u r j i SCI M6201 Nelineárni dynamika a její aplikace Lenka Přibylová pribylova@math.muni.cz Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity 6. února 2021 Prolog Věčná je jenom změna. Hérakleitos asi 540 př. n. L - 480 př. n. L L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 2/388 Prolog Věčná je jenom změna. Hérakleitos asi 540 př. n. L - 480 př. n. L Všechno se mění, jen změna trvá. Israel Zangwill, britský spisovatel 1864 - 1926 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 Prolog Věčná je jenom změna. Hérakleitos asi 540 př. n. L. - 480 př. n. L. Všechno se mění, jen změna trvá. Israel Zangwill, britský spisovatel 1864 - 1926 Přirozeností všech jevů je měnit se v každém okamžiku, naznačuje nám to, že všechny jevy postrádají schopnost trvat, postrádají schopnost být stále stejné. současný 14. dalajláma L. Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 2/388 Dynamické systémy 1. kapitola Dynamické systémy Co se naučíme: ■ popsat dynamický systém matematickou formou L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 4/388 1. kapitola Dynamické systémy Co se naučíme: ■ popsat dynamický systém matematickou formou ■ rozlišit různé typy dynamických systémů L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 4/388 1. kapitola Dynamické systémy Co se naučíme: ■ popsat dynamický systém matematickou formou ■ rozlišit různé typy dynamických systémů ■ porozumět novým pojmům - trajektorie, atraktor, stabilita L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 4/388 1. kapitola Dynamické systémy Definice Dynamickým systémem rozumíme trojici {7~,X, cp*}, kde T je číselná množina (čas), X je metrický prostor, který nazýváme fázovým prostorem, a ^ je parametrický systém evolučních operátorů s parametrem t e T definovaných jako zobrazení cp* : X —>► X, které zobrazuje počáteční stav xq e X na nějaký stav xt = ^xq g X. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 5/388 1. kapitola Dynamické systémy Definice Dynamickým systémem rozumíme trojici {7~,X, cp*}, kde T je číselná množina (čas), X je metrický prostor, který nazýváme fázovým prostorem, a ^ je parametrický systém evolučních operátorů s parametrem t e T definovaných jako zobrazení cp* : X —>► X, které zobrazuje počáteční stav xq e X na nějaký stav xt = ^xq g X. V případě, že T = Z mluvíme o diskrétním dynamickém systému, je-Li T = R mluvíme o spojitém dynamickém systému. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 5/388 1. kapitola Dynamické systémy Definice Dynamickým systémem rozumíme trojici {7~,X, cp*}, kde T je číselná množina (čas), X je metrický prostor, který nazýváme fázovým prostorem, a ^ je parametrický systém evolučních operátorů s parametrem t e T definovaných jako zobrazení cp* : X —>► X, které zobrazuje počáteční stav xq e X na nějaký stav xt = ^xq g X. V případě, že T = Z mluvíme o diskrétním dynamickém systému, je T = R mluvíme o spojitém dynamickém systému. Poznámka Fakticky může jít o cokoliv měřitelného, co se mění v čase... Teplota hrnku kafe, kurz koruny, počet studentů v daném semestru... L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 5/388 1. kapitola Dynamické systémy Definice Deterministickým dynamickým systémem rozumíme systém {7~,X, cp*} splňující podmínku cp = id, kde id je identita na X, tj. VxgX: idx = x. Tato vlastnost říká, že systém spontánně nemění svůj stav. i L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 6/388 1. kapitola Dynamické systémy Definice Deterministickým dynamickým systémem rozumíme systém {7~,X, cp*} splňující podmínku cp = id, kde id je identita na X, tj. VxgX: idx = x. Tato vlastnost říká, že systém spontánně nemění svůj stav. t Touto podmínkou vylučujeme náhodné jevy, např. kurz koruny nebo počet studentů v daném semestru... i když prakticky vše je důsledkem toho, co již byLo... anebo tomu tak není? Z hlediska kvantové mechaniky je zase vše náhodné. Takže jde vlastně o náš přístup k věci. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 6/388 1. kapitola Dynamické systémy Definice Autonomním dynamickým systémem rozumíme deterministický systém {7",X, v?ř} splňující podmínku tj. Vx g X : <£>ř+5x = <£>ř(y>5x), po/o/d/sou definovány obě strany rovnice. Tato vlastnost říká, že se „zákony evoluce" nemění během času. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 7/388 1. kapitola Dynamické systémy Definice Autonomním dynamickým systémem rozumíme deterministický systém {7",X, v?r} splňující podmínku tj. Vx g X : <£>ŕ+5x = <£>ŕ(<£>5x), po/o/d/sou definovány obě strany rovnice. Tato vlastnost říká, že se „zákony evoluce" nemění během času. Autonomní systémy jsou dány předchozími v čase měnícími se stavy, nikoliv samotným časem. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 7/388 1. kapitola Dynamické systémy Typickým spojitým příkladem autonomního systému je v čase měnící se stavx(ř) podle obyčejné diferenciální rovnice x(t) = ^ =/(x(t)), t e K+ (příp. IR). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 8/388 1. kapitola Dynamické systémy Typickým spojitým příkladem autonomního systému je v čase měnící se stavx(ř) podle obyčejné diferenciální rovnice x(t) = ^ =/(x(t)), t g M+ (příp. IR). Typickým diskrétním příkladem je v čase skokově měnící se stav Xn+l =f(xn), neN(příp. Z). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 8/388 1. kapitola Dynamické systémy Typickým spojitým příkladem autonomního systému je v čase měnící se stavx(ř) podle obyčejné diferenciální rovnice x(t) = ^ =/(x(t)), t g M+ (příp. IR). Typickým diskrétním příkladem je v čase skokově měnící se stav Xn+l =f(xn), neN(příp. Z). Jde o dynamické systémy, kde závislost na čase není explicitní, pouze skrze měnící se stavové proměnné. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 8/388 1. kapitola Kyvadlo Model kyvadla x(ř) = rsin^(r) y(ř) = rcosp(t) h{t) = r-y(ř) cp = p(t) je úhlové vychýlení závěsu kyvadla od vertikální osy. Platí zákon zachování energie -součet kinetické a potenciální energie je konstantní: \m(v(ť))2 + mgh(t) = konst. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 10/388 1. kapitola Kyvadlo ^(^(ř))2 + mgh(t) = konst. Velikost rychlosti v(t) kyvadla Lze spočítat podle Pythagorovy věty, protože změnu polohy v navzájem kolmých směrech x i y známe: x = áx át v - fy y — át = r cos (p (p = — rsmipip (v(t))2 = (x)2 + (ý)2 = 2 ■ 2 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 11/388 1. kapitola Kyvadlo \m(v(ť))2 + mgh(t) = konst. Velikost rychlosti v(t) kyvadla Lze spočítat podle Pythagorovy věty, protože změnu polohy v navzájem kolmých směrech x i y známe: x = ^[j = r cos (p (p y=% = -rsinp^ 2-2 (KO) = (*r + (řr = /-V Stejně tak víme, že A(ř) = r(l - cos^), L Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 11/388 1. kapitola Kyvadlo \m(v(ť))2 + mgh(t) = konst. Velikost rychlosti v(t) kyvadla Lze spočítat podle Pythagorovy věty, protože změnu polohy v navzájem kolmých směrech x i y známe: x = ^[j = rcos(fi(p 9=% = -rsin^ 2-2 (v(t)y = (ky + (ýy = r

) = konst. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 11/388 1. kapitola Kyvadlo i^2+g(l-cos^) = ^ = K Obrázek: Fázový portrét kyvadla bez tření, tlumené kyvadlo pro různé hodnoty tření najdete v tomto videu L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 12/388 1. kapitola Kyvadlo \r(p2 + g(l - cos (p) = K L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 13/388 1. kapitola Kyvadlo \np2 + g(l - cos (p) = K Zderivováním dostáváme rcp

l(f)x. 0 1 V našem případě je matice A = ( ^ f2 / • L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 1. kapitola Kyvadlo Rovnice x(f) + ŕ2x(ŕ) + 2x(f) = 0 odpovídá lineárnímu systému ODR *i(0 = x2{t) x2(t) = -2x1(ŕ)-ŕ2x2(ŕ), kde x = xi a x = x2, který má maticový zápis tvaru x = A{ť)x. /O 1 V našem případě je matice >1 = I 2 Dynamický systém je Lineární, aLe není autonomní - v autonomním Lineárním systému jsou prvky matice nezávisLé na čase, tj. konstanty. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 17/388 1. kapitola Kyvadlo Definice Trajektorie s počátečním bodem x0 g X je uspořádaná podmnožina fázového prostoru X {x g X : x = v?ŕxo, Vŕ g 7", pro /tferé ye ^xq definováno} V případě spojitého systému jde o orientované křivky v X, v případě diskrétního systému jsou to posloupnosti bodů v X. Fázovým portrétem dynamického systému rozumíme rozmístění trajektorií ve fázovém prostoru X. Trajektorie zakreslujeme často také jako funkce (posloupnosti) víxX. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 18/388 Úkol 1. kapitola Kyvadlo Nakreslete trajektorii x = —x s počátečním bodem (podmínkou) x0 = 1. Nakreslete ji v X i v T x X. bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 1. kapitola Kyvadlo Diskrétní trajektorie můžeme také zakreslovat pomocí tzv. pavučinového diagramu: L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 20/388 Úkol 1. kapitola Kyvadlo Nakreslete trajektorii X/7+1 — ň^n s počátečním bodem (podmínkou) x0 = 1. Nakreslete ji v X i v T x X. Nakreslete také pavučinový diagram x„+i versus xn. bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 1. kapitola Rovnováha Definice Bod xq g X nazýváme rovnovážným bodem (nebo též stacionárním, singulárním, pevným bodem) dynamického systému, jestliže pro všechna t e T platí cptxo =x0. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 22/388 1. kapitola Rovnováha Definice Bod xq g X nazýváme rovnovážným bodem (nebo též stacionárním, singulárním, pevným bodem) dynamického systému, jestliže pro všechna t e T platí cptxo =x0. Dynamický systém se nachází v rovnováze, jestliže se nemění jeho stavové proměnné. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 22/388 1. kapitola Rovnováha Definice Bod xq g X nazýváme rovnovážným bodem (nebo též stacionárním, singulárním, pevným bodem) dynamického systému, jestliže pro všechna t e T platí cptxo =x0. Dynamický systém se nachází v rovnováze, jestliže se nemění jeho stavové proměnné. Kyvadlo, které visí a nehoupe se: cp = 0 a cp = 0. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 22/388 1. kapitola Rovnováha Definice Autonomním systémem diferenciálních rovnic rozumíme systém x=/(x) (1) kde x g X = Rm a vektorová funkce f : Rm —>► Rm je dostatečně hladká. Poznámka Rovnovážné body autonomního systému (23) splňují systém rovnic f(x) = 0. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 23/388 1. kapitola Rovnováha Definice Autonomním systémem diferenčních rovnic rozumíme systém xn+1 = /(x„), (2) kde x g X = Rm a vektorová funkce f : Rm —>► Rm je dostatečně hladká. Někdy mluvíme také o systému iterovaných funkcí (ITF) nebo jen o iteracích. Poznámka Rovnovážné body autonomního systému (2) splňují systém rovnic /(*) = x. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 24/388 a jeho rovnováze. 1. kapitola Rovnováha Kyvadlo popisuje systém rovnic pro stavové proměnné x\ =

0 platí ^plx e U (tento typ stability nazýváme Ljapunovskou stabilitou,), ■ existuje okolí U$ rovnovážného bodu xq takové, že cplx —>► xq pro x g Uq a t —>► oc (tento typ stability nazýváme asymptotickou stabilitou/ L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 28/388 1. kapitola Stabilita Stabilní rovnováha L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 Je rovnováha kyvadla stabilní? Je rovnováha kyvadla stabilní? Správná odpověď je - jak která. Je rovnováha kyvadla stabilní? Správná odpověď je - jak která. Tahle ano - v realitě ... Je rovnováha kyvadla stabilní? Správná odpověď je - jak která. TahLe ano - v realitě ... Pro náš modeL bez tření je rovnováha stabilní pouze Ljapunovsky, nikoliv asymptoticky. 1. kapitola Stabilita L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 31/388 1. kapitola Stabilita Poznámka Stabilní rovnováha x0 se často nazývá také atraktorem a největší okolí Uo bodu xq z definice asymptotické stability se nazývá oblastí přitažlivosti (bas i n ofattraction). Chybně se termín do češtiny někdy překládá jako bazén přitažlivosti. Basi n je ale v překladu do češtiny povodí nebo kotlina. Trajektorie z povodí tak stékají ke stabilní rovnováze, které se někdy říká také stok. Tato terminologie souvisí s pojmem toku, který představuje vektorové pole příslušné dané diferenciální rovnici v každém bodě fázového (stavového) prostoru. Fázový prostor je zase pozůstatkem prvních modelů oscilátorů (tedy i kyvadel!), kdy stavovou proměnnou byla fáze. Pojem fázový portrét (phase portrait) už zůstal a stavový portrét se nepoužívá. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 32/388 1. kapitola Stabilita Definice Invariantní množinou S rozumíme podmnožinu X splňující x0gS 4 <£>ŕx0 g S Vŕ g T. Můžeme také rozlišovat invarianci jen pro t > to (pozitivně nebo dopředně invariantní množina). Definice Uzavřená invariantní množina S se nazývá stabilní, jestliže m pro každé libovolně malé okolí U množiny S existuje okolí V množiny S takové, že Vx g V a Vf > 0 platí <£>ŕx g U (tento typ stability nazýváme Ljapunovskou stabilitou,), ■ existuje okolí Uo množiny S takové, že <£>rx —>► s pro x g í/o o t —>► oc (ŕenŕo ŕyp stability nazýváme asymptotickou stabilitou/ Množina S se též nazývá atraktorem. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 33 /388 2. kapitola Co se naučíme: ■ popsat Lineární dynamický systém matematickou formou L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 35 /388 2. kapitola Co se naučíme: ■ popsat Lineární dynamický systém matematickou formou ■ porozumět jeho dynamice L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 35 /388 2. kapitola Co se naučíme: ■ popsat Lineární dynamický systém matematickou formou ■ porozumět jeho dynamice ■ vytvořit si souvisLost mezi pojmy z Lineární aLgebry a dynamiky L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 35 /388 2. kapitola Lineární dynamika Nejprve uvažujme Lineární diferenciální rovnici x = ax, (3) kde a g ir je pevně dané číslo. Řešením takové rovnice jsou právě exponenciální funkce x(r) = x0eot, přičemž zřejmě platí x(0) = xq. Rovnovážným bodem je tedy x(ř) = 0. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 36/388 2. kapitola Lineární dynamika Nejprve uvažujme Lineární diferenciální rovnici x = ax, (3) kde a g ir je pevně dané čísLo. Řešením takové rovnice jsou právě exponenciáLní funkce x(t) = x0eot, přičemž zřejmě pLatí x(0) = xq. Rovnovážným bodem je tedy x(t) = 0. Tato jednoduchá diferenciální rovnice se používá v mnoha reáLných aplikacích. Můžeme ji použít jako MaLthusův modeL růstu populace s mírou růstu a využitelný např. pro predikci vývoje světové populace, pro datování organických materiálů radiokarbonovou metodou nebo pro určení odhadu času při chladnutí těles podle Newtonova zákona ochlazování, který Lze využít např. při konstrukci tepelných čerpadel, Ledniček nebo chlazení sarkofágu ČernobyLské elektrárny ... L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 36/388 My ovšem pro jednoduchost zůstaneme u hrnku kávy. L.Přibylová • Nelineární dynamika února 2021 37/388 2. kapitola Káva Newtonův model ochlazování kávy: Představme si hrnek horké kávy (o teplotě 7"0) a postavené do místnosti s teplotou 7"*. Stavová proměnná bude teplota kávy 7~, parametrem bude k e IR+, které bude záviset ostatních fyzikálních veličinách (měrná tepelná kapacita kávy, tvar hrníčku nebo kelímku, materiál apod.). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 38/388 2. kapitola Káva Newtonův model ochlazování kávy: Představme si hrnek horké kávy (o teplotě 7"0) a postavené do místnosti s teplotou 7"*. Stavová proměnná bude teplota kávy 7~, parametrem bude k e IR+, které bude záviset ostatních fyzikálních veličinách (měrná tepelná kapacita kávy, tvar hrníčku nebo kelímku, materiál apod.). Změna teploty kávy bude přibližně úměrná rozdílu teplot kávy a místnosti. Káva chladne rychleji při větším rozdílu teplot. dľ(ŕ) k{T* - T{t)). (4) dř L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 38/388 2. kapitola Úkol: Káva ^ = k(T* - T(t)). s počáteční podmínkou 7(0) = T"0. Odhadněte k pro konkrétní hrnek kafe. Najděte rovnovážný bod rovnice a určete jeho stabilitu. Odhadněte, za jak dlouho káva "vystydne". Teoretické výsledky srovnejte s měřením. bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 39/388 2. kapitola Káva Domácí úkol: V anglickém hrabství Hampshire stojí hrad ze 13. století - Winchester. V hlavní hale visí na zdi kulatý stůl, o kterém se tvrdí, že jde o kulatý stůl krále Artuše (z 5. století). Radiokarbonovou metodou (pomocí rozpadu uhlíku 13C) ověřte tuto hypotézu. Okamžitá míra rozpadu radioaktivního izotopu uhlíku 13C u dřeva je 1, 245.10~4 za rok. V živém dřevě se rozpadá 6, 68 atomů 13C za minutu v gramu dřeva. Když (v roce 1977) prozkoumali stůl, naměřili rozpad 6,08 atomů 13C za minutu v gramu dřeva. bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 2. kapitola Lineární systémy Definice Lineárním autonomním systémem m diferenčních rovnic rozumíme systém Xn+1=AXn, (5) kde matice A e Rmxm a xn e Rm je vektor stavových proměnných v čase n. Poznámka Uvědomme si, že matice A je maticí lineárního zobrazení ve standardní ortonormální bázi prostoru Rm, které zobrazuje vektor xn na vektor xn+i. Volbou počátečního vektoru xq tak dostáváme každý vektor iterované posloupnosti ve tvaru xn = Anxq. Někdy mluvíme také o lineárním systému iterovaných funkcí nebo o iteracích afinních transformací. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 41/388 2. kapitola Lineární systémy Definice Lineárním autonomním systémem m diferenciálních rovnic rozumíme systém x = Ax, (6) kde matice A e Rmxm a x e Rm je vektor stavových proměnných, které jsou funkcemi času, tj. x = x(ŕ) = (xi(r),.. .xm(ť))T, kde přitom Xi : R -> R pro i g {1,... m}. Poznámka Derivace je lineární operátor, tedy pro libovolnou matici T e Rmxm platí dTx dt = 7x. Proto i v tomto případě bude lineární zobrazení fundamentálním pojmem a klíčem k pochopení řady předkládaných tvrzení. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 42/388 2. kapitola Rovnováha v lineárním systému Věta Rovnovážným bodem lineárního autonomního systému (5) resp. (6) je počátek x = 0. Pokud je matice A - I resp. A regulární, je to jediná rovnováha systému (5) resp. (6). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 43/388 2. kapitola Rovnováha v lineárním systému Každý Lineární diferenční systém tvaru yn+i = *yn + b> kde y, b e X = Rn s regulární A - I Lze převést do tvaru L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 2. kapitola Rovnováha v lineárním systému Každý Lineární diferenční systém tvaru yn+i = Ayn + b> (7) kde y, b e X = Rn s reguLární A - I Lze převést do tvaru (5). Ay + b = y má v takovém případě jediné řešení y0 = (/ - A)~xb a transformace x = y - y0 posouvá rovnováhu do počátku. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 44/388 2. kapitola Rovnováha v lineárním systému Každý Lineární diferenciální systém tvaru ý = Ay + b, kde y, b e X = Rn s regulární A Lze převést do tvaru (6). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 2. kapitola Rovnováha v lineárním systému Každý Lineární diferenciální systém tvaru ý = Ay + b, (8) kde y, b e X = Rn s regulární A Lze převést do tvaru (6). Ay + b = 0 má v takovém případě jediné řešení y0 = -A~xb a transformace x = y - y0 posouvá rovnováhu do počátku. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 45/388 2. kapitola Lineární zobrazení Uvažujme Lineární zobrazení L : Rm —>► Rm a matici A tohoto zobrazení ve standardní ortonormální bázi prostoru Rm. Geometrická představa takového zobrazení a jeho vlastních čísel a vektorů je velmi důležitá, proto si chvíli pohrajme s následující aplikací. i t í 1 / J f J i 1 < 7\ \ / \ y \ } / J / > < ( i fil í \ tJ w J. i f \ i í J -1. 4 +0.6 \ vi í +0 + ] L.4 j \ 7 V / L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 46/388 2. kapitola Lineární zobrazení Pro vlastní číslo (vlastní hodnotu) matice A e Rmxm příslušné vlastnímu vektoru KGRffl platí Av = Xv, L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 47/388 2. kapitola Lineární zobrazení Pro vlastní číslo (vlastní hodnotu) matice A e Rmxm příslušné vlastnímu vektoru KGRffl platí Av = Xv, tj. vlastní čísla hledáme jako kořeny charakteristického polynomu det(A - XI) = 0. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 47/388 2. kapitola Lineární zobrazení Pro vlastní číslo (vlastní hodnotu) matice A e Rmxm příslušné vlastnímu vektoru KGRffl platí Av = Xv, tj. vlastní čísla hledáme jako kořeny charakteristického polynomu det(A - XI) = 0. Matice A má v komplexním oboru m vlastních hodnot {Ai,..., Xm} a příslušné vlastní vektory {v\1,..., v\m} tvoří bázi Cm. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 47/388 2. kapitola Lineární zobrazení Pro vlastní číslo (vlastní hodnotu) matice A e Rmxm příslušné vlastnímu vektoru KGRffl platí Av = Xv, tj. vlastní čísla hledáme jako kořeny charakteristického polynomu det(A - XI) = 0. Matice A má v komplexním oboru m vlastních hodnot {Ai,..., Xm} a příslušné vlastní vektory {v\1,..., v\m} tvoří bázi Cm. Matice T tvořená m nezávislými vlastními vektory (po sloupcích) tedy splňuje (X\ • • • °\ A T=T 0 '•• 0 {o ■■■ L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 47/388 2. kapitola Lineární zobrazení V případě násobných vlastních hodnot může obsahovat bloky tvaru q ^, přičemž sloupce matice T v tomto případě tvoří tzv. zobecněné vlastní vektory. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 48/388 2. kapitola Lineární zobrazení V případě násobných vlastních hodnot může obsahovat bLoky tvaru zobecněné vlastní vektory. K vlastnímu vektoru v = w$ splňujícímu Av = Xv přidáváme další vektory wt splňující vliv,- = Aiv,- + iv,-_i, kde / nabývá hodnot od 1 do geometrické násobnosti k vlastního čísla A. Množina {wo,... Wk} pak tvoří bázi prostoru zobecněných vlastních vektorů. , přičemž sloupce matice T v tomto případě tvoří tzv. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 48/388 2. kapitola Lineární zobrazení V případě násobných vlastních hodnot může obsahovat bloky tvaru zobecněné vlastní vektory. K vlastnímu vektoru v = w$ splňujícímu Av = Xv přidáváme další vektory wt splňující^/ = Aiv,- + iv,-_i, kde / nabývá hodnot od 1 do geometrické násobnosti k vlastního čísla A. Množina {wo,... Wk} pak tvoří bázi prostoru zobecněných vlastních vektorů. Lineární regulární transformace A ^ J = T~XAT převádí matici A na komplexní Jordánův kanonický tvar / Reálný tvar s reálným blokem sdružených vektorů v a v reálnou a imaginární část u a w vektoru v = u + iw. , přičemž sloupce matice T v tomto případě tvoří tzv. dostaneme, pokud použijeme místo komplexně L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 48/388 Úkol 2. kapitola Lineární zobrazení Najděte vlastní čísla a množinu zobecněných vlastních vektorů matice matici T a převeďte ji na Jordánův kanonický tvar. bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 2. kapitola Iterovaná zobrazení v rovině Pohrajeme si s iteracemi tvaru (5) xn+x = Ax Tady spusťte aplikaci. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 2. kapitola Domácí úkol: Iterovaná zobrazení v rovině Naprogramujte si v programu Matlab svůj skript, který bude iterovat zvolený bod v rovině se zvoleným počtem iterací a zvolenou maticí zobrazení a bude vykreslovat iterace spolu s vlastními čísly a vektory. Vyzkoušejte si různé varianty - jak matic, tak startovacích bodů. Prozkoumejte hlavně směry vlastních vektorů. bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 51/388 2. kapitola Iterovaná zobrazení v rovině Uvažujme tedy náš Lineární diferenční autonomní systém (iterovaná Lineární zobrazení) xn+l — ÄXn, kde xn eRm,Ae Rmxm, n e N0 s počáteční podmínkou x0. Odtud xn =Anx0. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 52/388 2. kapitola Iterovaná zobrazení v rovině Uvažujme tedy náš Lineární diferenční autonomní systém (iterovaná Lineární zobrazení) xn+l — Axn, kde xn e Rm, A e Rmxm, n e N0 s počáteční podmínkou x0. Odtud xn =Anx0. Označme vLastní hodnoty sestupně |Ai| > |A2| > • • • > |Am|. Protože xq můžeme zapsat jako Lineární kombinaci nezávisLých vLastních vektorů {vXl,..., v\m} (tvoří bázi): x0 = kivx, + k2v\2 + ••• + kmvXm, muzeme reseníx^ vyjádřit. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 52/388 2. kapitola Iterovaná zobrazení v rovině V případě nenásobných vlastních čísel dostávame xn = An(k1vXl+k2vx2-\-----^kmv\m) = A?(*nrAl + k2(%)nvXl + ■■■ + km{^)nvXm). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 53 /388 2. kapitola Iterovaná zobrazení v rovině V případě nenásobných vlastních čísel dostávame xn = An(k1vXl+k2vx2-\-----^kmv\m) = k1\nívXl + k2\n2vXl H----+ kmXnmvXm = A?(*!VAl + k2(%)nvXl + ■■■ + km{^)nvXm). Pro násobná vlastní čísla je třeba za pro zobecněné vektory w dosadit >Uv/ = Aiv,- + iv/_i. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 2. kapitola Iterovaná zobrazení v rovině V případě nenásobných vlastních čísel dostávame xn = An(k1vXl+k2vx2-\-----^kmv\m) = k1\nívXl + k2Xn2vXl H----+ kmXnmvXm = A?(*!VAl + k2(%)nvXl + ■■■ + km{^)nvXm). Pro násobná vlastní čísla je třeba za pro zobecněné vektory w, dosadit >Uv/ = Aiv,- + iv/_i. Rovnovážným bodem systému (5) je počátek, který je asymptoticky (dokonce exponenciálně) stabilní, pokud |Ai| < 1. V případě |Ai| > 1 je počátek nutně nestabilní. Je-li |Ai| = 1, nemůže být počátek asymptoticky stabilní. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 53 /388 2. kapitola Iterovaná zobrazení v rovině Pro systém diferenciálních rovnic bude situace podobná. Je-Li A e C vlastní číslo matice A a v příslušný vlastní vektor, je funkce (p[t) = extv evidentně řešením rovnice (6) x = Ax, díky základní vlastnosti vlastního vektoru:^ = Xv. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 54/388 2. kapitola Iterovaná zobrazení v rovině Pro systém diferenciálních rovnic bude situace podobná. Je-Li AgC vlastní číslo matice A a v příslušný vlastní vektor, je funkce (p[t) = extv evidentně řešením rovnice (6) x = Ax, díky základní vlastnosti vlastního vektoru:^ = Xv. Připomeňme Eulerův tvar komplexního čísla e^1 = cosí/j + / sin í/j. Pokud A = a + i/3 e C, pak (r) se nazývá fundamentální matice řešení příslušného homogenního Lineárního systému (6). Jejich Lineární kombinace, tj. (r) • c, dávají všechna řešení rovnice (6). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 57/388 2. kapitola Iterovaná zobrazení v rovině Shrňme to: ■ V případě, že A g IR je f ^ extv reálným řešením rovnice (6). ■ V případě A = a ± i(3 e C - IR je vlastní vektor v = u ± iw a reálnými řešeními rovnice (6) jsou pak 11—y eat(cos(31 • u - sin f3t -w),t\-> ear(sin f3t • u + cosf3t • w). ■ V případě A e IR, které je /c-násobným kořenem charakteristického polynomu jsou ŕ i—y ext Yl'j=i {fzjfí , / = 1,... ^ reálnými řešeními rovnice (6), kde Ví je systém k zobecněných vlastních vektorů (Av\ = \v\ a Av\ = \Vj + V}-\ pro / > 1). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 58/388 2. kapitola Stabilita rovnováhy v lineárním systému Stabilita rovnováhy v lineárním diskrétním systému: Rovnováha 0 systému (5) xn+x = Axn ■ stabilní atraktor <^> V vl. číslo A matice A |A| < 1, ■ nestabilní <^> 3 vl. číslo A matice A A > 1, L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 59/388 2. kapitola Stabilita rovnováhy v lineárním systému Stabilita rovnováhy v lineárním diskrétním systému: Rovnováha 0 systému (5) xn+x = Axn ■ stabilní atraktor <^> V vl. číslo A matice A |A| < 1, ■ nestabilní <^> 3 vl. číslo A matice A A > 1, V případě jednotkové vlastní hodnoty má systém (5) v Libovolné blízkosti počátku konstantní nenulová nebo periodická nenulová řešení (počátek tedy nemůže být asymptoticky stabilní). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 59/388 2. kapitola Stabilita rovnováhy v lineárním systém Stabilita rovnováhy v lineárním spojitém systému: Rovnováha 0 systému (6) x = Ax ■ stabilní atraktor <^> V vl. číslo A matice A: ReA < 0, ■ nestabilní <^> 3 vl. číslo A matice A ReA > 0, L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 2. kapitola Stabilita rovnováhy v lineárním systému Stabilita rovnováhy v lineárním spojitém systému: Rovnováha 0 systému (6) x = Ax ■ stabilní atraktor <^> V vL číslo A matice A: ReA < 0, ■ nestabilní <^> 3 vl. číslo A matice A ReA > 0, V případě nulové vlastní hodnoty má systém (6) v Libovolné blízkosti počátku konstantní nenulová řešení nebo v případě ryze imaginárních vlastních hodnot periodická řešení (a také nemůže být počátek asymptoticky stabilní). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 60/388 2. kapitola Stabilita rovnováhy v lineárním systému Příklady na lineární systémy v rovině Všechny úLohy si vyzkoušejte zobrazit v programech XPPAUT a MapLe. Zajímavý nápad na vizuaLizaci trajektorií pomocí loxodromického gridu měL prof. Ghrist. Jeho animace jsou fantastické a ještě mnohokrát na jeho stránky a YouTube kanál zabrousíme. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 61/388 -ineární dynami Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února ^0 3. kapitola Co se naučíme: ■ vytvoříme jakousi kolekci typů Lineárních rovnováh L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 63/388 3. kapitola Co se naučíme: ■ vytvoříme jakousi kolekci typů Lineárních rovnovah ■ podíváme se na to, co se děje, když budeme spojitě měnit matici Lineárního systému L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 63/388 3. kapitola Co se naučíme: ■ vytvoříme jakousi kolekci typů Lineárních rovnováh ■ podíváme se na to, co se děje, když budeme spojitě měnit matici Lineárního systému ■ použijeme znaLosti o Lineárních dynamických systémech na praktických úLohách L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 63/388 3. kapitola Lineární systémy v rovině Uvažujme dvourozměrný systém (5) resp. (6), tj. x = (x^xj)7 £ IR2. Matice A má pak dvě vlastní hodnoty Ai, A2, které jsou kořeny charakteristické rovnice det(A/ - A) = A2 - aX + A = 0: kde a = trA = Ai + A2 je stopa matice A a A = det>l = A1A2 je její determinant. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 64/388 3. kapitola Lineární systémy v rovině Nutnými a postačujícími podmínkami asymptotické stability rovnováhy 0 spojitého systému (6) x = Ax v rovině jsou podmínky A = detA > 0 a a = trA < 0. Protože známe pro Lineární systémy v rovině tvar řešení, můžeme klasifikovat typy rovnováh i systémů. V případě vlastních čísel, která Leží mimo imaginární osu, mLuvíme o hyperbolických rovnováhách. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 65 /388 3. kapitola Klasifikace lineárních spojitých systémů v rovině Klasifikace Lineárních spojitých systémů v rovině: (m+)m_) Vlastni hodnoty Fázový portrét Stabilita (0,2) *—9^—* uzel ohnisko stabilní (1,1) J sedlo r nestabilní (2,0) «——► uzel ohnisko nestabilní L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 66/388 3. kapitola Klasifikace lineárních spojitých systémů v rovině V případě, kdy vlastní číslo Leží na imaginární ose, mLuvíme o nehyperboLické rovnováze. V případě dvojice kompLexně sdružených vLastních číseL je řešení periodické a tomuto typu rovnováhy říkáme střed: > stabilní střed i i V případě, kdy je nějaké vLastní číslo nuLové, má jádro (kerneL) {x : Ax = 0} matice A jako vektorový podprostor X nenuLovou dimenzi a rovnováha tedy není izoLovaný bod. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 67/388 3. kapitola Klasifikace lineárních spojitých systémů v rovině Nutnými a postačujícími podmínkami asymptotické stability rovnováhy 0 diskrétního systému (5) xn+\ = Axn v rovině jsou podmínky A| = \detA\ < 1, 1-a + A = 1 -trA + detA> 0 1 + cr + A = 1 + tr>» + deti4 > 0, Protože známe pro Lineární systémy tvar řešení, můžeme klasifikovat typy rovnováh i systémů. V případě vlastních čísel, která Leží mimo jednotkovou kružnici, mLuvíme o hyperbolických rovnováhách. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 68/388 3. kapitola Klasifikace lineárních diskrétních systémů v rovině Klasifikace Lineárních diskrétních systémů v rovině: (m+Im_) Vlastni hodnoty Fázový portrét Stabilita (0,2) \ ■ / . t ♦.».;.*■ ^ ■ uzel ♦ ■ ♦ * * * ■ ^ ohnisko * • ■ * stabilní v. (1.1) ■. ■ ■V?. *. -^V. sedlo ♦ A • ■ ■ • ■ ■ ■ nestabilní (2,0) v ■ / . •uzel ♦ ■ ♦ > Ť ^ ! ♦ í . »> • ohnisko ♦ ■ • nestabilní J • U L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 69/388 3. kapitola Klasifikace lineárních diskrétních systémů v rovině V případě, kdy má vlastní číslo velikost 1, mluvíme o nehyperbolické rovnováze. V případě dvojice komplexně sdružených vlastních čísel je řešení periodické a tomuto typu rovnováhy říkáme střed: r ♦ •" ♦ ■ ■ 1 ♦ 1 ■ ■ stabilní stred J ■ y • ♦ ♦ f »▼ ♦ ♦ V případě, kdy má matice A vlastní číslo 1, je jádro (kernel) {x : (/ - A)x = 0} matice (/ - A) vektorový podprostor X s nenulovou dimenzí a rovnováha tedy není izolovaný bod. V případě, kdy má matice 4 vlastní číslo -1, existuje v Libovolném okolí počátku 2-periodické řešení z jádra {x : (/ + A)x = 0} matice (/ + A). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 70/388 3. kapitola Klasifikace lineárních diskrétních systémů v rovině Stabilita hyperbolického rovnovážného bodu v rovině: stabilní spojitý systém diskrétní systém L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 71/388 3. kapitola Klasifikace lineárních diskrétních systémů v rovině Co se děje při spojité změně matice systému? Pohřejte si v rovině a v prostoru Video prof. Ghrista L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 72/388 3. kapitola Praktické úlohy Souhrn všech typů praktických úLoh zde určitě nemůžete očekávat. Cimrman by řekl, že je jich nepočítané. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 74/388 3. kapitola Praktické úlohy Souhrn všech typů praktických úLoh zde určitě nemůžete očekávat. Cimrman by řekl, že je jich nepočítané. Proto vybítáme ty nejdůLežitější nebo možná nejznámější: ■ různé kompartmentové modely (např. modeL účinnosti Léčivé Látky, vytápění domu nebo samočistení ekosystému) L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 74/388 3. kapitola Praktické úlohy Souhrn všech typů praktických úLoh zde určitě nemůžete očekávat. Cimrman by řekL, že je jich nepočítané. Proto vybítáme ty nejdůLežitější nebo možná nejznámější: ■ různé kompartmentové modely (např. model účinnosti Léčivé Látky, vytápění domu nebo samočistení ekosystému) ■ modeLy popuLačního růstu a epidemioLogické modeLy L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 74/388 3. kapitola Praktické úlohy Souhrn všech typů praktických úLoh zde určitě nemůžete očekávat. Cimrman by řekl, že je jich nepočítané. Proto vybítáme ty nejdůLežitější nebo možná nejznámější: ■ různé kompartmentové modely (např. model účinnosti Léčivé Látky, vytápění domu nebo samočistení ekosystému) ■ modeLy popuLačního růstu a epidemioLogické modeLy ■ věkově strukturované modeLy, tzv. LesLieho popuLační modeLy L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 74/388 3. kapitola Praktické úlohy Souhrn všech typů praktických úLoh zde určitě nemůžete očekávat. Cimrman by řekL, že je jich nepočítané. Proto vybítáme ty nejdůLežitější nebo možná nejznámější: ■ různé kompartmentové modely (např. model účinnosti Léčivé Látky, vytápění domu nebo samočistení ekosystému) ■ modeLy popuLačního růstu a epidemioLogické modeLy ■ věkově strukturované modeLy, tzv. LesLieho popuLační modeLy ■ modeLy chemických reakcí a chemických rovnováh L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 74/388 3. kapitola Praktické úlohy Souhrn všech typů praktických úLoh zde určitě nemůžete očekávat. Cimrman by řekL, že je jich nepočítané. Proto vybítáme ty nejdůLežitější nebo možná nejznámější: ■ různé kompartmentové modely (např. modeL účinnosti Léčivé Látky, vytápění domu nebo samočistení ekosystému) ■ modeLy populačního růstu a epidemioLogické modeLy ■ věkově strukturované modeLy, tzv. LesLieho populační modeLy ■ modeLy chemických reakcí a chemických rovnováh ■ ekonomické modeLy L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 74/388 3. kapitola Praktické úlohy Souhrn všech typů praktických úLoh zde určitě nemůžete očekávat. Cimrman by řekL, že je jich nepočítané. Proto vybítáme ty nejdůLežitější nebo možná nejznámější: ■ různé kompartmentové modely (např. modeL účinnosti Léčivé Látky, vytápění domu nebo samočistení ekosystému) ■ modeLy popuLačního růstu a epidemioLogické modeLy ■ věkově strukturované modeLy, tzv. LesLieho popuLační modeLy ■ modeLy chemických reakcí a chemických rovnováh ■ ekonomické modeLy ■ fraktáLy a počítačová grafika L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 74/388 3. kapitola Praktické úlohy Kompartmentové modely Kompartmentové modely jsou modely, kdy jsou stavové proměnné strukturované. Stavové proměnné (Látka, částice, část populace apod.) se v systému nacházejí v diskrétních oblastech, tzv. kompartmentech. Ke grafickému znázornění často používáme bloková schémata -v jednotlivých blocích je uložena určitá zásoba Látky se stejnou charakteristikou Látka prochází mezi jednotlivými kompartmenty podle struktury modelu. Můžeme tak modelovat třeba krev v jednotlivých orgánech Lidského těla, vodu v různých částech atmosféry, Látky v určitých chemických stavech, ať už jde o skupenství nebo jinou chemickou formu, nebo organismy v určitém biologickém stavu (pacienti v různých stadiích onemocnění, hmyz ve vývojových fázích dospívání apod.). Podívejte se do Wikipedie. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 75/388 3. kapitola Praktické úlohy Protože jsme už prozkoumali Newtonův modeL ochlazování použijeme přístup kompartmentů na modeL vytápění domu L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 3. kapitola Praktické úlohy Protože jsme už prozkoumali Newtonův modeL ochlazování použijeme přístup kompartmentů na modeL vytápění domu Vytápění domu / \ 1° C / z - střecha \. y - obytný prostor 7° C x - základy L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 3. kapitola Praktické úlohy Jendoduchý modeL vytápění domu může vypadat třeba takto: kde kj, i g {0,... 4} jsou kladné parametry, které závisí na materiálu, zateplení, ploše apod. Tyto jsou pevně dané. Parametr T energie dodávaná na vytápění. Tento parametr můžeme ovlivňovat. V programech MapLe a XPPAUT prostudujeme dynamiku modelu na cvičení. z X y k0{7 -x) + k1(y-x), ki{x - y) + k2(l - y) + k^z -y) + T, kl{y-z) + kA{l-z\ L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 77/388 3. kapitola Praktické úlohy Znečištění vodních toků - příklad velkých kanadských jeze Model pro XPPAUT L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 3. kapitola Praktické úlohy Modely populačního růstu a epidemiologické modely Jako první praktický příkad uvedeme exponenciální populační explozi, kterou můžeme modelovat jak počátek epidemie, tak zezelenání přehrady. Uvažujme populaci, kterou můžeme modelovat spojitě - např. množství sinic na přehradě budeme měřit v g/m1, nebudeme je počítat. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 79/388 3. kapitola Praktické úlohy Modely populačního růstu a epidemiologické modely Jako první praktický příkad uvedeme exponenciální populační explozi, kterou můžeme modelovat jak počátek epidemie, tak zezelenání přehrady. Uvažujme populaci, kterou můžeme modelovat spojitě - např. množství sinic na přehradě budeme měřit v g/m1, nebudeme je počítat. Stejně tak můžeme takový spojitý přístup používat u epidemiologických modelů nebo u rozmnožování populace. Diskrétní přístup se hodí v případě populací s daným obdobím rozmnožování (mnoho druhů zvířat a rostlin). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 79/388 3. kapitola Praktické úlohy Označíme-Li x(ř) velikost populace v čase t, b okamžitou míru reprodukce a d míru vymírání (zde předpokládáme, že jsou míry b a d konstantní), pak můžeme populaci popsat diferenciální rovnicí x = bx — dx = rx. kde r je konstantní míra růstu populace a x představuje okamžitou změnu velikosti populace. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 80/388 3. kapitola Praktické úlohy Označíme-Li x(ř) velikost populace v čase t, b okamžitou míru reprodukce a d míru vymírání (zde předpokládáme, že jsou míry b a d konstantní), pak můžeme populaci popsat diferenciální rovnicí x = bx — dx = rx. kde r je konstantní míra růstu populace a x představuje okamžitou změnu velikosti populace. Řešením je exponenciální funkce x(t) = xoen. Pokud je r < 0, tj. d > b, populace vymře (rovnovážný stavx(í) = 0 je stabilní), pokud je r > 0, tj. d < b, populace bude růst nade všechny meze (rovnovážný stavx(í) = 0 je nestabilní). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 80/388 3. kapitola Praktické úlohy Ukol: Kdy je třeba vyhlásit zákaz koupání v přehradě, jestliže jsme minulé 4 dny v 8:00 ráno naměřili v odběrné nádobě hodnoty 2, 3, 5 a 7 mikrogramů. Hranice toxicity je 30 fi g. Simulovat v Maplu bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 3. kapitola Praktické úlohy Ve cvičení si vyzkoušíme modelování růstu světové populace nebo epidemie COVID-19. Spojitým a dikrétním modelům populačního růstu a epidemiologickým modelům se velmi důkladně věnují předměty profesora Pospíšila PřF:M5858 Spojité deterministické modely I a PřF:M8230 Diskrétní deterministické modely. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 82/388 3. kapitola Praktické úlohy Leslieho populační modely Jde o kompartmentový model věkově strukturované populace, který můžeme použít pro modelování růstu populace víceletých rostlin, populace ryb nebo i Lidí. Leslieho populačním modelům se velmi důkladně věnuje předmět profesora Pospíšila PřF:M7116 Maticové populační modely. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 83/388 3. kapitola Praktické úlohy Modelujeme diskrétně, populace se kontroluje po určitých pevných intervalech. Stavovými proměnnými jsou jednotlivé věkové třídy populace: x1,.. .xm. Některé skupiny produkují nové jedince, a to s různou mírou reprodukce b\ > 0 (dospělí jedinci), jiné mají míru reprodukce nulovou, b\ = 0 (nedospělí jedinci). Po nějakém čase přechází určitá část dané třídy x1 do následující třídy x/+1 (tyto míry přežití označíme pro každou třídu q) L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 84/388 3. kapitola Praktické úlohy Modelujeme diskrétně, populace se kontroluje po určitých pevných intervalech. Stavovými proměnnými jsou jednotlivé věkové třídy populace: x1,.. .xm. Některé skupiny produkují nové jedince, a to s různou mírou reprodukce b\ > 0 (dospělí jedinci), jiné mají míru reprodukce nulovou, b\ = 0 (nedospělí jedinci). Po nějakém čase přechází určitá část dané třídy x1 do následující třídy (tyto míry přežití označíme pro každou třídu q) m L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 84/388 3. kapitola Praktické úlohy Systém můžeme zapsat Lineárním diferenčním systémem X n+1 KW (bi b2 bi ■ ■ • bm\ Cl 0 0 •• 0 0 0 • Cl • 0 •• 0 0 • • • • • • 0 • • 0 •• ■ • • " • • • cm_i 0 / X n s LesLieho maticí L a vektorem iterací struktury populace xn+l — L-Xn. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 85 /388 3. kapitola Praktické úlohy Ze struktury řešení víme, že se věková struktura populace dlouhodobě stabilizuje proporcionálně vlastnímu vektoru v, který přísluší v absolutní hodnotě největšímu vlastnímu číslu. Procentní vyjádření je tedy dáno normalizovaným vektorem P = kde výrazem \v\ rozumíme součet (kladných) složek vektoru v. Aplikace pro Leslieho systém v Maplu L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 86/388 3. kapitola Praktické úlohy Úkol: Uvažujme populaci ryb s Leslieho maticí 0 4 3 L = I 0.5 0 0 0 0.25 0 Můžeme zvolit rovnoměrný výlov nebo výlov některé věkové skupiny. Je některá z variant výlovu dlouhodobě udržitelná? Výpočet v Maplu bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 87/388 3. kapitola Domácí úkol: Praktické úlohy Modelujte populaci žen ve věkovém rozmezí 0-14, 15-29, 30-44 a více let. 0-14 15-29 30-44 45 a více 1200 1500 1000 1300 Predikujte situaci za 30 let s počátečními podmínkami danými tabulkou a odhadněte dlouhodobou strukturu populace. bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 88/388 3. kapitola Praktické úlohy Modely chemických reakcí Chemické a biochemické reakce je vhodné popisovat pomocí diferenciálních rovnic. Elementární reakce podléhají kinetické rovnici, která popisuje rychlost, se kterou interagují dvě Látky a vytvářejí třetí: a + bAc Koncentrace Látek se značí v hranatých závorkách a uvedenou reakci můžeme popsat rovnicí kde derivace koncentrace [C] je okamžitá změna koncentrace [C], tedy rychlost, s jakou je tvořen produkt reakce. Konstanta k je rychlostní konstanta, která vlastně konstantou není - závisí např. na teplotě nebo homogenitě směsi. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 89/388 3. kapitola Praktické úlohy Nejjednodušší chemickou reakcí je přeměna jedné Látky na druhou (rozpad), může probíhat oběma směry: A^B k- Změna koncentrace [A] pak spLňuje Rovnováha se ustanoví v poměru [B]/[A] = k+/k- L Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 90/388 3. kapitola Praktické úlohy Nejjednodušší chemickou reakcí je přeměna jedné Látky na druhou (rozpad), může probíhat oběma směry: A^B k- Změna koncentrace [A] pak spLňuje = + *-[*!• Rovnováha se ustanoví v poměru [B]/[A] = k+/k— Pokud je systém uzavřený, pak [A] + [B] = [>4]tot a m = _k+[A] + k_([A]tot_[A]) = k_[A]tot - (k+ + k-)[A] a rovnováha [A]eq = k*+k_ [A] je stabilní. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 90/388 3. kapitola Praktické úlohy Ve skutečnosti je většina reakcí složitější a bude tedy popsána systémem diferenciálních rovnic, které ani nebudou Lineární. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 91/388 3. kapitola Praktické úlohy Ve skutečnosti je většina reakcí složitější a bude tedy popsána systémem diferenciálních rovnic, které ani nebudou Lineární. Podívejte se, jak vypadá dnešní matematické modelování v biochemii a systémové a syntetické biologii: ■ Metabolické sítě (co jsou metabolické sítě a jejich modelování) 3. kapitola Praktické úlohy Ve skutečnosti je většina reakcí složitější a bude tedy popsána systémem diferenciálních rovnic, které ani nebudou Lineární. Podívejte se, jak vypadá dnešní matematické modelování v biochemii a systémové a syntetické biologii: ■ Metabolické sítě (co jsou metabolické sítě a jejich modelování) ■ GRN - Genové regulační sítě (co jsou GNR) 3. kapitola Praktické úlohy Ve skutečnosti je většina reakcí složitější a bude tedy popsána systémem diferenciálních rovnic, které ani nebudou Lineární. Podívejte se, jak vypadá dnešní matematické modelování v biochemii a systémové a syntetické biologii: ■ Metabolické sítě (co jsou metabolické sítě a jejich modelování) ■ GRN - Genové regulační sítě (co jsou GNR) ■ Elektorfyziologie a neurální sítě 3. kapitola Praktické úlohy Ve skutečnosti je většina reakcí složitější a bude tedy popsána systémem diferenciálních rovnic, které ani nebudou Lineární. Podívejte se, jak vypadá dnešní matematické modelování v biochemii a systémové a syntetické biologii: ■ Metabolické sítě (co jsou metabolické sítě a jejich modelování) ■ GRN - Genové regulační sítě (co jsou GNR) ■ Elektorfyziologie a neurální sítě ■ Biochemické sítě 3. kapitola Praktické úlohy Ve skutečnosti je většina reakcí složitější a bude tedy popsána systémem diferenciálních rovnic, které ani nebudou Lineární. Podívejte se, jak vypadá dnešní matematické modelování v biochemii a systémové a syntetické biologii: ■ Metabolické sítě (co jsou metabolické sítě a jejich modelování) ■ GRN - Genové regulační sítě (co jsou GNR) ■ Elektorfyziologie a neurální sítě ■ Biochemické sítě ■ Cirkadiánní rytmy - PER gen L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 91/388 3. kapitola Praktické úlohy Ekonomické modely Ekonomové modelují nejčastěji Lineárně (nebo LogLineárně), ať už jde např. o budoucí hodnotu peněz, diskontaci, nebo makroekonomické modely rovnováh trhů (IS-LM model, AD-AS model, AD-IA model). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 92/388 3. kapitola Praktické úlohy Ekonomické modely Ekonomové modelují nejčastěji Lineárně (nebo LogLineárně), ať už jde např. o budoucí hodnotu peněz, diskontaci, nebo makroekonomické modely rovnováh trhů (IS-LM model, AD-AS model, AD-IA model). Důvod je zřejmý. Dynamiku tak složitého systému jako je ekonomický trh modelují nejjednodušším způsobem. Fitovat data, predikovat nebo dynamicky optimalizovat je i v takovým případech obtížný úkol. Makroekonomům také jde často jen o krátkodobý efekt fiskální a monetární politiky - snížení inflace, zvýšení exportu apod. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 92/388 3. kapitola Praktické úlohy My si uvedeme slavný příklad destabilizace makroekonomické rovnováhy PauLa Anthonyho SamueLsona, otce moderní ekonomie, nositele Nobelovy ceny za ekonomii (1970). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 93/388 3. kapitola Praktické úlohy My si uvedeme slavný příklad destabilizace makroekonomické rovnováhy PauLa Anthonyho SamueLsona, otce moderní ekonomie, nositele Nobelovy ceny za ekonomii (1970). Samuelsonův model interakce multiplikátoru a akcelerátoru ModeL popisuje jak ovlivňuje GNP tzv. multiplikační a akcelerační efekt. MuLtipLikačním efektem rozumíme to, že růst vládních výdajů vede k růstu GNP. Akcelerační efekt je růst investic díky růstu GNP. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 93/388 3. kapitola Praktické úlohy ModeL: Proměnnými jsou vládní výdaje G a hrubý národní produkt Y, který je součem investic /, spotřeby C a vládních výdajů G. Uvažujeme nejjednoduší případ - uzavřenou ekonomiku. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 94/388 3. kapitola Praktické úlohy ModeL: Proměnnými jsou vládní výdaje G a hrubý národní produkt Y, který je součem investic /, spotřeby C a vládních výdajů G. Uvažujeme nejjednoduší případ - uzavřenou ekonomiku. GD—-0 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 94/388 Rovnice: 3. kapitola Praktické úlohy kde a e (0,1) je sklon ke spotřebě, /3 > 0 je míra růstu investic. GNP Yn, spotřeba Cn a investice ln jsou stavové proměnné v /7-tém období, G je exogenní proměnná, a a /3 jsou parametry. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 95 / 388 3. kapitola Praktické úlohy Rovnice: kde a e (0,1) je skLon ke spotřebě, /3 > 0 je míra růstu investic. GNP Yn, spotřeba Cn a investice ln jsou stavové proměnné v n-tém období, G je exogénni proměnná, a a (3 jsou parametry. Jde o Lineární dynamický diskrétní modeL, kde investice Lze vyLoučit z modeLu (všimněte si, že pokud je systém v rovnováze, jsou investice nuLové): /5(Cn+i - Cn) + Cn+i + G, aYn, L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 95 /388 3. kapitola Praktické úlohy Rovnice: Yn+l = + + kde a e (0,1) je sklon ke spotřebě, (3 > 0 je míra růstu investic. GNP Yn, spotřeba Cn a investice ln jsou stavové proměnné v /7-tém období, G je exogénni proměnná, a a (3 jsou parametry. Jde o Lineární dynamický diskrétní modeL, kde investice Lze vyLoučit z modeLu (všimněte si, že pokud je systém v rovnováze, jsou investice nuLové): Yn+i = /5(Cn+i - Cn) + Cn+i + G, a přepsat do tvaru 2-rozměrného systému Yn+1 = {l + /3)aYn-l3Cn + G, L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 95 /388 3. kapitola Praktické úlohy Matice systému má tvar A=í(l + (3)a -0\ a protože det(/ — A) = 1 - a, je evidentně regulární. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 96/388 3. kapitola Praktické úlohy Matice systému má tvar a 0 a protože det(/ — A) = 1 - a, je evidentně regulární. Rovnováha tedy splňuje X= (c*) =(/"^"1' (o) (a l-(i%)a) ' (o L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 96/388 3. kapitola Praktické úlohy Matice systému má tvar (1 + P)a -0 a 0 a protože det(/ -A) = 1 - a, je evidentně regulární. Rovnováha tedy splňuje X= (c) =('-A)~1' (o) = ^ ( Q 1-(1%)J ' (o Odtud * G /~* olG r = t^- a c* = 1—a 1—a MuLtipLikační efekt je zřejmý - růst vládních výdajů vede k růstu GNP Y*, přičemž muLtipLikátor je /* = /*_c*_G=G_Q^_G = 0 l—a l—a AkceLerační efekt GNP na investice je zprostředkovaný změnou spotřeby, v rovnováze jsou tedy investice opravdu nulové (nezapomeňte, že předpokládáme uzavřenou ekonomiku). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 96/388 3. kapitola Praktické úlohy Dynamika v okolí rovnováhy je určena vlastními čísly matice A. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 97/388 3. kapitola Praktické úlohy Dynamika v okolí rovnováhy je určena vlastními čísly matice A. Charakteristický polynom je = A2 - a{P + 1)A + a(3 = 0. det(A/-4) = —a A L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 97/388 3. kapitola Praktické úlohy Dynamika v okolí rovnováhy je určena vlastními čísly matice A. Charakteristický polynom je det(XI-A) = X-(l + f3)a 13 —a X = A2 - a((3 + 1)A + a(3 = 0, Vlastní hodnoty jsou proto Ai 2 = a{/3 + 1) ± ^/a2(f3 + l)2 - Aaf3 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 97/388 3. kapitola Praktické úlohy Dynamika v okolí rovnováhy je určena vlastními čísly matice A. Charakteristický polynom je det(XI-A) = X-(1 + P)a P —a X = A2 - a{(3 + 1)A + a(3 = 0, Vlastní hodnoty jsou proto Al2 = a(P + 1) ± ^/a2(P + l)2 -4aP Podle věty o stabilitě diskrétního systému je rovnováha stabilní, pokud platí |Ai 2I < 1, tj. a(P + 1) ± y/a2(P + l)2 -4aP < 1 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 97/388 3. kapitola Praktické úlohy Postačující podmínky stability rovnováhy jsou A| = \detA\ < 1, í-a + A = 1 -trA + detA> 0 1 + cr + A = 1 + tr>» + deti4 > 0 kde trA = a(/3 + 1) a detA = a(3. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 3. kapitola Praktické úlohy Postačující podmínky stability rovnováhy jsou A| = \detA\ < 1, í-a + A = 1 -trA + detA> 0 1 + cr + A = 1 + tr>» + deti4 > 0, kde trA = a((3 + 1) a detA = a(3. Dosazením dostaneme A| = a(3 < 1, 1-a + A = 1 - + 1) + a/3 = 1 - a > 0 1 + a + A = 1 + + 1) + a/3 > 0, přičemž druhá a třetí podmínka je vždy splněna. Postačující podmínkou stability je tedy a(3 < 1. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 3. kapitola Praktické úlohy Vlastní čísla Ai^ = a^+v^±y/a^+v^ 4^ mohou být i komplexní. Řešení proto osciluje, pokud a < • L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 99/388 3. kapitola Praktické úlohy VLastní čísla Ai^ = OL^+v^±y/OL^+v^ mohou být i komplexní. Řešení proto osciluje, pokud a < • Samuelsonův graf (str. 5 článku): L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 99/388 3. kapitola Praktické úlohy Fraktály a počítačová grafika L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 100/388 3. kapitola Praktické úlohy Fraktály a počítačová grafika Systémy iterovaných funkcí Vyzkoušejte L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 3. kapitola Praktické úlohy Michael Fielding Barnsley f1946) - kniha Fractals Everywhere, 1988 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 101/388 3. kapitola Praktické úlohy Michael Fielding BarnsLey f1946) - kniha Fractals Everywhere, 1988 Použil čtyři afinní transformace tvaru: L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 101/388 3. kapitola Praktické úlohy Michael Fielding Barnsley f1946) - kniha Fractals Everywhere, 1988 Použil čtyři afinní transformace tvaru: ^ (°c ' (^j + (^j-(c d) = (o 0°16) ' (/) = (o) 5 Pravděpodobností p = 0,01 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 101/388 3. kapitola Praktické úlohy Michael Fielding Barnsley f1946) - kniha Fractals Everywhere, 1988 Použil čtyři afinní transformace tvaru: ^ (°c ' (^j + (^j- s pravděpodobností p = 0,01 c d) '{o 0,16)' \f) ~ \0 a b\ _ f 0,85 0,04\ fe\ _ f 0 c J- 1-0,04 0,85 7 ' \J7 ~ Vl,6 s prstí p = 0, 85 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 101/388 3. kapitola Praktické úlohy Michael Fielding Barnsley (*1946) - kniha Fractals Everywhere, 1988 Použil čtyři afinní transformace tvaru: ^ (c d) \y) ~*~ (/)' s pravděpodobností p = 0,01 c d) '{o 0,16)' \f) ~ [O a b\ _ f 0,85 0,04 \ fe\ _ ( 0 c d) ~ 1-0,04 0,85 ) ' l/i ~ 11,6 s prstí p = 0,85 'o t\ / 0,2 -0,26 Wx\ , / 0 . . . _7 c J = (o,23 0,22 )(y) + (l,6,SprStiP = °'07 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 101/388 3. kapitola Praktické úlohy Michael Fielding Barnsley (*1946) - kniha Fractals Everywhere, 1988 Použil čtyři afinní transformace tvaru: ^ (c d) \y) ~*~ (/)' s pravděpodobností p = 0,01 a fc\ _ / 0 0 \ (e\ _ (0 c d) '{o 0,16)' \f) ~ [O a b\ _ f 0,85 0,04 \ fe\ _ ( 0 c d) ~ 1-0,04 0,85 i ' l/i ~ 11,6 s prstí p = 0,85 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 101/388 3. kapitola Praktické úlohy Michael Fielding Barnsley (*1946) - kniha Fractals Everywhere, 1988 Použil čtyři afinní transformace tvaru: ^ (c d) \y) ~*~ (/)' s pravděpodobností p = 0,01 a fc\ _ / 0 0 \ (e\ _ (0 c d) '{o 0,16)' \f) ~ [O a b\ _ f 0,85 0,04 \ fe\ _ ( 0 c d) ~ 1-0,04 0,85 i ' l/i ~ 11,6 s prstí p = 0,85 Zkuste to v Matlábu! L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 101/388 3. kapitola Praktické úlohy Zkuste si sami! https://cindyjs.org/gallery/main/Barnsley/ https://cindyjs.org/examples/17_Shape0perations.html https://cindyjs.org/examples/144_randomtree.html https://cindyjs.org/gallery/main/IFS/ https://youtu.be/wujIqihioEU L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 102/388 3. kapitola Praktické úlohy Počítačová a filmová grafika ■ dnes běžně užívané pro textury a grafiku počítačových her L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 103/388 3. kapitola Praktické úlohy Počítačová a filmová grafika ■ dnes běžně užívané pro textury a grafiku počítačových he ■ první použití ve filmu: Loren Carpenter - Star Trek II L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 3. kapitola Praktické úlohy Počítačová a filmová grafika ■ dnes běžně užívané pro textury a grafiku počítačových her ■ první použití ve filmu: Loren Carpenter - Star Trek II ■ Loren Carpenter, zakladatel a vývojář firem Pixar, RenderMan L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 103/388 3. kapitola Praktické úlohy Počítačová a filmová grafika ■ dnes běžně užívané pro textury a grafiku počítačových her ■ první použití ve filmu: Loren Carpenter - Star Trek II ■ Loren Carpenter, zakladatel a vývojář firem Pixar, RenderMan ■ filmy Kráska a zvíře, Aladdin, Lví král, Terminator 2: Den zúčtování, Jurský park, Avatar, Titanic, Star Wars, Pán prstenů... L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 103/388 3. kapitola Praktické úlohy Počítačová a filmová grafika ■ dnes běžně užívané pro textury a grafiku počítačových her ■ první použití ve filmu: Loren Carpenter - Star Trek II ■ Loren Carpenter, zakladatel a vývojář firem Pixar, RenderMan ■ filmy Kráska a zvíře, ALaddin, Lví král, Terminátor 2: Den zúčtování, Jurský park, Avatar, Titanic, Star Wars, Pán prstenů... ■ umění a užití v reálných aplikacích (rozpoznávání, 3D modely, fotografie) L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 103/388 3. kapitola Praktické úlohy Počítačová a filmová grafika ■ dnes běžně užívané pro textury a grafiku počítačových her ■ první použití ve filmu: Loren Carpenter - Star Trek II ■ Loren Carpenter, zakladatel a vývojář firem Pixar, RenderMan ■ filmy Kráska a zvíře, ALaddin, Lví král, Terminátor 2: Den zúčtování, Jurský park, Avatar, Titanic, Star Wars, Pán prstenů... ■ umění a užití v reálných aplikacích (rozpoznávání, 3D modely, fotografie) ■ simulace zemětřesení, růstu krystalů, růstu orgánů, krajiny ... L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 103/388 4. kapitola Nelineární dynamika a linearizace Co se naučíme: ■ pracovat s nelineárními systémy L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 105/388 4. kapitola Nelineární dynamika a linearizace Co se naučíme: ■ pracovat s nelineárními systémy ■ porozumět pojmu „topologická ekvivalence" L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 105/388 4. kapitola Nelineární dynamika a linearizace Co se naučíme: ■ pracovat s nelineárními systémy ■ porozumět pojmu „topologická ekvivalence" ■ Grobmanovu-Hartmanovu větu L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 105/388 Co se naučíme 4. kapitola Nelineární dynamika a linearizace ■ pracovat s nelineárními systémy ■ porozumět pojmu „topologická ekvivalence" ■ Grobmanovu-Hartmanovu větu ■ a její použití v praktických úlohách L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 105/388 4. kapitola Nelineární dynamika a linearizace Nejprve se podívejte na video k rovnici x = (x + 4)(x + l)(x - 4). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 106/388 4. kapitola Nelineární dynamika a linearizace Nejprve se podívejte na video k rovnici x = (x + 4)(x + l)(x - 4). Jak bychom nejrychleji popsali, co se děje třeba v okolí x = -11 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 106/388 4. kapitola Nelineární dynamika a linearizace Nejprve se podívejte na video k rovnici x = (x + 4)(x + l)(x - 4). Jak bychom nejrychleji popsali, co se děje třeba v okolí x = -11 x « (-1 + 4)(x + 1)(-1 - 4) = -15(x + 1), takže bod blízko -1 změní svou polohu asi -15 x. Pokud Leží vpravo, posune se zhruba 15 x vlevo a naopak. Musí se tedy k rovnováze velmi rychle přibližovat! L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 106/388 4. kapitola Nelineární dynamika a linearizace Nejprve se podívejte na video k rovnici x = (x + 4)(x + l)(x - 4). Jak bychom nejrychleji popsali, co se děje třeba v okolí x = -11 x « (-1 + 4)(x + 1)(-1 - 4) = -15(x + 1), takže bod blízko -1 změní svou polohu asi -15 x. Pokud Leží vpravo, posune se zhruba 15 x vlevo a naopak. Musí se tedy k rovnováze velmi rychle přibližovat! Samozřejmě to platí pouze Lokálně -v blízkosti bodu -1, u bodu 4 je situace úplně jiná ... Provedli jsme první Linearizaci nelineární dynamiky. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 106/388 4. kapitola Nelineární dynamika a linearizace Pokud budeme studovat 2-rozměrné nelineárni systémy diferenciálních rovnic *i =/i(*i,x2) můžeme si podobnou geometrickou představou velmi pomoct. L Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 4. kapitola Nelineární dynamika a linearizace Pokud budeme studovat 2-rozměrné nelineárni systémy diferenciálních rovnic *1 =/l(*l,*2) *2 =f2(Xl,*2) můžeme si podobnou geometrickou představou velmi pomoct. Definice Xj-nulklinou systému (9) rozumíme implicitně danou křivku fi(x1,x2) = 0,ie{í,2}. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 107/388 4. kapitola Nelineární dynamika a linearizace Pokud budeme studovat 2-rozměrné nelineárni systémy diferenciálních rovnic *1 =/l(*l,*2) *2 =f2(Xl,*2) můžeme si podobnou geometrickou představou velmi pomoct. Definice x/-nulklinou systému (9) rozumíme implicitně danou křivku _fi(x1,x2) = 0,ie{l,2}._ Trajektorie procházející xi-nulklinou jsou rovnoběžné s osou xj a naopak. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 107/388 4. kapitola Nelineární dynamika a linearizace Nelineárni úlohu (23) x = /(x) s rovnováhou xq Lze posunutím tohoto bodu do počátku převést na tvar x = Ax + g(x), (10) kde A = D/(x0) je Jacobiho matice / v rovnováze x0 a g(x) = o(|| x ||) pro || x ||—>► 0, což znamená, že r II g(x) II n hm —-— = 0. 11x11^0 x L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 108/388 4. kapitola Nelineární dynamika a linearizace Nelineárni úlohu (23) x = /(x) s rovnováhou xq Lze posunutím tohoto bodu do počátku převést na tvar x = Ax + g(x), (10) kde A = D/(x0) je Jacobiho matice / v rovnováze x0 a g(x) = o(|| x ||) pro || x ||—>► 0, což znamená, že r II g(x) II n hm —-— = 0. 11x11^0 x Často dokonce || g(x) \\< k x na x < a (a > 0, k > 0). Je-Li ŕ i—^ 0(f) fundamentáLní matice řešení přísLušného homogenního Lineárního systému tvaru (6), pak metodou variace konstanty dostáváme řešení úLohy (10) s počáteční podmínkou x(ř0) = ^ tvaru x(t) = cKOO-Hto)* + 0(t) /' r^sj^s)) ds. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 108/388 4. kapitola Ljapunovova věta V případě, že A má pouze vlastní hodnoty se zápornými reálnými částmi odtud Lze (pomocí GronwaLLova Lemmatu) ukázat, že existují a, b, c > 0 takové, že každé řešení (10) s počáteční podmínkou x(0) = f, || f ||< 6 splňuje pro t > to x(f) ||► -oc, můžeme analogicky odvodit Ljapunovovu větu pro nestabilní „odpuzující" rovnováhu (tzv repeler). V takovém případě musí všechna vlastní čísla splňovat Re\; > 0. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 110/388 4. kapitola Ljapunovova věta Poznámka „Obrácením běhu času" tj. pro t —>► -oc, můžeme analogicky odvodit Ljapunovovu větu pro nestabilní „odpuzující" rovnováhu (tzv repeler). V takovém případě musí všechna vlastní čísla splňovat Re\; > 0. Je vidět, že maLá změna v nelineárních členech systému, při zachování těch Lineárních, nebude mít v případě atraktoru ani v případě repeLeru vLiv na dynamiku v okoLí rovnováhy - zůstane v podstatě tatáž. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 110/388 4. kapitola Ljapunovova věta PLatí dokonce mnohem silnější tvrzení - Grobmanova-Hartmanova věta o Linearizaci. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 111/388 4. kapitola Ljapunovova věta PLatí dokonce mnohem silnější tvrzení - Grobmanova-Hartmanova věta o Linearizaci. Než ji vyslovíme, potřebujeme aLe popsat dvě do i V • . r V • uLezite veci: L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 111/388 4. kapitola Ljapunovova věta PLatí dokonce mnohem silnější tvrzení - Grobmanova-Hartmanova věta o Linearizaci. Než ji vyslovíme, potřebujeme aLe popsat dvě do i V • . r V • uLezite veci: ■ co to vlastně je „stejná" dynamika L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 111/388 4. kapitola Ljapunovova věta PLatí dokonce mnohem silnější tvrzení - Grobmanova-Hartmanova věta o Linearizaci. Než ji vyslovíme, potřebujeme aLe popsat dvě do i V • . r V • uLezite veci: ■ co to vlastně je „stejná" dynamika ■ kde a za jakých okolností je dynamika „stejná" L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 111/388 4. kapitola Ljapunovova věta PLatí dokonce mnohem silnější tvrzení - Grobmanova-Hartmanova věta o Linearizaci. Než ji vyslovíme, potřebujeme aLe popsat dvě do i V • . r V • uLezite veci: ■ co to vlastně je „stejná" dynamika ■ kde a za jakých okolností je dynamika „stejná" L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 111/388 4. kapitola Ljapunovova věta PLatí dokonce mnohem silnější tvrzení - Grobmanova-Hartmanova věta o Linearizaci. Než ji vyslovíme, potřebujeme aLe popsat dvě do i V • . r V • uLezite veci: ■ co to vlastně je „stejná" dynamika ■ kde a za jakých okolností je dynamika „stejná" „Stejnost" neboli ekvivalenci Lze definovat pro dynamické systémy různými způsoby. V Literatuře naLeznete mnoho ekvivaLencí dynamických systémů. Zde půjde o ekvivaLenci dostatečně širokou -topologickou. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 111/388 4. kapitola Topologická ekvivalence Definice Dynamický systém D\ = {7", rm, cp*} se nazývá topologicky ekvivalentní dynamickému systému Dj = {7", rm, i/j*}, jestliže existuje homeomorfismus h : rm —>► rm, které zobrazuje trajektorie systému D\ na trajektorie systému Dj, přičemž zachovává jejich orientaci. Často v takovém případě mluvíme také o (topologicky) ekvivalentních fázových portrétech. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 112/388 4. kapitola Topologická ekvivalence Definice Dynamický systém D\ = {7", rm, cp*} se nazývá topologicky ekvivalentní dynamickému systému Dj = {7", rm, i/j*}, jestliže existuje homeomorfismus h : rm —>► rm, které zobrazuje trajektorie systému D\ na trajektorie systému Djf přičemž zachovává jejich orientaci. Často v takovém případě mluvíme také o (topologicky) ekvivalentních fázových portrétech. Definice Dynamický systém D\ = {7", rm, cp*} se nazývá lokálně topologicky ekvivalentní v okolí 0\ bodu x\ dynamickému systému Dj = {7", rm, rjr} v okolí Oj bodu x2, jestliže existuje homeomorfismus h : Oi —>► Oj, které zobrazuje trajektorie systému D\ v okolí 0\ na trajektorie systému Dj v okolí Oj, přičemž zachovává jejich orientaci. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 112/388 4. kapitola Topologická ekvivalence Homeomorfismus je invertibilní zobrazení, které je spojité a jehož inverzní zobrazení je také spojité. Trajektorie systému D\ se tedy dají jednoznačně přiřadit (i s orientací, resp. uspořádáním) k trajektoriím systému Dj tak, aby si vzájemně odpovídaly „sousední" body, lokální okolí. Nezajímají nás geometrické vzdálenosti a vztahy, ale topologické vlastnosti. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 113/388 4. kapitola Topologická ekvivalence Definice Izolovanou rovnováhu x0 systému (23) nazveme hyperbolickou, jestliže žádná z vlastních hodnot příslušné Jacobiho matice J = D/(xq) neleží na imaginární ose. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 114/388 4. kapitola Grobmanova-Hartmanova věta Věta (Grobmanova-Hartmanova věta, věta o linearizaci) Systém (2 3) x = /(x) je v okolí své hyperbolické rovnováhy x0 lokálně topologicky ekvivalentní se svou linearizaci x = D/(x0)x. (11) Důkaz naleznete např. v originálním článku a také v mnoha monografiích. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 115/388 4. kapitola Grobmanova-Hartmanova věta Věta (Grobmanova-Hartmanova věta, věta o linearizaci) Systém (2 3) x = /(x) je v okolí své hyperbolické rovnováhy x0 lokálně topologicky ekvivalentní se svou linearizaci x = D/(x0)x. (11) Důkaz naleznete např. v originálním článku a také v mnoha monografiích. Poznámka Systémy tvaru (23) v okolí hyperbolických rovnovážných bodů x$ a y0 jsou tedy lokálně topologicky ekvivalení právě tehdy když mají tyto rovnovážné body stejný počet vlastních hodnot s kladnou a zápornou reálnou částí. Dimenze stabilních resp. nestabilních podprostorů, které generují príslušné vlastní vektory, se označují n_ (pro ReX < 0) a n+ (pro ReX > 0). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 115/388 4. kapitola Grobmanova-Hartmanova věta Linearizace - video prof. Ghrista L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 116/388 4. kapitola Grobmanova-Hartmanova věta Linearizace - video prof. Ghrista Příklady na nulkliny a fázové portréty v rovině L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 116/388 4. kapitola Praktické úlohy Na úvod začneme jednorozměrným modelem růstu populace a vynecháme ten Lineární (MaLthusův, exponenciální). Pokud volíme míru růstu populace závisle na čase prostřednictvím velikosti populace, dostáváme autonomní nelineární dynamický systém x = r(x)x, L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 118/388 4. kapitola Praktické úlohy VoLbou r(x) dostáváme následující běžně používané modely populačního růstu: x = r0x (1 - Logistický VerhuLstovův modeL, x = r0x ^1 - (f )^) , /3 > 0 Richardsův modeL, x = íqx ^(f)~^ - 1^ von BertaLanffyho modeL, i—- x = r0Xj^, c > 0 Smithův modeL, x = r0xln (^) Gompertzův modeL, x = r0x - 1) (1 - ALLeeho modeL, K > 0 je tzv. kapacita prostředí, >4 je ALLeeho prahová hodnota, íq je špecifická míra růstu. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 119/388 4. kapitola Domácí úkol: Praktické úlohy Prozkoumejte různé tvary funkcí r(x) a diskutujte důvody jejich použití. Vyhledejte typické použití v literatuře. Umíte nalézt tvary řešení? Najděte rovnovážné body a vyšetřete jejich stabilitu. bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 4. kapitola Praktické úlohy Ukážeme si Linearizaci na Verhulstově modelu L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 121/388 4. kapitola Praktické úlohy Ukážeme si Linearizaci na Verhulstově modelu Předpokládejme, že r0 > 0 (typický případ). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 121/388 4. kapitola Praktické úlohy Ukážeme si Linearizaci na Verhulstově modelu Předpokládejme, že r0 > 0 (typický případ). rovnováha: x = 0, x = K, Df(x) = /q L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 4. kapitola Praktické úlohy Ukážeme si Linearizaci na Verhulstově modelu Předpokládejme, že r0 > 0 (typický případ). rovnováha: x = 0, x = K, Df{x) = r0 (1 - — Df(0) = ro > 0, x = 0 je nestabilní rovnováha L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 4. kapitola Praktické úlohy Ukážeme si Linearizaci na Verhulstově modelu Předpokládejme, že r0 > 0 (typický případ). rovnováha: x = 0, x = K, Df{x) = r0 (1 - — Df(0) = ro > 0, x = 0 je nestabilní rovnováha £>/(/() = —r0 < 0, x = /C je stabilní rovnováha L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 4. kapitola Praktické úlohy Alleeho efekt je jev kdy se zvyšující se velikostí populace zdatnost každého jejího člena roste. Může vést až ke vzniku kritické populační velikosti, která je nutná k přežití populace jako celku: klesne-li velikost populace pod tuto hodnotu, pak populace s velkou pravděpodobností vymírá. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 122/388 4. kapitola Praktické úlohy Alleeho efekt je jev kdy se zvyšující se velikostí populace zdatnost každého jejího člena roste. Může vést až ke vzniku kritické populační velikosti, která je nutná k přežití populace jako celku: klesne-li velikost populace pod tuto hodnotu, pak populace s velkou pravděpodobností vymírá. Alleeho efekt může vyvolávat řada mechanismů. Může to být např. potřeba nalézt partnera pro páření, kdy při malé velikosti populace je úspěšné nalezení partnera a vyvedení mláďat obtížné a schopnost rozmnožování se tak zvyšuje se zvětšující se velikostí populace. Podobně se může zdatnost jedinců zvyšovat s velikostí populace při obraně před predátory nebo při vzájemné spolupráci při uzpůsobování svého životního prostředí (např. tučňáci by jistě v malé kolonii nepřežili). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 122/388 4. kapitola Praktické úlohy Rozlišujeme siLný a slabý ALLeeho efekt. SLabý ALLeeho efekt nastává v situaci, kdy pro maLé velikosti populace špecifická míra růstu populace roste a je kladná, tedy s rostoucí populací roste zdatnost jedinců až do určité maximální hodnoty a poté klesá až k nulové hodnotě v kapacitě prostředí K. A r(x) L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 123/388 4. kapitola Praktické úlohy Daleko významější je siLný ALLeeho efekt, kdy existuje jistá prahová velikost populace a, pod kterou populace není schopna přežít. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 124/388 4. kapitola Praktické úlohy Uvažujme Verhulstův model s Alleeho efektem tvaru kde r > 0, K > 0 a A e (0, K). Pro specifickou míru růstu populace platí r(x) = r (1 - ž) (í-1). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 125 /388 4. kapitola Praktické úlohy Uvažujme Verhulstův model s Alleeho efektem tvaru kde r > 0, K > 0 a A e (0, K). Pro špecifickou míru růstu populace p Latí r(x) = r (1 - f) Grafem této funkce je konkávni parabola s kořeny v A a K, přičemž pro hodnoty populace v intervalu (0,A) je r(x) < 0. To je právě silný Alleeho efekt, kdy takto malá populace nemůže přežít, protože velikost populace klesá, x = 0 je stabilním rovnovážným bodem, atraktorem. Při překročení této prahové hodnoty platí r(x) > 0 a velikost populace roste až k rovnovážnému stabilnímu bodu x = K. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 125 /388 4. kapitola Praktické úlohy x=/(x) = rx(l-f) (ä- L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 4. kapitola Praktické úlohy x=f(x) = rx(l-f) fix) = r (1 - f) (xä - 1) + rx (-i) (J - 1) + rx (1 - |) (J) L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 126/388 4. kapitola Praktické úlohy x=f(x) = rx(l-f) fix) = r (1 - f) (xä - 1) + rx (-i) (J - 1) + rx (1 - |) (J) Také Grobmanova-Hartmanova věta potvrzuje tyto úvahy: /'(0) = r>0, f{A) = r(í-%)>0, f {K) = -r ({ - 1) < 0. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 126/388 4. kapitola Praktické úlohy Pokud budeme takovouto populaci vytěžovat (viz např. modeL rybolovu s konstatním úsilím), dostaneme model s rovnicí tvaru x = /x(l-ž) (ä-l)-£x = /x((l-f) (ž-l)-f). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 127/388 4. kapitola Praktické úlohy Pokud budeme takovouto populaci vytěžovat (viz např. modeL rybolovu s konstatním úsilím), dostaneme modeL s rovnicí tvaru * = «(i-*) (ž-i)-^ = ^((i-« H-i)-f)- Z tvaru pravé strany je zřejmé, že x = 0 je stabilní rovnováha a pro vysoké E je to jediná rovnováha systému. Prahovou hodnotou vynaloženého úsilí E je hodnota špecifické míry růstu populace v jejím maximu x = tj. F - r(^)2 Cmax - i 4AK L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 127/388 4. kapitola Praktické úlohy Pro E pod hodnotou Emax má systém 3 rovnovážné stavy x = 0, x = x\ a x = x2 (viz obr. 128), kde x1 < x2 jsou řešení kvadratické rovnice r(i-f) «-i) = f- L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 128/388 4. kapitola Praktické úlohy Pro E pod hodnotou Emax má systém 3 rovnovážné stavy x = 0, x = x\ a x = x2 (viz obr. 128), kde x1 < x2 jsou řešení kvadratické rovnice r(i-f) «-i) = f- Pro f nad hodnotou fmox má systém jediný stabilní rovnovážný stav x = 0. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 128/388 4. kapitola Praktické úlohy Při zvýšení těžby přes prahovovu hodnotu Emax dochází ke kvalitativní změně dynamiky - bifurkaci. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 129/388 4. kapitola Praktické úlohy Při zvýšení těžby přes prahovovu hodnotu Emax dochází ke kvalitativní změně dynamiky - bifurkaci. Situace, kdy se těží s efektivito u Emax je prakticky neudržitelná a také vede k vymření populace. Udržitelná těžba tedy musí splňovat jednak podmínku E < Emax, ale také podmínku na počáteční stav populace, která musí být dostatečně velká, musí být nad prahovou hodnotou nestabilního prostředního rovnovážného bodu, tj.x(O) > x\. Pokud tedy ekonomické tlaky na těžbu biopopulace vedou k jejímu stálému růstu, jak to vidíme dnes, dochází k tomu, že těžená populace v ustáleném rovnovážném boděx2 má mírnou klesající tendenci ovšem pouze do okamžiku, kdy se těžba přiblíží prahové hranici Emax, případně ji překročí. V takovém okamžiku dojde k velmi rychlé kvalitativní změně a velikost populace rapidně klesne a druh vymírá. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 129/388 4. kapitola Praktické úlohy Je evidentní, že pro záchranu populace už nestačí těžbu snížit, pokud bude totiž počáteční populace pod xi, k vymření stejně dojde. K záchraně druhu je pak třeba daleko větší úsilí: navýšení kapacity prostředí, špecifické míry růstu, nebo snížení prahové hodnoty a. Tento jednoduchý model tak ukazuje, jak nebezpečné je chování dnešní globalizované společnosti, která tlačí na maximální vytěžování, což vidíme např. u populace tuňáka obecného. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 130/388 4. kapitola Domácí úkol: Praktické úlohy bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 Modelujte světovou populaci s Alleeho efektem Funkci růstového koeficientu r[x) = Qq + Q\ • X + Qj • x2 můžeme odhadnout pomocí Lineární regrese z dat na www.worldometers.info nebo v souboru population.xlsx. Zkuste to a ukažte, že nejLepší odhad koeficientů je a0 = 0.016645, a1 = 1.958245 ■ 10~12 a a2 = -5.695209 • 10"22. Porovnejte váš výsledek s obrázkem. 131/388 4. kapitola Praktické úlohy Dalšími typickými modely jsou modely interakcí (Přibylová: Deterministické modely, str. 164), epidemiologické modely (Pospíšil, Přibylová: Spojité deterministické modely, str. 153), již zmíněné biochemické modely (Pospíšil, Přibylová: Spojité deterministické modely, str. 165), modely v neurovědě (Pospíšil, Přibylová: Spojité deterministické modely, str. 185).... FitzHughův-Nagumův model neuronu (Scholar) si během semestru ukážeme blíž. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 132/388 5. kapitola Fold, transkriticka a vidlickova bifurkace Fold, transkritii 5. kapitola Fold, transkritická a vidličková bifurkace Co se naučíme: ■ popsat dynamické systémy s parametrem L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 134/388 5. kapitola Fold, transkritická a vidličková bifurkace Co se naučíme: ■ popsat dynamické systémy s parametrem ■ porozumět pojmu bifurkace rovnovážného bodu L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 134/388 5. kapitola Fold, transkritická a vidličková bifurkace Co se naučíme: ■ popsat dynamické systémy s parametrem ■ porozumět pojmu bifurkace rovnovážného bodu ■ nakreslit bifurkační diagram L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 134/388 Co se naučíme: 5. kapitola Fold, transkritická a vidličková bifurkace ■ popsat dynamické systémy s parametrem ■ porozumět pojmu bifurkace rovnovážného bodu ■ nakreslit bifurkační diagram ■ pochopit změnu dynamiky spojitých systémů související s přechodem vlastního čísla přes 0 L Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 134/388 5. kapitola Systémy závislé na parametrech, bifurkace Uvažujme systém diferenciálních rovnic s parametrem tvaru x=f{x,e), (12) kde x g X = Rm je vektor proměnných, eeť je vektor parametrů a vektorová funkce/ : R171 x Rk —>► Rm je dostatečně hladká. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 135 /388 5. kapitola Systémy závislé na parametrech, bifurkace Uvažujme systém diferenciálních rovnic s parametrem tvaru x=f{x,e), (12) kde x g X = Rm je vektor proměnných, eeť je vektor parametrů a vektorová funkce/ : R171 x Rk —>► Rm je dostatečně hladká. Jestliže f(xo,£o) = 0, má systém (12) rovnovážný bod xq pro parametr e = £q a Linearizovaný systém v tomto bodě je ú = Df(x0,eo)u, kde D/(xo,£o) zn3Čí Jacobiho matici v boděxo pro parametre = £q. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 135 /388 5. kapitola Systémy závislé na parametrech, bifurkace Je-Li pro so rovnovážný bod xq hyperbolický, je Lineární transformace D/(x0,£o) : Km —^ Km invertibiLní a věta o implicitní funkci zaručuje Lokálně existenci a jednoznačnost křivky e ^ fi{e)9 která splňuje /J(eo) = xq a/(/J(e),e) = 0, tedy /3(e) odpovídá rovnovážnému bodu pro parametre. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 136/388 5. kapitola Systémy závislé na parametrech, bifurkace Je-Li pro so rovnovážný bod xq hyperbolický, je Lineární transformace D/(x0,£o) : Km —^ Km invertibiLní a věta o implicitní funkci zaručuje Lokálně existenci a jednoznačnost křivky e ^ fi{e)9 která splňuje /J(eo) = xq a/(/J(e),e) = 0, tedy /3(e) odpovídá rovnovážnému bodu pro parametre. Navíc, pokud D/(xq,£o) má m+ a /??