M9BCF Příklady - normální formy Lenka Přibylová pribylova@math.muni.cz Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity 18. října 2020 Příklad Najděte normální formu systému v R2 v okolí počátku, který je nehyperbolickou rovnováhou se dvěma nulovými vlastními čísly (Bogdanovova-Takensova bifurkace) a maticí linearizace tvaru J = 0 1 0 0 . L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 2 / 18 Příklad Najděte normální formu systému v R2 v okolí počátku, který je nehyperbolickou rovnováhou se dvěma nulovými vlastními čísly (Bogdanovova-Takensova bifurkace) a maticí linearizace tvaru J = 0 1 0 0 . Analytickou transformací souřadnic chceme zjednodušit (eliminací kvadratických členů) dynamický systém tvaru ˙x1 = x2 + g1(x1, x2), ˙x2 = g2(x1, x2). L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 2 / 18 Příklad Najděte normální formu systému v R2 v okolí počátku, který je nehyperbolickou rovnováhou se dvěma nulovými vlastními čísly (Bogdanovova-Takensova bifurkace) a maticí linearizace tvaru J = 0 1 0 0 . Analytickou transformací souřadnic chceme zjednodušit (eliminací kvadratických členů) dynamický systém tvaru ˙x1 = x2 + g1(x1, x2), ˙x2 = g2(x1, x2). V2 = span y2 1 0 , y1y2 0 , y2 2 0 , 0 y2 1 , 0 y1y2 , 0 y2 2 L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 2 / 18 Spočteme L2 J (V2), což můžeme udělat tak, že spočteme akci L2 J (·) na jednotlivých bazických vektorech. L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 3 / 18 Spočteme L2 J (V2), což můžeme udělat tak, že spočteme akci L2 J (·) na jednotlivých bazických vektorech. L2 J y2 1 0 = 0 1 0 0 y2 1 0 − 2y1 0 0 0 y2 0 = −2 y1y2 0 L2 J y1y2 0 = 0 1 0 0 y1y2 0 − y2 y1 0 0 y2 0 = − y2 2 0 L2 J y2 2 0 = 0 1 0 0 y2 2 0 − 0 2y2 0 0 y2 0 = 0 0 L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 3 / 18 L2 J 0 y2 1 = 0 1 0 0 0 y2 1 − 0 0 2y1 0 y2 0 = y2 1 0 − 2 0 y1y2 L2 J 0 y1y2 = 0 1 0 0 0 y1y2 − 0 0 y2 y1 y2 0 = y1y2 0 − 0 y2 2 L2 J 0 y2 2 = 0 1 0 0 0 y2 2 − 0 0 0 2y2 y2 0 = y2 2 0 L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 4 / 18 L2 J 0 y2 1 = 0 1 0 0 0 y2 1 − 0 0 2y1 0 y2 0 = y2 1 0 − 2 0 y1y2 L2 J 0 y1y2 = 0 1 0 0 0 y1y2 − 0 0 y2 y1 y2 0 = y1y2 0 − 0 y2 2 L2 J 0 y2 2 = 0 1 0 0 0 y2 2 − 0 0 0 2y2 y2 0 = y2 2 0 L2 J (V2) = span −2y1y2 0 , y2 2 0 , y2 1 −2y1y2 , y1y2 −y2 2 L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 4 / 18 Matici zobrazení L2 J (·) můžeme v naší bázi zapsat jako A =         0 0 0 1 0 0 −2 0 0 0 1 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −2 0 0 0 0 0 0 −1 0         přičemž hledáme 2 nezávislé vektory kolmé k L2 J (V2), tedy vektory z jádra matice AT (jejich skalární součin s libovolným vektorem z L2 J (V2) je 0). Vzhledem k počtu nul v matici A není těžké vidět, že to jsou např. vektory         1 0 0 0 1 2 0         a         0 0 0 1 0 0         .L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 5 / 18 Dostáváme tak bázi vektorového podprostoru W2 tvaru y2 1 1 2y1y2 , 0 y2 1 a normální formu dynamického systému ˙x1 = x2 + g1(x1, x2), ˙x2 = g2(x1, x2), tvaru ˙y1 = y2 + ay2 1 + O( y 3 ), ˙y2 = 1 2ay1y2 + by2 1 + O( y 3 ). L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 6 / 18 Dostáváme tak bázi vektorového podprostoru W2 tvaru y2 1 1 2y1y2 , 0 