Spojité náhodné veličiny a podmíněná hustota
► Nechť X a Y jsou dvě spojité náhodné veličiny se sdruženou hustotou fx,y(x,y) a marginálními hustotami fx(x) a fy(y)-
► X a Y jsou nezávislé, právě když platí
fx,y{x,y) = fx(x)fY(y)
► Podmíněná hustota pro X s daným Y = y je
W(*|y) =
fx,v{x,y)
fy{y)
Pro nezávislé X, Y tedy platí
fx\Y(*\y) = fx(x).
Tedy znalost hodnoty Y nedává žádnou informaci o X, hustota X zůstává stejná.
► Sdruženou hustotu je možné vyjádřit jako součin podmíněné a marginální hustoty
fxAx>y) = fx\y{x\y)Hy)'
► Marginální hustotu získáme integrací sdružené hustoty
fx{x) = J fxAx>y)dy-
► Je možné fx{x) vyjádřit jako
fx{*) = / fx\YÍx\y)fY{y)dy.
► Veličiny X a Y mohou být zaměněny
fx\y{x\y)fY{y) = W\x{y\x)fx{*)>
protože obě strany rovnice jsou rovny sdružené hustotě X a Y.
► Z této rovnice je možné odvodit Bayesovu větu pro spojité n.v.
VWr)-—^5—
► Obvykle: x ... parametr, y ... data
Podmíněná střední hodnota
► Uvažujme podmíněnou hustotu X za podmínky Y = y, tedy fX\y{x\y).
► Podmíněnou střední hodnotu pak můžeme vyjádřit v následujícím tvaru
► jako v diskrétním případě, jen nahradíme sumu integrálem
► Rovnice (1) je funkcí y.
► Podmíněnou střední hodnotu můžeme tedy chápat jako náhodnou veličinu, jako funkci Y.
(1)
Podmíněná střední hodnota
► Pro střední hodnotu náhodné veličiny E(X| Y) platí
E[E(X\Y)] = E(X).
► Zákon celkového očekávání dokážeme takto
=   / / xfX\Y{x\y) dxfY{y) dy
=     x   fx]Y(x\y)fY(y) dy dx
=   í xfx{x)dx = E(X).
"Stejný" důkaz jako v diskrétním případě.
Podmíněná střední hodnota
V rovnici E(X| V = y) = JxfX\Y{x\y) dx je možné nahradit X libovolnou funkcí h(X, Y)
E[h(X, Y)\Y = y] = Jh(x,y)fxlY(x\y)dx.
E[h(X, Y)\Y] je náhodnou veličinou, která je funkcí Y. Platí pak
E{E[h(X,Y)\Y]}  =  J E[h(X,Y)\Y = y]fY(y)dy
h{x,yVx\Y{x\y) dxfY{y)áy
h(x,y)Vx\Y(x\y)fY(y)] dxdy
h(x,y)fx>Y(x,y)dxdy = E[/7(x,y)].
Podmíněný rozptyl
Platí důležitý vztah pro výpočet celkového rozptylu. Zákon o celkovém rozptylu:
Var(X) = E[Var(X|V)] + Var[E(X|V)] - EVVE's law.
□ rS1
Důkaz:
Víme že
Var(X|Y) = E{X2\Y) - (E(X|V))2
Tedy podle zákona o celkovém očekávání máme
Var{X)= E(X2)-(E(X))2 = E{[E(X2\Y)]} - [E(E(X\Y)f -E(E(X\Y)2) + E(E(X\Y)2) = E[Var(X|V)] + Var[E(X|V)].
Tím je tvrzení dokázáno.
□ 9
Příklad
Uvažujme životní pojištění pro případ smrti uzavřené na 1 rok. Pojišťovna vyplatí částku b v případě, že nastane pojistná událost (pojištěný zemře) a nevyplatí nic, zůstane-li pojištěný v daném roce naživu. Pravděpodobnost pojistné události je q. Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci náhodného pojistného nároku X a dále pak také E(X) a Var(X).
