem se ale zabývat nebudeme.
Obrázek 3.1: Graf funkce f(x) = Ax(1 − x) pro některé hodnoty parametru A
Najděme nyní pevné body funkce f. Získáme je řešením rovnice f(x) = x, tj.
x = Ax(1 − x). (3.1)
Vidíme, že pro A ∈ [0, 1] existuje v [0, 1] jediný pevný bod α = 0, pro A ∈ (1, 4] právě dva
pevné body α = 0, β = 1 − 1
A . Rozeberme nyní podrobně jednotlivé případy.
KAPITOLA 3. CYKLY 14
1. A ∈ [0, 1]
Vzhledem k tomu, že funkce f má v intervalu [0, 1] jediný pevný bod α = 0, její graf
musí ležet pod přímkou y = x. Protože f (x) = A − 2Ax a tedy |f (0)| = |A| ≤ 1, pak
podle věty 2.4 jde o asymptoticky stabilní pevný bod (i pro A = 1, kde konvergence bude
pomalá). Tedy pro každé x0 ∈ [0, 1] posloupnost {fn(x0)}∞
n=1 konverguje k 0. Populace
s takovým parametrem A vyhyne.
Všimněme si, co se bude dít s dosud jediným pevným bodem α = 0, když se A začne
měnit od 1 do 4. Bod α se „rozdvojí – oddělí se od něho bod β = 1 − 1
A a začne se
vzdalovat (pro A = 1 je β = 0 pro A = 4 je β = 3/4). Hodnotu A = 1 můžeme tedy
považovat za kritickou hodnotu parametru A pro vznik druhého pevného bodu.
Obrázek 3.2: Graf funkce f2 pro některé hodnoty parametru A
2. A ∈ (1, 3]
V tomto případě f (0) = A a f (β) = A − 2. Použitím věty 2.4 zjistíme, že bod α
je nestabilním pevným bodem, protože |f (α)| > 1 a β pro A ∈ (1, 3) je asymptoticky
stabilním pevným bodem, neboť |f (β)| < 1. Pro A = 3 je |f (β)| = 1, tedy větu 2.4 nelze
použít. Ale i v tomto případě je β asymptoticky stabilní pevný bod i když konvergence
bude velmi pomalá. Lze ukázat, že pro A ∈ (1, 3] posloupnost generovaná libovolným
bodem x0 konverguje k pevnému bodu β. Vyplývá to z vět 3.2 a 3.4, které jsou uvedeny
později. Z těchto vět také plyne asymptotická stabilita β pro A = 3. Tedy pro hodnoty
parametru A ∈ (1, 3] se stav populace ustálí na hodnotě xn a v dalších generacích
nenastávají žádné výraznější změny.
3. A ∈ (3, 4]
Pro tyto hodnoty A vždy existuje alespoň jedna dvojice bodů x1, x2 ∈ (0, 1) tak, že
f(x1) = x2 a f(x2) = x1; body x1, x2 tvoří cyklus řádu 2 funkce f. Pro každý z bodů
x1, x2 platí f2(x1) = x1, f2(x2) = x2. Tedy x1, x2 jsou pevné body funkce f2 a můžeme
KAPITOLA 3. CYKLY 15
je najít řešením rovnice f2(x) = x tj. rovnice
A[Ax(1 − x)][1 − Ax(1 − x)] = x.
Po úpravě
A3
x4
− 2A3
x3
+ (A3
+ A2
)x2
− A2
x + x = 0. (3.2)
Kořeny této rovnice jsou oba pevné body (cykly řádu 1) x = 0 a x = 1 − 1
A. Když
rovnici (3.2) vydělíme polynomem x x − 1 − 1
A , dostaneme kvadratickou rovnici
A2
x2
− (A2
+ A)x + (A + 1) = 0. (3.3)
Řešením této rovnice je
x1 =
(1 + A) + (A + 1)(A − 3)
2A
,
x2 =
(1 + A) − (A + 1)(A − 3)
2A
.
Diskriminant je D = (A + 1)(A − 3). Vidíme, že D > 0 (a tedy rovnice má dva různé
kořeny) právě tehdy, když A > 3 (případ, kdy A < −1 vylučujeme). Pro A = 3 je
D = 0 a jediným kořenem a to dvojnásobným je pevný bod β = 2/3. Tedy cyklus řádu
2 vznikne tak, že se z pevného bodu β = 2/3 s rostoucím A oddělí dva další body
a budou se vzdalovat od β a od sebe navzájem (viz obrázek 3.3).