_ vlastních hodnot s kladnou resp. zápornou reálnou částí, bude mít v okolí £q Jacobiho matice Df(f3(e),e) stejný počet m+ a /??_ vlastních hodnot s kladnou resp. zápornou reálnou částí. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 136/388 5. kapitola Systémy závislé na parametrech, bifurkace Uvažujme systém diferenčních rovnic s parametrem tvaru x(n + l)=f(x{n),e), (13) kde x e X = Rm je vektor proměnných, e e Rk je vektor parametrů a vektorová funkce/ :RfflxR^Ira je dostatečně hladká. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 137/388 5. kapitola Systémy závislé na parametrech, bifurkace Uvažujme systém diferenčních rovnic s parametrem tvaru x(n + l)=/(x(n),e), (13) kde x g X = Rm je vektor proměnných, eeť je vektor parametrů a vektorová funkce/ : R171 x Rk —>► Rm je dostatečně hladká. Jestliže/(xo,£o) =xo, má systém (13) rovnovážný bod xq pro parametr e = £q a Linearizovaný systém v tomto bodě je u(n + l) = Df(x0,e0)u(n), kde D/(xo,eo) značí Jacobiho matici v boděxo pro parametre = eq. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 137/388 5. kapitola Systémy závislé na parametrech, bifurkace Je-Li pro eo pevný bod xq hyperbolický, je Lineární transformace D/(x0,£o) - /: rm —^ rm invertibiLní a věta o implicitní funkci zaručuje Lokálně existenci a jednoznačnost křivky e ^ /3(s), která splňuje P(eo) = xq a/(/J(e),e) = tedy /3(e) odpovídá pevnému bodu pro parametre. Navíc, pokud D/(xq,£o) má m+ a /??_ vlastních hodnot s velikostí větší resp. menší než 1, bude mít v okolí eo Jacobiho matice Df(P(e),e) stejný počet m+ a /77_ vlastních hodnot s velikostí větší resp. menší než 1. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 138/388 5. kapitola Systémy závislé na parametrech, bifurkace Hyperbolický rovnovážný bod bude mít tedy pro parametry e dostatečně blízké £q stejné kvalitativní vlastnosti (stabilitu, nestabilitu, dimenze stabilní a nestabilní variety). V okolí hyperbolického rovnovážného bodu závislého na parametru je tedy tento systém tzv. strukturálně stabilní, tj. perturbovaný systém je s ním Lokálně topologicky ekvivalentní. V případě, že má Jacobiho matice Df (xq,£q) nějakou vlastní hodnotu s nulovou reálnou částí ve spojitém případě nebo s velikostí rovnou 1 v diskrétním případě (/t?o ^ 0), není zaručena existence ani jednoznačnost křivky (3(e), tj. při perturbaci může dojít k zániku rovnovážného bodu (v každém okolí £q), nebo k vzniku nové větve rovnovážných řešení (odtud vznikl název, rozvětvení = bifurkace) a samozřejmě při přechodu eo může dojít ke změně stability, dimenze stabilní a nestabilní variety, tedy obecně k Lokální kvalitativní změně chování systému. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 139/388 5. kapitola Lokální bifurkace Definice Lokální bifurkací systému (12) resp. (13) v okolí rovnovážného bodu x0 = (3(so) s kritickou hodnotou parametru e = so rozumíme kvalitativní změnu dynamiky v okolí kritické hodnoty eo, kdy fázové portréty v okolí rovnováhy xq při přechodu přes bifurkační parametr sq nejsou lokálně topologicky ekvivalentní. Poznámka V okolí nehyperbolické rovnováhy kde dochází k bifurkaci, je systém strukturálně nestabilní. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 140/388 5. kapitola Lokální bifurkace Uvažujme diferenciální rovnice s parametrem tvaru x = e-x2, xeR.eeR. (14) Rovnovážné body splňují/(^, s) := e - x2 = 0, tj. Leží na křivce e = x2. Pro e < 0 nemá rovnice (14) žádný rovnovážný bod, pro s = 0 je rovnováhou bod xq = 0 a pro s > 0 jsou rovnováhy dvě: x = ±y/ě. Parametr e = 0 je tedy bifurkační hodnotou a při jeho přechodu v okoLí počátku dochází k Lokální bifurkaci typu fold (ohyb). Bod (xq, so) = (0,0) je tzv. Limitním bodem. Všimněte si, že vlastní hodnota A = 0/(0,0) = 0. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 141/388 5. kapitola Lokální bifurkace Bifurkační diagram bifurkace typu foLd: e < 0 0 o 5 = 0 — \JE -O e > 0 x Křivka odpovídající stabilní rovnováze se zakresluje plnou čarou (plný bod), nestabilní rovnováze pak čárkovaně (prázdný bod). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 142/388 5. kapitola Fold bifurkace Věta Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrický systém (rovnice) x=/(x,a), x £ IR, a, £ IR, (15) kde f je hladká funkce, má pro a = ao rovnovážný bod x = xq a X =/x(x0, ao) = 0. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky fxx(xo, ®o) ^ 0 podmínka nedegenerovanosti, /a(xo, ao) ^ 0 podmínka transverzality. Pak je (15) v okolí rovnováhy lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě fold bifurkace ý = ±e±y2 (v libovolném okolí počátku). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 143/388 5. kapitola Fold bifurkace /(*, ol) = +čLeny s vyššími mocninami Rovnováha x0 spňuje/(x0, ao) = 0. Dochází k narušení hyperboLicity, tj. A = fx(xQ,ao) = 0. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 144/388 5. kapitola Fold bifurkace /(*, ol) = +čLeny s vyššími mocninami Rovnováha x0 spňuje/(x0, ao) = 0. Dochází k narušení hyperboLicity, tj. A = fx(xQ,ao) = 0. Reparametrizace s = |/a(xo, ao)|(a - oíq) + ... a posun do počátku y2 = \jfxx(xo, ao)\(x - xq)2 + ... převádí první čLeny na rovnici (14) ý = ±e ±y2, která je tzv. normálním tvarem pro foLd bifurkaci. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 144/388 5. kapitola Fold bifurkace /(*, ol) = +čLeny s vyššími mocninami Rovnováha x0 spňuje/(x0, ao) = 0. Dochází k narušení hyperboLicity, tj. A = fx(xQ,ao) = 0. Reparametrizace s = |/a(xo, ao)|(a - oíq) + ... a posun do počátku y2 = \jfxx(xo, ao)\(x - Xq)2 + ... převádí první členy na rovnici (14) ý = ±e ±y2, která je tzv. normálním tvarem pro foLd bifurkaci. Znaménko/a(xo, <^o) Pak určuje znaménko u e v normálním tvaru, znaménko fxx(xo, oíq) určuje znaménko u y2. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 144/388 5. kapitola Fold bifurkace /(*, ol) = +čLeny s vyššími mocninami Rovnováha x0 spňuje/(x0, ao) = 0. Dochází k narušení hyperboLicity, tj. A = fx(xQ,ao) = 0. Reparametrizace s = |/a(xo, ao)|(a - oíq) + ... a posun do počátku y2 = \jfxx(xo, ao)\(x - xq)2 + ... převádí první čLeny na rovnici (14) ý = ±e ±y2, která je tzv. normálním tvarem pro foLd bifurkaci. Znaménko/a(xo, <^o) Pak určuje znaménko u e v normálním tvaru, znaménko/xx(xq, ao) určuje znaménko u y2. Každá jednoparametrická diferenciální rovnice tvaru (15) splňující podmínky věty má dynamiku v okolí rovnováhy Lokálně topologicky ekvivalentní s jejím normálním tvarem (jedna ze 4 možností znaménkových hodnot). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 144/388 5. kapitola Fold bifurkace Podmínka nedegenerovanosti/xx(xo, ao) ^ 0 zaručuje, že nejde o jiný typ bifurkace. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 145/388 5. kapitola Fold bifurkace Podmínka nedegenerovanosti/xx(xo, ao) ^ 0 zaručuje, že nejde o jiný typ bifurkace. Podmínka transverzality/a(x0, ao) ^ 0 zaručuje, že při přechodu parametru přes kritickou hodnotu skutečně dochází ke kvalitativní změně (vzniku či zániku rovnovážných bodů). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 145/388 5. kapitola Fold bifurkace Podmínka nedegenerovanosti/xx(xo, ao) ^ 0 zaručuje, že nejde o jiný typ bifurkace. Podmínka transverzality/a(x0, ao) ^ 0 zaručuje, že při přechodu parametru přes kritickou hodnotu skutečně dochází ke kvalitativní změně (vzniku či zániku rovnovážných bodů). Kdyby některá z těchto hodnot byla nulová, museli bychom v TayLorově rozvoji použít členy vyšších mocnin, např. sfxa(xo, ao) nebo sfxxx(xo, ao) a tvar normální formy by se změnil a mohlo by dojít ke kvalitativní změně dynamiky této rovnice. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 145/388 5. kapitola Fold bifurkace Podmínka nedegenerovanosti/xx(xo, ao) ^ 0 zaručuje, že nejde o jiný typ bifurkace. Podmínka transverzality/a(x0, ao) ^ 0 zaručuje, že při přechodu parametru přes kritickou hodnotu skutečně dochází ke kvalitativní změně (vzniku či zániku rovnovážných bodů). Kdyby některá z těchto hodnot byLa nulová, museli bychom v TayLorově rozvoji použít čLeny vyšších mocnin, např. sfxa(xo, ao) nebo sfxxx(xo, ao) a tvar normální formy by se změnil a mohlo by dojít ke kvalitativní změně dynamiky této rovnice. Ti, kteří chtějí vědět, jak najít onen neznámý homeomorfismus z definice topologické ekvivalence, můžou zalistovat v Kuzněcovovi nebo počkat do předmětu PřF:M9BCF Teorie bifurkací, chaos a fraktály. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 145/388 5. kapitola Fold bifurkace Bifurkace typu foLd se nazývá také někdy bifurkace sedlo-uzel. Podívejte se proč: L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 146/388 5. kapitola Fold bifurkace Bifurkace typu fold se nazývá také někdy bifurkace sedlo-uzel. Podívejte se proč: sedlo-uzel.gif video prof. Ghrista L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 146/388 5. kapitola Příklady Příklady na fold bifurkaci L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 147 / 388 5. kapitola Příklady Pro hledání vhodných „adept" pro jednoparametrickou bifurkaci sedLo-uzeL vícerozměrného víceparametrického systému tvaru (12) x = /(x, e) můžeme použít jednoduchý algoritmus. Hledáme řešení soustavy rovnic: f{x,e) = 0, detD/(x,e) = 0 vzhledem k x a jednomu vybranému parametru. Kromě jedné tedy fixujeme všechny složky e. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 148/388 5. kapitola Příklady Pro hledání vhodných „adept" pro jednoparametrickou bifurkaci sedLo-uzeL vícerozměrného víceparametrického systému tvaru (12) x = /(x, e) můžeme použít jednoduchý algoritmus. Hledáme řešení soustavy rovnic: f{x,e) = 0, detD/(x,e) = 0 vzhledem k x a jednomu vybranému parametru. Kromě jedné tedy fixujeme všechny složky e. Zda skutečně dochází k bifurkaci sedlo-uzel můžeme ověřit až spočtením vlastních hodnot Jacobiho matice Df(x,e) v okolí kritické hodnoty £q, přitom Jacobiho matice je vypočtena v rovnovážném bodě x = f}(e), který závisí na parametru. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 148/388 5. kapitola Další jed no para metrické bifurkace Další jednoparametrické bifurkace počtu rovnovážných bodů ve spojitých systémech: Normální forma transkritické bifurkace x = ex-x2 (16) L Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 149 / 388 5. kapitola Další jed n o para metri c ké bifurkace Další jednoparametrické bifurkace poctu rovnovážných bodu ve spojitých systémech: Normální forma transkritické bifurkace x = ex — xl (16) / \ \ \ L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 149 / 388 5. kapitola Další jednoparametrické bifurkace Normální forma vidličkové (pitchfork) bifurkace x = ex — xl L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 5. kapitola Další jed n o para metri c ké bifurkace Normální forma vidličkové (pitchfork) bifurkace x = ex — x3 (17) L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 150/388 5. kapitola Další jed n o para metri c ké bifurkace Věta Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrická rovnice x=/(x,a), xGl, aeR, (18) kde f je hladká funkce, která má pro a = ao nehyperbolickou rovnováhu x = x0 (X =/x(xq, ao) = 0), která leží na průsečíku dvou větví rovnováh, tj. platí takéfa(xo, ao) = 0. Předpokládejme, že jsou navíc splněny podmínky fxx(xo, ao) ^ 0 podmínka nedegenerovanosti, fxa{xo, ao) 0 podmínka transverzality. Pak je (18) v okolí rovnováhy x0 lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě transkritické bifurkace ý = ±ey ± y2 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 151/388 5. kapitola Další jed n o para metri c ké bifurkace + jfxx(x0, a0)(x - x0)2 +fxa(x0, a0)(x - x0)(a - a0)+ + členy s vyššími mocninami L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 152/388 5. kapitola Další jed n o para metri c ké bifurkace + jfxx(x0, a0)(x - x0)2 +fxa(x0, a0)(x - x0)(a - a0)+ + členy s vyššími mocninami Podmínka/xx(x0, ao) ^ 0 byLa u foLd bifurkace také podmínka nedegenerovanosti. Porušená je podmínka transverzaLity foLd bifurkace, protože/a(xo, a$) = 0, aLe čLen sfxa(xQ,ao) nevymizí. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 152/388 5. kapitola Další jednoparametrické bifurkace Věta Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrická rovnice x=/(x,a), xgI, aGK, (19) kdef(x - x0) je v okolí počátku lichá funkce, která má pro a = ao nehyperbolickou rovnováhu x = xq (X = /x(xq, ao) = 0). Předpokládejme, že jsou splněny podmínky fxxx(xo, ®o) ^ 0 podmínka nedegenerovanosti, fxa(xo, oíq) ^ 0 podmínka transverzality. Pak je (19) v okolí rovnováhy lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě vidličkové bifurkace ý = ±ey ± y3 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 153/388 5. kapitola Další jednoparametrické bifurkace f(x, a) =XWr^+Mx&ttSóJ(x - xo) + fJj 0, výlovem h > 0 a kapacitou prostředí K > 0. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 165 /388 6. kapitola Model výlovu Model výlovu s logistickým růstem: Uvažujme konstantně Lovenou popuLaci (např. tuňáků) modeLovanou Logistickou rovnicí x = rx{l-$)-h=f{x,h) s mírou růstu r > 0, výLovem h > 0 a kapacitou prostředí K > 0. VýLov h je parametrem, který ovLivňuje existenci rovnovážného stavu L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 165/388 6. kapitola Model výlovu Model výlovu s logistickým růstem: Uvažujme konstantně Lovenou popuLaci (např. tuňáků) modeLovanou Logistickou rovnicí X = ÍX(l-f)-/l=/(x,/l) s mírou růstu r > 0, výLovem h > 0 a kapacitou prostředí K > 0. VýLov h je parametrem, který ovLivňuje existenci rovnovážného stavu Bifurkace typu foLd nastává v případě, že pro rovnovážný bod v kritické hodnotě parametru pLatí /x(x*,/H = r-^x* = 0, což je právě spLynutí rovnovah x1 a x2 v jedinou. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 165/388 6. kapitola Model výlovu To nastává pro kritickou hodnotu parametru h: Protože/xx = ŕ 0 afh = -1 ŕ 0, jsou splněny podmínky nedegenerovanosti a transverzality bifurkace typu fold. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 166/388 6. kapitola Model výlovu To nastává pro kritickou hodnotu parametru h: h* - — Protože fxx = ~y ^ 0 a= -1 ^ 0, jsou splněny podmínky nedegenerovanosti a transverzaLity bifurkace typu foLd. Pokud výLov překročí tuto prahovou hodnotu h*, populace nutně vymře. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 166/388 6. kapitola Model excitace neuronu Model excitace neuronu: Nejjednodušší modeLtoku Na+ do neuronu přes buněčnou membránu je rovnice x = kx(a - x){x — 1) + /, kde x je normalizované membránové napětí (potenciál) excitabiLní buňky, k > 0 ovlivňuje rychlost odpovědi a a e (0,1) je práh mezi elektrickým klidem a vzruchem. Parametr / je elektrický proud, který prochází membránou - vnější buzení. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 167/388 6. kapitola Model excitace neuronu Model excitace neuronu: Nejjednodušší modeLtoku Na+ do neuronu přes buněčnou membránu je rovnice x = kx(a - x){x — 1) + /, kde x je normalizované membránové napětí (potenciál) excitabiLní buňky, k > 0 ovlivňuje rychlost odpovědi a a e (0,1) je práh mezi elektrickým klidem a vzruchem. Parametr / je elektrický proud, který prochází membránou - vnější buzení. Větev rovnováh / = kx{x — a){x — 1) má vždy dva Limitní body. Viz neuron.mw. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 167/388 6. kapitola Model excitace neuronu Rovnováhy pak můžeme nakreslit v závislosti na parametru / podle vztahu / = kx{x - o)(x - 1). Dva Limitní body i stabilita jsou v tomto modelu „vidět". Fold bifurkace pak vysvětluje jev, kdy excitabilita neuronu je skoková změna napětí způsobená překročením hraničního prahu vstupního proudu. Do tohoto prahu neuron neodpovídá. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 168/388 6. kapitola Model zániku korálových útesů Přestože to není typické, i transkritická bifurkace může být příčinou skokové změny. Uveďme zde model zániku korálových útesů. Tento modeL si ukážeme na cvičení. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 169/388 6. kapitola Konvekční proudění Jako příklad vidličkové bifurkace si ukážeme slavný Lorenzův model. Nebudeme se ale zabývat oblastí, kde vzniká Lorenzův chaotický atraktor, ale oblastí, kde dochází k zániku jediné stabilní rovnováhy, která odpovídá stacionárnímu rozložení teplot mezi teplejší zemí a studenější horní vrstvou atmosféry a vzniku konvekčního proudění. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 170/388 6. kapitola Konvekční proudění Lorenzův model Rovnice popisující proudění vznikající vedením tepLa si uvádět nebudeme (jde o parciální diferenciální rovnice). Anglický fyzik John WiUiam Strutt, 3. baron RayLeigh ukázal, že pokud R = gaH^AT R = 7r4(l+a2)5 vk c a2 ' vznikají periodická řešení těchto PDR. ČísLo R se proto nazývá RayLeigho číslo, kde g je gravitační zrychlení, a tepelná roztažnost, v viskozita a k tepelná vodivost kapaliny. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 171/388 6. kapitola Konvekční proudění Lorenzův model Rovnice popisující proudění vznikající vedením tepla si uvádět nebudeme (jde o parciální diferenciální rovnice). Anglický fyzik John William Strutt, 3. baron Rayleigh ukázal, že pokud R = gaH^AT R = 7r4(l+a2)5 vk c a2 ' vznikají periodická řešení těchto PDR. Číslo R se proto nazývá Rayleigho číslo, kde g je gravitační zrychlení, a tepelná roztažnost, v viskozita a k tepelná vodivost kapaliny. Jak se zvyšuje rozdíl teplot povrchů A7", vedení tepla se stává nestabilní a vzniká cirkulace kapaliny. Můžete ho sledovat v hrnku horké kávy jako tmavé skvrny.... L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 171/388 6. kapitola Konvekční proudění Lorenzův model Rovnice popisující proudění vznikající vedením tepla si uvádět nebudeme (jde o parciální diferenciální rovnice). Anglický fyzik John William Strutt, 3. baron Rayleigh ukázal, že pokud R = gaH^AT R = 7r4(l+a2)5 vk c a2 ' vznikají periodická řešení těchto PDR. Číslo R se proto nazývá Rayleigho číslo, kde g je gravitační zrychlení, a tepelná roztažnost, v viskozita a k tepelná vodivost kapaliny. Jak se zvyšuje rozdíl teplot povrchů A7", vedení tepla se stává nestabilní a vzniká cirkulace kapaliny. Můžete ho sledovat v hrnku horké kávy jako tmavé skvrny.... Zjednodušený model pohybu atmosféry uveřejnil v roce 1963 Edward Lorenz. Model potvrzuje nejen Rayleigho výsledky, ale ukazuje vznik turbulencí. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 171/388 6. kapitola Konvekční proudění x = -a(x-y), ý = rx — y — xz. z = -bz + xy, L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 172/388 6. kapitola Konvekční proudění x = - 1 W — 1 OJ < 1 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 175 /388 6. kapitola Bifurkace SNIPER a synchronizace Kritický bod této bifurkace pak dává vzniknout cyklu s nekonečně dlouhou periodou, odtud její název. Fázový portrét vypadá takto: L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 176/388 6. kapitola Bifurkace SNIPER a synchronizace Tento typ bifurkace stojí za jevem, kterému říkáme synchronizace. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 177/388 6. kapitola Bifurkace SNIPER a synchronizace Tento typ bifurkace stojí za jevem, kterému říkáme synchronizace. Představte si dva běžce na oválu (nebo taky oscilující neurony, rotující vesmírná tělesa, děti na houpačce, hodiny na stěně nebo metronomy na společné základně). Každý má svou úhlovou rychlost uj\ a ujj a jeho pozice na oválu (fáze) je dána rovnicí 6j = u>h /e{l, 2}. Neznají se, nekomunikují spolu. Běží (oscilují) svou vlastní frekvencí. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 177/388 6. kapitola Bifurkace SNIPER a synchronizace Pokud se ale běžci znají a chtějí spolu komunikovat, upraví svůj běh (oscilaci, rotaci, houpání nebo kývání). Čím blíž k sobě budou, tím víc se budou snažit. Sílu spřažení označme ■ 01 = uj\ — ki sin(#i — #2)5 ■ 6j = (jOj — Kj sin(^2 — #1), L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 178/388 6. kapitola Bifurkace SNIPER a synchronizace Pokud se ale běžci znají a chtějí spolu komunikovat, upraví svůj běh (oscilaci, rotaci, houpání nebo kývání). Čím blíž k sobě budou, tím víc se budou snažit. SíLu spřažení označme ■ 9\ — uj\ — ki sin(#i — 9j)i ■ 9j = c^2 — sin(6^2 — ^1), Stavová proměnná p = 0\ - Oj popisující úhlovou vzdálenost mezi běžci (oscilátory) má rovnici p = Acj — (kí + K2) sin p, kde Acu = ujj L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 178/388 6. kapitola Bifurkace SNIPER a synchronizace ip = Auj — (tví + ^2) s'n V9 Proto vznikne vazba. Pokud bude dost siLná, vznikne stabilní vázaná rotace - synchronizace. Proto se díváme stáLe na stejnou přivrácenou stranu Měsíce a máme štěstí, že vázaná rotace nevznikla mezi Sluncem a Zemí, protože jsme dostatečně daleko. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 179/388 rkace SNIPER a synchronizace Vyzkoušejte si synchronizaci na metronomech. V reálu i v Maplu. 7. kapitola Hystereze a cusp bifurkace Co se naučíme: ■ porozumět bistabiLitě a jevu hystereze L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 182/388 7. kapitola Hystereze a cusp bifurkace Co se naučíme: ■ porozumět bistabiLitě a jevu hystereze ■ pochopit pojem varieta rovnovah ve dvouparametrickém systému L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 182/388 Co se naučíme 7. kapitola Hystereze a cusp bifurkace ■ porozumět bistabiLitě a jevu hystereze ■ pochopit pojem varieta rovnovah ve dvouparametrickém systému ■ popsat dvouparametrickou cusp bifurkaci L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 182/388 Co se naučíme 7. kapitola Hystereze a cusp bifurkace ■ porozumět bistabiLitě a jevu hystereze ■ pochopit pojem varieta rovnováh ve dvouparametrickém systému ■ popsat dvouparametrickou cusp bifurkaci ■ použít znalosti o cusp bifurkaci na praktických úlohách L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 182/388 7. kapitola Hystereze a cusp bifurkace Hystereze je jev, kdy dynamický systém vykazuje jakousi paměť. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 183/388 7. kapitola Hystereze a cusp bifurkace Hystereze je jev, kdy dynamický systém vykazuje jakousi paměť. V deterministickém systému bez hystereze je možné předpovědět výstup pouze v závislosti na čase, v systému s hysterezí to nelze, kromě času musíme znát i "cestu'Vstupu, tedy trajektorii, kterou vstup prošel, než dosáhl určité hodnoty. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 183/388 7. kapitola Hystereze a cusp bifurkace Hystereze je jev, kdy dynamický systém vykazuje jakousi paměť. V deterministickém systému bez hystereze je možné předpovědět výstup pouze v závislosti na čase, v systému s hysterezí to nelze, kromě času musíme znát i "cestu'Vstupu, tedy trajektorii, kterou vstup prošel, než dosáhl určité hodnoty. Hystereze vykazuje typicky zpoždění při návratu do původního stavu. Známá je hystereze u feromagnetických materiálů, které po vystavení magnetickému poli vykazují nějakou dobu magnetické vlastnosti, poté dojde k zániku vnitřního magnetického pole. Tento jev se ale objevuje i v jiných oborech - biologii, medicíně, ekonomii apod. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 183/388 7. kapitola Hystereze a cusp bifurkace 2. stabilní stav ferromagnetu - zmagnetizovaný O LP 1. stabilní stav ferromagnetu - nezmagnetizovaný parametr - síla vnějšího magnetického pole L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 184/388 7. kapitola Model obaleče Model populace obaleče Choristoneura Occidentalis Spruce Budworm Model V roce 1978 byL vytvořen modeL populace obaleče, který je v Kanadě škůdcem jehličnatých Lesů. V 30-40tiLetém cykLu se obaLeč přemnoží tak, že zceLa zničí Lesy. ModeL umožniL pochopit dynamiku popuLace obaLeče a mechanismus vzniku skokových změn, kdy dochází k jeho přemnožení. Na zákLadě modeLu je možné popuLaci obaLeče ukontroLovat. ModeL obaLeče nám bude sLoužit jako modeLový systém pro vysvětLení jevu hystereze a její souvisLosti s bistabiLitou a cusp bifurkací. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 185 /388 7. kapitola Model obaleče Populace obaLeče bude modelována Logistickým modelem růstu N = rBN 1 - - - K J A2 + N2' kde A/ je populace, r > 0 míra růstu populace a K > 0 kapacita prostředí (v případě obaLeče je dána hustotou jehLicí). Funkce predace ptáky p(N) = A2+N2 (analyzujte průběh funkce), která má sigmoidní charakter {A, B > 0), rB > 0 je špecifická míra růstu a parametry A > 0, B > 0 souvisí s efektivitou Lovu. A s časem, který je k Lovu potřebný a B s množstvím. Čím více bude obaLeče na stromech, tím bude A menší a B větší. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 186/388 7. kapitola Model obaleče V této rovnici Lze zmenšit počet parametrů (změnou měřítka populace a času) substitucí x=^,r = ^,r=^,<7=^a dostaneme tak L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 187/388 7. kapitola Model obaleče V této rovnici Lze zmenšit počet parametrů (změnou měřítka populace a času) substitucí x=^,r = ^,r=^,<7=^a dostaneme tak x = rx 1-----y. Všimněte si, že r\ q roste s dostupností kořisti. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 187/388 7. kapitola Model obaleče V této rovnici Lze zmenšit počet parametrů (změnou měřítka populace a času) substitucí x=^,r = ^,r=^,<7=^a dostaneme tak x \ x2 x = rx [ 1--- 2 ' q J 1+x Všimněte si, že r i q roste s dostupností kořisti. Je zřejmé, že x = 0 je nestabilní rovnováha (proč?). DaLší rovnovážné body splňují rovnici rll-íU " q 1+x 2 ' L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 187/388 7. kapitola Model obaleče Graficky můžeme rovnovážné body najít jako průsečíky přímky s nelineární křivkou: r f i ---- -~L~l_~. ^ ^ 1 i x2 X3 q \______ , \ " " \ \ ' _____ \ \ ^—" — \ \ ' ^ \ / ' \x\yx2/ \ / \ / \ ✓ s y L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 188/388 7. kapitola Model obaleče Graficky můžeme rovnovážné body najít jako průsečíky přímky s nelineární křivkou: Je zřejmé, že v případě vyznačeném na obrázku jsou nenulové rovnováhy tři, vnější dvě stabilní, vnitřní nestabilní. Při malé změně parametrů může dojít k zániku jednoho z těchto rovnováh. Při zániku bodu x\ tedy dochází i při relativně nízké velikosti populace k prudkému přemnožení, které navíc vykazuje hysterezi. r f (x) L Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 188/388 7. kapitola Model obaleče Varietu odpovídající rovnovážným bodům můžeme zobrazit závisle na obou parametrech - r a q. Tento typický ohyb (foLd - přeložení) se nazývá katastrofa bodu vratu -cusp katastrofa. Jde o bifurkaci dvouparametrickou. Schéma bifurkačního diagramu se v takovém případě zakresluje do prostoru parametrů, který je bifurkačními hranicemi (odpovídají Limitním bodům bifurkace foLd) rozdělen na strukturálně stabilní oblasti, tj. oblasti s topologicky ekvivalentními fázovými portréty. 189/388 Úkol: r cusp 1 singulární bod 3 singulární body 0 q Analyzujte model v programu XPPAUT a vykreslete bifurkační diagram pomocí jeho podprogramu AUTO nebo v programu MatCont. Zkuste interaktivní aplet. bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 190/388 7. kapitola Bistabilita a cusp bifurkace Je vidět, že jev hystereze, který jsme viděli úzce souvisí s vznikem dvou stabilních atraktorů. V příkladu modelu biotopu korálových útesů a řas jsme se s hysterezí potkali také - šlo o případ dvou transkritických bifurkací, kdy stabilní větve rovnováh pro určité parametry vznikaly resp. zanikaly. Existence dvou nebo více stabilních atraktorů v dynamickém systému pro jisté parametry se nazývá bistabilita resp. m u Iti sta b i lita. Nejčastějším případem, kdy takový jev vzniká je okolí bifurkace typu cusp. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 191/388 7. kapitola Bistabilita a cusp bifurkace Věta Předpokládejme, že jednodimenzionální dvouparametrický systém (rovnice) x=/(x, a), x e IR, a — (ai, a^)7" G IR2, /rdě/ ye hladká funkce, má pro a = ao rovnováhu x = xq a p/ař/ A =/x(x0, ao) = 0,/xx(x0, ao) = 0. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky fxxx(xo, cto) ^ O podmínka nedegenerovanosti, ifajxa2 -fajfxajixo, <*0) ^ O podmínka transverzality. Pak je uvedený nelineární systém v okolí rovnováhy lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě bifurkace bodu vratu - cusp ý = e\ + e2y ± y3 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 192/388 7. kapitola Bistabilita a cusp bifurkace Rovnovážné body Leží na varietě M : e\ +s2y ±y3 = 0, přitom nulová první derivace, tedy podmínka pro bifurkaci typu foLd (sedLo-uzeL) je splněna na křivce splňující navíc s2 ± 3y2 = 0. Pokud z těchto dvou rovnic vyloučíme y, dostaneme křivku typického tvaru V 27e\ - 4e\ = 0 s bodem vratu v počátku. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 193/388 7. kapitola Bistabilita a cusp bifurkace 7. kapitola Bistabilita a cusp bifurkace Jednotlivé větve 7i, Tj odpovídají zánikům dvojice rovnovážných bodů v ohybech variety M, tedy jsou to bifurkační hranice bifurkace foLd (LP). Bifurkace bodu vratu (cusp) implikuje vznik hystereze. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 195 /388 7. kapitola Bistabilita a cusp bifurkace Oblasti označené 1 a 2 jsou strukturálně stabilní oblasti, ve kterých má systém 3 resp. jedinou rovnováhu. T\ a Tj odpovídají jednoparametrické bifurkaci typu fold, jsou to hranice kodimenze 1 v 2-rozměrném prostoru parametrů. Jejich průnikem je bod vratu, který má dimenzi 0, tedy kodimenzi 2 v 2-rozměrném prostoru parametrů. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 196/388 'aktické úlohy Jelineární dynamika • 6. února 2021 7. kapitola Fosforylací aktivovaná kináza Fosforylací aktivovaná kináza Kinázy (nejčastěji proteinkinázy) jsou enzymy, které se účastní širokého spektra buněčných pochodů, jako je regulace exprese genů, mitóza, buněčná diferenciace a proLiferace nebo i programovaná buněčná smrt. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 199/388 7. kapitola Fosforylací aktivovaná kináza activate relay molecule activates protein CT~~l!5 kinase 1 active protein kinase I transfer a phosphate TP to an inactive ] activate protein kinase 2 f"active pro^1"! from ATP to an inactive protein kinase 2, thus [ kinase 1 J ^ivate protein I' active protein kinase 2 in turn then catalyses for the phosphorylation of protein kinase 3 etive proiem"| act'vc protein kinase 3 catalyses the phosphorylation of protein kinase 4, thus makes it active ! Phosphatase Phosphorylation cascade same process, active protein kinase 4 "turn on" protein kinase 5 active protein [Active protein! kinase 5 I kinase 5 J phosphorylates a —=7—protein (blue) All' ADPJV_. nactive pmteuT) | Acme priiteirTj thcactive protein X leads to cell's response to the signal Cellular response V reálných dějích jde o několikastupňovou fosforylační kaskádu kináz, v níž v každém kroku předcházející kináza aktivuje tu následující. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 200/388 7. kapitola Fosforylací aktivovaná kináza Jednoparametrický modeLtéto nejjednodušší struktury, která umožňuje vznik genetické změny vlastní aktivitou, jsme si již jako typický biochemický přepínač ukázali. Teď se na model podíváme blíž. Jde o model samostatné fosforylací aktivované kinázy, která je transkripčním faktorem pozitivně regulujícím vlastní expresi v rámci genomu: * = + ^2 ~ kde X g R kvantifikuje aktivitu kinázy a ko, Vm, Km a kd jsou kladné parametry. Parametr ko odpovídá bazálni (autonomní) produkci kinázy nezávisle na aktivitě X, druhý člen ft1*^ odpovídá genové expresi probíhající skrze transkripci a translaci v případě genetické změny fosforylací v biochemické signalizaci (Hillova funkce). Třetí člen kdX odpovídá rozkladu proteinu (transkripčního faktoru), defosforylaci. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 201/388 7. kapitola Fosforylací aktivovaná kináza Substitucí x = kdX a reparametrizací času r = dostáváme rovnici á-X x2 knK, s bezrozměrnými parametry /i0 = y~, Mi = y Rovnovážné body musí splňovat X2 + J^I = Ml*' ,2 Analýzu průběhu funkce y = /i0 + zjistíme, že jde v kladných hodnotách o esovitou křivku s inflexním bodem x = Jde navíc o funkci omezenou asymptotou y = 1 + /íq. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 202/388 7. kapitola Fosforylací aktivovaná kináza Pro jisté hodnoty [i\ e (/ij,/^) bude mít systém tři rovnovážné body a vně tohoto intervalu jen jeden rovnovážný bod. Díky bistabiLitě bude docházet k biochemickému přepínači na základě změny hodnot parametrů Vm, Km a kd ovlivňujících K transkripci genu tak dojde až po přepnutí na vysokou hladinu aktivní kinázy. stabilní větev nestabilní větev stabilní větev 1 2 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 203/388 7. kapitola Fosforylací aktivovaná kináza Úkol: Analyticky najděte kritickou hodnotu cusp bifurkace systému a v programu MatCont vykreslete bifurkační diagram v prostoru parametrů /íq a /ii. Vysvětlete výsledek vzhledem k jevu biochemického přepínače.. bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 204/388 Jelineární dynamika • 6. února 2021 7. kapitola Buněčný cyklus Gl - růstová fáze nové buňky S - duplikace choromozomů G2 - růstová fáze pro zdvojení M - mitóza L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 206/388 7. kapitola Buněčný cyklus ■ Jedním z cíLů současné moLekuLární biologie je vysvětlit fyziologii proLiferace eukaryotické buňky. ■ Procesy uvnitř buňky jsou řízené systémem signálů, jehož centrálními prvky jsou tzv. cyklin-dependentní kinázy (Cdk). ■ Ve fázi Gl se v buňce vyskytuje pouze malé množství cyklinů aktivujících tvorbu Cdk, a tyto cykliny jsou rychle odbourávány. Aktivita Cdk je prakticky nulová. ■ Ve fázi S-G2-M je zamezeno jeho odbourávání, což vede k výraznému nárůstu aktivity Cdk, vysoká hladina Cdk je potřebná pro replikaci DNA, kondenzaci chromozomů a tvorbu dělicího vřeténka. Na Konci je aktivován komplex proteinů APC, který určí, které proteiny mají být dále odbourány. APC se skládá z komplexu asi 12 polypeptidů a 2 pomocných bílkovin - Cdc20 a Cdhl. Tyto 2 proteiny reagují na proměnnou koncentraci cyklinu/Cdk odlišně: její zvýšení vede k aktivaci Cdc20 a odbourávání Cdhl. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 207/388 7. kapitola Buněčný cyklus L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 7. kapitola Buněčný cyklus dx ki - {k'2 + k'iy)x, {k^ + k'{A){l - y) k4mxy h + l-y U+y' (20) dt dy (21) dt Zde x a y představují koncentrace dimeru cykLin B/Cdk a komplexu aktivního Cdhl/APC. Hodnoty k; jsou jsou rychlostní konstanty, 7/ Michaelisovy konstanty, m je hmotnost buňky a A je parametr závisející na dalších interakcích. Členy v rovnici (20) představují tvorbu a odbourávání CycB, přičemž rychlost odbourávání CycB je závislá na aktivitě Cdhl (za předpokladu, že je hodně APC). Předpokládáme, že molekuly cyklinu B se rychle kombinují s nadbytečným Cdk, takže nemusíme sledovat monomery CycB a Cdk. Členy v rovnici (21) reprezentují aktivaci a odbourávání Cdhl. Předpokládáme, že celková koncentrace Cdhl je konstantní a normovaná (rovna jedné), tedy i komplex aktivního Cdhl/APC označený y musí splňovat y g (0,1) a dále také73, J4 ► oc. Pokud bychom provedli analýzu průběhu této funkce v prvním kvadrantu, zjistili bychom, že v závislosti na parametrech jde o více či méně esovité prohnutou křivku. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 210/388 7. kapitola Buněčný cyklus Obrázek: Fázový portrét systému (20), (21) pro malou hmotnost buňky m. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 211/388 7. kapitola Buněčný cyklus Obrázek: Fázový portrét systému (20), (21) pro vyšší než kritickou hmotnost buňky m . L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 212/388 7. kapitola Buněčný cyklus ■ Pro malou, čerstvě vzniklou buňku ve fázi Gl je kontrolní systém CycB-Cdhl přitahován ke stabilnímu stavu označenému Gl. ■ Když buňka roste, narůstá její hmotnost map klesá. Po jistém čase klesne hodnota p pod kritickou hodnotu, stav Gl zanikne zanikne a kontrolní systém bude přitahován k druhé stabilní rovnováze označené S-G2-M. Vysoká aktivita CycB/Cdk spustí procesy syntézy DNA a mitózy a buňka pokračuje v růstu. ■ Když je dokončena replikace DNA a chromozomy jsou správně seřazeny v dělicím vřeténku, A se náhle zvětší (pro zdůvodnění změn hodnoty parametru A je třeba sledovat interakce mezi dalšími bílkovinnými strukturami) a dojde k nárůstu hodnoty p. Buňka se rozdělí (hmotnost se zmenší na polovinu), A klesne k nule a systém CycB-Cdhl se vrátí do počátečního stavu. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 213/388 7. kapitola Buněčný cyklus Úkol: Analyzujte model buněčného cyklu v programu MatCont vzhledem k parametru m. Pokuste se nalézt nějaký bod cusp bifurkace - jako druhý parametr volte aktivátor A. Ostatní parametry volte takto: PROSÍM O POSLÁNÍ TEX PODKLADU PRO PARAMETRY - ZKUSTE NEJPRVE 3D MODEL VIZ DÁL a na základě něj vytvořte vhodně toto DÍKY! L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 214/388 7. kapitola Buněčný cyklus Tento modeL je velmi zjedodušený. Zde najdete trochu složitější varianty modelu. Ten trojrozměrný si vyzkoušejte v MatContu: L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 215/388 7. kapitola Buněčný cyklus 3 2Dplot:2 □ X O Starter □ X t 0 x 0.20707147 Y 0.015518518 A 0.089630757 kl 0.04 k2l 0.04 k22 1 k31 1 k32 10 k4 35 k51 0.005 k52 0.2 k6 0.1 J3 0.04 J4 0.04 J5 0.3 n 4 m 0.8 Select Cycle it View Insert Tools Desktop Window Help Layout Plot I i 1& % ®> o © £ Ä - □ i ■ o Numeric Window 300 Coordinates 0.04460742287 0.8538815444 0.05175406582 3 MatCont Inversioi Cind 3Dplot:1 File Edit View Insert Tools Desktop Wi 0 0.5 1 1.E rn Select Compute Window Type Options Help ^ □ X L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 216/388 ^ ?- ^— © " >J- r r' 3- ° ? 3 - - * -a ry f\ O o. - « - 5 - S*- Pnbylpya- NeTÍneÄÄ^í dynamika"" • 6._LľRerra o .6* 7. kapitola Další příklady ... Příklady takovýchto dynamických jevů najdeme v mnohých oblastech. Ve fyzice to může být přechod Látky z plynného do kapalného stavu a naopak (stavová proměnná je hustota) v závislosti na teplotě a tlaku (kontrolní bifurkační parametry). Skoková změna je zde var a kondezace. Při vysokém tlaku již plyn od kapaliny nerozlišujeme -přešli jsme kritický bod vratu. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 218/388 7. kapitola Model vznícení Prostudujte model vznícení. Zde hezky česky. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 220/388 7. kapitola Psychologie, sociolo Psychologie, sociolo o ibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 7. kapitola Psychologie, sociologie Psychologie, sociologie... L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 222/388 7. kapitola Psychologie, sociologie L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 223/388 7. kapitola Psychologie, sociologie Psychologie, sociologie... L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 224/388 7. kapitola Psychologie, sociologie Psychologie, sociologie... L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 225 /388 7. kapitola Psychologie, sociologie Psychologie, sociologie... L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 226/388 7. kapitola Psychologie, sociologie L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 227/388 7. kapitola Psychologie, sociologie L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 228/388 7. kapitola Psychologie, sociologie ... Psychologie, sociologie... L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 229/388 7. kapitola Psychologie, sociologie Psychologie, sociologie... V kterém obrázku jste uviděli ženu? L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 230/388 7. kapitola Psychologie, sociologie Psychologie, sociologie... V kterém obrázku jste uviděli ženu? Pátý? L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 230/388 7. kapitola Psychologie, sociologie Psychologie, sociologie... V kterém obrázku jste uviděli ženu? Pátý? Šestý? L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 230/388 7. kapitola Psychologie, sociologie Psychologie, sociologie... V kterém obrázku jste uviděli ženu? Pátý? Šestý? Ne, nevracejte se hned zpět. Tedy vlastně ano. Dívejte se na jev hystereze - váš mozek i při reverzní posloupnosti obrázků vidí ženu mnohem déle. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 230/388 8. kapitola Numerické výpočty bifurkačních variet Co se naučíme: ■ porozumět principu numerických kontinuačních metod L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 232/388 8. kapitola Numerické výpočty bifurkačních variet Co se naučíme: ■ porozumět principu numerických kontinuačních metod ■ pochopit princip kontinuace větve rovnováh a bifurkační variety L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 232/388 8. kapitola Numerické výpočty bifurkačních variet Co se naučíme: ■ porozumět principu numerických kontinuačních metod ■ pochopit princip kontinuace větve rovnováh a bifurkační variety ■ seznámit se s kontinuačními programy MatCont a Auto L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 232/388 8. kapitola Numerické výpočty bifurkačních variet Co se naučíme: ■ porozumět principu numerických kontinuačních metod ■ pochopit princip kontinuace větve rovnováh a bifurkační variety ■ seznámit se s kontinuačními programy MatCont a Auto ■ porozumět principu metody Grôbnerových bazí pro poLynomiáLní dynamické systémy L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 232/388 8. kapitola Numerické výpočty bifurkačních variet Co se naučíme: ■ porozumět principu numerických kontinuačních metod ■ pochopit princip kontinuace větve rovnováh a bifurkační variety ■ seznámit se s kontinuačními programy MatCont a Auto ■ porozumět principu metody Grôbnerových bazí pro poLynomiáLní dynamické systémy ■ použít metodu Grôbnerových bazí na praktických úlohách L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 232/388 8. kapitola Numerické výpočty bifurkačních variet Jak jsme viděli, mnoho praktických úloh vede na řešení úlohy nalezení variety rovnováh v závislosti na parametru. Výpočetní software, který kontinuuje již známou rovnováhu a numerickou metodou aproximuje tuto rovnováhu malým posunem pro blízkou hodnotu parametru, se nazývá kontinuační. Podobně kontinuační program umožňuje nalézt kromě řezů varietami rovnováh také řezy některými bifurkačními varietami. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 233 /388 8. kapitola Numerické výpočty bifurkačních variet Jak jsme viděli, mnoho praktických úloh vede na řešení úlohy nalezení variety rovnováh v závislosti na parametru. Výpočetní software, který kontinuuje již známou rovnováhu a numerickou metodou aproximuje tuto rovnováhu malým posunem pro blízkou hodnotu parametru, se nazývá kontinuační. Podobně kontinuační program umožňuje nalézt kromě řezů varietami rovnováh také řezy některými bifurkačními varietami. My jsme prozatím pracovali v kontinuačním toolboxu Matlabu pro spojité systémy MatCont. Existuje i diskrétní verze MatContM - M jako maps, zobrazení. Dále vyzkoušíme AUTO, který je součástí XPP pod Linux, odtud název XPPAUT. Vartianta pro XPP pod Windows se jmenuje LOCBIF. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 233 /388 8. kapitola Kontinuace větve rovnováh Spojitá i diskrétní úloha nalezení rovnováhy v dynamickém systému, který závisí na parametru, vede na úlohu F{x):=f{x,e) = 0, (22) kde x = [x, s]. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 234/388 8. kapitola Kontinuace větve rovnováh Spojitá i diskrétní úloha nalezení rovnováhy v dynamickém systému, který závisí na parametru, vede na úlohu kde x = [x, s]. Ve spojitém systému je / přímo pravou stranou rovnice systému x =/(x,e), v diskrétním popisuje pevný bod zobrazení g, tj. /(x,e) = g{x,e) -x. Nejčastěji je systém (22) nelineární úloha a F : -> IR" je hladká funkce. F(x) :=/(x,e) = 0, (22) L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 234/388 8. kapitola Kontinuace větve rovnováh Numerické metody pro řešení takové soustavy rovnic se naučíte v předmětu PřF:M4180 Numerické metody I. dr. Zelinky. Obecně je princip založen na výpočtu posloupnosti bodů, která aproximuje danou větev rovnováhy, typicky se používá metody prediktor-korektor. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 235 /388 8. kapitola Kontinuace větve rovnováh Numerické metody pro řešení takové soustavy rovnic se naučíte v předmětu PřF:M4180 Numerické metody I. dr. Zelinky. Obecně je princip založen na výpočtu posloupnosti bodů, která aproximuje danou větev rovnováhy, typicky se používá metody prediktor-korektor. Nejprve předpokládáme, že jsme nalezli bod i<7 = [x,-, e,-], který Leží na požadované větvi rovnováh. Další bodx/+i = [x/+i, nalezneme ve dvou krocích: 1. Predikce: Pro krok h > 0 najdeme X0 = x/ + hVj . 2. Korekce: Pokud je bod Xq blízko rovnovážné větvi, použije se Newtonova metoda, resp. její modifikace tak, abychom našli další bod x/+i na rovnovážné větvi. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 235 /388 8. kapitola Kontinuace větve rovnováh (a) Kontinuace pseudo-arcLength (b) Mooreova-Penroseova kontinuace L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 236/388 8. kapitola Kontinuace větve rovnováh Vektor Vj je vektor rovnoběžný s křivkou rovnováh v bodě x, a je tedy řešením úlohy DF(xí)ví = 0, kde DF (x/) je Jacobiho matice v bodě x, a vektor je v, je normalizovaný. Jako normalizační podmínka se může použít = 1 nebo (vv_i, v i) = 1. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 237/388 8. kapitola Kontinuace větve rovnováh Vektor Vj je vektor rovnoběžný s křivkou rovnováh v bodě x, a je tedy řešením úLohy DF(xí)ví = 0, kde DF (x,) je Jacobiho matice v bodě x, a vektor je v, je normalizovaný. Jako normalizační podmínka se může použít = 1 nebo (vv_i, v i) = 1. Ze startovacího bodu x/ Lze kontinuovat dvěma směry, které se určí buď znaménkem h = dř (AUTO) nebo volbou Forward/Backward (MatCont). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 237/388 8. kapitola Kontinuace větve rovnováh Vektor Vj je vektor rovnoběžný s křivkou rovnováh v bodě x, a je tedy řešením úlohy DF(xí)ví = 0, kde DF (x,) je Jacobiho matice v bodě x, a vektor je v, je normalizovaný Jako normalizační podmínka se může použít = 1 nebo (vv_i, v i) = 1. Ze startovacího bodu x, Lze kontinuovat dvěma směry, které se určí buď znaménkem h = dř (AUTO) nebo volbou Forward/Backward (MatCont). V případě, že se kontinuace bLíží foLd bifurkaci, ohyb křivky v bodě LP působí výpočetní problémy. Jacobiho matice DF(x/) není regulární (a je třeba úlohu reguLarizovat), korekce může křivku rovnováh minout, proto vznikly modifikované metody apod. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 237/388 8. kapitola Kontinuace LP křivky Nalezením větve rovnováh pro dynamický systém s několika parametry většinou nezískáme úplný obraz o rovnovážné varietě, ale jen řez. Kontinuujeme totiž rovnovážnou větev v závislosti na jednom parametru. Pokud na větvi rovnováh sledujeme vhodnou účelovou funkci, můžeme detekovat bifurkaci. Fold bifurkace nastává pro spojitý systém v případě, že vlastní číslo přejde přes kritickou hodnotu 0. Kontinuační software toto může detekovat jednoduchým algoritmem - výpočtem hodnoty determinantu matice DF(x/). Při změně znaménka determinantu pak kontinuační software ohlásí fold bifurkaci a bod označí LP. Program MatCont navíc vypočte hodnoty koeficientů, jejichž znaménka určují typ bifurkace (vzpomeňte si, byly 4). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 238/388 8. kapitola Kontinuace LP křivky Nalezením větve rovnováh pro dynamický systém s několika parametry většinou nezískáme úplný obraz o rovnovážné varietě, ale jen řez. Kontinuujeme totiž rovnovážnou větev v závislosti na jednom parametru. Pokud na větvi rovnováh sledujeme vhodnou účelovou funkci, můžeme detekovat bifurkaci. Fold bifurkace nastává pro spojitý systém v případě, že vlastní číslo přejde přes kritickou hodnotu 0. Kontinuační software toto může detekovat jednoduchým algoritmem - výpočtem hodnoty determinantu matice DF(x/). Při změně znaménka determinantu pak kontinuační software ohlásí fold bifurkaci a bod označí LP. Program MatCont navíc vypočte hodnoty koeficientů, jejichž znaménka určují typ bifurkace (vzpomeňte si, byly 4). Na druhou stranu pokud k systému rovnic (22) F(x) = 0 přidáme rovnici detDF(x,-) = 0 a využijeme nalezený LP bod jako start pro kontinuaci pomocí dalšího parametru, můžeme nalézt LP křivku ve dvouparametrickém prostoru. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 238/388 8. kapitola matcont a XPPAUT Úkol: Otevřte si znovu v MatContu model obaleče a prohlédněte si nastavení numeriky během výpočtu rovnováh a obou větví fold bifurkace. Zkuste si zvětšit a zmenšit krok kontinuace, podívejte se na výstupy v hlavním okně Matlabu, kde pro LP bifurkaci dostanete typ normálni formy detekovaného LP bodu. Úplný postup najdete v disertační práci dr. Veroniky Hajnové, kap. 2.5. bylová • Nelineárni dynamika • 6. února 2021 239/388 8. kapitola MATCONT a XPPAUT Úkol: Model obaleče si vykousejte také v XPP v AUTO, návod naleznete na stránce prof. Ermentrouta. 240/388 8. kapitola Analytické metody, použití Gróbnerovy báze Nalezení variety rovnováh a fold bifurkace - analytické metody V případě, že je dynamický systém popsán pomocí polynomiální funkce nebo racionální Lomené funkce, můžeme se pokusit nalézt rovnováhy a kritické body fold bifurkace analyticky. Pro polynomy vyšších stupňů, je ale taková úloha často nemožná. Existuje ale způsob, jak v takovém případě popsat varietu rovnováh a nalézt fold varietu v prostoru všech parametrů a nikoliv pouze numericky její řezy. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 241/388 8. kapitola Analytické metody, použití Gróbnerovy báze Nalezení variety rovnováh a fold bifurkace - analytické metody V případě, že je dynamický systém popsán pomocí polynomiální funkce nebo racionální Lomené funkce, můžeme se pokusit nalézt rovnováhy a kritické body foLd bifurkace analyticky. Pro polynomy vyšších stupňů, je aLe taková úloha často nemožná. Existuje aLe způsob, jak v takovém případě popsat varietu rovnováh a nalézt foLd varietu v prostoru všech parametrů a nikoliv pouze numericky její řezy. Vyzkoušejme to na Lorenzově modelu se třemi stavovými proměnnými a třemi parametry: x = -a(x-y), ý = rx — y — xz. z = -bz + xy, L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 241/388 8. kapitola Analytické metody, použití Gróbnerovy báze Rovnováha splňuje systém polynomiálních rovnic 0 = -rxel. Ideál I = (S) ye /ded/ generovaný množinou S c M[xi,... ,xm], po/rad ye to nejmenší ideál splňující S c /. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 245/388 8. kapitola Grôbnerova báze Ideál I = (S) generovaný množinou S má stejnou afinní algebraickou varietu V(l) = V(S). Pro potřeby definování Grôbnerovy báze ideálu / = (S) potřebujeme seřadit x1 >-•••>- xm pomocí monomiáLního Lexikografického řazení, v • v v pricemz x "'xm >- xl X m m •> znamená, že existuje index / tak, že a\ = /3i,= /3,-_i, a-, > fy. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 246/388 8. kapitola Grôbnerova báze Ideál I = (S) generovaný množinou S má stejnou afinní algebraickou varietu V(l) = V(S). Pro potřeby definování Grôbnerovy báze ideálu / = (S) potřebujeme seřadit x1 >-•••>- xm pomocí monomiáLního Lexikografického řazení, v • v v pricemz x "'xm >- xl X m m •> znamená, že existuje index / tak, že a\ = /3i,= /3,-_i, 07 > /3,-. Budeme používat zkrácený zápis xa místo x^1 • • -x%m pro /77-tici ol — (c^l, . . . , 0^77). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 246/388 8. kapitola Grôbnerova báze Každý nenulový polynom p e M[xi,..., xm] lze jednoznačně zapsat jako p = aaxa+ aPx xayxP (3 kde aa ^ 0. V takovém případě se aa nazývá vedoucí koeficient, xa vedoucí monom a aaxa vedoucí člen polynomu p. Označují se LCp, LMp a LTp. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 247 / 388 8. kapitola Grôbnerova báze Definice Nechť I je ideál. Pak LTI označuje ideál generovaný vedoucími členy prvků z I. Polynomy pi,..., pn e I jsou Grôbnerovou bazí ideálu I, jestliže jejich vedoucí členy generují LTI. Je známo, že každá Grôbnerova báze generuje ideál /, pro Libovolný ideál / existuje a pro konečný ideál / ji Lze nalézt v konečném počtu kroků . L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 248/388 8. kapitola Buchbergerův algoritmus Grôbnerovu bázi Lze naLézt algoritmicky např. Buchbergerovým algoritmem. Vhodnou volbou Lexikografického řazení pak Lze eliminovat některé proměnné a zapsat tak afinní varietu příslušného systému polynomiálních rovnic výhodným způsobem. Pro eliminaci stavových proměnných je musíme umístit v Lexikografickém řazení dopředu. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 249 / 388 8. kapitola Buchbergerův algoritmus Grôbnerovu bázi Lze nalézt algoritmicky např. Buchbergerovým algoritmem. Vhodnou volbou Lexikografického řazení pak Lze eLiminovat některé proměnné a zapsat tak afinní varietu přísLušného systému poLynomiáLních rovnic výhodným způsobem. Pro eLiminaci stavových proměnných je musíme umístit v Lexikografickém řazení dopředu. Mějme ideál / = (pi,... ,pn). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 249 / 388 8. kapitola Buchbergerův algoritmus Grôbnerovu bázi Lze naLézt algoritmicky např. Buchbergerovým algoritmem. Vhodnou volbou Lexikografického řazení pak Lze eliminovat některé proměnné a zapsat tak afinní varietu příslušného systému polynomiálních rovnic výhodným způsobem. Pro eliminaci stavových proměnných je musíme umístit v Lexikografickém řazení dopředu. Mějme ideál / = (pi,... ,pn). Pr°f,g £ ... ,xm] označme xa největší společný dělitel LMf a LMg. Takzvaný S-polynom/ a g je S(f,g) = {ng/xa)-f-{nf/xa)-g^ Touto metodou se vyrušíme vedoucí členy/ a g (vzpomeňte si na ekvivalentní úpravy v Gaussově eliminaci). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 249 / 388 8. kapitola Buchbergerův algoritmus Zbytek polynomu/ po dělení množinou polynomů {pi,... ,pn} se definuje následující rekurzivní procedurou: pokud je LMf dělitelný některým LMp/, zaměníme / polynomem/ - (LT//LTp/)p/. Opakujeme tak dlouho, dokud LM/ není dělitelný žádným z LMp,-. Výsledný polynom je zbytek. (Obecně není určen jednoznačně, protože index / není v krocích jednoznačně určen.) L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 250/388 8. kapitola Buchbergerův algoritmus Zbytek polynomu/ po dělení množinou polynomů {pi,... ,pn} se definuje následující rekurzivní procedurou: pokud je LMf dělitelný některým LMp/, zaměníme / polynomem/ - (LT//LTp/)p/. Opakujeme tak dlouho, dokud LM/ není dělitelný žádným z LMp/. Výsledný polynom je zbytek. (Obecně není určen jednoznačně, protože index / není v krocích jednoznačně určen.) Buchbergerův algoritmus pro nalezení Grôbnerovy báze ideálu / = (pi,...,p„): 1. Začni množinou polynomů P = {pi,... ,pn}. 