Galoisova teorie nekonečných rozšíření Radan Kučera, květen 2015 Nechť K/F je algebraické, normální a separabilní rozšíření. I když K/F je nekonečné rozšíření, máme jako u konečných rozšíření grupu Ax\k(K/F) a můžeme se ptát, jestli její všechny podgrupy odpovídají jednoznačně všem mezitělesům (tedy tělesům M splňujícím F C M C K). Následující příklad ukazuje, že obecně ne. Příklad 1. Nechť F = Q, za těleso K zvolme kompozitum všech kvadratických rozšíření tělesa racionálních čísel, tj. K = Q(\/ä; a G Q) = Q(\/zT,V^,\/3,\/5,\/7,\/lT,...)- Pak Aut(if/Q) = Aut(iT). Libovolný a G Aut(-řř/Q) je určen svými obrazy na y/— 1 a yjp pro všechna prvočísla p, přitom o"(v/—T) = ±\/—T a cr^y/p) = ±y/p pro každé prvočíslo p. Je tedy a2 = idx- Proto je Aut (Ä") komutativní 2-elementární grupa, tedy vektorový prostor nad tělesem F2 o dvou prvcích. Evidentně je Aut (Ä") nekonečná grupa (z Kummerovy teorie plyne, že jsou-li p1}... ,pn různá prvočísla, pak [Q(v/pi,..., y/p^) : Q] = 2n), je to tedy nekonečně rozměrný vektorový prostor. Pak množina všech nenulových lineárních zobrazení Aut (Ä") —> ¥2 je nespočetná (zvolíme-li libovolně bázi, pak nenulová lineární zobrazení jednoznačně odpovídají neprázdným podmnožinám báze, protože těleso skalárů má dva prvky). Tato lineární zobrazení jednoznačně odpovídají podgrupám grupy Aut(.řř) indexu 2 (každé odpovídá svému jádru). Proto je těchto pod-grup více než kvadratických rozšíření Q, kterých je jen spočetně mnoho (každé kvadratické rozšíření Q je Galoisovo, tedy cyklické, a protože ±1 G Q, je tvaru Q(y/a) pro nějaké a G Q). Ačkoli každému takovému kvadratickému rozšíření Q odpovídá jednoznačně určená podgrupa grupy Aut (Ä") indexu 2 a různým rozšířením odpovídají různé podgrupy, naopak to neplatí. Jen spočetně mnoha těmto podgrupám odpovídá rozšíření, kdežto pro nespočetně mnoho podgrup odpovídající rozšíření neexistuje. Cílem následujícího textu je vysvětlit proč; a také ukázat, čím se podgrupy odpovídající rozšířením odlišují od těch ostatních. Poznámka 2. Připomeňme, že topologický prostor je libovolná množina spolu s topologií na ní. Topologie na množině X je libovolný systém podmnožin množiny X, kterým se říká otevřené (v této topologii), splňující: prázdná množina i celá množina X jsou otevřené, průnik libovolných dvou otevřených množin je otevřená množina a sjednocení libovolného systému otevřených množin je otevřená množina. 1 Největší topologií na množině X je tzv. diskrétní topologie, v níž je každá podmnožina množiny X otevřená. Naopak nej menší topologií na množině X je tzv. indiskrétni topologie, v níž jsou otevřené pouze prázdná množina a množina X. Topologii na množině X lze zadat pomocí nějaké její báze (resp. subbáze) otevřených množin, což je libovolný systém otevřených množin takový, že otevřenými množinami v X jsou právě sjednocení libovolně mnoha množin z báze (resp. množin, které jsou průniky konečně mnoha množin ze subbáze). Ze znalosti báze (resp. subbáze) snadno určíme celou topologii: pro libovolnou subbázi tvoří systém všech průniků konečně