y2 1 a normální formu dynamického systému ˙x1 = x2 + g1(x1, x2), ˙x2 = g2(x1, x2), tvaru ˙y1 = y2 + ay2 1 + O( y 3 ), ˙y2 = 1 2ay1y2 + by2 1 + O( y 3 ). Volbou báze y2 1 0 , 0 y2 1 bychom dostali normální formu studovanou v roce 1974 poprvé Florisem Takensem a volbou báze 0 y1y2 , 0 y2 1 pak normální formu studovanou v roce 1975 Rifkatem Bogdanovem, kterou dnes nejčastěji najdeme v literatuře. L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 6 / 18 Příklad Najděte normální formu parametrického dynamického systému ˙x = f (x, µ), kde x ∈ R2 má v počátku pro µ = 0 nehyperbolickou rovnováhu se dvěma ryze imaginárními vlastními čísly. V okolí počátku najděte transformaci, která eliminuje nerezonanční kvadratické členy. L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 7 / 18 Příklad Najděte normální formu parametrického dynamického systému ˙x = f (x, µ), kde x ∈ R2 má v počátku pro µ = 0 nehyperbolickou rovnováhu se dvěma ryze imaginárními vlastními čísly. V okolí počátku najděte transformaci, která eliminuje nerezonanční kvadratické členy. Matice linearizace je tvaru Re λ(µ) −Im λ(µ) Im λ(µ) Re λ(µ) , kde Re λ(0) = 0. L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 7 / 18 Příklad Najděte normální formu parametrického dynamického systému ˙x = f (x, µ), kde x ∈ R2 má v počátku pro µ = 0 nehyperbolickou rovnováhu se dvěma ryze imaginárními vlastními čísly. V okolí počátku najděte transformaci, která eliminuje nerezonanční kvadratické členy. Matice linearizace je tvaru Re λ(µ) −Im λ(µ) Im λ(µ) Re λ(µ) , kde Re λ(0) = 0. Přechodem ke komplexním číslům z = x1 + ix2 dostaneme zadaný systém ve tvaru ˙z = λ(µ)z + F(z, z, µ). Funkci F umíme rozložit do Taylorova rozvoje s proměnnými z a z s koeficienty, které závisejí na µ. Pro jednodušší zápis budeme µ v dalším vynechávat. Transformaci do normální formy provedeme v okolí z = 0 a µ = 0. L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 7 / 18 Hledáme tedy vhodnou kvadratickou h2 tak, aby z = w + h2(w, w) eliminovala kvadratické členy. Vzhledem k tomu, že je matice rotace regulární (λ(0) = 0), povede se nám to ZCELA a normální tvar je ˙w = λ(µ)w + O( w 3 ) tedy ˙x1 ˙x2 = Re λ(µ) −Im λ(µ) Im λ(µ) Re λ(µ) x1 x2 + O( x 3 ). L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 8 / 18 Spočteme h2, abychom viděli, jak tato transformace vypadá a navíc si ukážeme výpočet Lieovy derivace vzhledem ke komplexnímu lineárnímu vektorovému poli definovanému zobrazením z → λz. L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 9 / 18 Spočteme h2, abychom viděli, jak tato transformace vypadá a navíc si ukážeme výpočet Lieovy derivace vzhledem ke komplexnímu lineárnímu vektorovému poli definovanému zobrazením z → λz. Komplexní kvadratické homogenní polynomy jsou prvky V2 = span{w2 , ww, w2 }. Chceme spočítat L2 λ(V2), což můžeme udělat tak, že spočteme akci L2 λ(·) na jednotlivých bazických vektorech (lineární vektorové pole, které měníme transformací souřadnic, je nyní λ násobek, proto zjednodušeně označujeme Lieovu derivaci Lλ místo LJ). L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 9 / 18 Spočteme h2, abychom viděli, jak tato transformace vypadá a navíc si ukážeme výpočet Lieovy derivace vzhledem ke komplexnímu lineárnímu