Indikátor
Náhodnou veličinu X můžeme také zapsat ve tvaru
X = Ib, (4)
kde
► b je konstantní pojistná částka vyplacená v případě smrti,
► / je náhodná veličina nabývající hodnoty 1 v případě, že dojde k pojistné události a hodnoty 0 v případě opačném.
Tedy platí
p(/ = 0) = 1-qr P(/=1)  = q.
Pak
E(/) = q  Var(/) = g(1 - q).
Indikátor
► Náhodná veličina / g {0,1} se označuje jako indikátor, někdy také jako Bernoulliho náhodná veličina nebo binomická náhodná veličina.
► / nabývá hodnoty 1 v prípade výskytu pojistné události a hodnoty 0 v případě, že pojistná událost nenastane.
Zobecnění modelu
Model (4) můžeme rozšířit na
X = IB,
kde
► X je náhodný škodní nárok za dané období,
► B je celková výše nároku, který vznikl v daném období,
► /je indikátor. Stále budeme uvažovat
P(/=1) = Q.
□ s
Zobecnění modelu
Pak podle vzorce (2) můžeme psát
E(X)=E[E(X|/)]
a podle vzorce (3)
Var(X) = Var[E(X|/)] + E[Var(X|/)].
Označme
H=E{B\I=^   a2 = Var(B|/= 1).
Pak platí
E(X|/ = 0) = 0 a E(X|/ = 1) = E(B|/= 1) Odtud dostáváme E(X|/) jako funkci /, tedy
E(X|/) = /il.
□ s
Dostáváme Odtud tedy
E[E(X|/)] = a*E(/) = /*(/•
E(X) = fiq. Podobně můžeme psát pro rozptyl
Var[E(X|/)] = \x2 Var(/) = - q).
Zobecnění modelu
Protože X = 0 pro / = 0, tak
Var(X|/ = 0) = 0.
Pro / = 1 máme X = Ba tedy
Var(X|/= 1) = Var(6|/ =
Odtud pak dostáváme
Var(X|/) = a2l.
Dále platí
E[Var(X|/)] = a2E(l) = a2q.
Tedy pokud dosadíme do vzorce
Var(X) = Var[E(X|/)] + E[Var(X|/)],
dostáváme
Var(X) = i/q(-\ - q) + a2q.
□ i5P
Příklad:
Uvažujme roční životní pojistku pro případ smrti.
Zemře-li pojištěný v důsledku úrazu, má být pozůstalým vyplaceno 50 000Kč.
Zemře-li pojištěný z jiného důvodu, bude pozůstalým vyplaceno 25 000Kč.
Předpokládejme, že u pojištěného je pravděpodobnost úmrtí v důsledku úrazu 0,0005 a pravděpodobnost úmrtí z jiné příčiny je 0,002.
Určete
P(/=1), P(/ = 0), P(B = 25000|/= 1), P(B = 50000|/= 1).
Individuální model rizika
S ... náhodná veličina představující úhrn škod za období pevně zvolené délky T
n ... počet smluv v pojistném kmeni. Pak individuální model:
► pracuje s riziky příslušejícími jednotlivým pojistným smlouvám v pojistném kmeni.
► zabývá se vlastnostmi individuálních škodních nároků
Xj,i = 1,n připadajících na jednotlivé pojistné smlouvy.
► uplatňuje se v důležité oblasti určování pojistného podle individuálního škodního průběhu.
Pro vyšetření úhrnu
s=í>
/=1
předpokládáme, že náhodné veličiny X, jsou nezávislé.
► Kolektivní model rizika vychází z předpokladu, že
v dostatečně homogenním pojistném kmeni lze považovat výše škodních nároků z jednotlivých pojistných událostí za stejně rozdělené náhodné veličiny.
► Úhrn škod je pak vyjádřen součtem
N
/=1
kde náhodná veličina N představuje počet všech pojistných událostí v uvažovaném období a
i — 1,2,...,
je posloupnost škodních nároků bez ohledu na to, které pojistné smlouvě příslušejí.
Budeme-li předpokládat že Xh / = 1,2,je posloupnost
► stejně rozdělených
► a vzájemně nezávislých náhodných veličin
► a že náhodná veličina N nezávisí na dané posloupnosti, má úhrn škod S složené rozdělení.
□ s