mnoha množin ze subbáze bázi; celou topologii pak dostaneme jako systém všech sjednocení množin báze. Další možností, jak zadat topologii na množině X, je popsat pro každý bod x E X bázi (resp. subbázi) otevřených okolí bodu x, což je libovolný systém otevřených množin obsahujících bod x takových, že každá otevřená množina obsahující bod x nutně obsahuje i některou množinu z báze otevřených okolí bodu x (resp. průnik některých konečně mnoha množin z subbáze otevřených okolí bodu x). Máme-li pro každý bod dánu bázi (resp. subbázi) otevřených okolí tohoto bodu, jejich sjednocením dostaneme bázi (resp. subbázi) otevřených množin. Topologický prostor X se nazývá Hausdorffuv (neboli T2), jestliže pro každé x, y E X, x ^ y, existují disjunktní otevřené množiny A, B C X tak, že x E A, y E B. Z libovolného metrického prostoru (X, p) získáme Hausdorffuv topologický prostor na X tak, že za bázi otevřených okolí libovolného bodu x E X zvolíme systém otevřených koulí se středem v bodě x s poloměry libovolně se blížícími nule, například {y E X; p(x,y) < n E N. Množina A C X se nazývá uzavřená (v této topologii), právě když je její doplněk X — A otevřená množina. Množina A C X se nazývá kompaktní (v této topologii), právě když z libovolného jejího otevřeného pokrytí (tedy z libovolného systému otevřených množin, jejichž sjednocení je A podmnožinou) lze vybrat konečné podpo-krytí. Topologický prostor X se nazývá kompaktní, je-li celá množina X kompaktní. Zobrazení X —> Y mezi topologickými prostory se nazývá spojité, jestliže pro každou otevřenou množinu A EY ]e množina C X otevřená. Zobrazení X —> Y mezi topologickými prostory se nazývá homeomorfis-mus (někdy též izomorfismus topologických prostorů), jestliže je / bijektivní a obě zobrazení / i f~ľ jsou spojitá. 2 Je-li X topologický prostor aľCI jeho libovolná podmnožina, můžeme na Y definovat topologii tak, že otevřenými množinami v topologii na Y jsou právě průniky množiny Y postupně se všemi otevřenými množinami na X. Tomuto topologickému prostoru Y se říká podprostor topologického prostoru X. (Jedná se tedy o nejmenší topologii na Y, v níž je zobrazení inkluze Y —> X spojité.) Jsou-li Xi, i E I, topologické prostory, na součinu množin X = YlieIXi definujeme topologii takto: je to nejmenší topologie, v níž jsou všechny projekce 7Tj : X —> Xi spojité. Tomuto topologickému prostoru X pak říkáme součin topologických prostorů Xi, i E I. (Znamená to, že subbází otevřených množin v X je systém množin n^1(A), kde i E I a A C Xi je otevřená množina v topologii prostoru Xi.) Platí Tichonovova věta: Součinem libovolného systému kompaktních topologických prostorů je kompaktní topologický prostor. Podmnožina topologického prostoru se nazývá obojetná, právě když je současně otevřená i uzavřená. Topologický prostor se nazývá souvislý, jestliže jeho jediné obojetné množiny jsou prázdná množina a celý prostor. Podmnožina Y topologického prostoru X se nazývá souvislá, jestliže tvoří v topologii podprostoru (zmiňované výše) souvislý topologický prostor. Jinými slovy: podmnožina Y topologického prostoru X není souvislá, právě když existují otevřené množiny A, B topologického prostoru X takové, žeAr\YaBC\Y jsou neprázdné disjunktní množiny, jejichž sjednocením je Y. Topologický prostor se nazývá totálně nesouvislý (anglicky totally disconnected), jestliže nemá žádnou alespoň dvouprvkovou souvislou podmnožinu. Topologické prostory, pro jejichž každé dva různé body existuje obojetná množina, která obsahuje právě jeden z nich, se nazývají totálně separované (anglicky totally separated). Každý takový prostor je totálně nesouvislý (opačná implikace však neplatí). Definice 3. Nechť (G, ■) je grupa taková, že její nosná množina je současně topologický prostor. Pak i součin G x G je topologický prostor (s topologií součinu). Jestliže obě zobrazení G —> G, x i y x ^ db GxG —> G, (x,y) x-y, jsou spojitá, říkáme, že G je topologická grupa. Příklad 4. • Libovolná grupa spolu s diskrétni nebo indiskrétni topologií je topologická grupa. • Grupy (IR, +) a (M*,-) vzhledem k obvyklé topologii dané metrikou absolutní hodnoty jsou topologické. 3 • Pro libovolné n G N je (IRn, +) spolu s topologií danou euklidovskou metrikou také topologická grupa. • Grupa (F2,+) spolu s topologií, v níž jsou otevřené právě množiny IF2, {[0]2}, 0, není topologická, protože zobrazení + : F2 x F2 —> F2 není spojité (promyslete si, které podmnožiny jsou v topologickém prostoru F2 x F2 otevřené). Poznámka 5. Nechť (G, •) je topologická grupa. Zobrazení G x G —> G, (x, y) H> x ■ y, je spojité, a tedy pro každé g G G je posunutí pg: G x G —>• G, pg{x) = g ■ x, spojité. Přitom jde o bijekci, jejíž inverzí je pg-i. Je tedy pg homeomorfismus. Proto lze topologii topologické grupy zadat nějakou bází (resp. subbází) otevřených okolí neutrálního prvku 1 G G. Tvrzení 6. Je-li I množina a pro každé i E I je dána topologická grupa Gi, pak součin grup Yíiei ^i SP°^U s topologii součinu tvoři topologickou grupu. Definice 7. Relace ^ na množině I se nazývá předuspořádání, jestliže je reflexivní a tranzitivní. Řekneme, že (J, ^) je usměrněná množina, jestliže ^ je předuspořádání, v němž má každá konečná podmnožina horní závoru, jinými slovy pro každé i,jel existuje k E I tak, že i ^ k, j ^ k. Definice 8. Nechť (J, ^) je usměrněná množina taková, že pro každé i G / je dána množina Gi a pro každá i,jel,i^j, je dáno zobrazení Gi, přičemž platí • Vie I : (píí = idGi, • Vi,j,k e I : i ^ j ^k =^ ifij o ipjk = ipik. Pak G i, i e I, nazveme projektivním (nebo též inverzním) systémem množin. Jeho projektivní (nebo též inverzní) limitou rozumíme \imGt = {x G ]jGt; Vi,j e I: i^j =^ Vij (x(j)) = x(i)} ■ * iei Pro každé jel pak dostáváme projekci ttj: lim G i —> G j (stačí zúžit projekce ze součinu). Tyto projekce zřejmě pro každé i, j G /, i ^ j, tvoří komutativní diagram lim Gi 4 Je-li navíc každé Gi grupa (resp. okruh, resp. topologický prostor, resp. topologická grupa) a je-li každé G i takové, že pro každé komutuje diagram Pak existuje jediné zobrazeni ip: H —> limGj tak, že pro každé j G / komutuje diagram H----limGí