Třída rozdělení (a, b, 0)
Definice
Nechť pN(k) = P(N = k) je pravděpodobnostní funkce diskrétní
náhodné veličiny N. Řekneme, že je členem třídy rozdělení (a, b, 0),
jestliže existují reálné konstanty a a b takové, že platí
pN(k)
pN(k − 1)
= a +
b
k
pro k = 1, 2, 3, . . . (1)
• pravděpodobnost pN(0) dopočítáme z
∞
k=0
pN(k) = 1
• do třídy rozdělení (a, b, 0) patří právě Poissonovo rozdělení,
negativně binomické a binomické rozdělení
• Pro Poissonovo rozdělení je a = 0 a b = λ.
• Pro binomické je a = − p
1−p < 0 a b = (n + 1) p
1−p .
• Pro NeBi je a = 1 − p > 0 a b = (m − 1)(1 − p).
• pro konkrétní datový soubor s velkým množstvím pozorování
lze určit vhodný model pomocí formule (1)
• formuli přepíšeme do tvaru
pN(k)
pN(k − 1)
· k = ak + b, k = 1, 2, 3, . . . (2)
• podíl pN (k)
pN (k−1) odhadneme na základě pozorovaných četností
nk a nk−1 hodnot k a k − 1
pN(k)
pN(k − 1)
· k =
nk
nk−1
· k. (3)
• graf procházející body k, k · nk
nk−1
by měl přibližně vykazovat
lineární průběh
• podle směrnice a dané přímky zvolíme vhodný model
nulová směrnice → Poissonovo rozdělení
záporná směrnice → binomické rozdělení
kladná směrnice → negativně binomické rozdělení
Třída rozdělení (a, b, 1)
• rozdělení třídy (a, b, 0) často nepopisují adekvátně data,
s nimiž se v praxi setkáváme
Hlavní příčina:
• rozdělení třídy (a, b, 0) nejsou s to vystihnout tvar dat
v jistých částech rozdělení, zejména hodnotu v nule.
• budeme se věnovat rozložení pravděpodobnosti v nule
(pravděpodobnost, že nenastane žádná pojistná událost
během stanoveného časového období) – např. u pojištění
odpovědnosti, majetku aj. je pravděpodobnost v nule největší
• úpravou pravděpodobnosti v nule lze třídu rozdělení (a, b, 0)
rozšířit na třídu (a, b, 1)
Definice
Nechť pN(k) je pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné
veličiny N. Řekneme, že je členem třídy rozdělení (a, b, 1) za
předpokladu, že existují konstanty a, b ∈ R takové, že
pN(k)
pN(k − 1)
= a +
b
k
pro k = 2, 3, . . . (4)
•
∞
k=1
pN(k) může nabývat libovolných hodnot na (0, 1 , zbývající
pravděpodobnost je v k = 0, jelikož pN(0) +
∞
k=1
pN(k) = 1
U třídy (a, b, 1) rozlišujeme dvě podtřídy
pN(0) = 0 . . . rozdělení useknuté v nule s pT
N (k)
pN(0) > 0 . . . rozdělení modifikované v nule s pM
N (k)
1. Rozdělení modifikovaná v nule
lze na ně pohlížet jako na směs rozdělení třídy (a, b, 0)
a degenerovaného rozdělení se všemi pravděpodobnostmi
soustředěnými v nule
• GN(s) =
∞
k=0
pN(k) · sk je generující funkce rozdělení třídy
(a, b, 0)
GM
N (s) =
∞
k=0
pM
N (k) · sk je generující funkce příslušného v nule
modifikovaného rozdělení třídy (a, b, 1)
• platí, že pM
N (k) = c·pN(k) pro k = 1, 2, . . . ; c ∈ R+ a pM
N (0) je
libovolně zvolené z intervalu (0, 1). Musíme vypočítat hodnotu
c.
