M9BCF Příklady - redukce na
centrální varietu
Lenka Přibylová
pribylova@math.muni.cz
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
12. října 2020
Příklad
Redukujte systém
˙x = −xy
˙y = −y + x2
− y2
na jeho centrální varietu v okolí počátku a popište dynamiku systému
v okolí počátku.
L. Přibylová ·Příklady ·12. října 2020 2 / 8
Příklad
Redukujte systém
˙x = −xy
˙y = −y + x2
− y2
na jeho centrální varietu v okolí počátku a popište dynamiku systému
v okolí počátku.
Počátek [0, 0] je rovnováha. Jacobiho matice je
Df (x, y) =
−y −x
2x −1 − 2y
, tj. Df (0, 0) =
0 0
0 −1
.
Vlastní hodnoty jsou tedy λ1 = 0, λ2 = −1. Hledáme tedy centrální
varietu jako graf funkce y = ν(x) = ∞
k=2 akxk v okolí počátku, která
je řešením
−ν(x) + x2
− ν2
(x) = ν (x)(−xν(x)).
L. Přibylová ·Příklady ·12. října 2020 2 / 8
Dosazením Taylorova rozvoje funkce ν(x) dostáváme
−
∞
k=2
akxk
+ x2
−
∞
k=2
akxk
2
= −x
∞
k=2
akxk
∞
k=2
akkxk−1
Porovnáním koeficientů dostaneme a2 = 1, a3 = 0 a a4 = 1, tj.
ν(x) = x2
+ x4
+ O(x5
).
Dynamika na centrální varietě pak bude dána rovnicí
˙x = −xν(x) = −
∞
k=2
akxk+1
= −x3
− x5
+ O(x6
).
Počátek je tedy asymptoticky stabilní.
Program XPPAUT, spusťte priklad2.ode
L. Přibylová ·Příklady ·12. října 2020 3 / 8
Příklad
Redukujte systém závislý na parametru ε
˙x = xy
˙y = −y + εx2
na jeho centrální varietu v okolí počátku a popište dynamiku systému
v okolí počátku.
L. Přibylová ·Příklady ·12. října 2020 4 / 8
Příklad
Redukujte systém závislý na parametru ε
˙x = xy
˙y = −y + εx2
na jeho centrální varietu v okolí počátku a popište dynamiku systému
v okolí počátku.
Počátek [0, 0] je rovnováha. Jacobiho matice je
Df (x, y) =
y x
2εx −1
, tj. Df (0, 0) =
0 0
0 −1
.
Vlastní hodnoty jsou tedy λ1 = 0, λ2 = −1. Hledáme tedy centrální
varietu jako graf funkce y = ν(x) = ∞
k=2 akxk v okolí počátku, která
je řešením
−ν(x) + εx2
= ν (x)xν(x).
L. Přibylová ·Příklady ·12. října 2020 4 / 8
Dosazením Taylorova rozvoje funkce ν(x) dostáváme
−
∞
k=2
akxk
+ εx2
= x
∞
k=2
akxk
∞
k=2
akkxk−1
Porovnáním koeficientů dostaneme a2 = ε, a3 = 0 a a4 = −2ε2, tj.
ν(x) = εx2
− 2ε2
x4
+ O(x5
).
Dynamika na centrální varietě pak bude dána rovnicí
˙x = xν(x) = εx3
(1 − 2εx2
) + O(x6
).
Pro ε < 0 je počátek lokálně asymptoticky stabilní, pro ε > 0 je
počátek lokálně asymptoticky nestabilní. Pro ε = 0 je počátek stabilní
a řešení lze nalézt explicitně. Nejde o generickou bifurkaci
sedlo-uzel, protože není splněna podmínka nedegenerovanosti, avšak
jde o topologicky ekvivalentní dynamiku.
L. Přibylová ·Příklady ·12. října 2020 5 / 8
Redukce na centrální varietu lze využít často právě k popisu změny
dynamiky systému, který závisí na parametru. Lze totiž využít
rozšíření systému o rovnici příslušnou parametru:
Příklad
Studujme systém závislý na parametru ε
˙x = εx − xy
˙y = −y + x2
− 2y2
Počátek [0, 0] je rovnováha a Jacobiho matice má tvar
ε 0
0 −1
.
L. Přibylová ·Příklady ·12. října 2020 6 / 8
Redukce na centrální varietu lze využít často právě k popisu změny
dynamiky systému, který závisí na parametru. Lze totiž využít
rozšíření systému o rovnici příslušnou parametru:
Příklad
Studujme systém závislý na parametru ε
˙x = εx − xy
˙y = −y + x2
− 2y2
Počátek [0, 0] je rovnováha a Jacobiho matice má tvar
ε 0
0 −1
.
Rozšíříme systém na
˙x = εx − xy
˙y = −y + x2
− 2y2
˙ε = 0
L. Přibylová ·Příklady ·12. října 2020 6 / 8
˙x = εx − xy
˙y = −y + x2
− 2y2
˙ε = 0
Počátek [0, 0, 0] je nehyperbolická rovnováha. Jacobiho matice je
Df (x, y, ε) =


ε − y −x x
2x −1 − 4y 0
0 0 0

, tj. Df (0, 0, 0) =


0 0 0
0 −1 0
0 0 0

.
L. Přibylová ·Příklady ·12. října 2020 7 / 8
˙x = εx − xy
˙y = −y + x2
− 2y2
˙ε = 0
Počátek [0, 0, 0] je nehyperbolická rovnováha. Jacobiho matice je
Df (x, y, ε) =


ε − y −x x
2x −1 − 4y 0
0 0 0

, tj. Df (0, 0, 0) =


0 0 0
0 −1 0
0 0 0

.
Vlastní hodnoty jsou tedy λ1 = 0, λ2 = −1 a λ3 = 0. Hledáme tedy
centrální varietu jako graf funkce y = ν(x, ε) = i+j≥2 aijxiεj. Platí
˙y = ∂ν
∂x
˙x + ∂ν
∂ε ˙ε = ∂ν
∂x
˙x. V okolí počátku tedy platí
−ν(x, ε) + x2
− 2ν2
(x, ε) = ∂ν
∂x (x, ε)(εx − xν(x, ε)).
L. Přibylová ·Příklady ·12. října 2020 7 / 8
Dosazením Taylorova rozvoje funkce ν(x, ε) dostáváme porovnáním
koeficientů
x2
: −a20 + 1 = 0
xε : −a11 = 0
ε2
: −a02 = 0
x3
: −a30 = 0
x2
ε : −a21 = 2a20
. . .
ν(x, ε) = x2
− 2x2
ε + O( (x, ε) 4
)
Dynamika na centrální varietě pak bude dána rovnicí
˙x = x(ε − x2
(1 − 2ε)) + O( (x, ε) 5
)
Pro ε < 0 je počátek lokálně asymptoticky stabilní, pro ε > 0 je
počátek lokálně asymptoticky nestabilní (pro malá ε ) a v jeho okolí
existují dvě stabilní rovnováhy x ∼ ± ε/(1 − 2ε). Pro ε = 0 je
počátek stabilní. Jde o generickou vidličkovou bifurkaci.
L. Přibylová ·Příklady ·12. října 2020 8 / 8