Tvrzení 10. Je-li Gi, i E I, projektivní systém grup (resp. okruhů), pak je limGj podgrupou (resp. podokruhem) součinu \\ieiGi. Příklad 11. • Nechť p je prvočíslo. Zřejmě (N, <) je usměrněná množina. Pro každé i, j G N takové, že i < j, máme jediný homomorfismus okruhů (fij-.lj/pilj —> 'L/pl'L (platí (pij([a\pj) = [a]pi pro každé a G Z). Tyto homomorfismy tvoří projektivní systém okruhů (to plyne okamžitě už z toho, že to jsou jediné homomorfismy mezi uvedenými okruhy). Jako inverzní limitu dostáváme okruh Zp = limZ/j^Z, který se nazývá okruh celých p-adických čísel. • Zřejmě (N, |) je usměrněná množina. Pro každé m,n G N takové, že m \ n, máme jediný homomorfismus okruhů (^mn:Z/nZ —y Z/mZ 5 (platí (pmn([a]n) = [a]m pro každé a G Z). Tím opět dostáváme projektivní systém okruhů, jehož inverzní limitou je okruh Z = limZ/mZ. Je možné ukázat, že Z = Yip^pi kde p probíhá všechna prvočísla a Zp je výše zmíněný okruh celých p-adických čísel. Věta 12. Nechť Gi, i E I, je projektivní systém Hausdorffových topologických prostorů. Pak projektivní limita limGj je uzavřená podmnožina topologického prostoru Yíiei Gi ■ Důkaz. Ukážeme, že doplněk ILe/*-^ ~~ lim G i je otevřená množina. Nechť X e UieiG^ X Í UmGj. Pak existují i, j G j, tak, že (fij(x(j)) Ý *(«)• Protože G i je Hausdorffův, existují disjunktní otevřené množiny U, V C d tak, že x(i) £ U, G j jsou spojité. Proto množiny ^"""({l}), j E I, tvoří subbázi otevřených okolí neutrálního prvku. Protože (J, ^) je usměrněná, pro libovolnou konečnou podmnožinu {ii,..., in} C I existuje j E I tak, že i\ -< j, ..., in -< j. Protože Gal^/F) 7 je homomorfismus grup. Grupy Gal(L/F) jsou konečné, jestliže je vezmeme s diskrétní topologií, dostáváme jako inverzní limitu tohoto projektivního systému topologických grup prokonečnou grupu lim Gal(L/F), přičemž L v limitě probíhá usměrněnou množinu C. Označme G = Aut(K/F). Pak pro každé L e C máme restrikci resx/L : G —ř Gal(L/F), která je homomorfismem grup. Pro každé Li, L2 e C, L\ C L2, máme komutativní diagram Gal(L2/F) ieSL2/Li : Gal(Li/F) Stejně jako v tvrzení 9 tím dostáváme zobrazení p: G —> lim Gal(L/F), ve kterém se a e G zobrazí na prvek, v jehož L-té komponentě je resx/z,(°")- Zřejmě je p homomorfismus grup. Předpokládejme, že existuje a e ker p, o ý id/s:- Pak existuje a e K tak, že a(a) ^ a. Přitom toto a je algebraické nad F (vždyť K/F je algebraické) a jeho minimální polynom / nad F nemá násobné kořeny (vždyť K/F je separabilní) a všechny kořeny / leží v K (vždyť K/F je normální). Proto rozkladové těleso L polynomu / nad F splňuje L C K, a tedy L e C Protože a e ker p, platí resx/z,(°") = idz,-Navíc a e L, a tedy a ý a(a) = (resx/L(o"))(c>í) = idz,(aO = ct, spor. Je tedy p injektivní. Ukažme, že je p také surjektivní. Zvolme x £ limGal(L/F) libovolně, ale pevně. Konstruujme o:K^tK takto: už víme, že pro libovolné a e K existuje L e C tak, že a e L; položme a(a) = (x(L))(a). Tato definice je korektní, neboť jsou-li Li, L2 e £ takové, že a e L\ a a e L2, pak také jejich kompozitum L1L2 G £ a z % G