Kapitoly z pojistné matematiky Silvie Zlatošová, Mai Truongová, Martin Kolář Ustav matematiky a statistiky PřF MU October 5, 2020 Uvod Pojistná = aktuárská matematika Pojistný matematik = aktuár NYT Best jobs (2015) ... 1. Actuary Aktuárské organizace: SOA, AAE, ČSpA ČSpA "uznává" studium na MFF UK, na PrF MU a na VŠE Aktuárské zkoušky ... Core Syllabus AAE, www.actuary.eu Historie pojistné matematiky u nás: 1900 Matyáš Lerch (zakladatel ÚMS) 1990 Petr Mandl, obnovení ČSpA 2016 Solvency 2 Životní pojištění ... deterministické metody, Life tables Neživotní pojištění... stochastické metody Teorie rizika, teorie ruinovaní, teorie kredibility, pricing (GLM, decision trees, neural nets) Hlavní cíl : předpovídat pomocí pravděpodobnostního modelu budoucí výdaje pojištovny. Základní nástroj - teorie pravděpodobnosti Příklady náhodných veličin v pojistné matematice - zda nastala pojistná událost z dané smlouvy (0 nebo 1) - čas kdy nastala pojistná událost - velikost ztráty z pojistné události - celkový počet pojistných nároků z jedné smlouvy (portfolia) - velikost pojistného plnění z jedné smlouvy (portfolia) Musíme tedy umět: 1. Modelovat celkový počet nároků 2. Modelovat velikost jednotlivých nároků 3. Dát to dohromady - Kolektivní teorie rizika (+ závislost na čase ... stochastické procesy) Literatura: Klugman, Panjer, Willmot: Loss models ( KPW) DP Mai Truongové (DMT) iskrétnŕ rozdělení • diskrétní rozdělení hrají v pojistné matematice důležitou roli pri modelování počtu pojistných událostí za stanovené časové období • počet škod v praxi nenabývá záporných hodnot, budeme tedy uvažovat množinu No Definice Necht (Q, A, P) je pravděpodobnostní prostor. Pak zobrazení N : Q {/ci, /c2,... }, kde {/ci, /£,...} je diskrétní podmnožina množiny IR, nazýváme diskrétní náhodnou veličinou. V případě počtu škod je diskrétní množina No- Definice Necht N je diskrétní náhodná veličina udávající počet škod. Pak funkci p/v(/c) = P{N = /c), k G No, nazýváme pravděpodobnostní funkcídiskrétní náhodné veličiny N. Generující funkce Uvažujeme posloupnost reálných čísel a = {am n = 0, 1, 2, ..}. Taková posloupnost obsahuje velké množství informace, kterou můžeme výhodně "zakódovat" do jediného objektu (funkce). S ním budeme moci lépe pracovat. Získáme možnost použít operace (napr. derivaci), které pro posloupnosti nemají smysl. Generující funkce posloupnosti a je funkce daná součtem mocninné rady oo Ga{s) = ^ansn n=0 pro s G IR, pro která řada konverguje. Posloupnost a dostaneme z generující funkce Ga zpět vztahe _ Gin)(0) a" ~ n! ' kde Gan\o) je n-tá derivace Ga v bodě 0. Príklad: Necht a = {O, 1, O, -1, O, 1, O,...} . Pak Ga = s - s3 + s5 - s7 + ... , což je geometrická řada s prvním členem s a s kvocientem q = —s2. Tedy Ga(s) = pro | s |< 1 (obor konvergence). 1 + s: Dále budeme definovat generující funkci diskrétní náhodné veličiny. Definice: Necht N je diskrétní náhodná veličina s hodnotami na množině Nq a necht Pa/(/^) je její pravděpodobnostní funkce. Potom generující funkce náhodné veličiny N je definována vztahem oo GN(s) = Y,PN(k)-sk = E(sN), seR. (1) Základní vlastnosti generujících funkcí: - Existuje nezáporné číslo R (poloměr konvergence) takové, G (s) konverguje pro | s |< R a diverguje pro | s |> R. - G(s) můžeme derivovat nebo integrovat člen po členu, libovolně mnohokrát, pro < R -Jednoznačnost: Je-li Ga(s) = Gt>(s) pro 0 < R' < R, pak an = bn pro všechna n. < /?', kde Příklady generujících funkcí náhodných veličin: 1. Konstantní náhodná veličina. P(/V = k) = 1, kde k e N U {0}. Máme GN(s) = lsk = sk. 2. Bernoulliho náhodná veličina. P(/V = 1) = p a P(/V = 0) = 1 - p. Tedy GN(s) = ps1 + (1 - p)s° = 1 - p + ps. □ s1 3. Geometrické rozdělení. P(/V = k) = p(l — p)k pro k e N^. Počet neúspěchů před prvním úspěchem Dostaneme oo oo oo GN(s) = Y,PN(n)sn = Y,P(1~ P)"s" = Y.P K1 " P^" = /=0 n=0 n=0 = P = P 1 — (1 — p)s 1 — s + sp Charakteristiky náhodných veličin a generující funkce Základní charakteristiky n.v., E(X) a Var(X), lze snadno spočítat pomocí Gx{s). Věta: Necht X je náhodná veličina s generující funkcí Gx{s) Pak platí: E(X) = G'x(l). Obecně, E(X(X - 1)...