• potom
GM
N (s) = pM
N (0) +
∞
k=1
pM
N (k) · sk
=
= pM
N (0) + c ·
∞
k=1
pN(k) · sk
=
= pM
N (0) + c · GN(s) − pN(0)
(5)
• z platnosti GM
N (1) = GN(1) = 1 plyne 1 = pM
N (0)+c · 1−
pN(0)
• odtud c =
1−pM
N (0)
1−pN (0)
• tudíž
pM
N (k) =
1 − pM
N (0)
1 − pN(0)
· pN(k) pro k = 1, 2, . . . (6)
• dostaneme generující funkci modifikovaného rozdělení
GM
N (s) = pM
N (0) + c · GN(s) − pN(0) =
= pM
N (0) +
1 − pM
N (0)
1 − pN(0)
· GN(s) − pN(0) =
=
pM
N (0) − pN(0)
1 − pN(0)
+
1 − pM
N (0)
1 − pN(0)
· GN(s) =
=
pM
N (0) − 1 + 1 − pN(0)
1 − pN(0)
+
1 − pM
N (0)
1 − pN(0)
· GN(s) =
= 1 −
1 − pM
N (0)
1 − pN(0)
+
1 − pM
N (0)
1 − pN(0)
· GN(s)
(7)
2. Rozdělení useknutá v nule
lze chápat jako speciální typ v nule modifikovaného rozdělení
s hodnotou pM
N (0) = 0
• GT
N (s) je generující funkce v nule useknutého rozdělení
• potom z (6), (7) a pM
N (0) = 0 získáme
pT
N (k) =
pN(k)
1 − pN(0)
pro k = 1, 2, . . . , (8)
GT
N (s) =
GN(s) − pN(0)
1 − pN(0)
(9)
a) rozšířené useknuté negativně binomické (ETNB)
rozdělení
množina možných hodnot parametru m je rozšířena z m > 0
na m > −1, přičemž m = 0
Pravděpodobnostní funkce:
pT
N (k) =
(k+m−1
k )·(1−p)k
p−m−1
, k = 1, 2, . . . ; p ∈ (0, 1),
0, jinak,
(10)
resp.
pT
N (k) =



(k+m−1
k )· β
1+β
k
(1+β)m−1
= k = 1, 2, . . . ;
= (k+m−1)·...·(m+1)·m
k!·((1+β)m−1)
· β
1+β
k
, β = 1−p
p
> 0,
0, jinak.
(11)
b) logaritmické rozdělení
• je limitním případem ETNB rozdělení pro m → 0
• neexistuje k němu odpovídající rozdělení ve třídě (a, b, 0)
Pravděpodobnostní funkce:
pT
N (k) =
−(1−p)k
k·ln(p)
, k = 1, 2, . . . ; p ∈ (0, 1),
0, jinak,
(12)
resp.
pT
N (k) =
βk
k(1+β)k ln(1+β)
, k = 1, 2, . . . ; β = 1−p
p
> 0,
0, jinak.
(13)
Opět lze dokázat že další taková rozdělení neexistují.
Další třídy čítacích rozdělení vytvoříme pomocí dvou operací
– Skládání
– Míšení (směsi)
K tomu budeme potřebovat některé nástroje z teorie
pravděpodobnosti.
Diskrétní náhodné proměnné
Nechť X je diskrétní náhodná proměnná (náhodná veličina),
tedy funkce
X : Ω → {x1, x2, ...} ⊆ R,
kde {x1, x2, ...} je diskrétní podmnožina R.
Pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X označíme jako
f (x) = P(X = x).
Definice 2.1. Distribuční funkce náhodné veličiny X je
F(x) = P(X ≤ x).
Připomeňme si ještě definici nezávislosti dvou jevů.
Definice 2.2. Jevy A, B ⊆ Ω jsou nezávislé, jestliže
P(A) =
P(A ∩ B)
P(B)
,
tedy
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Jinak řečeno nastal-li jev B, nezmění to pravděpodobnost jevu
A.
Definice 2.3. Diskrétní náhodné veličiny X a Y jsou
nezávislé, jestliže jevy {X = x} a {Y = y} jsou nezávislé pro
všechna x a y.
Jinými slovy, znalost hodnoty X nedává žádnou informaci o
hodnotě Y .
Závislost a nezávislost náhodných veličin
Lemma 2.4. Nechť X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny.
Potom
E(XY ) = E(X)E(Y ).
Opak obecně neplatí.
Definice 2.5. Říkáme, že náhodné veličiny X a Y jsou
nekorelované, jestliže platí:
E(XY ) = E(X)E(Y ).
Věta 2.6. Nechť X a Y jsou náhodné veličiny. Pak
— Var(aX) = a2
Var(X) pro a ∈ R.
— Jsou-li X a Y nekorelované (speciálně nezávislé) náhodné
veličiny, pak
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ).
Definice 2.7. Kovariance náhodných veličin X a Y je
definována jako
cov(X, Y ) = E [(X − E(X))(Y − E(Y ))] .
Korelační koeficient X a Y je
ρ(X, Y ) =
cov(X, Y )
Var(X)Var(Y )
.
Platí:
ρ(X, Y ) = 0 ⇔ E(XY ) = E(X)E(Y ) ⇔ cov(X, Y ) = 0
a
cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ).
Dále je
|ρ(X, Y )| ≤ 1.
Jak ověřit nezávislost dvou daných náhodných veličin?
Definice k tomu většinou vhodná není.
