Spojitá nezáporná rozdělení
- Pro modelování velikostí jednotlivých pojistných nároků používáme většinou spojitá rozdělení.
- Normální rozdělení není nezáporné, tedy se pro modelování nehodí
- Někdy se ale používá pro aproximaci v centrální oblasti, t.j. okolo E(X), na základě centrální limitní věty
- Chvosty (konce) rozdělení se ale musí modelovat zvlášť!
Exponenciální rozdělení a jeho vlastnosti
Spojitá náhodná veličina má exponenciální rozdělení, jestliže jeho hustota je dána vztahem
f(x) = \e~Xx (1)
pro x > 0 a je rovna nule jinak.
Distribuční funkce exponenciálního rozdělení je tedy
F(x) = 1 - e~Xx (2)
pro x > 0, a rovna nule jinak.
Moment generující funkce exponenciálního rozdělení je dána vztahem
E[etx] = j   e*Ae"A*ofx = ^77 = j—qÍ (3)
kde 6 = j. Momenty náhodné veličiny X můžeme získat derivováním moment generující funkce.
Tím dostaneme
E[X] = 1 = 0 (4)
Jednou z hlavních vlastností exponenciálního rozdělení je že nemá pamět. Platí totiž
P{X >s+t\X>t} = P{X > s}. (6)
Je-li například X životnost daného stroje, pak pravděpodobnost že stroj bude fungovat alespoň s + t hodin, za podmínky že již funguje t hodin, je stejná jako počáteční pravděpodobnost že bude fungovat alespoň s hodin. Stroj si "nepamatuje" svoji minulost.
- Opačná situace: efekt opotřebení nebo zahoření.
Vlastnost absence paměti
Exponenciální rozdělení je jediné rozdělení které nemá pamět.
Dokážeme to následovně. Nechť
F = P{X > x} (7) je funkce přežití. Pak z předchozího vztahu platí
F{s+t) = F{s)F{t) (8)
Jinak řečeno, F splňuje funkcionální rovnici
h(s+t) = h(s)h(t). (9)
Dokážeme ted že jediná zprava polospojitá řešení této rovnice mají tvar exponenciály. Ze vztahu
h{s+t) = h{s)h{t). (10)
máme
h(-) = h(- + -) = h2(-). (11)
Opakováním stejného argumentu dostaneme
Dále platí
Tedy
a tedy
K-) = hm(-). (12)
A7 A7
/7(1) = /7(l + ... + l) = /7"(l). (13)
/7(x) = /7(1f, (15)
protože h je pospojitá zprava.
Platí
h(l) = h2C-)>0, (16)
a tedy
h(x) = e~Xx, (17)
kde A = -ln/7(1). Musí tedy platit
F=eAx, (18)
protože distribuční funkce je zprava polospojitá, což je funkce přežití exponenciálního rozdělení.
Míra rizika
- V životním pojištění se používá termín intenzita úmrtnosti
Uvažujme spojitou náhodnou veličinu X a distribuční funkcí F a hustotou f.
Definice: Funkce míry rizika je definována jako
A(ř) = M (19) v ; F(ř)
Představme si, že skoumáme životnost nějakého stroje (součástky), a předpokládejme, že stroj již funguje t hodin.
Chceme spočítat pravděpodobnost, že nevydrží další časový úsek dt, tedy
P{Xe(t,t + dt)\X> ŕ}, (20)
kde n.v. X modeluje čas poruchy stroje. Máme
p{xg(ŕ,ŕ+ď0ix>ŕ}=p(X€(ŕp;;fAX>ř) (21)
což je rovno
Xe(t,t + dt) ^ fJJW
P(X>t)    ~ ~F(t) K ]
= \{t)dt. (23)
Tedy A(r) reprezentuje intenzitu pravděpodobnosti, že Mety stroj přestane fungovat v čase ř.
Je-li rozdělení exponenciální, pak z vlastnosti absence paměti je podmíněné rozdělení stejné jako počáteční, tedy A je konstantní,
A« = ^Sr = A- (24)
Tedy míra rizika pro exponenciální rozdělení je konstantní.
Ukážeme ještě že míra rizika naopak jednoznačně určuje pravděpodobnostní rozdělení. Opravdu, máme
F(ř)
Integrováním dostaneme
InF(ř) = - / \(s)ds + k
Jo
□ s
tedy
F (t) = ceJÍ^)* (27) kde pro t = 0 dosteneme c = 1. Celkem
F(f) = ©/o^W* (28)
Odtud plyne že exponenciální rozdělení je jediné rozdělení s konstantní funkcí rizika.
Zobecnění
- Sčítáním IID náhodných veličin s exponenciálním rozdělením dostaneme Gamma rozdělení
Jsou-li X1,Xn nezávislé a všechny mají Exp(A). Pak jejich součet má rozdělení Gamma(n, A).
Hustota Gamma rozdělení je
\na-Xxvn-1
ř<x> = —(29)
kde r(n) je Gamma funkce:
r(n) = í
JO
oo
xn-1 e-xdx (30)
Pro celočíselné hodnoty platí
r(n) = (/7-1)! (31)
Individuální model rizika
S ... náhodná veličina představující úhrn škod za období pevně zvolené délky T
n ... počet smluv v pojistném kmeni. Pak individuální model:
► pracuje s riziky příslušejícími jednotlivým pojistným smlouvám v pojistném kmeni.