limGal(L/F) plyne resLlL2/Ll x(LiL2) = x(Li), resLlLž/L2 x(LiL2) = x(L2), a tedy (x(Li))(a) = (x(L1L2))(oí) = (x(L2))(«). Je tedy a definováno korektně. Snadno se ukáže, že je a automorfismus: pro libovolné a, (3 e K 8 existuje L E C, a, (3 E L, a x{L) je automorfismus tělesa L. Tedy o je homo-morfismus okruhů. Zřejmě 0(01) = a pro každé a E F. Protože K je těleso, je u injektivní. A protože libovolné a G K je kořenem svého minimálního polynomu / nad F a, a permutuje kořeny polynomu /, je o surjektivní. Tedy o G G. Dokázali jsme, že p:G -> lim Gal(L/F) je izomorfismus grup. Protože grupa vpravo je prokonečná, lze izomorfismem p přenést topologii prokonečné grupy na G. Tato topologie na G = Aut(K/F) se nazývá Krullova. Z poznámky 14 dostáváme popis báze otevřených okolí neutrálního prvku idx grupy G. Pro každé L G C je ttl ° P = res^/l? a platí (ttl ° p)_1({id.ř,}) = Aut(K/L). Proto Aut(K/L), L G £, tvoří bázi otevřených okolí neutrálního prvku idx grupy G. Lemma 20. Pro každé L E C platí, že res^/l : G —> Gal(L/F) je surjektivní. Důkaz. Nechť o G Gal(L/F) je libovolné. Označme M. množinu všech uspořádaných dvojic (M,r), kde těleso M splňuje L c M c K & pro automorfismus r: M —y M platí resM/l(t) = °- Zřejmě (L, a) G M, a tedy je neprázdná. Na zavedeme uspořádání < takto: (Mi,ti) < (M2,t2), právě když Mi C M.2 a resM2/Mi(t2) = t\- Zřejmě libovolná lineárně uspořádaná podmnožina M. má v M. horní závoru. Podle Zornova lemmatu existuje maximální prvek (M0,t0) množiny Ái. Předpokládejme na okamžik, že existuje a G K, a ^ M0. Označme / minimální polynom prvku a nad F, nechť R je rozkladové těleso polynomu / nad M0. Automorfismus r0 nechává koeficienty polynomu / na místě. Z věty o jednoznačnosti rozkladových těles víme, že existuje automorfismus t\ tělesa R, jehož restrikcí na Mq je tq. Pak (R,ti) > (M0,r0), spor. Je tedy M0 = -ří. Důsledek 21. Pro libovolné a G -ří pZaíz': «GF, právě když pro každé r G G je t(qí) = a. Důkaz. Jeden směr plyne ihned z definice G. Naopak, předpokládejme, že a G K, a (jz F. Pak existuje L E C tak, že a E L. Protože a ^ F, existuje a E Gal(L/F) tak, že a(a) ^ a. Předchozí lemma zaručuje, že a je restrikcí vhodného r G G. 9 Lemma 22. Nechi M je libovolné mezitěleso rozšíření K/F, tj. pro těleso M platí F C M C K. Pak Aut(K/M) je normálni podgrupa grupy G, právě když pro každé t E G platí Aut{K/M) = Aut(K/r(M)). Tato podmínka je splněna, je-li M/F normální rozšíření. Důkaz. Zvolme r G G libovolně, ale pevně. Podle definice je Aut(K/M) množina všech prvků a G G, které splňují a(a) = a pro každé a G M, což je ekvivalentní s tím, že (r o a o r_1)(/3) = (3 pro každé (3 G t(M), tedy s tím, že roiror1 G Aut(.