Obrázek 3.3: Vznik cyklu řádu 2 a 4
Vyšetřujme nyní stabilitu tohoto cyklu. Podle věty 3.1 je tento 2-cyklus asymptoticky
stabilní, jestliže
|f (x1) · f (x2)| < 1.
KAPITOLA 3. CYKLY 16
Dostáváme nerovnosti
− 1 < A2
(1 − 2x1)(1 − 2x2) < 1
− 1 < A2
1 − (1+A)+
√
A2−2A−3
A 1 − (1+A)−
√
A2−2A−3
A < 1
− 1 < − A2
+ 2A + 4 < 1.
Po vyřešení posledních dvou nerovností dostaneme, že cyklus řádu 2 je asymptoticky
stabilní pro 3 < A < 1 +
√
6. Pro případ, kdy A = 1 +
√
6, je
|f (x1) · f (x2)| = 1.
Zde nelze aplikovat větu 3.1, ale užitím jiných prostředků (které zde nebudeme popisovat)
dojdeme k závěru asymptotické stability i pro tuto hodnotu parametru A. Když
A > 1 +
√
6 je 2-cyklus nestabilní.
Najít 22-cyklus, znamená vyřešit rovnici f4(x) = x. To vyžaduje řešit rovnici 12-tého
stupně, což je prakticky nemožné. Z toho důvodu se věnujme pouze grafickému znázornění
vzniku 22-cyklů.
Obrázek 3.4: Bifurkační diagram funkce f(x) = Ax(1 − x)
Z obrázku 3.3 je vidět, že 22-cyklus vznikne když A > 1+
√
6 ≈ 3, 44949. Tento cyklus je
asymptoticky stabilní pro 1+
√
6 < A ≤ 3, 54409 a ztratí svoji stabilitu při A > 3, 54409.
Úvahu opakujme pro A > 3, 54409. Cyklus řádu 22 se rozdvojí (bifurkuje) na asymptoticky
stabilní 23 cyklus. Tento proces zdvojení bude pokračovat do nekonečna a vytvoří
posloupnost {An}∞
n=1, která bude asymptoticky konvergovat k A∞ ≈ 3, 5700 . . .
Hodnota parametru A∞ ≈ 3, 5700 . . . má mezi všemi hodnotami parametrů zvláštní
postavení. Pro populace s parametrem A∞ můžeme ještě s jistotou předpovídat její
dlouhodobý časový vývoj. Protože jestliže A < A∞, pak každá posloupnost generovaná
libovolným prvkem x0 ∈ [0, 1] je buď periodická (a její periodou musí být jedno z čísel
KAPITOLA 3. CYKLY 17
1, 2, 22, 23, 24, . . . ), nebo konverguje k některé takové periodické posloupnosti tj. existuje
taková periodická posloupnost y0, y1, y2, . . . s periodou 2n, že limi→∞(yi − fi(x0)) = 0.
Výše uvedená periodická posloupnost je generovaná prvkem y0 a funkcí f(x). Říkáme, že
posloupnost {xn}∞
n=0 je asymptoticky periodická. Teprve pro hodnoty A > 3, 5700 nelze
předpovědět její další vývoj.
Nejlepší způsob jak ilustrovat vzniklou situaci je vytvořit tzv. bifurkační diagram, který
vznikl zaznamenáním 5001.-5120. iterace vyšetřované funkce f pro různé hodnoty parametru
A ∈ [0, 4] jako na obrázku 3.4.
Obrázek 3.5: Liché cykly a jejich 2nnásobky
Největší „okno v bifurkačním diagramu vzniklo pro hodnotu A mezi 3,828 a 3,857.
Nazývá se „okno periody 3 . Asymptoticky stabilní 3-cyklus se poprvé objeví pro A =
1 +
√
8 ≈ 3, 828. Tento cyklus se začne zdvojovat a postupně vzniknou všechny cykly
liché délky a jejich 2nnásobky. Okna těchto cyklů se objevují nalevo od okna periody
3 (viz obrázek 3.5).