► zabývá se vlastnostmi individuálních škodních nároků
Xj,i = 1,n připadajících na jednotlivé pojistné smlouvy.
► uplatňuje se v důležité oblasti určování pojistného podle individuálního škodního průběhu.
Konvoluce
► Pomocí modelu pro individuální škodní nárok je možné také modelovat nárok pojišťovny S, který je možné chápat jako součet nároků jednotlivých pojištěných
Xj, / = 1,2,..., n
n
s = Y.x,
/=1
► Předpokládejme nezávislost jednotlivých nároků.
► Cílem bude určit distribuční funkci, případně pravděpodobnostní funkci či hustotu celkového souhrnu těchto pojistných nároků.
Uvažujme nejprve součet dvou nezávislých n.v
S = X + Y.
Pak distribuční funkce veličiny S je
Fs(s) = P(S < s) = P(X + Y < s).
Pro dvě nezávislé, nezáporné diskrétní náhodné veličiny můžeme psát distribuční funkci
Fs(s)  =  ^P(X+y<s|y = y)P(y = y)
y<s
= J2nX<s-y\Y = y)P(Y = y)
y<s
Pro pravděpodobnostní funkci pak platí
Ps(s) = J2px(s-y)Py(y)-
y<s
Pro spojité nezáporné náhodné veičiny můžeme psát podobně
Fs(s)  =   ľ nx<s-y\Y = y)fY(y)dy
Jo
=   / Fx{s-y)fy{y)áy. Jo
Hustota má tvar
fe(s)= ľfx(s-y)fY(y)dy. Jo
Uvažujeme-li náhodné veličiny, které mohou nabývat záporných hodnot, pak sumy a integrály v předchozích vzorcích budou v rozmezí od — oo do oc.
Operaci vyjádřenou rovnicemi
Fs(s) = Y.Fx(s~y}pyW
y<s
Fs(s)  =   f Fx{s-y)fy{y)áy
Jo
nazýváme konvoluce distribučních funkcí Fx a Fy a značíme ji
Fx * Fy.
Podobně pak pro hustoty nebo pravděpodobnostní funkce můžeme konvoluci těchto funkcí vyjádřit pomocí rovnic
(fx*fy)(s)  =   f fx{s-y)fy{y)áy
Jo
(px*Pr)(s)  = ^2px{s-y)py{y).
y<s
Zobecnení
Budeme-li uvažovat součet více než 2 náhodných proměnných pak můžeme proces konvoluce použít iterativně.
► Uvažujme náhodnou veličinu S definovanou jako
S = Xi + X2 +... + Xn,
► Označme F, distribuční funkci X\ a F^ distribuční funkci X\ + X2 + ... + Xk-
► Pak distribuční funkci S můžeme zapsat pomocí iterace
p(2)   =   F2*F(1) = F2*F| F(3)   = F^F(2)
pí")   = Fn*F(n"1)
Příklad
Uvažujme nezávislé diskrétní náhodné veličiny X1, X2 a X3. Jejich rozdělení je definováno následující tabulkou
X	Pi(*)	P2(X)	Ps(*)
0	0.4	0.5	0.6
1	0.3	0.2	0
2	0.2	0.1	0.1
3	0.1	0.1	0.1
4		0.1	0.1
5			0.1
Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci veličiny
S = X-\ + X2 + X3.
Příklad
Uvažujme nezávislé spojité náhodné veličiny X1, X2 a X3. Jejich rozdělení je definováno takto
	= c~x	x > 0.
	= 2e-2x	x > 0,
U*)	= 3e-3x	x > 0.
Určete pravděpodobnostní hustotu veličiny
S = X-\ + X2 + X3.
Momentová generující funkce
► Další způsob, jak lze určit rozdělení součtu náhodných veličin, je založen na využití momentové generující (vytvořující) funkce.
► Ta je definovaná pomocí vzorce
Mx(t)= E(eřX).
► Je-li E(eřX) konečná pro každé t na otevřeném intervalu okolo počátku, pak je veličina X touto funkcí jednoznačně určena.
Momentová vytvořující funkce veličiny S = X-\ + X2 + ... + Xn je
pak
Ms(t)   =   E(eřS) = E(eř(Xl+X2+-+x"))
=   E(eřXl etX2 ■ ■ ■ etXn). Jestliže jsou veličiny X-\, X2,Xn nezávislé, pak
E( eřXl ttXz... ttXn)= E( eřXl) E( ttXz) • • • E( ttXn)
Tedy
Ms(t) = MxAt)MxJt)---MXn(t).
Příklad
Předpokládejme nezávislé náhodné veličiny X1, X2, X3 s exponenciálním rozložením, jejichž hustoty jsou
	= c~x	x > 0.
	= 2t~2x	x > 0,
	= 3t~3x	x > 0.
Pomocí momentové vytvořující funkce odvoďte pravděpodobnostní hustotu veličiny
S = X-\ + X2 + X3.