Definice 2.8. Nechť X a Y jsou diskrétní náhodné veličiny
(na stejném pravděpodobnostním prostoru). Sdružená
distribuční funkce X a Y je definovaná vztahem
FX,Y (x, y) = P(X ≤ x ∧ Y ≤ y).
Definice 2.9. Sdružená pravděpodobnostní funkce:
fX,Y : R2
→ [0, 1] je definovaná vztahem
fX,Y (x, y) = P(X = x ∧ Y = y).
Analogicky se definuje sdružená pravděpodobnostní funkce pro
více náhodných veličin. Následující lemma dává dobře
ověřitelné kriterium nezávislosti.
Lemma 2.10. Diskrétní náhodné veličiny X a Y jsou
nezávislé právě tehdy, když
fX,Y (x, y) = fX (x)fY (y)
pro všechna x, y ∈ R.
Ze znalosti sdružené pravděpodobnostní funkce fX,Y můžeme
vypočítat marginální pravděpodobnostní funkce fX a fY . Máme
fX (x) = P(X = x) = P(
y
({X = x} ∩ {Y = y}))
=
y
P(X = x ∧ Y = y) =
y
fX,Y (x, y).
Příklad 2.11. Nechť X : Ω → {1, 2, 3}a Y : Ω → {−1, 0, 2}
jsou náhodné veličiny a sdružená pravděpodobnostní funkce je
dána tabulkou:
y = −1 y = 0 y = 2 fX
x = 1 1
18
3
18
2
18
6
18
x = 2 2
18
0 3
18
5
18
x = 3 0 4
18
3
18
7
18
fY
3
18
7
18
8
18
18
18
Jsou X a Y nezávislé?
Zřejmě ne, v tom případě by řádky tabulky musely být
násobkem jeden druhého.
Vypočteme kovarianci těchto dvou náhodných veličin. Máme
XY : Ω → {−1, 0, −2, −3, 2, 4, 6} .
Dále
E(X) =
6
18
+
10
18
+
21
18
=
37
18
, E(Y ) =
13
18
a
E(XY ) = −1
1
18
+ 2
2
18
− 2
2
18
+ 4
3
18
+ 6
3
18
=
29
18
Celkem tedy
cov(X, Y ) = E(XY )−E(X)E(Y ) =
29
18
−
481
324
=
522 − 481
324
=
41
324
.
Podmíněná pravděpodobnost a podmíněné očekávání
Připoměňme definici podmíněné pravděpodobnosti pro jevy,
P(A | B) =
P(A ∩ B)
P(B)
.
V modelech pojistné a finanční matematiky je obvykle
pravděpodobnost podmíněná informací, kterou máme v danou
chvíli. Formálně to zachycuje následující definice.
Definice 2.12. Podmíněná pravděpodobnostní funkce
náhodné veličiny Y za podmínky X = x, kterou budeme
označovat fY |X (. | x), je definována jako
fY |X (y | x) = P(Y = y | X = x),
pro každé x takové, že P(X = x) > 0.
Z definice máme
P(Y = y | X = x) =
P(Y = y ∧ X = x)
P(X = x)
=
fX,Y (x, y)
fX (x)
,
tedy
fY |X (y | x) =
fX,Y (x, y)
fX (x)
,
což je analogický vztah jako platí pro podmíněné
pravděpodobnosti jevů.
V předchozím příkladu máme pro x = 1
fY |X (y | 1) ∼
1
6
,
3
6
,
2
6
=
fX,Y
fX
.
Víme-li, že X = x, pak Y má novou pravděpodobnostní funkci
fY |X (y | x) jakožto funkci y (x je pevné).
Očekávání vůči této funkci je podmíněné očekávání Y za
podmínky X = x, které označíme Ψ(x) = E(Y | X = x).
Definice 2.13. Funkce (tj. náhodná veličina)
Ψ(x) = E(Y | X = x)
se nazývá podmíněné očekávání Y při znalosti X.
V minulém příkladu je:
Ψ(1) =
1
6
(−1) +
3
6
0 +
2
6
2 =
1
2
,
Ψ(2) =
−2
5
+
6
5
=
4
5
a Ψ(3) = 6
7
.
Věta 2.14. (O celkovém očekávání). Pro podmíněné
očekávání Ψ(x) = E(Y | X = x) platí
E(Ψ(x)) = E(Y ),
tedy
E(Y ) = E(E(Y |X)).
• Opravdu, střední hodnotu náhodné veličiny E(Y |X) lze
vypočítat
E E(Y |X) =
x
E(Y |X = x) · fX (x) =
=
x y
y · fY |X (y|x) · fX (x) =
=
y
y
x
fY |X (y|x) · fX (x) =
=
y
y · fY (y) = E(Y )
(14)