vektorovému poli definovanému zobrazením z → λz. Komplexní kvadratické homogenní polynomy jsou prvky V2 = span{w2 , ww, w2 }. Chceme spočítat L2 λ(V2), což můžeme udělat tak, že spočteme akci L2 λ(·) na jednotlivých bazických vektorech (lineární vektorové pole, které měníme transformací souřadnic, je nyní λ násobek, proto zjednodušeně označujeme Lieovu derivaci Lλ místo LJ). L2 λw2 = λw2 − (λw · ∂w2 ∂w + λw · ∂w2 ∂w ) = −λw2 L2 λww = λww − (λw · ∂ww ∂w + λw · ∂ww ∂w ) = −λww L2 λw2 = λw2 − (λw · ∂w2 ∂w + λw · ∂w2 ∂w ) = (λ − 2λ)w2 L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 9 / 18 Matice zobrazení L2 λ je A =   −λ(µ) 0 0 0 −λ(µ) 0 0 0 λ(µ) − 2λ(µ)   a existuje v okolí µ = 0, kde jsou všechny diagonální členy nenulové, tedy L2 λ(V2) = V2. Proto při eliminaci kvadratických členů jako hledání řešení lineární úlohy F2(w, w, µ) + L2 λ(µ)(h2(w, w, µ)) = 0 dostáváme jednoznačně řešitelnou úlohu tvaru b + Ax = 0 (tj. x = −A−1b), kde b je vektor koeficientů kvadratických členů F2 funkce F a x je vektor koeficientů hledané funkce h2 v bázi {w2, ww, w2 }. L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 10 / 18 Pokud jsou tedy nelineární kvadratické členy ve tvaru F2(z, z) = f20z2 + f11zz + f02z2 , pak z diagonálního tvaru matice vidíme přímo řešení h2(w, w, µ) = f20 λ(µ) w2 + f11 λ(µ) ww + f02 2λ(µ)−λ(µ) w2 . L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 11 / 18 Pokud jsou tedy nelineární kvadratické členy ve tvaru F2(z, z) = f20z2 + f11zz + f02z2 , pak z diagonálního tvaru matice vidíme přímo řešení h2(w, w, µ) = f20 λ(µ) w2 + f11 λ(µ) ww + f02 2λ(µ)−λ(µ) w2 . Tato transformace z = w + h2(w, w, µ) eliminuje kvadratické členy a systém transformuje na ˙w = λ(µ)w + O( w 3). L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 11 / 18 Příklad Najděte normální formu Hopfovy bifurkace parametrického dynamického systému ˙x = f (x, µ), kde x ∈ R2 má v počátku pro µ = 0 nehyperbolickou rovnováhu se dvěma ryze imaginárními vlastními čísly. V okolí počátku eliminujte nerezonanční kubické členy. L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 12 / 18 Příklad Najděte normální formu Hopfovy bifurkace parametrického dynamického systému ˙x = f (x, µ), kde x ∈ R2 má v počátku pro µ = 0 nehyperbolickou rovnováhu se dvěma ryze imaginárními vlastními čísly. V okolí počátku eliminujte nerezonanční kubické členy. V předchozím příkladě jsme eliminovali kvadratické členy, a proto je systém (v komplexní proměnné) tvaru ˙z = λ(µ)z + F3(z, z, µ) + O( z 4 ), kde F3 je kubická funkce z prostoru V3 s bazí {z3, z2z, zz2 , z3 }. L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 12 / 18 Ověřte si sami, že matice zobrazení L3 λ má tvar A =     −2λ(µ) 0 0 0 0 −(λ(µ) + λ(µ)) 0 0 0 0 −2λ(µ) 0 0 0 0 λ(µ) − 3λ(µ)     . Je vidět, že pro µ = 0 je matice A singulární a prostor W3 = span{z2z} a má dimenzi 1. Podaří se nám proto eliminovat všechny kubické členy, až na tento rezonanční člen. L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 13 / 18 Ověřte si sami, že matice zobrazení L3 λ má tvar A =     −2λ(µ) 0 0 0 0 −(λ(µ) + λ(µ)) 0 0 0 0 −2λ(µ) 0 0 0 0 λ(µ) − 3λ(µ)     . Je vidět, že pro µ = 0 je matice A singulární a prostor W3 = span{z2z} a má dimenzi 1. Podaří se nám proto eliminovat všechny