ří/t(M)). Je tedy Aut(K/M) normální podgrupa grupy G, právě když pro každé r G G platí Aut(K/M) = Aut(K/r(M)). Je-li M/F normální rozšíření, pak M s každým prvkem a G M obsahuje všechny kořeny minimálního polynomu / prvku a nad F, tedy pro každé r E G platí r (M) C M a také r-1 (M) C M, tj. M C r (M), dohromady r(M) = M. Důsledek 23. Pro každé L E C platí, že Aut(K/L) je normálni podgrupa grupy G. Důkaz. Z definice L jF je Galoisovo, a tedy normální. Věta 24. Uzavřené podgrupy grupy G v Krullově topologii jsou právě průniky (libovolných systému) otevřených podgrup. Přesněji: je-li H uzavřená podgrupa grupy G, pak platí H = p| HoAut(K/L). Lee Důkaz. Podle lemma 16 je každá otevřená podgrupa také uzavřená. Zřejmě průnik libovolného systému uzavřených podgrup je uzavřená podgrupa. Pro libovolnou podgrupu H grupy G je podle důsledku 23 množina H o Aut(K/L) = {roa; r G H, a E Aut(K/L)} = (J r o Aut(K/L) podgrupou grupy G a také sjednocením otevřených množin, tedy otevřenou podgrupou grupy G. Stačí tedy ukázat, že je-li H uzavřená, platí rovnost uvedená ve znění věty. Jedna inkluze je zřejmá, předpokládejme, že druhá inkluze neplatí, tj. existuje x E f]Lejr H o Aut(K/L), x ^ H. Protože H je uzavřená, je G — H otevřená. Bází otevřených okolí bodu x je systém 10 x o Aut (KjĽ), L E C. Existuje tedy L0 E C tak, že x o Aut(K / L0) C G — H. Protože x G Hle/; H ° Aut(Ä"/L), platí také x E H o Aut(K / Lq) , odkud aro Aut(if/L0) G (H o Aut(K/L0))/Aut(K/L0) = {ho Aut(K/L0); h E H}. Existuje tedy h0 E H tak, že x o Aut(K/L0) = h0o A\it(K/L0), tedy ho E x o Aut(_řř/L0) G — H, spor. Nyní už můžeme formulovat zobecnění základní věty Galoisovy teorie na nekonečná algebraická, normální a separabilní rozšíření. Věta 25. Nechí K/F je algebraické, normální a separabilní rozšíření, necht G = Aut(K/F) je topologická grupa s Krullovou topologií. Označme M. množinu všech meziteles rozšírení K j F (tj. těles M, pro která F C. M C. K) a Tí množinu všech uzavřených poágrup grupy G. Pak zobrazení a: M H, a(M) = Axň(K/M) pro kažáé M E M, (5: H -)• M, f3(H) = {x E K; Vo" G H: a (x) = x} pro kažáou H e H, tvoří ávojici navzájem inverzních bijekcí, přičemž a(Mi) D a(M2) pro kažáá M\, M2 E M, Mx C M2, (3{Hi) D /3(H2) pro kažáé H1,H2 E n, Hľ C H2. Navíc pro kažáé M E M platí M jF je normálni rozšírení M jF je konečné rozšírení M jF je konečné rozšírení M jF je nekonečné rozšírení a (M) je normálni poágrupa grupy G, a (M) je otevřená poágrupa grupy G, \G/a(M)\ = [M:F], \G/a(M)\ = oo. Důkaz. Zřejmě pro libovolnou H E H ]e {x E K; \/a E H: a(x) = x} E M, je tedy (3 dobře definováno. Abychom ukázali, že je dobře definováno i a, pro libovolnou M E M. ukažme, že Aut(K/M) je uzavřená podgrupa grupy G. Zřejmě jde o pod-grupu, zbývá ukázat, že je uzavřená. Zvolme libovolně a E G, o ^ Aut(K/M). Pak existuje x E M takové, že a(x) ^ x. Pro toto x existuje L E C tak, že 11 x E L. Pro každé r G Aut(K/L) platí (a o r) (x) = a (t (x)) = a(x) ^ x, a tedy a o Aut(K/L) je otevřená množina obsahující a, která je disjunktní s Aut(K/M). Proto je G — Aut{K/M) otevřená množina. Ihned z definic je jasné, že zobrazení a i (3 obracejí inkluze. Nechť M G M. je libovolné. Důsledek 21 pro rozšíření K/M tvrdí, že libovolné z E K splňuje z G M, právě když u{z) = z pro každé a G Aut(K/M), tj. právě když z G /3(a(M)). Je proto (3 o a = id^. Ukažme, že také ao (3 = id%. Z definic je vidět, že pro libovolnou H E V, platí H C a(P(H)). Podle věty 24 platí # = p| HoAut(K/L), Lee a tedy /?