Z uvedeného příkladu je vidět, že vyšetřovat existenci cyklů některých funkcí není jednoduchá
záležitost. Vlastnosti iterace funkce jsou již dlouho předmětem zájmu matematiků. V roce
1975 Li a Yorke [5] uveřejnili článek: „Perioda tři implikuje chaos . Zde dokázali, že jestliže
spojité zobrazení f má cyklus řádu 3, pak musí mít cykly řádu k pro každé k ∈ N. Později se
zjistilo, že tato Li – Yorke věta je pouze speciální případ významné věty publikované v roce
1964 Ukrajinským matematikem A. N. Šarkovským [2, 3, 5, 7]. Šarkovský zavedl nový způsob
uspořádání přirozených čísel, které začíná číslem 3. Dokázal, že jestli k r a f má cyklus
řádu k, pak musí mít cykly řádu r. Uveďme si nyní přesné znění Šarkovského věty a některých
jejich speciálních případů:
Věta 3.2 (Šarkovského věta). Nechť f : I → I je spojitá funkce. Na množině přirozených
čísel zaveďme nové uspořádání definováno takto:
KAPITOLA 3. CYKLY 18
3 5 7 · · · 2 · 3 2 · 5 2 · 7 · · · 22
· 3 22
· 5 22
· 7
· · · 2n
· 3 2n
· 5 2n
· 7 · · · 8 4 2 1
(tj. nejprve jsou všechna lichá čísla různá od 1 v přirozeném pořadí, potom jejich 2násobky,
dále jejich 22násobky atd. a uspořádání končí mocninami čísla 2 v sestupném pořadí). Potom
jestliže f má cyklus řádu m a m n, tak f má cyklus řádu n.
K důkazu Šarkovského věty je třeba znát následující lemma, které uvedeme bez důkazu. Důkaz
lemmatu lze najít v [2, strana 85].
Lemma 3.3. Nechť f je spojitá funkce z intervalu [a, b] a nechť I0, I1, . . . , Ik−1 jsou uzavřené
podintervaly z [a, b]. Jestliže Ij+1 ⊂ f(Ij), j = 0, 1, . . . , k − 2, I0 ⊂ f(Ik−1), pak rovnice
fk(x) = x má alespoň jedno řešení x0 ∈ I0 takové, že
fj
(x0) ∈ Ij, j = 0, 1, . . . , k − 1.
Důkaz Šarkovského věty. Předpokládejme, že x0 je periodickým bodem funkce f se základní
lichou periodou k. Seřaďme body orbity x0 podle velikosti a označme je jako x1, x2, . . . , xk,
kde xi < xi+1, i = 1, 2, . . . , k − 1. Všimněme si, že f(xk) je menší než xk. Nechť j je největší
index, pro který platí f(xj) > xj. Nechť I1 = [xj, xj+1]. Protože f(xj+1) ≤ xj+1, potom
f(xj+1) ≤ xj. Proto tedy I1 ⊂ f(I1) a I1 → I1. Protože x0 negeneruje orbitu periody 2, tak
f(I1) musí obsahovat alespoň jeden interval různý od [xi, xi+1].
Obrázek 3.6: Řetězec I1 → I2 → . . . → Ik → I1
Nechť U2 značí sjednocení všech intervalů tvaru [xi, xi+1], které jsou pokryty obrazem intervalu
I1. Potom I1 ⊂ U2 a I1 = U2. Navíc, jestliže I2 = [xi, xi+1] je nějaký interval z U2, pak I1 → I2.
Nechť U3 značí sjednocení všech intervalů tvaru [xi, xi+1], které jsou pokryty obrazem nějakého
intervalu z U2. Opakujme tento proces, tj. Ur+1 značí sjednocení všech intervalů, které jsou
pokryty obrazem nějakého intervalu z Ur. Všimněme si, že jestliže Ir+1 je nějaký interval
KAPITOLA 3. CYKLY 19
z Ur+1, pak zde existuje posloupnost intervalů I2, I3, . . . , Ir, kde Ui ⊂ Ii tak, že I1 → I2 →
· · · → Ir → Ir+1.
Protože orbita {x1, x2, . . . , xk} je konečná, potom existuje index s tak, že Us+1 = Us. Pro
tento index obsahuje Us všechny intervaly tvaru [xi, xi+1], jinak x0 by byl periodickým bodem
s menší periodou než k. Všimněme si, že existuje nejméně jeden interval [xi, xi+1] = I1 v Ur,
jehož obraz pokrývá I1. To plyne z toho, že k je liché, a tak na jedné straně od I1 je více bodů
xi než na druhé. Z toho důvodu po aplikaci zobrazení f na xi některé body „přeskočí na
opačnou stranu od intervalu I1 a některé zůstanou na stejné straně.