kubické členy, až na tento rezonanční člen. Normální tvar Hopfovy bifurkace je proto ˙z = λ(µ)z + c(µ)z2 z + O( z 4 ). V polárních souřadnicích pak ˙ρ = Re λ(µ)ρ + Re c(µ)ρ3 + . . . , ˙ϕ = Im λ(µ) + Im c(µ)ρ2 + . . . . L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 13 / 18 Příklad Proveďte nalezenou transformaci souřadnic pro rovnici ˙z = λ(µ)z + F2(z, z) + F3(z, z) + O( z 4) a najděte koeficient u kubického členu příslušného w2w. L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 14 / 18 Příklad Proveďte nalezenou transformaci souřadnic pro rovnici ˙z = λ(µ)z + F2(z, z) + F3(z, z) + O( z 4) a najděte koeficient u kubického členu příslušného w2w. Domácí úloha :-) L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 14 / 18 Příklad Proveďte nalezenou transformaci souřadnic pro rovnici ˙z = λ(µ)z + F2(z, z) + F3(z, z) + O( z 4) a najděte koeficient u kubického členu příslušného w2w. Domácí úloha :-) Porovnejte koeficienty u w2w u normální formy ˙w = iω0w + c1w2w + O( w 4) (pro µ = 0, tj. λ(0) = iω0) po transformaci z = w + h2(w, w) s kvadratickými členy z předchozí úlohy. L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 14 / 18 Příklad Proveďte nalezenou transformaci souřadnic pro rovnici ˙z = λ(µ)z + F2(z, z) + F3(z, z) + O( z 4) a najděte koeficient u kubického členu příslušného w2w. Domácí úloha :-) Porovnejte koeficienty u w2w u normální formy ˙w = iω0w + c1w2w + O( w 4) (pro µ = 0, tj. λ(0) = iω0) po transformaci z = w + h2(w, w) s kvadratickými členy z předchozí úlohy. Zkontrolujte si výsledek c1 = i f20f11 ω0 − i |f11|2 ω0 − i 2|f02|2 3ω0 + f21, kde F2(z, z) = f20z2 + f11zz + f02z2 atd. L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 14 / 18 Příklad V okolí počátku eliminujte nerezonanční kvadratické členy parametrického dynamického diskrétního systému zn+1 = λ(µ)zn + F2(zn, zn, µ) + O( zn 3), kde F2 je součtem homogenních kvadratických polynomů v z, z ∈ C s koeficienty, které závisejí na µ, a systém má v počátku pro µ = 0 nehyperbolickou rovnováhu a λ(0) = e2πiθ(0) (Neimarkova–Sackerova bifurkace). L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 15 / 18 Příklad V okolí počátku eliminujte nerezonanční kvadratické členy parametrického dynamického diskrétního systému zn+1 = λ(µ)zn + F2(zn, zn, µ) + O( zn 3), kde F2 je součtem homogenních kvadratických polynomů v z, z ∈ C s koeficienty, které závisejí na µ, a systém má v počátku pro µ = 0 nehyperbolickou rovnováhu a λ(0) = e2πiθ(0) (Neimarkova–Sackerova bifurkace). Hledáme tedy vhodnou kvadratickou h2 tak, aby z = w + h2(w, w) eliminovala kvadratické členy. L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 15 / 18 Příklad V okolí počátku eliminujte nerezonanční kvadratické členy parametrického dynamického diskrétního systému zn+1 = λ(µ)zn + F2(zn, zn, µ) + O( zn 3), kde F2 je součtem homogenních kvadratických polynomů v z, z ∈ C s koeficienty, které závisejí na µ, a systém má v počátku pro µ = 0 nehyperbolickou rovnováhu a λ(0) = e2πiθ(0) (Neimarkova–Sackerova bifurkace). Hledáme tedy vhodnou kvadratickou h2 tak, aby z = w + h2(w, w) eliminovala kvadratické členy. Komplexní kvadratické homogenní polynomy jsou prvky V2 = span{w2 , ww, w2 }. L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 