2. Pro každé /,/ vypočti zbytek p,y S-polynomu S(p/,py) po dělení P. Do P přidej všechny nenulové zbytky p,y. 3. Pokud se zvětšila množina P, opakuj předchozí krok. V opačném případě je P Grôbnerovou bazí původní množiny. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 250/388 8. kapitola Buchbergerův algoritmus Úkol: V programu Maple si nechte spočítat Grobnerovu bázi pomocí toolboxu Groebner a projděte si i postup Buchbergerova algoritmu pro nalezení rovnovážné variety Lorenzova modelu. Použijte metodu na model obaleče. bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 251/388 9. kapitola Cykly, limitní cykly, Poincarého řez Co se naučíme: ■ definovat cyklus a Limitní cykLus ve spojitém i diskrétním systému L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 253/388 9. kapitola Cykly, limitní cykly, Poincarého řez Co se naučíme: ■ definovat cyklus a Limitní cykLus ve spojitém i diskrétním systému ■ pochopit souvislost cykLu v diskrétním systému s rovnováhou L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 253 /388 9. kapitola Cykly, limitní cykly, Poincarého řez Co se naučíme: ■ definovat cyklus a Limitní cykLus ve spojitém i diskrétním systému ■ pochopit souvisLost cykLu v diskrétním systému s rovnováhou ■ pochopit metodu Poincarého řezu spojitého systému a pojem muLtipLikátoru cykLu L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 253 /388 9. kapitola Cykly, limitní cykly, Poincarého řez Co se naučíme: ■ definovat cyklus a Limitní cykLus ve spojitém i diskrétním systému ■ pochopit souvisLost cykLu v diskrétním systému s rovnováhou ■ pochopit metodu Poincarého řezu spojitého systému a pojem muLtipLikátoru cykLu ■ pochopit anaLogii foLd bifurkace (spojité) v diskrétním případě L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 253 /388 9. kapitola Cykly, limitní cykly, Poincarého řez Co se naučíme: ■ definovat cyklus a Limitní cyklus ve spojitém i diskrétním systému ■ pochopit souvislost cyklu v diskrétním systému s rovnováhou ■ pochopit metodu Poincarého řezu spojitého systému a pojem muLtipLikátoru cykLu ■ pochopit analogii foLd bifurkace (spojité) v diskrétním případě ■ popsat vznik cykLu bifurkací foLd L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 253 /388 9. kapitola Cykly, limitní cykly, Poincarého řez Co se naučíme: ■ definovat cyklus a Limitní cykLus ve spojitém i diskrétním systému ■ pochopit souvislost cykLu v diskrétním systému s rovnováhou ■ pochopit metodu Poincarého řezu spojitého systému a pojem muLtipLikátoru cykLu ■ pochopit analogii fold bifurkace (spojité) v diskrétním případě ■ popsat vznik cykLu bifurkací foLd ■ numericky kontinuovat cykLy ve spojitém systému a naLézt bifurkaci LPC (foLd cykLu) L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 253 /388 9. kapitola Cykly, limitní cykly, Poincarého řez Uvažujme spojitý obecný dynamický systém {7",X, v?r}. Doposud jsme se zabývali rovnováhou v takovém systému. Nyní budeme definovat jinou invariantní množinu takového systému - po rovnováze další „nejjednodušší" možnou. Definice Cyklem rozumíme periodickou trajektorii L, která není rovnovážným bodem, splňující e L pro nějaké Tq > 0, Vŕ g T. Nejmenší takové Tq nazýváme periodou cyklu L Limitním cyklem rozumíme cyklus, v jehož okolí nejsou jiné cykly L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 254/388 9. kapitola Cykly, limitní cykly, Poincarého řez Poznámka V systému s cyklem vznikají periodické oscilace. Cyklus spojitého systému je uzavřená křivka vX. Cyklem diskrétního systému je konečná uspořádaná k-tice bodů z X. U diskrétního systému x{n + 1) =f(x(n)) mluvíme často o cyklu délky k = 7b, protože jde o uspořádanou k-ť\c\ x(0), x(l), x(2), ...x(*-l), pro kterou platí x(l) = /(x(0)),x(2) =/(x(l)), ..., x(k) = x(0) =f(x(k - 1)). Uvědomme si navíc, že x(0) =f(x(k - 1)) =f(f(x(k - 2))) = ... =/«(x(0)) a tedyx(O) je nutně rovnováhou dynamického systému x(n + l) =/W(x(n)). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 255 /388 9. kapitola Cykly, limitní cykly, Poincarého řez Na cyklus v diskrétním systému tedy můžeme pohlížet jako na rovnováhu jiného diskrétního dynamického systému. Takový myšlenkový postup aLe Lze použít i u spojitého systému. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 256/388 9. kapitola Cykly, limitní cykly, Poincarého řez Na cyklus v diskrétním systému tedy můžeme pohlížet jako na rovnováhu jiného diskrétního dynamického systému. Takový myšlenkový postup ale Lze použít i u spojitého systému. Uvažujme nyní spojitý m-rozměrný systém x=/(x). (23) L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 256/388 9. kapitola Cykly, limitní cykly, Poincarého řez Na cyklus v diskrétním systému tedy můžeme pohlížet jako na rovnováhu jiného diskrétního dynamického systému. Takový myšlenkový postup aLe Lze použít i u spojitého systému. Uvažujme nyní spojitý m-rozměrný systém x=/(x). (23) Předpokládejme navíc, že systém (23) má periodickou trajektorii L -cyklus. V nějakém boděxo £ L uvažujme hladkou m - 1-rozměrnou varietu (např. nadrovinu) Z = {g(x) = 0:g:rm^ r,g(x0) = 0}, která je tzv. transverzální, což znamená, že není v bodě xq tečná L, tedy řeže cyklus L V angličtině se jí proto říká Poincaré cross-section Z - česky Poincarého řez. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 256/388 9. kapitola Cykly, limitní cykly, Poincarého řez Podmínku transverzaLity můžeme zapsat pomocí gradientu funkce g (normálového vektoru Z) takto: (Vg(x0) ,/(x0)> + 0, tedy normálový vektor Z nesmí být kolmý k trajektorii cykLu L Je zřejmé, že takovou varietou může být například rovina kolmá k L vxq: g{x) = (/(x0),(x-x0)} =0. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 257/388 9. kapitola Poincarého zobrazení Na této varietě v okoLí xq nyní definujeme zobrazení P : Z —>> Z, které zobrazuje bod x trajektorie y>řx systému (23) na následující průsečík této trajektorie s varietou Z. Poincarého zobrazení: L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 258/388 9. kapitola Poincarého zobrazení Zobrazení P se nazývá Poincarého zobrazení příslušné cyklu L Lokálně takto definujeme diskrétní dynamický systém {N, Z, Pn} s pevným bodem xq g L Pokud na m — 1-rozměrné Z zvolíme souřadný systém s počátkem vxq, bude možné v těchto souřadnicích £ = (d..... im_i) zapsat Poincarého zobrazení jako diferenční systém Í{n + 1) = P(C(n)) s pevným bodem 0 a maticí Linearizovaného systému DP(0). Cyklus L bude stabilní (atrahující), pokud budou všechny vlastní hodnoty DP(0) v absolutní hodnotě menší jedné. Tato vlastní čísla se někdy nazývají charakteristické (FLoquetovy) multiplikátory cyklu. Lze ukázat, že vlastní hodnoty matice Linearizovaného systému nezávisí ani na volbě bodu xq, ani na volbě Z a ani na volbě souřadnic. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 259/388 9. kapitola Poincarého zobrazení Příklad Poincarého zobrazení L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 260/388 9. kapitola Poincarého zobrazení Předchozí příklad je ojedinělým případem, kdy Lze Poincarého zobrazení explicitně vyjádřit. Většinou jej počítáme numericky, program XPPAUT má tuto možnost predprogramovanou. Rozhodnutí o stabilitě cyklu spojitého systému jsme převedli na rozhodnutí 0 stabilitě rovnováhy (pevného bodu) Poincarého zobrazení. Podobně 1 o stabilitě diskrétního cyklu délky k můžeme rozhodovat na základě znalosti velikosti vlastních čísel rovnováhy /c-násobně složeného zobrazení. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 261/388 9. kapitola Poincarého zobrazení Předchozí příklad je ojedinělým případem, kdy Lze Poincarého zobrazení explicitně vyjádřit. Většinou jej počítáme numericky, program XPPAUT má tuto možnost predprogramovanou. Rozhodnutí o stabilitě cyklu spojitého systému jsme převedli na rozhodnutí 0 stabilitě rovnováhy (pevného bodu) Poincarého zobrazení. Podobně 1 o stabilitě diskrétního cyklu délky k můžeme rozhodovat na základě znalosti velikosti vlastních čísel rovnováhy /c-násobně složeného zobrazení. Bifurkace rovnováhy jistého diskrétního systému tedy bude bifurkací příslušnou cyklu. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 261/388 9. kapitola Fold bifurkace v diskrétním systému Fold bifurkace v diskrétním systému Uvažujme diferenční rovnici s parametrem tvaru x(n + 1) = e + x(n) - x(n)2, x(n) (24) Pevné body splňujís) := s + x - x2 = x, tj. Leží na křivce s = x2. Pro s < 0 systém (24) nemá žádný pevný bod, pro s = 0 je pevný bod x0 = 0 a pro s > 0 jsou pevné body dva x = ±^/s. Parametr s = 0 je tedy bifurkační hodnotou a při jeho přechodu v okoLí počátku dochází k Lokální bifurkaci typu foLd (ohyb). Bod (xo, £o) = (0,0) je tzv. Limitním bodem. Všimněte si, že vLastní hodnota A = D/(0,0) = 1. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 262/388 9. kapitola Fold bifurkace v diskrétním systému Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrický systém (rovnice) x(n + l) =/(x(/7),a), x(n)eR, aGK, (25) kde f je hladká funkce, má pro a = ao pevný bod x = xq a X =/x(x0, ao) = 1. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky fxx(xo, ®o) ^ 0 podmínka nedegenerovanosti, fa(xo, ao) ^ 0 podmínka transverzality. Pak je (25) y okolí pevného bodu lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě y(r? + l) = £ + y(n)±y(n)2 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 263/388 9. kapitola Fold bifurkace v diskrétním systému Ve vícerozměrném případě k této bifurkaci dochází v případě, že Jacobiho matice-/ má právě jednu vlastní hodnotu A = 1. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 264/388 9. kapitola Fold cyklu - LPC Fold bifurkace cyklu - LPC Při ohybu variety pevného bodu Poincarého zobrazení tedy dochází v původním spojitém systému vzniku respektive zániku dvou cyklů, které se navzájem dotknou. Jde o generický, typický jev, ke kterému dochází při generické foLd bifurkaci Poincarého zobrazení (tedy vždy, když jsou splněny podmínky nedegenerovanosti a transverzaLity). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 265 /388 9. kapitola Fold cyklu - LPC Fold bifurkace cyklu - LPC Při ohybu variety pevného bodu Poincarého zobrazení tedy dochází v původním spojitém systému vzniku respektive zániku dvou cyklů, které se navzájem dotknou. Jde o generický, typický jev, ke kterému dochází při generické foLd bifurkaci Poincarého zobrazení (tedy vždy, když jsou splněny podmínky nedegenerovanosti a transverzaLity). Stejně jako v případě ohybu variety rovnováh, i zde může tento jev vést k nenadálému zániku (vzniku) stabilního atraktoru (cyklu) při maLé změně parametru. Typickým příkladem takového jevu je vznik periodických vzruchů v neuronu, prudké rozkmitání křídel letadla (proto se testují ve větrném tunelu) nebo mostu při silném (bočním) větru, nebo rozkmitání turbíny při jejím zastavování (test s vrtačkou). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 265 /388 9. kapitola Fold cyklu - LPC Fold bifurkace cyklu - LPC Při ohybu variety pevného bodu Poincarého zobrazení tedy dochází v původním spojitém systému vzniku respektive zániku dvou cyklů, které se navzájem dotknou. Jde o generický, typický jev, ke kterému dochází při generické foLd bifurkaci Poincarého zobrazení (tedy vždy, když jsou splněny podmínky nedegenerovanosti a transverzaLity). Stejně jako v případě ohybu variety rovnováh, i zde může tento jev vést k nenadálému zániku (vzniku) stabilního atraktoru (cyklu) při maLé změně parametru. Typickým příkladem takového jevu je vznik periodických vzruchů v neuronu, prudké rozkmitání křídel letadla (proto se testují ve větrném tunelu) nebo mostu při silném (bočním) větru, nebo rozkmitání turbíny při jejím zastavování (test s vrtačkou). Je to taky jeden z důvodů, proč mají větrné elektrárny 3 Lopatky. Přijdete na to proč? L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 265 /388 9. kapitola FitzHughův-Nagumův model neuronu V roce 1948 provedl ALan LLoyd Hodgkin pokusy, při kterých zaváděl stejnosměrný proud různých velikostí do axonů nervových buněk a sledoval, že některé hodnoty proudu vyvolaly série impulzů o různých frekvencích, jiné vyvolávaly jen jeden impulz nebo byly bez odezvy. V roce 1952 pak A. L. Hodgkin a Andrew FieLding HuxLey publikovali sérii článků, ve kterých popsali toky elektrických proudů povrchovou membránou nervového vlákna matematickým modelem, který je dnes známý jako Hodgkin-Huxleyho model. Sestává ze soustavy 4 nelineárních diferenciálních rovnic, které velmi dobře popisují chování neuronu. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 266/388 9. kapitola FitzHughův-Nagumův model neuronu FitzHughův-Nagumův model neuronu V roce 1961 Richard FitzHugh publikoval zjednodušený model, který vykazuje obdobné chování, protože je zjednodušením projekce 4-rozměrného Hodgkin-Huxleyho modelu na dvojrozměrnou varietu. V=V- \vl - w + i W=a(bV-cW + d) ■ V membránový potenciál ■ W proměnná související s návratem ■ / dodávaný proud ■ a,b,c,d parametry L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 267/388 9. kapitola FitzHughův-Nagumův model neuronu V základním modelu excitace neuronu jsme si představili jen první rovnici pro membránové napětí V, bez proměnné W, která byla navíc posunutá: x = kx(a - x){x — 1) + / Nyní prahový parametr chybí. Ostatní parametry i stavová proměnná W vycházejí z popisu kinetiky chemických reakcí na membráně axonu (přenos signálu je zprostředkován změnami koncetrací iontů A/a+, C/~ a anionty bílkovin), a, b, o 0. Druhá rovnice je obnovovací, má pomalejší odezvu (proto je zde ponechán parametr a) a umožňuje vznik impulzu, který následně ukončí. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 268/388 9. kapitola FitzHughův-Nagumův model neuronu injected current i = 0.2 injected current i = 0.5 w w Fázové portréty pro a = 0.2, b = 1, c = 0.8, d = 0.7. Vyzkoušejte si je nakreslit v XPPAUTu. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 269/388 9. kapitola FitzHughův-Nagumův model neuronu Neuron odpovídá vysíláním oscilujícího signálu jen pro určité hodnoty dodávaného proudu /, k vzniku a zániku oscilací dochází fold bifurkací Limitního cyklu. Dokud se nezvýší proud do dostatečné hodnoty, neuron nereaguje, pokud je proud příliš velký, také ne. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 270/388 9. kapitola FitzHughův-Nagumův model neuronu V programu MatCont zjistěte prahové hodnoty proudu. Parametry: a = 0.2, b = 1, c = 0.8, d = 0.7. V MatContu je možné kontinuovat cyklus, aLe je třeba jej nejprve načíst. Návod najdete zde. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 270/388 10. kapitola Hopfova bifurkace Co se naučíme: ■ pochopit vznik Limitního cykLu z ohniska Hopfovou bifurkací L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 272/388 10. kapitola Hopfova bifurkace Co se naučíme: ■ pochopit vznik Limitního cykLu z ohniska Hopfovou bifurkací ■ rozlišit superkritickou a subkritickou Hopfovu bifurkaci L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 272/388 10. kapitola Hopfova bifurkace Co se naučíme: ■ pochopit vznik Limitního cykLu z ohniska Hopfovou bifurkací ■ rozlišit superkritickou a subkritickou Hopfovu bifurkaci ■ vypočítat první Lyapunovův koeficient L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 272/388 Co se naučíme 10. kapitola Hopfova bifurkace ■ pochopit vznik Limitního cykLu z ohniska Hopfovou bifurkací ■ rozLišit superkritickou a subkritickou Hopfovu bifurkaci ■ vypočítat první Lyapunovův koeficient ■ numericky kontinuovat cykLus z kritického bodu Hopfovy bifurkace v programech MatCont a XPPAUT L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 272/388 Co se naučíme 10. kapitola Hopfova bifurkace ■ pochopit vznik Limitního cykLu z ohniska Hopfovou bifurkací ■ rozLišit superkritickou a subkritickou Hopfovu bifurkaci ■ vypočítat první Lyapunovův koeficient ■ numericky kontinuovat cykLus z kritického bodu Hopfovy bifurkace v programech MatCont a XPPAUT ■ použít metodu Grôbnerových bazí L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 272/388 10. kapitola Hopfova bifurkace Hopfova-Andronovova bifurkace vzniku limitního cyklu. Uvažujme systém diferenciálních rovnic s parametrem tvaru x = jJjx-y-x{x1 + y2), ý = x + w-y(x2 + y2), kde x, y g IR a g IR je parametr. Rovnovážným bodem systému je počátek a Jacobiho matice systému v něm má tvar ^ ^. Vlastní hodnoty jsou tedy X^j = /i ± /. Pro /i < 0 je tedy počátek stabilním ohniskem, pro fi > 0 je nestabilním ohniskem. Kritická hodnota parametru fi = 0 je bifurkační hodnotou Hopfovy bifurkace, při jejím přechodu se mění kvalitativní vlastnost - stabilita - rovnovážného bodu. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 273/388 10. kapitola Hopfova bifurkace Zaveďme komplexní proměnnou z = x + iy. Pak ž = x + iý = /i(x + iy) + i(x + iy) - (x + iy)(x2 + y2), tj. Z = [ji + i)z - z |z|2. EuLerův tvar komplexního čísla z = pelíp pak dává polární tvar P = p{p-p2), 0 = 1. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 10. kapitola Hopfova bifurkace Zaveďme komplexní proměnnou z = x + iy. Pak ž = x + iý = /i(x + iy) + /(x + iy) - (x + /y)(x2 + y2), EuLerův tvar komplexního čísla z = pe/(^ pak dává polární tvar Rovnice (26) je normálním tvarem vidličkové bifurkace. Pro fi < O je tedy počátek jedinou stabilní rovnováhou. Pro fi > O vzniká další rovnovážný bod p = ^/Jl (zápornou hodnotu můžeme vynechat, nemá v této reprezentaci smysl, jde o vzdálenost). Počátek je v tomto případě p, > O nestabilní, rovnováha p = 01 je stabilní. Tento bod odpovídá stabilnímu Limitnímu cyklu v okolí počátku. tj. z = (/i + i)z -z\z p(fl - p2) 1. (26) L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 274/388 10. kapitola Hopfova bifurkace video prof. Ghrista - fázový portrét video prof. Ghrista -/ixxxy L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 275 /388 10. kapitola Hopfova bifurkace Věta Předpokládejme, že dvoudimenzionální jednoparametrický systém x=/(x,a), kdex Gl2,aGR,/ = {fiJiY hladká funkce, má pro a z okolí0 rovnováhu x = xq a D/(x, a) má vlastní hodnoty Ai?2 = M°0 ± i u (a), kde /i(ao) = 0 a cj(c^o) = cjo > 0. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky /1(q/0) ^ o podmínka nedegenerovanosti, /jLa(ao) ^ 0 podmínka transverzality. Pak je (13) v okolí rovnovážného bodu lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě Hopfovy bifurkace u = ±su - v ± u(u2 + v2), v = u + ±sv ± v{u2 + v2). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 276/388 10. kapitola Superkritická a subkritická Hopfova bifurkace Poznámka Číslo /i(c*o) se nazývá první Ljapunovův koeficient nebo první Ljapunovovo číslo. Jeho znaménko určuje znaménko u nelineárních členů v normálním tvaru. V případě, že /i(c^o) < 0,je systém ekvivalentní námi dříve studovanému se stabilním limitním cyklem, mluvíme o superkritické Hopfově bifurkaci. V případě /i(c^o) > O jde o subkritickou Hopfovu bifurkaci s nestabilním limitním cyklem. Výpočet Ljapunovova koeficientu je založen na transformaci původního systému do lokálně topologicky ekvivalentního systému v normální formě. My si uvedeme pouze "kuchařku"na jeho výpočet. Znaménko u e určuje zase podmínka transversality. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 277/388 10. kapitola Superkritická a subkritická Hopfova bifurkace Všimněte si, že Jacobiho matice J = D/(x0, a0) má dvě ryze imaginární komplexně sdružené vlastní hodnoty, tj. platí tr7 = 0 za předpokladu det J > 0. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 278/388 10. kapitola Superkritická a subkritická Hopfova bifurkace Všimněte si, že Jacobiho matice J = D/(xq, <^o) má dvě ryze imaginární komplexně sdružené vlastní hodnoty, tj. platí trJ = 0 za předpokladu detJ > 0. Perioda cyklu vznikajícího v okolí počátku je T = ^, protože vznikající periodické řešení je blízké funkci eIUJt = coscjf +/sincjf. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 278/388 10. kapitola Superkritická a subkritická Hopfova bifurkace Všimněte si, že Jacobiho matice J = D/(xo, <^o) má dvě ryze imaginární komplexně sdružené vlastní hodnoty, tj. pLatí trJ = 0 za předpokladu detJ > 0. Perioda cyklu vznikajícího v okolí počátku je T = ^, protože vznikající periodické řešení je blízké funkci eIUJt = coscjf +/sincjf. Amplituda oscilací vznikajících Hopfovou bifurkací je úměrná změně parametru s jeho druhou odmocninou. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 278/388 10. kapitola Výpočet Ljapunovova koeficientu Matice-/ = Df(x0,a0) má podle předpokladů dvě ryze imaginární vlastní hodnoty Ai^ = ±/^o- Jim příslušné (komplexní) vlastní vektory v, v jsou také komplexně sdružené. Matice T = (2Rev, 2lmv) převádí T-1JT=(° ~"°) \uj0 0 J L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 279/388 10. kapitola Výpočet Ljapunovova koeficientu Matice-/ = £>/(xo,ao) má podle předpokladů dvě ryze imaginární vlastní hodnoty X^^ = ±/^o- Ji™ příslušné (komplexní) vlastní vektory v, v jsou také komplexně sdružené. Matice T = (2Rev,2\mv) převádí a transformace pak převádí systém na systém T-íJT=(° x - Xq = Tu X=/(x, Oto), u = T~xJTu + r_1F(r«). (27) L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 279/388 10. kapitola Výpočet Ljapunovova koeficientu Právě nelineární část {^q^^^ = T 1F(Tu) je podstatná pro výpočet prvního Ljapunovova koeficientu /i(c^o) a určuje stabilitu nebo nestabilitu Limitního cykLu vznikajícího v okoLí kritické hodnoty Hopfovy bifurkace. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 280/388 10. kapitola Výpočet Ljapunovova koeficientu Právě nelineární část {^q^^^ = T 1F(Tu) je podstatná pro výpočet prvního Ljapunovova koeficientu /i(c^o) a určuje stabilitu nebo nestabilitu Limitního cyklu vznikajícího v okoLí kritické hodnoty Hopfovy bifurkace. Označme Pm 3. derivaci nelineární části prvního řádku podle první složky u\ vektoru u = uj)7 v nuLe, tj. n _ d5P(ui,u2) — -q^Š- 1/1=0,1/2=0- Podobně např. Qu bude značit 2. derivaci nelineární části druhého řádku podle první a druhé složky vektoru u v nuLe, tj. n d2Q(u1,u2) du1du2 "i=0,(Y2=0- L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 280/388 10. kapitola Výpočet Ljapunovova koeficientu První Ljapunovův koeficient pak vypočteme podle vzorce *l(ao) = 1^(^111 + ^122 + Qll2 + Q222) i __ . _ _ _ , _ + 1 111 1 ' 1zz 1 1 >CLLl.) \P\i{P\\ + P22)- Qu(Qn + Q22) - P11Q11 + P22Q22] L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 281/388 10. kapitola Výpočet Ljapunovova koeficientu První Ljapunovův koeficient pak vypočteme podle vzorce *l(ao) = 1^(^111 + ^122 + Qll2 + Q222) i __ . _ _ _ , _ + 1 111 1 ' 1zz 1 1 >CLLl.) P12C11 + ^22) - <2i2«2n + 022) - PnQn + P22Q22] Je super, že máme kontinuační numerické programy jako MatCont a XPPAUT a nemusíme to vždy dělat... L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 281/388 10. kapitola Výpočet Ljapunovova koeficientu Konkrétně normální forma Hopfovy bifurkace x = jJjx-y-x{x1 + y2), ý = x + w-y(x2 + y2), kterou jsme prostudovali pomocí převodu do polárního tvaru, je již převedena do počátku a = it-0ípni + pu2 + Q112 + Q222) + itl [pi2(^ii + P22) - Qi2«2ii + 022) - PnOn + P22022] = ^(-6-2-2-6) = -l<0 a jde tedy o superkritickou bifurkaci. Podmínka transverzaLity dReA(/i) d/i IM =0 = 1 ^ O je také splněna. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 282/388 10. kapitola Kontinuace limitního cyklu z bodu HB Kontinuace limitního cyklu z bodu HB V kontinuačním softwaru MatCont Lze detekovat na křivce rovnováh bod Hopfovy bifurkace, přičemž program spočítá první Ljapunovův koeficient. Ukážeme si to přímo na normáLní formě Hopfovy bifurkace. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 283/388 10. kapitola Kontinuace limitního cyklu z bodu HB Kontinuace limitního cyklu z bodu HB V kontinuačním softwaru MatCont Lze detekovat na křivce rovnováh bod Hopfovy bifurkace, přičemž program spočítá první Ljapunovův koeficient. Ukážeme si to přímo na normální formě Hopfovy bifurkace. x = iix-y-x(x2 + y2), ý = x + w-y(x2 + y2), L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 283/388 10. kapitola Kontinuace limitního cyklu z bodu HB Nejprve nastavíme rovnováhu [0,0] a parametr fi = -1 a vzhledem k tomuto parametru kontinuujeme křivku rovnováh při zakLiknuté detekci Hopfovy bifurkace. B Matcont GUI Select Type Window/Output Compute Options Help □ [£j HiotdU - mu,x,y File Edit View Insert Tools Desktop Window Help MatCont Class ODE Current System System Derivatives HopfNormalForm MMMMM Current Curve Name Diagram Initial Point Type Curve Type Initializer diagram Equilibrium (EP) Equilibrium (EP) Equilibrium (init_EP_EP) Starter □ X Initial Point x y @mu Monitor Singularities Branching (BP) Hopf bifurcation (H) Limit Point (fold) bifurcation [LP) Calculate eigenvalues eigenvalues EZ EZ EZ EZ 3] Contir □ X Continuation Data Init Steps ize MinStepsize MaxStepsize MaxNewtonlters MaxCorrlters MaxTest Iters VarTolerance FunTolerance TestTolerance Adapt MaxNumPoints CheckClosed 0.01 1e-05 0.1 Corrector Dala 10 10 1e-DE 1e-06 1e-05 Stop Data 300 50 A Numeric Layout Coordinates Parameters Eigenvalues Re[1] lm[1] Re[2] lm[2] L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 Qdfl^ %^o®«- Q □ □ 0.5 -0.5 284/388 10. kapitola Kontinuace limitního cyklu z bodu HB V grafickém okně zobrazíme prostor /ixxxy.v numerickém okně je dobré sledovat vlastní čísla a kontinuujeme křivku rovnovah, která se pozastaví v bodě Hopfovy bifurkace. 5] MatcontGUI Select Type Window/Output Compute Options Help ^■_Sl_P!ot3D - mupcj □ X it View Insert 7 Class ODE Current System System Derivatives HopfTJormalForm NNNNN Current Curve Name Diagram Initial Point Type Curve Type Initializer diagram Equilibrium [EP) Equilibrium [EP} Equilibrium (init_EP_EP) Starter □ X Initial Point x y Monitor Singularities Branching (BP) Hopf bifurcation (H) Limit Point (fold) bifurcation [LP) Calculate eigenvalues eigenvalues IVIdAlNUFřPrLfirUi CheckClosed 50 Í2 Numeric Layout □ Re[1] lm[1] Re[2] lm[2] Coordinates 0 0 Parameters 1.00000005867Q76e-10 Eigenvalues 5.8B7[)7612780758e-18 1 5.86707612780758e-18 -1 ..Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 1 D.5 0 D.5 X 0.5 ■A Control □ Paused, Hopf Resume Stop -0.5 -0.5 mu 10. kapitola Kontinuace limitního cyklu z bodu HB V hlavním okně MatLabu se zobrazí detekovaný bod Hopfovy bifurkace a spočtená hodnota Ljapunovova prvního koeficientu. +1 Matcont GUI t 4 MATLA8 R2016b - academie use u Command Window ■■ New to MATLAB? See resources for Getting Started,