Obrázek 3.7: První z možných uspořádání Ij
Tedy existuje alespoň jeden interval, jehož obraz pokrývá I1. Z toho plyne, že existuje řetězec
I1 → I2 → · · · → Is → I1, jako na obrázku 3.6, kde Ii je tvaru [xj, xj+1] pro nějaké j a I2 = I1.
Navíc předpokládejme, že s je nejmenší přirozené číslo pro které řetězec existuje, tedy řetězec
je nejkratší netriviální cesta z I1 do I1.
Jestliže s < k − 1, potom jeden z uzavřených řetězců I1 → I2 → · · · → Is → I1 nebo
I1 → I2 → · · · → Is → I1 → I1 generuje pevný bod funkce fm, kde m je liché číslo menší
než s. Tento bod musí mít základní periodu menší než s, neboť I1 ∩ I2 má pouze jeden bod
a perioda tohoto bodu je větší než m. Proto tedy s = n − 1.
Vzhledem k tomu, že s je nejmenší přirozené číslo se kterým pracujeme, nemůže platit Il → Ij
pro nějaké j > l + 1. Z toho plyne, že orbita x0 bude mít v R uspořádání buď jako na
obrázku 3.7 nebo na obrázku 3.8.
Obrázek 3.8: Druhé z možných uspořádání Ij
Můžeme tedy diagram na obrázku 3.6 rozšířit jak ukazuje obrázek 3.9. Dokázali jsme tak
Šarkovského větu pro případ, kdy k je liché. Poznamenejme ještě, že periody větší než k jsou
dány cykly tvaru I1 → I2 → · · · → Ik−1 → I1 → · · · → I1. Menší sudé periody jsou dány cykly
tvaru Ik−1 → Ik−2 → Ik−1 nebo Ik−1 → Ik−4 → Ik−3 → Ik−2 → Ik−1.
KAPITOLA 3. CYKLY 20
Obrázek 3.9: Rozšířený řetězec
Nyní předpokládejme, že k je sudé, potom f musí mít bod periody 2. To plyne z tvrzení
uvedeného výše. Pokud můžeme zaručit, že podobně jako v předchozí části důkazu, po aplikaci
zobrazení f některé body xi změní pozici vzhledem k I1 a některé zůstanou na stejné straně od
I1. Pokud to neplatí, pak všechny xi vymění pozici vzhledem k I1 a odtud [xj+1, xj] ⊂ f[x1, xj]
a [x1, xj] ⊂ f[xj+1, xk]. Ale pak v [x1, xj] musí být bod periody 2.
Nyní dokažme větu pro k = 2m. Nechť n = 2l s l < m. Položme g = fk/2. Podle předpokladu
má g periodický bod s periodu 2m−l+1. Tedy g má bod z periody 2. Což znamená, že z má
vzhledem k f periodu 2l.
Nakonec předpokládejme, že k = p · 2m, kde p je liché. Důkaz je obdobný jako v předchozím
případě, proto ho neuvádíme.
Věta 3.4. Nechť f : I → I je spojitá funkce. Potom posloupnost generovaná libovolným prvkem
x ∈ I a funkcí f konverguje k nějakému pevnému bodu právě tehdy, když f nemá žádný
cyklus, kromě cyklů řádu 1.
Důkaz. Pro jeho složitost neuvádíme. Lze ho najít v [8].
Důsledek 3.5. Nechť f : I → I je spojitá funkce, která má jen cykly řádu 1, 2, 22, . . . , 2n.
Potom každá posloupnost {fn(x)}∞
n=1, kde x ∈ I, konverguje k některému cyklu nebo pevnému
bodu funkce f; je tedy asymptoticky periodická.
Důkaz. Uveden v [7].
S použitím vět 3.2 a 3.4 lze snadno zdůvodnit proč jsou funkcí f(x) = Ax(1 − x) z příkladu 3
pro A ≤ 3 generovány jen konvergentní posloupnosti. Plyne to z toho, že tato funkce nemá
žádný 2-cyklus a tedy podle Šarkovského věty nemá žádný cyklus větší jak 1 a stačí aplikovat
větu 3.4.