(#) = /3^p| HoAut(K/L)^j D (J /3(H o Aut(K/L)), Lee Lee odkud a(/3(H)) C a^(J o Aut(if/L))) C p| o Aut(if/L)))). Jestliže ukážeme, že a ((3(HoAut(K/L)))) = Ho Aut(K/L), průnik vpravo bude roven H a rovnost (a o (3){H) = H bude dokázána. Z definic plyne, že platí H o Aut(K/L) C o Aut(.ří/L)))). Zvolme libovolně, ale pevně a E a(/3(HoAut(K/L)))). Pak a E Aut (K//3 (H o Aut (K/L))), jinými slovy: o" G G je takové, že pro každé z E K platí, že (1) Mt E H o Aut(K/L): r (z) = z =>■ o-(^) = 2. Potřebujeme ukázat, že a E H o Aut(K/L). Udělejme to sporem, předpokládejme naopak, že o ^ H oAut(K/L). Restrikce resx/l : C -^ Gal(L/F) je homomorfismus, který má jádro Aut(K/L). Kdyby resx/l(o") G vgsk/l{H)i existovalo by A G H tak, že resx/l(A) = resK/L(a), tedy A-1 o a E Aut(K/L), odkud a E H o Aut(K/L). Proto resx/l(°") ^ ľesK/L(H). Ovšem L/F je konečné Galoisovo rozšíření, přičemž resx/zX0") G Gal(L/F) je automorfismus, který nepatří do podgrupy ľesK/L(H) Galoisovy grupy Gal(L/F). Z hlavní věty Galoisovy teorie (pro konečná Galoisova rozšíření) plyne, že v tělese, které odpovídá podgrupě 12 ľesK/L(H), existuje prvek z takový, že (iesx/L( Gal(L/F) tak, že komutuje diagram Gal(L/F) G/ Aut(K/L) kde 7t£ je projekce na faktorgrupu. Protože Aut(Ä"/M) je podgrupou grupy G, máme rozklad G/ Aut(K/M) na levé třídy rozkladu (vzhledem k tomu, že nepředpokládáme, že je M/F normální rozšíření, nemusí být podgrupa Aut(Ä"/M) grupy G normální, a proto nelze hovořit o faktorgrupě, ale pouze o rozkladu). Sestrojíme zobrazení ip: G/Aut(K/L) -> G/Aut(K/M) předpisem 99(7 o Aut(K / L)) = 70 Aut (/f/M) pro libovolné 7 G G. Tato definice je korektní, neboť Aut(K/L) C Aut(K/M): jestliže totiž pro nějaké 13 7,5 g G platí 7 o K\it(K/L) = ô o Aut(if/L), pak (T1 o 7 g Aut(if/L) C Aut(if/M), a tedy 7 o Aut(if/M) = ó o Aut(if/M). Zřejmě je ip surjek-tivní. Protože ^ je bijekce, je také y? o ip^1 surjektivní zobrazení; přitom má následující předpis: pro dané a g Gal(L/F) zvolíme libovolné 7 g G takové, že u = resx/l(7)? Pak (y? o -í/)_1)(o") = 70 Aut(K/M). Zvolme libovolně a, r E Gal(L/F) a najděme k nim vhodná 7,5 g G tak, aby u = iesx/L(l), T = ľesK/L(ô). Následující podmínky jsou ekvivalentní: • (^of1)^) = (^of1)^), • 7 o Aut(K/M) = ôo Aut(K/M), • 7-1 o ô g Aut (if/M), • V 2 g M: (7-1 o5)(z) = z, • V ZEM: 1(z) = ô(z), • V z E M: a(z) = t(z), • V z E M: (r'1 oa)(z) = z, • r'1 o a E Gal(L/M), • a o Gal(L/M) = r o Gal(L/M). Užijeme-li předchozí implikaci zdola nahoru, dostaneme, že předpis a o Gal(L/M) ^ (y? o ^_1)(o-) pro libovolné a E Gal(L/F) korektně definuje zobrazení Gal(L/F)/Gal(L/M) G j kut(K/M). Tyto implikace shora dolů dávají, že je to injektivní zobrazení. A konečně ze surjektivity y? o ip^1 dostaneme, že je to také surjektivní zobrazení. Proto platí |Gal(L/F)/Gal(L/M)| = \G/ Aut(K/M)\, a tedy \G/Aut(K/M)\ = [M : F]. G Gal(L/F) G/Aut(K/L) G/Aut(K/M) 14 Je-li naopak M E M. takové, že M/F je nekonečné rozšíření, pro libovolné n E N existuje N E M tak, že N C M a iV/F je