15 / 18 Transformací souřadnic dostaneme wn+1 +h2(wn+1, wn+1) = λ(wn +h2(wn, wn))+F2(wn, wn)+O( wn 3 ), kde h2(wn+1, wn+1) = h2(λwn + O( wn 2 ), λwn + O( wn 2 )), L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 16 / 18 Transformací souřadnic dostaneme wn+1 +h2(wn+1, wn+1) = λ(wn +h2(wn, wn))+F2(wn, wn)+O( wn 3 ), kde h2(wn+1, wn+1) = h2(λwn + O( wn 2 ), λwn + O( wn 2 )), tedy wn+1 = λwn + λh2(wn, wn) − h2(λwn, λwn) + F2(wn, wn) + O( wn 3 ), L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 16 / 18 Transformací souřadnic dostaneme wn+1 +h2(wn+1, wn+1) = λ(wn +h2(wn, wn))+F2(wn, wn)+O( wn 3 ), kde h2(wn+1, wn+1) = h2(λwn + O( wn 2 ), λwn + O( wn 2 )), tedy wn+1 = λwn + λh2(wn, wn) − h2(λwn, λwn) + F2(wn, wn) + O( wn 3 ), Vidíme, že mechanismus eliminace vede k analogickému operátoru L = J ◦ h2 − h2 ◦ J. Lw2 = λw2 − (λw)2 = λ(1 − λ)w2 Lww = λww − λwλw = λ(1 − λ)ww Lw2 = λw2 − (λw)2 = (λ − λ 2 )w2 L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 16 / 18 Matice zobrazení L je A =   λ(µ)(1 − λ(µ)) 0 0 0 λ(µ)(1 − λ(µ)) 0 0 0 λ(µ) − λ(µ)2   a tato matice není regulární pro λ(0) = 1 nebo λ(0) = λ(0)2. Druhá rovnice e2πiθ(0) = e−4πiθ(0) tedy znamená, že λ(0)3 = 1. 1 Eliminace kubických členů pak ukáže rezonanci v −1, i a −i (druhé a čtvrté odmocniny z 1). L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 17 / 18 Matice zobrazení L je A =   λ(µ)(1 − λ(µ)) 0 0 0 λ(µ)(1 − λ(µ)) 0 0 0 λ(µ) − λ(µ)2   a tato matice není regulární pro λ(0) = 1 nebo λ(0) = λ(0)2. Druhá rovnice e2πiθ(0) = e−4πiθ(0) tedy znamená, že λ(0)3 = 1. Kvadratické členy proto eliminujeme, pokud vlastní číslo neleží v rezonanční hodnotě 1, 1 2 + i √ 3 2 nebo 1 2 − i √ 3 2 . 1 1 Eliminace kubických členů pak ukáže rezonanci v −1, i a −i (druhé a čtvrté odmocniny z 1). L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 17 / 18 Příklad Najděte normální formu parametrického dynamického diskrétního systému zn+1 = λ(µ)zn + F3(zn, zn, µ) + O( zn 4), kde F3 jsou homogenní kubické polynomy v z, z ∈ C s koeficienty, které závisejí na µ, a systém má v počátku pro µ = 0 nehyperbolickou rovnováhu a λ(0) = e2πiθ(0). V okolí počátku eliminujte nerezonanční kubické členy. (Neimarkova-Sackerova bifurkace) L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 18 / 18 Příklad Najděte normální formu parametrického dynamického diskrétního systému zn+1 = λ(µ)zn + F3(zn, zn, µ) + O( zn 4), kde F3 jsou homogenní kubické polynomy v z, z ∈ C s koeficienty, které závisejí na µ, a systém má v počátku pro µ = 0 nehyperbolickou rovnováhu a λ(0) = e2πiθ(0). V okolí počátku eliminujte nerezonanční kubické členy. (Neimarkova-Sackerova bifurkace) Stejný postup vede k matici A zobrazení L = J ◦ h3 − h3 ◦ J ve V3 s bazí {z3, z2z, zz2 , z3 } tvaru A =     λ(µ)(1 − λ(µ)2 ) 0 0 0 0 λ(µ)(1 − λ(µ)λ(µ)) 0 0 0 0 λ(µ)(1 − λ(µ)2 ) 0 0 0 0 λ(µ) − λ(µ)3     L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 18 / 18 Kubické členy lze eliminovat mimo rezonance v −1, i a −i (druhé a čtvrté odmocniny z 1), až na jediný z2z, protože pro vlastní číslo na jednotkovém kruhu vždy platí λ(0)(1 − λ(0)λ(0)) = 0. Normální formou Neimarkovy–Sackerovy bifurkace je proto zn+1 = λ(µ)zn + c(µ)z2 nzn + O( zn 4 ). L. Přibylová ·Příklady ·18. října 2020 19 / 18