KAPITOLA 4. STABILITA A CHAOS 21
Kapitola 4
Stabilita a chaos
Podle důsledku 3.5 z předcházející kapitoly, spojitá funkce, která má pouze cykly řádu 1, 2,
22, . . . , 2n, kde n ∈ N, generuje jen asymptoticky periodické posloupnosti. Co se ale stane,
jestliže funkce má i cykly jiných řádů? Tehdy může být chování posloupnosti komplikované.
V roce 1975 Li a Yorke [5] dokázali tento výsledek:
Věta 4.1. Nechť f : I → I je spojitá funkce, která má 3-cyklus. Potom existuje nespočetná
množina B ⊂ I s těmito vlastnostmi:
Pro každé x, y ∈ B, x = y, a pro libovolný bod p který generuje nějaký cyklus
lim
n→∞
sup |fn
(x) − fn
(y)| > 0, (4.1)
lim
n→∞
inf |fn
(x) − fn
(y)| = 0, (4.2)
lim
n→∞
sup |fn
(x) − fn
(p)| > 0. (4.3)
Důkaz. Viz např. [5].
Funkci s vlastnostmi uvedenými v této větě nazýváme chaotickou funkcí a množinu B chaotickou
množinou funkce f.
Věta 4.2. Jestliže f : I → I je spojitá funkce s cyklem řádu k = 2i, i = 1, 2, . . ., pak f i všechny
její iterace jsou chaotické.
Důkaz. Nechť k = p · m, kde p je prvočíslo větší jak 2 a m ∈ N. Potom funkce fm má pcyklus.
Ze Šarkovského věty plyne, že fm má i 2 · 3-cyklus, tedy f2m má 3-cyklus a podle
věty 4.1 je chaotická. Jestliže je iterace dané funkce chaotická, tak i původní funkce musí být
chaotická. Zbývající část tvrzení, že všechny iterace funkce f jsou chaotické, vyplývá opět ze
Šarkovského věty a z už dokázané části: Jestliže f má cyklus řádu k = 2i, i = 1, 2, . . . a m je
libovolné přirozené číslo, tak f má i cyklus řádu k · m, teda fm má cyklus řádu k.
Z věty 4.2 plyne, že při matematickém modelování velmi záleží na tom, zda použijeme funkci
chaotickou nebo nechaotickou, neboť posloupnosti generované takovými funkcemi mají odlišný
charakter. Vzniká tak otázka: Jestliže místo původní funkce f v modelu použijeme funkci f,
která se od f liší jen málo, může se stát, že posloupnosti generované funkcí f mají podstatně
jiné vlastnosti jako posloupnosti generované původní funkcí f? Jestliže se některá vlastnost
KAPITOLA 4. STABILITA A CHAOS 22
podstatně nemění, řekneme, že funkce f je při malých změnách vzhledem k této vlastnosti
stabilní, v opačném případě je nestabilní. Pro lepší pochopení tohoto problému uveďme následující
příklad.
Příklad 4. Všimněme si funkce f, která je na obrázku 4.1 a 4.2 vyznačena plnou čarou.
Tato funkce má dva pevné body α a β. Pozorujme co se stane s těmito body, když funkci
f málo změníme a nahradíme ji funkcí f vyznačenou přerušovanou čarou. Pevný bod α se
může o trochu posunout vlevo nebo vpravo a dostaneme tak pevný bod α. Avšak pevný bod
β se buď ztratí jako na obrázku 4.1 (stačí, aby se hodnota funkce f všude v nějakém okolí
bodu β zmenšila) nebo místo jednoho pevného bodu vzniknou dva nové pevné body β1, β2
jako na obrázku 4.2 (stačí hodnotu funkce f všude v nějakém okolí bodu β o něco zvětšit).
V tomto případě je α stabilní pevný bod funkce f a β je její nestabilní pevný bod.
Obrázek 4.1: Zmenšení funkce f
1 2
Obrázek 4.2: Zvětšení funkce f
Příklad 5. Vraťme se k funkci f(x) = Ax(1 − x) z příkladu 3. Jak jsme viděli, tato funkce
má 3-cyklus až pro A ≥ 1 +
√
8, pro menší hodnoty cyklus řádu 3 neexistuje. Jestliže hodnotu
parametru A libovolně málo zmenšíme, dostaneme novou funkci f blízkou k f, ale bez 3-cyklů.
To znamená, že funkce f(x) = Ax(1 − x) má pro A = 1 +
√
8 nestabilní 3-cyklus.