konečné rozšíření stupně [N : F] > n. Pak Aut(if/M) C Aut(K/N), a tedy |G/Aut(if/M)| > \G/Aut(K/N)\ = [N : F] > n. Má tedy podgrupa a(M) = Aut(K/M) v grupě G nekonečný index. Nechť nakonec je M E M. takové, že a(M) je otevřená podgrupa grupy G. Rozklad G/a(M) je pak otevřené pokrytí kompaktní množiny G disjunktními množinami. Proto existuje jeho konečné podpokrytí. Ovšem vynecháním libovolné z těchto množin už nedostaneme pokrytí. Rozklad G/a(M) tedy má jen konečně mnoho tříd rozkladu, a proto a(M) má konečný index v G. Podle výše dokázaného je rozšíření M/F konečné. Příklad 26. Nechť p je prvočíslo. Označme oo n=l kde (pn = cos + «sin p£ je primitivní pn-tá odmocnina z jedné. Zřejmě je K/Q algebraické, normální a separabilní rozšíření. Nechť G = Aut(-řř/Q) je topologická grupa s Kruhovou topologií. Pro každé n G N platí Gal(Q(CP.)/Q) = (Z/p"Z)x, přičemž třídě [a]pn odpovídá automorfismus tělesa Q(Cp™) určený podmínkou CP" i—>• Cp"- Proto je G topologická grupa izomorfní (algebraicky a současně topologicky) s projektivní limitou grup (Z/pnZ)x vůči homomorfismům určeným takto: pro každé i, j G N, i < j je p>if (Z/pJZ)x —)• (Z/p*Z)x (platí ^(Hpí) = pro každé a G Z), tedy G = lim(Z/pnZ)x. Snadno je vidět, že tento projektivní systém grup dostáváme z prvního z příkladů 11 nahrazením okruhů jejich grupami jednotek, odkud dostáváme, že tato projektivní limita je grupou jednotek okruhu celých p-adických čísel G = Zx. Příklad 27. Nechť p je liché prvočíslo. Protože pro každé n G N je grupa (Z/pnZ)x cyklická řádu (p— l)pn~ľ, má jedinou podgrupu řádu p— 1 avzniklá faktorgrupa je cyklická řádu pn~ľ. Proto má těleso Q(Cp™) jediné podtěleso stupně pn~ľ, které označíme Bn_\. Je tedy -Bn_i/Q cyklické rozšíření stupně pn-1. Platí Q = 50cBiC52C... 15 Označme K = IJ^li-^n- -^/Q Je algebraické, normální a separabilní rozšíření. Přitom restrikce dává pro libovolné i,j; G N, i < j surjektivni homomorfismus grup Ga\(Bj/Q) -> Gal(5ť/Q). Protože Gal(Bj/Q) = Z/pnZ, porovnáním s prvním z příkladů 11, v němž okruhy nahradíme jejich aditivními grupami, dostáváme, že platí (algebraicky a současně topologicky) Aut(tf/Q) = (Zp,+). Poznámka 28. Algebraické, normální a separabilní rozšíření K/F takové, že Kut{K/F) = (Zp,+), se nazývá Zp-rozšíření. V případě, kdy K C C a F je konečné rozšíření Q, jsou tato Zp-rozšíření studována v tzv. Iwasawově teorii. Příklad 29. Nechť p je prvočíslo. Pro libovolné n G N máme konečné těleso Fpn o pn prvcích, přičemž tato tělesa jsou volena tak, že pro každá m,n G N taková, že m | n, platí Fpm C Fp™. Víme, že Galoisova grupa Gal(Fpn/Fp) je cyklická, generována Frobeniovým automorfismem x \—> xp, tedy Gal(Fpn/Fp) *á Z/nZ. Porovnáním s druhým z příkladů 11, v němž okruhy nahradíme jejich aditivními grupami, dostáváme, že pro těleso Fp = IJ^li ^p"> coz je algebraický uzávěr tělesa Fp, platí (algebraicky a současně topologicky) Aut(t;/Fp) 9* (Ž,+). Reference [1] D. Ramakrishnan, R. V. Valenza, Fouríer Anály sis on Number Fíelds, Graduate Texts in Mathematics 186, Springer-Verlag, New York, 1999. 16