M6520 Jméno:
22.1.2018
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů. Minimum (včetně semestrální písemky) je 30 bodů. Na práci máte 90 minut.
Hodnocení				Sem.	
					
					
1. (6krát ±1 bod — správně 1 bod, chybně —1, bez odpovědi 0) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano — ne Pro všechna přirozená čísla n platí íp(2n) = f(n).
(b) ano — ne  Diofantická rovnice xn + yn = zn s neznámými x,y,z G N nemá pro parametr n G N \ {1} žádné řešení.
(c) ano — ne Relace dělitelnosti na množině celých čísel je antisymetrická.
(d) ano — ne  Binomická kongruence xn = a (mod p), kde a,n G N a p je prvočíslo splňující (n,p — 1) = 1, má jediné řešení modulo p.
(e) ano — ne Je-li celé číslo g primitivním kořenem modulo m G N, pak je primitivním kořenem také gd pro libovolné d G N, pro které (d, (j)(m)) = 1.
(f) ano — ne Je-li m liché složené číslo, a G Z takové, že (^j = — 1, pak kongruence x2 = a (mod m) není řešitelná.
2. (6 bodů) Určete, pro které hodnoty prvočíselného parametru p má rovnice
2x2 — x — 36 = p2 celočíselné řešení. Zdůvodněte a rovnici vyřešte.
3. (6 bodů) Rozhodněte, pro která přirozená čísla n platí 3n = n (mod 13). Je čísel vyhovujících této kongruenci nekonečně mnoho?
4. (8 bodů) Určete počet řešení kongruence 3x2 + 6x + 1 = 0 (mod 4673), víte-li, že 4673 je prvočíslo.
5. (8 bodů) Uvažte speciální prvočíslo m = 2017 a určete:
(a) inverzi c kolumbovského čísla 1492 modulo m, pro níž navíc 1 < c < m,
(b) počet a součet dělitelů čísla c,
(c) všechna n G N taková, že (p(n) = m,
(d) počet přirozených čísel menších než m, nesoudělných s 25.
6. (6 bodů)
(a) Dokažte, že má-li a řád r modulo m, má ak modulo m řád jfj^-
(b) S využitím předchozí části dokažte, že číslo a, které je kvadratickým zbytkem modulo prvočíslo p, nemůže být primitivním kořenem modulo p.
(c) S využitím předchozích částí dokažte, že je-li a G N primitivní kořen modulo prvočíslo p = 719, pak musí být větší než 10.
Pozn: Využít výsledek předchozí části můžete i v případě, že jste ji nevyřešili.