Dostáváme se tak k zajímavé otázce, zda při libovolně malé změně může funkce ztratit všechny
cykly. Na otázku odpovídá následující věta:
KAPITOLA 4. STABILITA A CHAOS 23
Věta 4.3. Nechť f : I → I je spojitá funkce z uzavřeného ohraničeného intervalu I, která má
cyklus řádu m. Potom existuje takové číslo δ > 0, že každá spojitá funkce g: I → I, splňující
nerovnost |f(x) − g(x)| < δ pro všechna x ∈ I, má cyklus řádu k, kde k je libovolné přirozené
číslo ležící v Šarkovského uspořádání napravo od m.
Důkaz. Důkaz pro jeho složitost neuvádíme. Je proveden v [2].
Z věty plyne, že malou změnou chaotické funkce vznikne opět chaotická funkce. Skutečně,
jestliže f má cyklus řádu 2sp, kde p je nějaké liché číslo větší jak 1, tak každá funkce g dost
blízká k f má podle věty 4.3 cykly všech řádů začínající řádem 2s(p + 2) – je podle věty 4.2
chaotická. Tedy chaotické funkce jsou stabilní. Jak je to ale se stabilitou funkcí, které nejsou
chaotické?
Věta 4.4. Ke každé spojité funkci f : I → I z uzavřeného ohraničeného intervalu I a ke
každému ε > 0 existuje chaotická funkce g taková, že |f(x) − g(x)| < ε pro všechny x ∈ I.
Důkaz. Důkaz je uveden v [7].
Jinými slovy, libovolně malou změnou lze z každé nechaotické funkce získat chaotickou funkci,
ale chaos bude malý. Jestliže původní funkce nemá cykly a množina jejich pevných bodů neobsahuje
žádný interval, tak malou změnou můžou vzniknout jen takové funkce, které generují
skoro konvergentní posloupnosti.
KAPITOLA 5. POUŽITÍ ITERACÍ 24
Kapitola 5
Použití iterací
Teorii iterací lze aplikovat v mnoha oborech moderní matematiky. V této části si všimneme
především aplikací iterací v biologii, kde si vystačíme se spojitými funkcemi jedné proměnné.
Diskrétní model populace jednoho biologického druhu
Biologové už mnoho desetiletí studují populace a jejich vývoj v čase. Ukážeme, že kolísání
těchto populací má přirozené vysvětlení. Přitom populace znamená systém živých organizmů
žijících v dané oblasti a časem se rozumí rok, den, hodina, atd.
Příklad 6. Nechť v čase t0 žije v dané oblasti x0 jedinců jistého druhu. Pro jednoduchost
položme t0 = 0. V čase t = 1 se počet jedinců rovná číslu x1. Je patrné, že číslo x1 dostaneme
z x0 tak, že odečteme počet zemřelých jedinců a přičteme počet narozených jedinců v čase od
0 do 1. Číslo x1 se tedy rovná
x1 = x0 +
k
100
x0 −
s
100
x0,
kde k, s jsou kladné konstanty znamenající přírůstek a úbytek jedinců v procentech. Zkráceně
lze tuto rovnici zapsat ve tvaru
x1 = x0q,
kde číslo q ≥ 0 nazveme koeficientem přírůstku (jestliže q > 1) nebo koeficientem úbytku
(jestliže q < 1). Jestliže předpokládáme, že číslo q není závislé na x0, dostaneme
x2 = x1q = x0q2
a obecně pro libovolné n ∈ N máme
xn = xn−1q = x0qn
. (5.1)
Posloupnost {xn} je tedy geometrická posloupnost. Jestliže q > 1, tak počet jedinců v populaci
neomezeně roste, v opačném případě, kdy q < 1, populace vymírá. Jestliže populace
vymírá limn→∞ xn = 0. Druhá možnost může v reálném prostředí pravděpodobně nastat,
první však v reálném prostředí nikdy nenastane, protože zdroje růstu jsou pro každou populaci
ohraničené. Jestliže chceme modelovat i nevymírající populaci, koeficient přírůstku nesmí
být konstantní, ale funkcí stavu populace tedy q(x). Předpokládejme, že dané prostředí má
KAPITOLA 5. POUŽITÍ ITERACÍ 25
jistou kapacitu x, to znamená, že víc než x jedinců daného druhu delší čas nemůže uživit.