> matcont matlab version needs to be 9.2 (2 017a) or higher first point found tangent vector to first point found label = H , x = ( 0.000000 0.000000 0.000000 ) First Lyapunov coefficient = -2.000000e+00 elapsed time = 61.4 sees npoints curve = 51 fii » mi- * Plot3D - miyty File Edit View Insert Tools Desktop Window Help MatCont □ X nafl£ k % % o ® « a - a um ■□ 0,5 -0,5 -1 -1 mu L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 286/388 10. kapitola Kontinuace limitního cyklu z bodu HB Z bodu HB je možné kontinuovat Limitní cyklus. Nejprve je aLe potřeba jej načíst. -* MatcontGUI Select Type Window/Output Compute Options Help System > ODE Diagram Curve Initial Point Organize Diagrams HopfNormalForm NNNNN Exit Current Curve Name Diagram Initial Point Type Curve Type Initializer EP_EP[1) diagram Equilibrium (EP) Equilibrium (EP) Equilibrium [init_EP_EP) L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 287/388 10. kapitola Kontinuace limitního cyklu z bodu HB To musíme udělat dvojitým kliknutím na detekovaný bod Hopfovy bifurkace. A Data Browser Systems System; HopfNormalForm I Diagram; diagram| I Curve; EP_EP(1)| □ 0 This is the first point of the curve 99 This is the last point on the curve double-click to select a point npoint 17 coordinates X 0 y 0 parameters mu 1.0000ľJ01e-1ľJ non-degeneracy conditions 1 st Lyapunov -2.00000000e+00 Load Curve View Settings View CurveData 1 i Export Select Point L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 288/388 10. kapitola Kontinuace limitního cyklu z bodu HB Systém se načtením bodu sám přenastaví do detekce Limitního cykLu z bodu HB. Všimněte si, že pro kontinuaci musí být zakLiknuty jak parametr, tak perioda cykLu, protože se obě hodnoty mění. Í3 Matcont GUI Select Type Window/Output Compute Options Help □ X Class Current System System Derivatives Current Curve Name Diagram Initial Point Type Curve Type Initializer 4. Numeric Layout mu Period ODE HopfNürmalForm NNNNN diagram Hopf [H) Limit cycle (LC) Limit cycle (init_H_LC) □ X Parameters Period L.Přibylová • Nelineární dynamiker* 6. února 2021 53 Starter □ X initial Point x y (*: m u iliŕPeriod ntst ncol amplitude 0 1.0000000586707Ge-10 Discretization Data 40 Switch Data 1e-0G Monitor Singularities Branch Point of Cycles (BPC) Period Doubling (flip) bifurcation (PD) Limit Point bifurcation of cycles (LPC) Neimark-Sacker (torus) bifurcation (NS) multipliers Input PRC Calculate multipliers Phase Response Curve 1 Open PRC Plot 289/388 10. kapitola Kontinuace limitního cyklu z bodu HB Při kontinuaci je výhodné sledovat v numerickém okně muLtipLikátory. Jeden muLtipLikátor má stáLe hodnotu koLem 1, ten odpovídá směru tečnému k cykLu, druhý je stáLe menší než 1, to je naše vlastní číslo Poincarého zobrazení, jde tedy o stabilní cyklus. Systém chybně detekuje ohyb cykLu v počátku s obrovským koeficientem v normální formě a správně periodu 2tt. Numeric Layout □ X Period Mod[1] Mod[2] Arg[1] Arg[2] Parameters 1.09216907192212 Period 6.28318530717972 Multipliers 1.095169587554776-06 0.99999999936918 0 0 5] Plot3D - mu,x,y File Edit View Insert Tools Desktop Window Help MatCont q a a ^ fe ^©®£#ŕ- e □ e New MATLAB Graphics System MATLAB R2014b introduces a new MATLA colors, fonts, and styles, and many new fea be revised to work in this version of MATLj Learn more J J-.L i U—U LU1UV-LUCXJ.iLJ.ClLL -jL . LFLPLFLFLFLFC I UI elapsed time = 61.4 sees npoints curve = 51 first point found tangent vector to first point found Limit point cycle (period = 6.283185e+00, Xornal fo:n coefficient = 1.014821e+O3 . r-iv-i ,elapsed .time = 23. 5 sees .. - , _ _ _ - L. Přibylova • Nelineárni dynamika • 6. unora 2021 J npoints curve = 141 ' mu □ X 290/388 10. kapitola Použití Grobnerovy báze Pro spojitý systém x = f(x, a) v rovině závislý na parametru (případně více parametry) sJacob i ho maticí J = D/(x, a) jsou podmínky f(x,a) = 0 trJ = 0 (28) (29) nutné pro vznik Hopfovy bifurkace. Pokud (x0, «o) splňuje rovnice (28) a (29), postačujícími podmínkami jsou detV (x,a)=(XO)ao) > 0 a ^ (x,a)=(x0)a0) + 0, L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 291/388 10. kapitola Použití Grôbnerovy báze Použití Grôbnerovy báze Pokud je pravá strana systému x =/(x, a) poLynomiáLní nebo racionální Lomená funkce, Lze systém (28), (29) řešit pomocí metody naLezení Grôbnerovy báze, tj. vyLoučit stavové proměnné a naLézt varietu přísLušnou Hopfově bifurkaci. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 292/388 10. kapitola Použití Grôbnerovy báze Konkrétně pro normální formu Hopfovy bifurkace dostáváme systém lix-y-x(x2 +y2) = 0, x +ny-y(x2+y2) = 0, 2fi = 0. Vzhledem k tomu, že poslední rovnice je již ve tvaru, kde jsou stavové proměnné eliminované, je fi = 0 jediným možným bodem algebraické variety příslušné Hopfově bifurkaci, příslušnou rovnováhou je (0,0). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 293/388 Příklady Hopfovy bifurkace - jevy 11. kapitola Příklady Hopfovy bifurkace - jevy Co se naučíme: ■ použít znalosti o superkritické a subkritické HB na praktických úlohách L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 295 /388 11. kapitola Příklady Hopfovy bifurkace - jevy Co se naučíme: ■ použít znalosti o superkritické a subkritické HB na praktických úlohách ■ analyzovat model Bruselátoru a Selkovův model L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 295 /388 Co se naučíme: 11. kapitola Příklady Hopfovy bifurkace - jevy ■ použít znalosti o superkritické a subkritické HB na praktických úlohách ■ analyzovat model Bruselátoru a Selkovův model ■ analyzovat HB ve FitzHughově-Nagumově modelu L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 295 /388 11. kapitola Příklady Hopfovy bifurkace - jevy Superkritická bifurkace dává vzniknout stabilnímu Limitnímu cyklu ze stabilního ohniska. Při změně parametru jsou vznikající oscilace zprvu maLé - amplituda odpovídá odmocnině vzdálenosti parametru od kritické hodnoty parametru. V praktických aplikacích jde proto k jevu málo patrnému a svým způsobem neškodnému. stabilita stabilita rostoucí parametr krit. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 296/388 11. kapitola Příklady Hopfovy bifurkace - jevy Oproti tomu subkritická bifurkace je v praktických situacích mnohem více patrná a někdy i vyloženě nežádoucí. Jde totiž o okamžitou ztrátu stability: — 1 nestabilita stabilita ___■ r / / .— rostoucí parametr -•-► krit. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 297/388 11. kapitola Příklady Hopfovy bifurkace - jevy Typickým příkladem superkritické Hopfovy bifurkace jsou oscilace v systémech dravec-kořist nebo v biochemických systémech. Možná jste sami zažili tento jev již na vlastní kůži, ale neuvědomili jste si to. Mohlo jít o rozvibrování vrtačky při přílišném zvýšení tlaku na podložku, rozpískání konvice na čaj, vznik tiku ve svalu nebo rozhoupání stromů v Lese. Souvisí s ní i vznik vzorů na kůži zvířat nebo dokonce vizuální halucinace. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 298/388 11. kapitola Příklady Hopfovy bifurkace - jevy Typickým příkladem superkritické Hopfovy bifurkace jsou oscilace v systémech dravec-kořist nebo v biochemických systémech. Možná jste sami zažili tento jev již na vlastní kůži, ale neuvědomili jste si to. Mohlo jít o rozvibrování vrtačky při přílišném zvýšení tlaku na podložku, rozpískání konvice na čaj, vznik tiku ve svalu nebo rozhoupání stromů v Lese. Souvisí s ní i vznik vzorů na kůži zvířat nebo dokonce vizuální halucinace. Typickým příkladem subkritické Hopfovy bifurkace je u LPC bifurkace zmiňovaný aeroelastický jev při prudkém rozkmitání křídel Letadla nebo mostu při silném větru, řízení vysílání vzruchů neuronem nebo kvílení brzd (video). Typicky v těchto jevech dochází k bistabilitě a hysterezi, stabilní atraktory nejsou dvě stabilní rovnováhy, ale stabilní rovnováha a stabilní cyklus. V knize prof. Izhikeviche Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting je spousta aplikací v neurovědě. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 298/388 11. kapitola Chemický model Bruselátor Chemický model Bruselátor Uvažujme chemické reakce A % X B+X % Y+C 2X+Y % IX X H D za předpokladu, že C a D dále do reakcí nevstupují a koncentrace [A] a [B] se udržují konstantní, kinetické rovnice reakce popisuje systém 4r = *iM - h[B\[X\ + kz[X]2[Y] - k4[X], 4? = k2[B][X] - kz[X]2[Y]. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 299/388 11. kapitola Chemický model Bruselátor Označme x = [X] yf, y = [Y] yf, 0 = [4& yv Ď = pak Lze systém zjednodušit na tvar x= a - {b + l)x + x2y, ý = — x2y. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 11. kapitola Chemický model Bruselátor Úkol: Pomocí metody nalezení Grôbnerovy báze najděte bifurkační varietu Hopfovy bifurkace b = 1 + a2 a v programu Matcont najděte první Ljapunovův koeficient pro parametry a = 1 a b = 2. Rozhodněte, zda dochází k superkritické nebo subkritické bifurkaci. V programu Maple si projděte obecnv vypočet. bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 301/388 11. kapitola Selkovův model glykolýzy Selkovův model glykolýzy Prostudujte dynamiku modelu glykolýzy, který má (po zmenšení počtu parametrů) tvar x = -x + ay + x2y, / (31) ý = b - ay - x y. Analyzujte pomocí XPPAUTu nebo MatContu. Původní Selkovův článek. Animace. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 302/388 11. kapitola FitzHughův-Nagumův model Modely neuronu - FitzHughův-Nagumův model V =V - - V3 -W + i, W=a(bV-cW + d), (32) kde o, r,c>0a / je proud. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 303/388 11. kapitola FitzHughův-Nagumův model Modely neuronu - FitzHughův-Nagumův model v=v- \yl -w + i, W =a{bV -cW + d), kde a, b, c > 0 a /' je proud. Nutné podmínky pro vznik Hopfovy bifurkace jsou V- \yl -w + i = 0, bV-cW + d = 0, -V2-oc + l = 0 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 11. kapitola FitzHughův-Nagumův model v- \yl -w + i = o, bV-cW + d = 0, -K2-ac + l = 0 Pokud tedy bude ac > 1, nemůže k Hopfově bifurkaci dojít. Navíc vidíme, že v bodě trJ = 0 nutně pLatí detJ = a(V2c + b - c) = a(ac2 + b) > 0. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 304/388 11. kapitola FitzHughův-Nagumův model V-^Vl-w + i = 0, -V2-ac + l = 0 Pokud tedy bude ac > 1, nemůže k Hopfově bifurkaci dojít. Navíc vidíme, že v bodě trJ = 0 nutně platí detJ = a(V2c + b - c) = a(ac2 + b) > 0. Vhodnými parametry pro vznik HB a kontinuaci Limitního cykLu jsou a a c, přičemž pro oba je splněna podmínka transversaLity * = -cŕ 0 resp. ^ = -a ŕ 0 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 304/388 Úkol: 11. kapitola FitzHughův-Nagumův model S využitím programu Maple pomocí metody nalezení Grôbnerovy báze najděte bifurkační varietu Hopfovy bifurkace. Nejprve zkuste program vytvořit sami, pokud se vám to nepodaří, je zde. bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 Úkol: 11. kapitola FitzHughův-Nagumův model Pro parametry b = 1, c = 0.8, d = 0.7 a / = 0.5 najděte bod HB a kritickou hodnotu parametru a. S využitím programu Matcontvjeho okolí kontinuujte křivku rovnovah a limitní cyklus. Určete typ bifurkace rozhodněte o stabilitě cyklu. bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 11. kapitola Cirkadiánní rytmy Cirkadiánní rytmy Už v roce 1965 ukázal Brian Goodwin, že autoinhibiční gen může generovat trvalé oscilace. V roce 1971 Ronald Konôpka a Seymour Benzer publikovali studii, ve které identifikovali octomilky (Drosophila melanogaster) s mutacemi, které způsobily změny v délce cirkadiánního rytmu. Tyto mutace se objevily v genu, který byl nazván PER gen. Na rozdíl od nezmutované mouchy s aktivitou 24 hodinového cyklu, měly zmutované mouchy arytmickou aktivitu, periodu asi 19 hodin a 28 hodin. Následně se zjistilo, že hladina PER proteinů, mRNA a fosforylovaného PER proteinu oscilují u normální mouchy se stejnou 24-hodinovou periodou a pokud je blokován vstup PER proteinu do jádra, oscilace nenastanou. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 307/388 11. kapitola Cirkadiánní rytmy Prvním matematickým modelem cirkadiánních rytmů byL v roce 1996 modeL Alberta GoLdbetera: cytosol transcription and export nucleus repression — PER(PN) per gene import export translation phosphorylation phosphorylation" per mm A (M)-- PER (P0) CZZ^ PER"P (Pi)C^ PER-PP (P2) (^phosphorylation dephosplioiylation degradation degradation PER gen kóduje produkt, který po zpoždění potlačuje svou vlastní expresi. V tomto případě zpoždění je způsobeno transportem přes jadernou membránu a dvoufázovým aktivačním procesem (pomocí fosfory Lace). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 308/388 11. kapitola Cirkadiánní rytmy Prvním matematickým modelem cirkadiánních rytmů byL v roce 1996 modeL Alberta GoLdbetera: cytosol transcription and export nucleus repression per gene PER(PN) import export translation phosphorylation phosphorylation" per mRNA (M)-- PER (P0) PER-P (PT)CZ^ PER-PP (P2) dephosphoiylation dephosphorylatioii degradation degradation Zpětná vazba začíná produkcí per mRNA (M), která je exportována z jádra do cytosoLu. V cytosoLu je mRNA převedena na PER protein (Po), který je neaktivní. Podstupuje dvě koLa fosforyLace aby se staL aktivním PER (Pj), který je reverzibiLně transportován přes jadernou membránu a v jádře pak PER potlačuje transkripci svého genu. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 309/388 11. kapitola Cirkadiánní rytmy Takový zjednodušený popis biochemického systému: d vs vmm(t) -77? ( ř ] — - — - dt K) 1 + (pN(t)/Ki)n Kml + m(t) d M , ViPo(t) , F2í7i(r) -■p0 (ŕ) = ksm(t) dť v ' w išTi+Po(ť) Äb+PiM d /+x VlPo(*) ^2Pl(*) %pi(í) 14p2(í) :PiW dť ifi+Pú(t) Ä2+p1w Ä3+p1w K4+p2{t) d M VsPi(t) V4p2(ť) f. f. vdp2(t) dt A3+pi(i) A4+í?2(í) Kd+P2{t) ^Piv(í) = fclP2(*) - ^2PJV(Í)- Jako úkol si zkuste simulovat v MatContu koncentrace mRNA (m), celkového PER proteinu (p?- = Po + Pi + P2 + P/v) a jaderného PER proteinu (p/y). Hodnoty parametrů jsou vs = 0.76 //M/h, vm = 0.65 MM/h, ^ = 0.95 //M/h , ks = 0.38 1/h, kx = 1.9 1/h, fc2 = 1.3 1/h, Ví = 3.2 //M/h, V2 = 1.58 //M/h, V3 = 5 //M/h, V4 = 2.5 //M/h, ^ = /C2 = Ki = /C4 = 1 //M, /C, = 1 //M, = 0.5 //M, /Q = 0.2 //M, n = 4. Načtěte cyklus a kontinuujte jej pro parametr vd. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 310/388 Úkol 11. kapitola Cirkadiánní rytmy Prostudujte jednodušší model (5), (6) z článku Johna Tysona. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 311/388 Flip bifurkace, logistickáj^ywceT^^^^ zdvojovaní periody a chaos \ 12. kapitola chaos Co se naučíme: ■ popsat flip bifurkaci v diskrétním systému L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 12. kapitola chaos Co se naučíme: ■ popsat flip bifurkaci v diskrétním systému ■ porozumět dynamice Logistického zobrazení L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 313/388 12. kapitola chaos Co se naučíme: ■ popsat flip bifurkaci v diskrétním systému ■ porozumět dynamice Logistického zobrazení ■ seznámit se s pojmem deterministický chaos L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 12. kapitola chaos Co se naučíme: ■ popsat flip bifurkaci v diskrétním systému ■ porozumět dynamice Logistického zobrazení ■ seznámit se s pojmem deterministický chaos ■ pochopit zákLadní vLastnosti chaosu na stanovém zobrazení L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 313/388 12. kapitola chaos Co se naučíme: ■ popsat flip bifurkaci v diskrétním systému ■ porozumět dynamice Logistického zobrazení ■ seznámit se s pojmem deterministický chaos ■ pochopit zákLadní vLastnosti chaosu na stanovém zobrazení ■ spočítat Ljapunovův exponent a znát jeho význam L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 313/388 12. kapitola Bifurkace typu flip Bifurkace typu flip Uvažujme diferenční rovnici s parametrem tvaru x(n + 1) = -(1 + e)x(n) + xl(n), x(n) e R, e e R. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 314/388 12. kapitola Bifurkace typu flip Bifurkace typu flip Uvažujme diferenční rovnici s parametrem tvaru x(n + 1) = -(1 + e)x(n) + xl(n), x(n) e R, e e R. Rovnováhy (pevné body zobrazení) splňují f (x, e) := -(1 + e)x + x3 = x, tj. Leží na křivkách x = Oa2 + e = x2. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 314/388 12. kapitola Bifurkace typu flip Bifurkace typu flip Uvažujme diferenční rovnici s parametrem tvaru x(n + 1) = -(1 + e)x(n) + x3(n), x(n) Rovnováhy (pevné body zobrazení) splňují /(x, e) := -(1 + e)x + x3 = x, tj. Leží na křivkách x = 0a2 + £ = x2. Rovnice má vždy nulovou rovnováhu a protože Df(x, s) = —l — £ + 3x2, je počátek stabilní pro s < 0 a pro s > 0 je nestabilní. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 314/388 12. kapitola Bifurkace typu flip Parametr e = 0 je bifurkační hodnotou a při jeho přechodu v okoLí počátku dochází k Lokální bifurkaci, mění se stabilita počátku. Všimněte si, že vlastní hodnota A = D/(0,0) = -1. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 315/388 12. kapitola Bifurkace typu flip Parametr e = 0 je bifurkační hodnotou a při jeho přechodu v okoLí počátku dochází k Lokální bifurkaci, mění se stabilita počátku. Všimněte si, že vlastní hodnota A = D/(0,0) = -1. Rovnice pro rovnováhy -(2 + e)x + x* = 0 může mít ještě další dvě řešení x = ±y/2 + e, která neleží v okolí počátku pro e = 0. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 315/388 12. kapitola Bifurkace typu flip Co se děje s trajektoriemi začínajícími v okoLí počátku pro maLá kladná e, když ani pevné body x = ±^2 + s pro maLé s nejsou stabilní, protože Df(x, e) = -1 - e + 3x2 je pro pevné body v x = ±V2 + s větší než 1? L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 316/388 12. kapitola Bifurkace typu flip Co se děje s trajektoriemi začínajícími v okoLí počátku pro maLá kladná e, když ani pevné body x = ±^2 + s pro maLé s nejsou stabilní, protože Df(x, e) = -1 - e + 3x2 je pro pevné body v x = ±V2 + s větší než 1? Podívejme se blíže na cykly délky 2. To jsou pevné body zobrazení f(2\ tj. zobrazení /(2)(x, e) = -(1 + + e)x + x3) + (-(1 + é)x + x3)3 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 316/388 12. kapitola Bifurkace typu flip Rovnici /(2)(x, e) = -(l + + é)x + x3) + (-(1 + é)x + x3)3 = x Lze upravit na tvar x(x4-x2 - x2e + l)(-e - 2 + x2)(-e + x2) = 0. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 317/388 12. kapitola Bifurkace typu flip Rovnici /(2)(x, e) = -(l + + é)x + x3) + (-(1 + é)x + x3)3 = x Lze upravit na tvar x(x4-x2 -x2£ + l)(-£-2+x2)(-£ + x2) = 0. Mezi pevnými body zobrazení/^ jsou samozřejmě i pevné body x = 0 a x = ±V2 + s zobrazení/- L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 317/388 12. kapitola Bifurkace typu flip Rovnici /(2)(x, e) = -(l + + é)x + x3) + (-(1 + e)x + x3)3 = x Lze upravit na tvar x(x4-x2 - x2e + l)(-e - 2 + x2)(-e + x2) = 0. Mezi pevnými body zobrazení/^ jsou samozřejmě i pevné body x = 0 a x = ±V2 + s zobrazení/- Navíc jsou tu aLe nové rovnováhy x = ±y/ě, které jsou v okoLí počátku stabilní, protože Df(2\±y/ě, e) = 1 - % + As2 e (0,1) pro es e (0,1). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 317/388 12. kapitola Bifurkace typu flip Rovnici /(2)(x, e) = -(l + + é)x + x3) + (-(1 + é)x + x3)3 = x Lze upravit na tvar x(x4-x2 - x2e + l)(-e - 2 + x2)(-e + x2) = 0. Mezi pevnými body zobrazení/^ jsou samozřejmě i pevné body x = 0 a x = ±V2 + s zobrazení/- Navíc jsou tu aLe nové rovnováhy x = ±y/E, které jsou v okoLí počátku stabiLní, protože Df(2\±y/E, e) = 1 - % + %2 g (0,1) pro e g (0,1). VzhLedem k vzniku těchto cykLů délky 2 v okoLí počátku se tato bifurkace nazývá také bifurkace zdvojení periody (period doubLing) PD. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 317/388 12. kapitola Bifurkace typu flip Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrický systém (rovnici, zobrazení) x(n + l) =/(x(/7),a), x(n)eR, aGK, (33) kde f je hladká funkce, má pro a = ao pevný bod x = x0 a X =/x(x0, c^o) = —1. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky j(fxx(xo, <^o))2 + ^/xxx(xo, c^o) 0 podmínka nedegenerovanosti, fxa(xo, ao) 0 podmínka transverzality. Pak je (33) v okolí pevného bodu ekvivalentní systému v normální formě y{n + 1) = -(1 + e)y{n) ±y3(n). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 318/388 12. kapitola Bifurkace typu flip Podmínka nedegenerovanosti je někdy zapsána jako nenulovost Schwarzovy derivace (Sf )(xo, qíq). Schwarzova derivace je definována (původně v komplexním oboru) jako operátor Protože v boděflip bifurkace platí'/'(xq, c*o) = —1, je (S/)(x0, ao) ^ 0 řařdž podmínka jako podmínka nedegenerovanosti v předchozí větě. Souvislosti komplexních funkcí a MandeLbrotova fraktálu s flip bifurkací se věnuje část předmětu PřF:M9BCF Teorie bifurkací, chaos a fraktály. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 319/388 12. kapitola Bifurkace typu flip x(n +1) \f(x(n),a) / x0=0 x(n) a<0 x(n +1) \ f (x(n),a) x(n +1) x0=0 x(n) a = 0 k2 x0'=0 A x(n) a >0 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 320/388 12. kapitola Logistická rovnice Logistická rovnice Dá se říct, že Logistická rovnice x(n + 1) = ax(n)(l - x(n)), (34) s reálným parametrem a se stala prototypem komplexního chování dynamických nelineárních systémů a bifurkační diagram této rovnice se stal všeobecně známým. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 321/388 Úkol 12. kapitola Logistická rovnice Najděte kritickou hodnotu flip bifurkace logistického zobrazení (34) s parametrem a. Proveďte analýzu stability cyklu délky 2. Kdy a jak dojde k destabilizaci? bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 Úkol 12. kapitola Logistická rovnice Prostudujte chování logistické rovnice v XPPAUTu. Pro inspiraci se podívejte na video prof. Ghrista. Spusťte postupně logistic.ode a cobweb.ode. Prostudujte, jak jsou soubory naprogramovány. bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 12. kapitola Logistická rovnice Video prof. Ghrista ukazuje, jak při různých hodnotách parametru Logistická rovnice mění svou dynamiku. Vidíte tak dynamickou verzi slavného bifurkačního diagramu, který zobrazuje zdvojování periody. CykLus délky 1 (pevný bod) flip bifurkací ztratí stabilitu a dochází ke vzniku cyklu délky 2, cyklus délky dva flip bifurkací ztratí stabillitu a vzniká cyklus délky 4,... 8,... 16 atd. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 324/388 12. kapitola Logistická rovnice Video prof. Ghrista ukazuje, jak při různých hodnotách parametru Logistická rovnice mění svou dynamiku. Vidíte tak dynamickou verzi sLavného bifurkačního diagramu, který zobrazuje zdvojování periody. CykLus délky 1 (pevný bod) flip bifurkací ztratí stabilitu a dochází ke vzniku cyklu délky 2, cyklus délky dva flip bifurkací ztratí stabillitu a vzniká cyklus délky 4,... 8,... 16 atd. Dochází k tomu pro kritické hodnoty parametru a2, 04, as,... Tato tzv. Feigenbaumova kaskáda zdvojování periody je obecný fenomén a číslo a2k - a2k-i . Á ,sQn jif — lim -= 4.6692 k^oo Qjk+i — Ojk se nazývá Feigenbaumovo číslo. Nej překvapivější je, že tato konstanta je univerzální pro mnoho diferenčních systémů, ve kterých dochází ke kaskádové flip bifurkací - jevu zdvojování periody. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 324/388 12. kapitola Logistická rovnice V programu XPPAUT si bifurkační diagram zobrazíme s pomocí programu Logbif.ode: L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 325 /388 12. kapitola Logistická rovnice V programu XPPAUT si bifurkační diagram zobrazíme s pomocí programu Logbif.ode: # Logbif.ode # bifurkační diagram diskrétní Logistické rovnice # zvoLte nejdříve nespojité vykresLování dat - Graphic stuff, Edit curve, edit 0, Line type 0 # parametr a měňte v intervalu <2,4> - InitiaLconds, Range x'=a*x *(l-x) a'=a init x=.l init a=2 @ maxstor=100000,totaL=500,trans=350,meth=discrete @ xLo=2,xhi=4.001,yLo=0,yhi=1.001,xp=a,yp=x done L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 325 /388 12. kapitola Logistická rovnice Všimněte si, že rovnice jsou v souboru popsány dvě - druhá rovnice je rovnicí pro parametr, přičemž meth=discrete určuje diskrétní krok. Bez ní by nebylo možné vykreslovat prostor „stavových proměnných"; trans=350 přeskočí vykreslování prvních 350 iterací. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 326/388 12. kapitola Logistická rovnice Všimněte si, že rovnice jsou v souboru popsány dvě - druhá rovnice je rovnicí pro parametr, přičemž meth=discrete určuje diskrétní krok. Bez ní by nebylo možné vykreslovat prostor „stavových proměnných"; trans=350 přeskočí vykreslování prvních 350 iterací. Pro grafické vykreslení dat zvolte Graphic stuff, Edit curve: edit 0, Line type 0 \ : - □ x j I Egn: j [ Data j [quit | ^^^^^^^^^^^M I f*X-axis:fl ~~| == ( pY-axisiX ~~| [ l |*Z-axis;X I l pĽolor:0 ^ I f IBMJJIii I ( Ok irCancel | Jťi US t 0,6 Restore En drnkal L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 326/388 12. kapitola Logistická rovnice Pro vykreslení bifurkačního diagramu je třeba spustit najednou více trajektorií volbou Initialconds, Range Ks || BCs H De lan || Faráři HTgrit [[ D-at-a 11 quit ^ Range Integrate [niti xinti lullc lir.f Undo >hAse ;ines íraph íUner :ile 'aram [rase lakew ext, iing 'iewa íi WS testo !d-pa )ndry |*Range over;a |5tep«:2:" |5tart:2 peset storage WNhlT" luse old ic-5 [vTMyrr F^cle color (Y/H):n L. □ x Ok I [Cancel | 0,4 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 327/388 12. kapitola Logistická rovnice Bifurkační diagram samozřejmě Lze spustit hustěji - zde byl zvoLen grid 200 a „parametr" a e (2,4). XPP Ver 6.10 >> logbif.Qde Delay I Parám I Eqn Data quit Initialconds Continue NuLlcline Dir.field/flow Window/zoom phAsespace Kinescope Graphic stuff nUnerics FiLe Parameters Erase Hakewindow Text,etc Sing pts Viewaxes Xi vs t Restore 3d-params Bndryval y, u.; h Par/Var? Par/Var? □ im □ a=4 i=200 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 328/388 Úkol 12. kapitola Logistická rovnice Prostudujte chování Rickerovy rovnice populační dynamiky x(n + l) = ax(n)e~x{n\ bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 12. kapitola Deterministický chaos Deterministický chaos Co je to chaos? SLovo chaos se odvozuje z řeckého xa0 s a znamená nepředvídateLnost. Deterministický chaos je neperiodické deterministické chování, které je ■ velice citlivé na počáteční podmínky, ■ topologicky transitivní - což znamená, že Libovolný interval transformuje na Libovolný další interval ■ má husté periodické trajektorie DETERMINISTICKÝ NEZNAMENÁ PŘEDVÍDATELNÝ!!! L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 330/388 12. kapitola Deterministický chaos Nechť/ : / —>► / je spojité zobrazení na / = (0,1). Uvažujme diskrétní dynamický systém {N, /,/"}, kde n e N. Nechť 7, K c / jsou uzavřené intervaly. Definice Řekneme, že J pokrývá K pod f, zapisujeme J —^ K, jestliže existuje uzavřený interval L c J tak, že f (L) = K. K L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 331 /388 12. kapitola Deterministický chaos Věta (0 pevném bodě) Jestliže J —^ J pod f, pak má f v J pevný bod. Důkaz: Nechť J = (a, b). PodLe definice existuje uzavřený interval LcJ takový, zef(L) = J, tedy existuje c, d e L splňující/(c) = a < c a f (d) = b > d. PodLe věty o střední hodnotě nabývá spojitá funkce g[x) =/(x) - x nulové hodnoty na L c 7. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 332 /388 12. kapitola Deterministický chaos Uvědomme si nyní, že pokud /0 k ----^ In pod/, pak existuje uzavřený interval J c /o tak, zef^k\j) c lk pro všechna k = 0,1,... ,n - 1 a/^(7) = /„. Volbou /„ = /0 dostáváme s použitím věty o pevném bodě následují tvrzení. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 333 /388 12. kapitola Deterministický chaos Jestliže Iq —^ k ln-1 A /o pod/, pa/c máfW v /o pewý bod x, pro který platí f ^\x) e /,- pro / = 0,1,..., n — 1. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 334/388 12. kapitola Deterministický chaos Věta Jestliže lo —^ h —^ • • • —^ /n—i —^ lo podf, pak máf^ v lo pevný bod pro který platí jrW(x) g /,- pro i = 0,1,..., n - 1. SLavná Li-Yorkeho věta „Perioda 3 implikuje chaos" je důsledkem Šarkovského věty, kterou si uvedeme v předmětu PřF:M9BCF Teorie bifurkací, chaos a fraktály. Věta (Li-Yorke) Uvažujme spojité zobrazení f :/—>►/, které má cyklus délky 5. Pak má f také cykly libovolné délky n > 1. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 334/388 12. kapitola Deterministický chaos Důkaz: Uvažujme cyklus délky 3 {pi,P2,Pi}, tj. Pi = /(Pl), P3 =/(P2), Pi =f{Pi) Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že P\ < Pj < Pí-Označme dva intervaly \\ = {p\,pj) a h = {Pi^Pi)- Pak W pokrývá Ij a lj pokrývá \\ i lj. i /(P2) /(Pl) > ✓ / / / / / / / / / f \ ✓ \ / \ ✓ \ ✓ \ ✓ \s ✓ \ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / ✓ / / / / / / / / h h 0 pi P2 P3 1 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 335 /388 12. kapitola Deterministický chaos Pro Libovolné n e N má tedy/M pevný bod, protože pLatí k h —^ • • • —^ h —^ h i kde /2 je zde obsaženo (n - l)-krát. Tento pevný bod nemůže odpovídat cykLu délky k < n (kromě k = 3, který je předpokládán), protože pokud by platilo/^(x) = x pro /r < n, pak x g /i n Ij = {ř>2}> což je jediný cyklus, námi předpokládaný délky 3. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 336/388 Úkol 12. kapitola Deterministický chaos Ukažte, že pro aF = 1 + 2\/2 má logistická rovnice (34) cyklus délky 3, přičemž pro tuto kritickou hodnotu parametru dochází k bifurkaci typu fold, přičemž stabilní a nestabilní 3 cykly vznikají pro a > Qf a zaniknou na a = aF. bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 12. kapitola Tent map - stanové zobrazení Tent map je příkladem jednoduchého zobrazení (0,1} na (0,1), které vykazuje chaotické chování. T(x) = 2x x e (0, \ 2-2x xe{\,l L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 338/388 12. kapitola Tent map - stanové zobrazení Co víc, dynamický systém příslušný Logistickému zobrazení x h> 4x(l - x) na (0,1} je topologicky ekvivalentní systému {N, (0,1), Tn}, a proto vykazuje také chaos. Totéž platí pro jakékoliv jiné zobrazení (0,1} na (0,1), které má jedno maximum. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 339/388 12. kapitola Tent map - stanové zobrazení Co víc, dynamický systém příslušný Logistickému zobrazení x h> 4x(l - x) na (0,1} je topoLogicky ekvivaLentní systému {N, (0,1), Tn}, a proto vykazuje také chaos. Totéž pLatí pro jakékoliv jiné zobrazení (0,1} na (0,1), které má jedno maximum. Na jednoduchém stanovém zobrazení si ukážeme základním mechanismem vzniku chaotických trajektorií - je "stretch and fold", natažení a ohyb. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 339/388 12. kapitola Tent map - stanové zobrazení Číslo x g (0,1} má binární zápis kde ujk jsou cifry 0 nebo 1. Pokud x g (0, \), pak 7~(x) = 7"(O.CJiCJ2^3 • • • ) = O.CJ2^3 • • • Pokud x g (j, 1), pak 1 - x g (0, ^) splňuje 7"(1 — x) = 7"(O.CJiCJ2^3 • • • ) = 0.6^2^3 L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 340/388 12. kapitola Tent map - stanové zobrazení Přitom aLe protože 1 _y - i _í^0 I i__I j__^2 I 22 22 23 23 je binární zápis x a 1 - x komplementární (na místě nuLy stojí jednička a naopak). Označíme-Li kompLementy pLatí U.CJ2^3 • • • xe(j,i). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 341/388 12. kapitola Tent map - stanové zobrazení Trajektorii x, T(x), T^2\x),... stanového zobrazení si proto můžeme představit jako posun (případně kompLement posunu) v binárním zápise počáteční hodnoty x. Ještě si uvědomme, že metrika 00 lez b d(0.QiQ2Qi..., O.bibjbi...) = ^ jk k~ k=l vytváří na (0,1} úplný metrický prostor (je analogická běžné metrice decimální). Dostáváme takto následující vlastnosti. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 342/388 12. kapitola Tent map - stanové zobrazení ■ Citlivost na počáteční podmínky - předpokládejme, že známe počáteční podmínku xq až do A/-tého binárního místa. Uvažujme (nespočetnou) množinu čísel, která mají stejný začátek binárního zápisu, Liší se až od mocniny 2~N a jejich trajektorie. Po N iteracích se tyto blízké trajektorie stávají zcela náhodnými a neexistuje žádný vztah k počáteční podmínce. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 343/388 12. kapitola Tent map - stanové zobrazení ■ Citlivost na počáteční podmínky - předpokládejme, že známe počáteční podmínku xq až do A/-tého binárního místa. Uvažujme (nespočetnou) množinu čísel, která mají stejný začátek binárního zápisu, Liší se až od mocniny 2~N a jejich trajektorie. Po N iteracích se tyto blízké trajektorie stávají zcela náhodnými a neexistuje žádný vztah k počáteční podmínce. ■ Topologická transitivnost (mixování) - uvažujme interval počátečních hodnot, které se Liší poprvé na A/-tém binárním místě. Po N iteracích dojde k posunu o těchto N míst a interval se rozprostře na celý (0,1). L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 343/388 12. kapitola Tent map - stanové zobrazení ■ Citlivost na počáteční podmínky - předpokládejme, že známe počáteční podmínku xq až do A/-tého binárního místa. Uvažujme (nespočetnou) množinu čísel, která mají stejný začátek binárního zápisu, Liší se až od mocniny 2~N a jejich trajektorie. Po N iteracích se tyto blízké trajektorie stávají zcela náhodnými a neexistuje žádný vztah k počáteční podmínce. ■ Topologická transitivnost (mixování) - uvažujme interval počátečních hodnot, které se Liší poprvé na A/-tém binárním místě. Po N iteracích dojde k posunu o těchto N míst a interval se rozprostře na celý (0,1). ■ Má husté periodické trajektorie - binární zápis každého racionálního čísla je zakončen opakující se skupinou cifer, a proto generuje periodické trajektorie (včetně pevných bodů). Iracionální čísla mají binární zápis, který se neopakuje. Proto jsou periodické trajektorie husté (jsou Libovolně blízko jiné dané trajektorii) v množině chaotických trajektorií. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 343/388 Úkol 12. kapitola Tent map - stanové zobrazení Ukažte, že h : x h> sin2 ?f Je homeomorfismus na (0,1) a platíf{h{x)) = h{T{x)) pro logistické zobrazení /(x) = 4x(l - x); zobrazení jsou tedy topologicky konjugovaná. bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 12. kapitola Ljapunovův exponent Jak měřit chaos? Uvažujme trajektorii x(n) splňující počáteční úlohu x(/7 + l) = f(x(n)), x0 = x, přičemž / je skoro všude hladká. Pro tuto trajektorii definujme číslo 1 n A(x)= lim - Vlnl/'(x(i/))| Toto číslo představuje míru separace infinitesimálně blízkých trajektorií od této trajektorie: dn \f^(x + e)-f(n\x)\ ,n = eAn, e^O e e L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 345/388 12. kapitola Ljapunovův exponent Pokud existuje f{x{y)\ v e {1,... n}, v každém bodě trajektorie z x = x(l), pak v daném bodě x platí lim £^0 LT(")(x + £)-/W(x)| = |(f(„)(x))1 = £ = \f'(f(n-1\x)).....f(x)\ = \f'(x(v))\.....\f'(x(l))\, t\. n je Logaritmus tohoto poměru, tedy míra růstu této vzdálenosti. Tato míra popisuje, jak moc se původně blízké trajektorie od sebe vzdalují, f{x + é) x + e x tě L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 346/388 12. kapitola Ljapunovův exponent Definice Číslo A(x) (pokud limita existuje) označujeme jako Ljapunovův exponent trajektorie. Pokud je x atrahujícím stabilním pevným bodem zobrazení f, definujeme A(x) = -oc. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 347 / 388 12. kapitola Ljapunovův exponent Definice Číslo A(x) (pokud limita existuje) označujeme jako Ljapunovův exponent trajektorie. Pokud je x atrahujícím stabilním pevným bodem zobrazení f, definujeme A(x) = -oc. Pokud podéL trajektorie x{n) dochází ke kontrakci, je \{x) < 0, v případě asymptotické expanze je A(x) > 0. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 347 / 388 12. kapitola Ljapunovův exponent Definice Číslo A(x) (pokud limita existuje) označujeme jako Ljapunovův exponent trajektorie. Pokud je x atrahujícím stabilním pevným bodem zobrazení f, definujeme A(x) = -oc. Pokud podéL trajektorie x{n) dochází ke kontrakci, je \{x) < 0, v případě asymptotické expanze je A(x) > 0. PLatí, že pokud je trajektorie omezená a její Ljapunovův exponent je kladný, je trajektorie nutně chaotická. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 347 / 388 Úkol: 12. kapitola Ljapunovův exponent Ukažte, že Ljapunovův exponent stanového zobrazení je In 2. bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 Úkol: 12. kapitola Ljapunovův exponent Pro která p jsou trajektorie x(n + 1) = Tp(x(n)) chaotické? TP(x) = px X G (0, i p(l-x) xe(f,l bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 12. kapitola Ljapunovův exponent Ve více dimenzích závisí míra separace blízkých trajektorií na počátečním směru separace, proto se definuje Ljapunovovo spektrum (n hodnot v bazických směrech, řazené dLe velikosti) a maximální Ljapunovův exponent. Program XPPAUT umí maximální Ljapunovův exponent trajektorie numericky vypočítat. Samozřejmě ale nepočítá Limitu, ale pouze přibližnou konečnou sumu. Hodnoty Ljapunovových exponentů jsou invariantní vzhledem k širokému spektru transformací souřadnic (ergodická teorie, Oseledecova věta) a Limity existují pro skoro všechna x a na x nezávisí. Je to tedy rozumná volba míry chaosu. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 350/388 Chaos ve spojitých systémech 13. kapitola Chaos ve spojitých systémech Co se naučíme: ■ popsat a porozumět základní dynamice RossLerova systému s využitím Poincarého řezu (zdvojování periody) L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 352 /388 13. kapitola Chaos ve spojitých systémech Co se naučíme: ■ popsat a porozumět základní dynamice RossLerova systému s využitím Poincarého řezu (zdvojování periody) ■ vidět chaos kolem nás L Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 352/388 13. kapitola Chaos ve spojitých systémech Co se naučíme: ■ popsat a porozumět základní dynamice RossLerova systému s využitím Poincarého řezu (zdvojování periody) ■ vidět chaos kolem nás ■ popsat Lorenzův systém L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 352 /388 13. kapitola Chaos ve spojitých systémech Co se naučíme: ■ popsat a porozumět základní dynamice RossLerova systému s využitím Poincarého řezu (zdvojování periody) ■ vidět chaos kolem nás ■ popsat Lorenzův systém ■ provést základní analýzu Lorenzova systému (subkritická Hopfova bifurkace) L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 352 /388 13. kapitola Rósslerův systém Rosslerův systém L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 353 /388 13. kapitola Rósslerův systém Rosslerův systém Kapitola o chaosu ve spojitých systémech se většinou zabývá Lorenzovým systémem. Možná jste i v úvodním obrázku očekávali Lorenzův atraktor. Ano, dostaneme se k němu - později. Symetrický Lorenzův systém jsme si již představili a než se budeme zabývat tímto modelem proudění, představíme si model, který je jednodušší. V roce 1976 jej publikoval Otto Rôssler právě proto, aby na nejjednodušším možném modelu ukázal základní vlastnost trajektorií chaotického atraktoru. Vynechal symetrii a ponechal jediný důležitý princip: L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 353 /388 13. kapitola Rósslerův systém Rosslerův systém Kapitola o chaosu ve spojitých systémech se většinou zabývá Lorenzovým systémem. Možná jste i v úvodním obrázku očekávali Lorenzův atraktor. Ano, dostaneme se k němu - později. Symetrický Lorenzův systém jsme si již představili a než se budeme zabývat tímto modelem proudění, představíme si model, který je jednodušší. V roce 1976 jej publikoval Otto Rôssler právě proto, aby na nejjednodušším možném modelu ukázal základní vlastnost trajektorií chaotického atraktoru. Vynechal symetrii a ponechal jediný důležitý princip: NATAŽENÍ a OHYB L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 353 /388 13. kapitola Rósslerův systém Ač je sám biochemik, teorií chaosu byl od počátku fascinován a Lorenzův modeL i Li-Yorkeho věta jej zavedla mezi matematiky. Topologický princip natažení a ohybu si prý uvědomil při pozorování stroje na bonbóny. Tento princip vede k míšení, které má přesně vlastnosti chaosu - citlivost na počáteční podmínky, transitivitu i hustotu trajektorií. Jen s i představte, že byste do stroje dali žlutou a modrou sladkou hmotu... L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 354/388 13. kapitola Rósslerův systém Ač je sám biochemik, teorií chaosu byl od počátku fascinován a Lorenzův modeL i Li-Yorkeho věta jej zavedla mezi matematiky. Topologický princip natažení a ohybu si prý uvědomil při pozorování stroje na bonbóny. Tento princip vede k míšení, které má přesně vlastnosti chaosu - citlivost na počáteční podmínky, transitivitu i hustotu trajektorií. Jen s i představte, že byste do stroje dali žlutou a modrou sladkou hmotu... Bonbóny by byly krásně zelené. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 354/388 13. kapitola Rósslerův systém RossLerův systém x = — y — z ý = x + ay ž = b + z[x - č) nejprve prostudujeme pro parametr b = 0 a dost veLké c > 0. V tom případě je rovina z = 0 invariantní a dynamika na ní je dána Lineárním systémem s Jacobiho maticí Počátek je tedy na této rovině střed L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 355 /388 13. kapitola Rósslerův systém Navíc třetí rovnice systému je tvaru ž = z(x - č) a pro hodnoty xv okolí počátku budou trajektorie přitahovány po oscilující trajektorii směrem ktéto rovině. Při maLé změně parametru b musí být díky větě o spojité závislosti na parametrech v blízkosti roviny z = 0 nějaká stabilní invariantní množina. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 356/388 13. kapitola Rósslerův systém Pro pochopení topologie chaotického atraktoru, který vzniká pro nenulová b, jsem si půjčila krásné obrázky z knihy Ralpha Abrahama a Christophera Shawa s názvem Dynamics: The Geometry Of Behavior. Atraktor ma asi takovýto tvar: L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 357/388 13. kapitola Rósslerův systém Pro pochopení topologie chaotického atraktoru, který vzniká pro nenulová b, jsem si půjčila krásné obrázky z knihy Ralpha Abrahama a Christophera Shawa s názvem Dynamics: The Geometry Of Behavior. Atraktor ma asi takovýto tvar: Abraham and Shaw (1983) L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 357/388 13. kapitola Rósslerův systém Nejprve si prohlédněte, kam se zobrazuje množina bodů, která v čase fo startuje na atraktoru... V čase t\ se vrátila téměř na původní místo, oběhla dokola, ale převrátila se a roztáhla. Trajektorie tvoří jakýsi Mobiův proužek. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 358/388 13. kapitola Rósslerův systém Pokud bychom sledovali, co se děje s blízkými trajektoriemi, zjistíme, že v jednom směru se od sebe vzdalují. Invariantní varieta se ale ohýbá. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 359/388 13. kapitola Rósslerův systém Invariantní varieta se ohne natolik, že ji druhý (přitahující) směr atrahuje do blízkosti sebe sama. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 360/388 13. kapitola Rósslerův systém Co se stane, když stejný oběh provedeme ještě jednou? L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 361/388 13. kapitola Rósslerův systém L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 362/388 13. kapitola Rosslerův systém A ještě jednou? L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 363/388 13. kapitola Rósslerův systém To, co jsme sLedovaLi, je Poincarého řez invariantní varietou. V řezu Poincarého řezu (jmenuje se Lorenzův řez) vzniká fraktál - Cantorova množina. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 364/388 13. kapitola Rósslerův systém A teď se podívejte, jak vypadá to sledované Poincarého zobrazení (někdy se mu říká first return map). Nepřipomíná vám něco? (a) Hľ.l-ljlll I!i ikli + J NI 1 II 1J | 1 1 1 1 III |. 1 II lil 1 l| 1 JI -11 11 1 | 1 1 1 11-11 11 | 1 J 11 11 1 1 1 | 1 1 1 11 M 1 : 1 1 II II ll| Htunch L / \ r r i : \ \ J Ť°liLIJI lil IjIJlI IiiIlIJI . i : ' i JI lil lil i i i . i i . 1 i. 1 i 1 i i 1 . i i j i IjI -] -JJ -1 -3,5 -3 -3.5 -4 -*J -5 (b) L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 365 /388 Úkol: 13. kapitola Rósslerův systém Nakreslete v programu XPPAUT Poincarého zobrazení (nUmerics, Poincaré map) jako Ruelle plot (nUmerics, rLlelle plot) y(n) x y(n + 1) pro Rósslerův systém. bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 13. kapitola Rósslerův systém Dokonce, pokud budeme měnit hodnotu parametru, dostaneme bifurkační diagram zdvojování periody (zde kontinuace parametru b, a = 0.2, c = 5.7). Bifurcation Diagram for Rossler Attractor (varying b) 2 1-1-1-1-1-'-1-1-1-1-1 0 0.2 0.4 0.6 0,8 1 1.2 1.4 1.6 l.S 2 li L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 367/388 13. kapitola Rósslerův systém Stabilní trajektorie (cykly a chaotické atraktory) na invariantní varietě pro různé hodnoty c, a = b = 0.1: e = 4, period 1 c = 6, period 2 c = 8 5. period 4 -15 -1* -S 5 5 15 15 -15 -15 -5 5 5 15 15 -Í5 -15 -1* -5 5 5 15 1* 15 c= 8 7, periods c = 9, chaotic c = 12, period 3 c - 12.6, period 6 c = 13. chaotic c - 18. chaotic L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 368/388 Úkol: 13. kapitola Rósslerův systém Nakreslete v programu XPPAUT bifurkační diagram Poincarého zobrazení pro Rósslerův systém (doplňte rovnici bf = 0 nebo d = 0 podle toho, kterou kontinuaci chcete reprodukovat). bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 13. kapitola Zdvojování periody a chaos kolem nás Zdvojování periody a chaos kolem ná 13. kapitola Zdvojování periody a chaos kolem nás Kromě Lorenzova modelu proudění, který je velmi zjednodušeným modelem počasí, si představíme historicky velmi důležitý pokus Alberta Libchabera. V roce 1977 vytvořil nerezový válec, do kterého vložil kapalné hélium a spodní plochu válce zahříval. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 371/388 13. kapitola Zdvojování periody a chaos kolem nás Experimentálně tak ověřil, že turbulentní proudění, které vzniká v kapalném héliu poté, co se rozpadne základní konvekční oscilace, vytváří kaskádu zdvojování periody. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 372/388 13. kapitola Zdvojování periody a chaos kolem nás ■ i . . . . i L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 V roce 1982 publikoval podobný pokus s rtutí, kde dokonce změřil odhad Feigenbaumovy konstanty. V rotujících konvektivních proudech rtuti se totiž indukuje stejnosměrné magnetické pole, které bylo měřitelné pomocí tlumení elektrických oscilátorů (princip frekvenční analýzy). 373/388 13. kapitola Zdvojování periody a chaos kolem nás Dnes se tento fyzik, který spolu s Feigenbaumem za své objevy dostal Wolfovu cenu za fyziku, zabývá evolucí. Publikuje články na hranici fyziky, chemie a biochemie, které vysvětlují možný vznik aminokyselin, bílkovin, a složitých struktur. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 374/388 13. kapitola Zdvojování periody a chaos kolem nás Dnes se tento fyzik, který spolu s Feigenbaumem za své objevy dostal Wolfovu cenu za fyziku, zabývá evolucí. Publikuje články na hranici fyziky, chemie a biochemie, které vysvětlují možný vznik aminokyselin, bílkovin, a složitých struktur. Video přednáška Alberta Libchabera Origins of life L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 374/388 13. kapitola Zdvojování periody a chaos kolem nás Pokud si chcete doma pohrát, můžete si vyzkoušet pokus s vodovodním kohoutkem. Není to úplně jednoduché, nehodí se k tomu páková baterie, aLe naopak starý dobrý (ideálně dokonce i kapající) kohoutek je dostačujícím Laboratorním vybavením. Pokud je kohoutek zavřený, aLe Lehce nedovírá, voda kape. Kap, ticho, kap, ticho, kap, ticho. Dokáže to být doceLa rušivý periodický zvuk. StáLe stejné kap a ticho. Kap a ... to je cykLus (délky 1). Pokud budete dostatečně obratní a kohoutek maLičko povoLíte, bude kapat jinak. Kap kap ticho kap kap ticho. Pak snad dokážete nastavit i cykLus čtyř kapek... RychLe totiž začne kapat aperiodicky. Právě vidíte a sLyšíte chaotický atraktor. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 375 /388 13. kapitola Zdvojování periody a chaos kolem nás Za posledních 5 dekád došlo díky objevu všudypřítomnosti chaosu k novému pohledu na mnoho oblastí. Naleznete články ■ o chaotické dynamice v neurovědě (zdá se, že v mozku je chaos žádaný (!), naopak stabilní periodická dynamika je nežádaný stav - epileptický záchvat, viz Nature; naopak excitabilní buňky v srdečním svalu pracují synchronně periodicky a chaotická dynamika vede k fíbrilaci srdce) L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 376/388 13. kapitola Zdvojování periody a chaos kolem nás Za posledních 5 dekád došlo díky objevu všudypřítomnosti chaosu k novému pohledu na mnoho oblastí. Naleznete články ■ o chaotické dynamice v neurovědě (zdá se, že v mozku je chaos žádaný (!), naopak stabilní periodická dynamika je nežádaný stav - epileptický záchvat, viz Nature; naopak excitabilní buňky v srdečním svalu pracují synchronně periodicky a chaotická dynamika vede k fíbrilaci srdce) ■ o chaotické dynamice ve Vesmíru a Sluneční soustavě (je popsána a vysvětlena chaotická rotace Saturnova měsíce Hyperionu a osy rotace Marsu, NASA pomocí znalosti chaotické dynamiky poslala sondu ISEE-3/ICE již v roce 1985 téměř bez paliva na cestu ke kometě, Saturnovy prstence se zkoumají pro jejich fraktální strukturu chaotického atraktoru, dokonce je spočten maximální Ljapunovův exponent pro Sluneční soustavu); na základě Ljapunovova exponentu pak Lze odhadovat prediktabilitu systému: rotaci Hyperionu na 36 dní, vychýlení osy rotace Marsu a stabilitu Sluneční soustavy na 5 milionů Let L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 376/388 13. kapitola Zdvojování periody a chaos kolem nás ■ o chaotické dynamice v geofyzice a klimatologii (modely chaotického chování geomagnetického pole Země - např. Rikitakeho model, původní klimatické geofyzikální modely skupiny kolem Michaela Ghila, jehož monografie dnes pokrývají geofyzikální otázky klimatologie, oceánských proudů apod. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 377/388 13. kapitola Zdvojování periody a chaos kolem nás ■ o chaotické dynamice v geofyzice a klimatologii (modely chaotického chování geomagnetického pole Země - např. Rikitakeho model, původní klimatické geofyzikální modely skupiny kolem Michaela Ghila, jehož monografie dnes pokrývají geofyzikální otázky klimatologie, oceánských proudů apod. ■ o chaotické dynamice v ekonomii a financích (makroekonomie i mikroekonomie, pohled na burzu, to vše se od dob, kdy ekonomové věřili v neviditelnou ruku trhu, tj. stabilní rovnováhu, velmi změnilo - nejprve ekonomové připustili, že mohou vznikat endogenní cykly v IS-LM modelu, Goodwinově modelu apod. a nyní se od konce 20. století vydávají monografie, které se věnují i chaotické dynamice) L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 377/388 13. kapitola Lorenzův atraktor Lorenzův atraktor x = -a(x-y), ý = rx — y — xz. ž = -bz + xy, L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 379/388 13. kapitola Lorenzův atraktor Lorenzův atraktor x = -a(x-y), ý = rx — y — xz. ž = -bz + xy, Připomeňme, že pro r > 1 je počátek nestabilní a dva další symetrické body jsou stabilní. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 379/388 13. kapitola Lorenzův atraktor Lorenzův atraktor x = -a(x-y), ý = rx — y — xz. ž = -bz + xy, Připomeňme, že pro r > 1 je počátek nestabilní a dva další symetrické body jsou stabilní. Charakteristický polynom příslušný těmto symetrickým bodům je A3 + (a + b + 1)A2 + (r + a)b\ + 2ab(r - 1), kde pro r > 1 jsou všechny koeficienty kladné a tudíž má alespoň jeden záporný kořen. Další dva mohou být i komplexní. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 379/388 13. kapitola Lorenzův atraktor Nalezneme kritickou hodnotu Hopfovy bifurkace. Komplexně sdružená vlastní čísla Leží na imaginární ose, když pro charakteristický polynom a jeho vlastní čísla Ai a ±ílj platí (A - Ai)(A - /cj)(A + íuj) = 0, tj- A3-AiA2+cj2A-Aicj2 =0. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 13. kapitola Lorenzův atraktor Nalezneme kritickou hodnotu Hopfovy bifurkace. Komplexně sdružená vlastní čísla Leží na imaginární ose, když pro charakteristický polynom a jeho vlastní čísla Ai a ±ílj platí (A - Ai)(A - icj)(\ + íuj) = 0, tj- A3-AiA2+cj2A-Aicj2 =0. Pro kritickou hodnotu Hopfovy bifurkace tedy platí nutná podmínka (a + b + l)(r + a)b = 2ab(r - 1), tj- a{a + b + l) ľHB = -7--7—- a — D — 1 Protože r > 1, musí být navíc a > b + 1. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 380/388 13. kapitola Lorenzův atraktor Úkol: Vhodně zvolte parametry a vykreslete fázové portréty v některém z vhodných softwarů tak, aby byl vidět jev Hopfovy bifurkace. V programu MatCont nakreslete bifurkační diagram pro parametry blízké Hopfově bifurkaci. Všimněte si, že jde o subkritickou Hopfovu bifurkaci se vznikem nestabilního limitního cyklu. Volte parametr a = 10 a Ď = 8/3. bylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 381/388 13. kapitola Lorenzův atraktor Schéma bifurkačního diagramu pro kladná r, a = 10 a b = 8/3 vypadá nějak takto: x nestabilní cyklus stabilní ohnisko nestabilní ohnisko L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 382/388 13. kapitola Lorenzův atraktor Schéma bifurkačního diagramu pro kladná r, a = 10 a b = 8/3 vypadá nějak takto: nestabilní cyklus Co se děje pro r > rHB, kdy zanikne stabilní ohnisko (připomeňme, že představuje stabilní konvekční proudění)? L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 382/388 13. kapitola Lorenzův atraktor V navazujícím předmětu PřF:M9BCF Teorie bifurkací, chaos a fraktály si ukážeme, že dynamika Lorenzova systému je taková, že trajektorie nemohou opustit určitou množinu a dokonce každá podmnožina stavového prostoru exponenciálně zmenšuje svůj objem. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 383/388 13. kapitola Lorenzův atraktor V navazujícím předmětu PřF:M9BCF Teorie bifurkaci, chaos a fraktály si ukážeme, že dynamika Lorenzova systému je taková, že trajektorie nemohou opustit určitou množinu a dokonce každá podmnožina stavového prostoru exponenciálně zmenšuje svůj objem. Znovu si vypůjčuji obrázky z knihy Abrahama a Shawa: L Přibylová Nelineární dynamika • 6. února 2021 383/388 13. kapitola Lorenzův atraktor Jakmile trajektorie překročí separatrix sedla v počátku, začnou se navíjet do blízkosti variety, na které Leží druhé ohnisko. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 384/388 13. kapitola Lorenzův atraktor To je aLe také nestabilní. Jde o analogickou situaci natažení a ohybu, jako jsme viděli u Rôsslerova atraktoru. Zde je ale mnohem komplikovanější. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 385 /388 13. kapitola Lorenzův atraktor To je aLe také nestabilní. Jde o analogickou situaci natažení a ohybu, jako jsme viděli u RôssLerova atraktoru. Zde je aLe mnohem kom p Li kovanější. L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 385 /388 13. kapitola Lorenzův atraktor Mnoho trajektorií na atraktoru Jedna chaotická trajektorie L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 386/388 13. kapitola Lorenzův atraktor Mnoho trajektorií na atraktoru Jedna chaotická trajektorie K chaosu nevede jediná cesta... L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 386/388 13. kapitola Lorenzův atraktor Mnoho trajektorií na atraktoru Jedna chaotická trajektorie K chaosu nevede jediná cesta... 3D a traktory L.Přibylová • Nelineární dynamika • 6. února 2021 386/388 Děkuji Vám za pozornost!