(X - k + 1)) = G{xk\l) (tzv. /c-tý faktoriální moment). Důkaz: První tvrzení je speciální případ druhého. Máme (#>(s) = $>-*/(/ - l)...(i - /c + l)px(i) = = E{sx~kX{X - 1)...(X -k + 1)). Pro s = 1 dostaneme GÍfc)(l) = E{X{X - 1)...(X - k + 1)). Pro rozptyl dostaneme speciálně vztah Var(X) = E(X2) - E{X)2 = E{X{X - 1) + X) - E{X)2 = = E(X(X -1)) + E(X) - E{Xf = G'x(l) + G'x(l) - [G'x(l)]2. Součty náhodných veličin Věta Necht X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny. Pak Gx+y(s) = Gx{s)GY{s). Důkaz: E(sx+Y) = E(sxsY) = E(sx)E(sY) první rovnost plyne z vlastností exponenciály, druhá z nezávislosti X a Y. □ Obecně, pro součet více nezávislých náhodných veličin dostaneme: Je-li S = Xi + X2 + ... + Xm kde X, jsou nezávislé, pak předchozí věty plyne G s — Gx1 Gx2 • • • Gxn • Definice Moment generující funkce diskrétní náhodné veličiny N je definována vztahem oo MN(t) = J2PN(k)-etk = E(etN), t>0. k=0 Výhoda: lze použít i pro spojité náhodné veličiny Lemma Pro každé m G N platí E(AT) = M{Nm){0). Typy diskrétních rozdělení 1. Poissonovo rozdělení popisuje výskyt řídkých jevů za určitou jednotku času, např počet pojistných nároků během jednoho pojistného období Definice Diskrétní náhodná veličina N má Poissonovo rozdělení s parametrem A > 0, píšeme N ~ Po(A), jestliže je pravděpodobnostní funkce tvaru £ = 0,1,2,... jinak. Generující funkce: GN(s) = ex<5~V Střední hodnota a rozptyl: E(/V) = A Var(/V) = A Věta Necht A/i, A/2,..., Nn jsou nezávislé náhodné veličiny z Poissonova rozdělení s parametry Ai, A2,..., A„. Pak N = A/i + A/2 + • • • + Nn má také Poissonovo rozdělen s parametrem A = Ai + A2 + • • • + A„. 2. Geometrické rozdělení Definice Diskrétní náhodná veličina N se řídí geometrickým rozdělením s parametrem p G (0,1), zapisujeme N ~ Ge(p), jestliže lze její pravděpodobnostní funkci psát ve tvaru resp. ve tvaru pro p i tj. (3 i-P > 0. P Generující funkce: G"{S) = l-s-fr-p) = 1-/9 V O (10) Střední hodnota a rozptyl: E(/V) =-P- = $ (11) P Var(A/) = i^=/3-(l + /3) (12) P 3. Negativně binomické rozdělení - Počet neúspěchů před m-tým úspěchem. - Zobecnění geometrického rozdělení. Definice Diskrétní náhodná veličina N má negativně binomické rozdělení s parametry m > 0 a p G (0,1), píšeme N ~ A/eB/(m, p), je-li pravděpodobnostní funkce tvaru k = 0,1,... jinak, (13) 1 1 O Q, O Generující funkce: m / ^ \ m ^»'li-(i-p)j = U-A-i)' (14) Střední hodnota a rozptyl: i _ E(/V) = m--- = m/3 (15) P Var(A/) = m--^ = m/3 • (1 + 0) (16) (17) 4. Alternativní a binomické rozdělení Definice Diskrétní náhodná veličina N má alternativní rozdělení s parametrem p G (0,1), píšeme N ~ Alt(p), je-li její pravděpodobnostní funkce k 1 jinak. k = 0 (18) Definice Diskrétní náhodná veličina N se řídí binomickým rozdělením s parametry n e N a p e (0,1), zapisujeme N ~ p), pokud je pravděpodobnostní funkce tvaru M*) = Var(/V) ... underdispersion Třída rozdělení (a, b, 0) Definice Necht p/v(/0 = P(N = k) je pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny N. Řekneme, že je členem třídy rozdělení (a, 6,0), jestliže existují reálné konstanty a a b takové, že platí PnW b = a + — pro k = 1, 2, 3,... (23) pN(k - 1) /c oo pravděpodobnost p/v(0) dopočítáme z ^ P/v(^) = 1 /c=0 do třídy obecných rozdělení (a, 6, 0) patří právě Poissonovo rozdělení, negativně binomické a binomické rozdělení