Potom koeficient přírůstku nebo úbytku můžeme položit
q = q(x) = 1 + A(x − x),
kde A > 0 je konstanta. Pak q je přímo úměrné vzdálenosti populace x od kapacity prostředí
x. Podle vztahu (5.1) dostáváme
xn+1 = xn(1 + A(x − xn)). (5.2)
Položíme-li x = A−1
A , získáme tak nejjednodušší tvar rovnice (5.2). V našem modelu to pro
A ∈ (0, 1) znamená, že kapacita x < 0. To ale nevadí; model, který takto dostaneme
xn+1 = Axn(1 − xn) (5.3)
popisuje i pro tyto hodnoty A ∈ (0, 1) stav odpovídajícím způsobem. Potom limn→∞ xn =
0 a tedy populace vymírá. Analýzu rovnice (5.3) jsme provedli v kapitole 3 v příkladě 3.
Připomeňme, že pro hodnoty A ∈ [0, 3] má funkce f(x) = Ax(1 − x) vždy asymptoticky
stabilní pevný bod a to pro A ∈ [0, 1] bod α = 0 a pro A ∈ (1, 3] bod β = A−1
A (= x).
Přitom pro výše uvedené hodnoty parametru A nemá funkce f(x) = Ax(1 − x) cykly vyšších
řádů. Takže podle našeho modelu pro A ∈ [0, 3] je populace stabilní, tedy počet jedinců se
v průběhu času vždy přibližuje k nějakému rovnovážnému stavu tj. k pevnému bodu funkce
f(x) = Ax(1 − x).
Pro A > 3, jak už bylo popsáno v příkladě 3, má funkce f(x) = Ax(1 − x) cykly všech řádů,
ale i v tomto případě můžeme popisovat dynamiku populace. Příkladem je populace hraboše
polního, která se v našich podmínkách vyvíjí periodicky. Jestliže se populace přemnoží, což
nastává vždy jednou za 3–4 roky, vznikají mezi jednotlivými koloniemi hrabošů boje o potravu,
úkryt a prostor. Tak jsou zvířata stále ve stresu a vysílené po vzájemném zápolení a nedokáží
se bránit chorobám. Proto další zimu naráz vyhynou. Zahynutí uniknou jen ti jedinci, kteří se
vystěhovali (z hlediska hrabošů) na nepříhodná místa. Tito zachránění jedinci se po populační
pohromě vrátí zpět na opuštěná pole a celý cyklus se opakuje.
Ještě poznamenejme, že v průběhu úvah jsme se dostali model, ve kterém stav x znamená
relativní četnost populace, protože x vždy patří do intervalu [0, 1].
Diskrétní epidemický model
Pro odvození jednoduchého modelu šíření epidemií předpokládejme, že každý jedinec má stejný
počet kontaktů s ostatními jedinci v určitém časovém období. Kromě toho předpokládejme,
že populace je konstantní, tj. nemění se počet zkoumaných jedinců. Období, ve kterém je
nakažený jedinec tak zvaným zdrojem nákazy, je též konstantní a je vztaženo na jednotku času
(týden, 10 dní a pod.). V případě uzdravení se jedinec stává odolným vůči nemoci natrvalo
nebo po určité období. V následujících příkladech se věnujme druhé možnosti.
Příklad 7. Celkový počet jedinců populace označme X a rozdělme na dvě skupiny: Nechť
N(t) značí počet nakažených jedinců v čase t a V (t) počet zdravých (vnímavých) jedinců, kteří
mohou být infikováni. Dále předpokládejme, že jestliže vybereme z celé populace libovolného
KAPITOLA 5. POUŽITÍ ITERACÍ 26
zdravého a libovolného nemocného jedince, tak pravděpodobnost nakažení zdravého jedince
od nemocného vztaženo na jednotku času je p a není závislá na konkrétním výběru jedinců.
Položme q = 1 − p = e−α. Protože 0 ≤ p ≤ 1, musí být i 0 ≤ q ≤ 1, a proto je α nějaké
nezáporné číslo.
Pravděpodobnost P, že jistý vnímavý jedinec za časovou jednotku, tj. v intervalu (t, t + 1),
nebude infikován, je závislá na celkovém počtu infikovaných v čase t. Tedy čím je celkový
počet nakažených větší, tím je pravděpodobnost P menší. Jestliže N(t) = 1, pak P = q,
pokud N(t) = 2, potom P = q2. Obecně pak P = qN(t). Pravděpodobnost nákazy jednoho
zdravého jedince za časovou jednotku v čase t je potom 1 − P = 1 − qN(t) a pravděpodobný
počet nově infikovaných bude úměrný celkovému počtu zdravých jedinců, tedy bude to číslo
V (t)(1 − qN(t)
) = V (t)(1 − e−αN(t)
).
Vyšetřeme, jak vypadají hodnoty funkcí N(t) a V (t) v čase t + 1. Nejprve
N(t + 1) = V (t)(1 − e−αN(t)
). (5.4)
Předpokládáme totiž, že ti jedinci, kteří byli v čase t nemocní, budou v čase t + 1 zase zdraví.
Dále patrně pro každé t platí
V (t) = X − N(t). (5.5)
Nyní pro jednoduchost změňme dosud zavedené veličiny na bezrozměrné hodnoty. Označme
x1(t) =
N(t)
X
, x2(t) =
V (t)
X
, αX = a.
Dosazením do (5.4) a (5.5) dostaneme
x1(t + 1) = x2(t)(1 − e−ax1(t)
),
x2(t) = 1 − x1(t).
Po vyloučení x2 z prvního vztahu dostaneme
x1(t + 1) = (1 − x1(t))(1 − e−ax1(t)
)
tj.
zn+1 = (1 − zn)(1 − e−azn
), (5.6)
kde zn značí relativní počet nemocných v čase n. Rovnice (5.6) je hledaným modelem.
Pokusme se vzniklý model analyzovat, tedy přezkoumat, zda vystihuje skutečnost a má ty
vlastnosti, které má mít. Většinou tato analýza bývá těžší, než samotný návrh modelu. O vlastnostech
epidemického modelu (5.6) mluví následující věta.
Věta 5.1. Nechť f(x) = (1 − x)(1 − e−ax). Potom:
1. Pro všechny hodnoty parametru a ≥ 0 funkce f zobrazuje interval [0, 1] do [0, 1].
2. Jestliže 0 ≤ a ≤ 1, tak f má jediný pevný bod α = 0 a každá posloupnost generovaná
nějakým prvkem x0 ∈ [0, 1] konverguje k α.
KAPITOLA 5. POUŽITÍ ITERACÍ 27
3. Jestliže a > 1, tak f má dva pevné body, nestabilní bod α = 0 a asymptoticky stabilní
bod β ∈ 0, 1
2 a každá posloupnost generovaná nějakým x0 ∈ (0, 1) konverguje k β.
Důkaz. Je uveden v [7].
Pomocí této věty můžeme interpretovat náš model. Jestliže a ≤ 1, tak ln q = − a
X ≥ − 1
X . Tedy
pokud bude koeficient q v modelu (5.6) dost velký (to je když pravděpodobnost nakažení bude
dost malá), nemoc po čase v celé populaci vymizí. Ale pokud q klesne pod jistou hranici, nemoc
nevymizí, ale procento infikovaných se po dostatečně dlouhém čase stabilizuje na nenulové
hodnotě 100β%. Tato hodnota je stabilní. To znamená, že když se procento infikovaných
důsledkem nějakých velmi příznivých nebo nepříznivých okolností změní, po určitém čase se
opět vrátí zpět.
Obrázek 5.1: Graf funkce f(x) = (1 − x)(1 − e−ax) pro některé hodnoty parametru a
SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY 28
Seznam použité literatury
[1] Došlá Z., Kuben J.: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, Brno, Přírodovědecká
fakulta MU, 2003
[2] Elaydi, Saber N.: Discrete chaos, Boca Raton, Chapman & Hall/CRC, 2000
[3] Horová I., Zelinka J.: Numerické metody, Brno, Přírodovědecká fakulta MU, 2004
[4] Kůrková V.: Geometrie živého, Praha, ZP ČSVTS při FGÚ ČSAV a Nakladatelství
Doporučená četba, 1991
[5] Li T., Yorke J.: Period three implies chaos, Amer. Math. Monthly 82, 1975, s. 985–992
[6] Prágerová, A.: Diferenční rovnice, Praha, SNTL - Nakladatelství technické literatury,
1971
[7] Smítal, J.: O funkciach a funkcionálnych rovniciach, Bratislava, Epsilon, 1984
[8] Šarkovskij, A. N.: O cyklech a struktuře spojitého zobrazení, (v ruštině), Ukrain. Mat.
Žurnal, 17 (1965), s. 100–111