MIN101 Matematika I - příklady počítané na cvičení (podzimní semestr 2020) 1 1. týden — komplexní čísla a zbytkové třídy (prezenční výuka) Cvičení konané 7. 10. 2020. 2 2. týden — diferenční rovnice, kombinatorika Cvičení konané 14. 10. 2020. Příklad 2.1: (Příklady 1.27 a 1.28 z Drsné matematiky.) Mirek si chce koupit nové auto, které stojí 300 000 č. Mirek by chtěl auto koupit na měsíční splátky. Prodávající společnost mu nabízí půjčku na koupi auta s ročním úrokem 6%. (i) Mirek by chtěl auto splatit za tři roky. Jak vysoká bude měsíční splátka? (ii) Jak dlouho by Mirek auto splácel, kdyby chtěl měsíčně splácet 5000 Kč? Příklad 2.2: Na schůzi má promluvit pět řečníků A,B,C,D,E (každý právě jednou). (i) Určete počet všech možných pořadí jejich vystoupení. (ii) Určete počet všech možných pořadí jejich vystoupení, má-li řečník B promluvit bezprostředně po A. (iii) Určete počet všech možných pořadí jejich vystoupení, má-li řečník B promluvit až poté, co promluvil řečník A. Příklad 2.3: Kolik čtyřciferných přirozených čísel s navzájem různými ciframi lze sestavit z cifer (i) 1, 2, 3, 4 (ii) 1, 2, 3, 4, 5, 6 (iii) 0, 1, 2, 3, 4, 5. Kolik z nich je sudých? Kolik z nich je dělitelných čtyřmi? Příklad 2.4: Mezi 6 dětí rozdělujeme 15 (stejných) tenisových míčků. Určete počet všech možných rozdělení. Určete počet všech rozdělení, při kterých každé dítě dostane aspoň jeden míček. Příklad 2.5: Pro libovolné pevné k,n G N určete počet všech řešení rovnice xi + x2 + ... + xk = n v množině celých nezáporných čísel (resp. v množině přirozených čísel). Příklad 2.6: Pro libovolné pevné k,n G N určete počet všech řešení nerovnice xi + x2 + ... + xk < n v množině celých nezáporných čísel (resp. v množině přirozených čísel). Příklad 2.7: (Příklady 1.36 z Drsné matematiky.) Do řady v kině o 2n místech je náhodně rozmístěno n mužů a n žen. Jaká je pravděpodobnost, že žádné dvě osoby stejného pohlaví nebudou sedět vedle sebe? 3 3. týden — pravděpodobnost Cvičení konané 21. 10. 2020. Příklad 3.1: Ve zprávě školy jsou uvedeny následující údaje. Dokažte, že tato zpráva je chybná. • Do ročníku chodí 45 dětí, z toho 30 chlapců. • 30 dětí má dobrý prospěch, z nich je 16 chlapců. • 28 dětí sportuje, z toho 18 chlapců a 17 dětí s dobrým prospěchem. • 15 chlapců má dobrý prospěch a zároveň sportuje. Příklad 3.2: Dvě kostky mají netradičně popsané stěny - jedna má čísla 113366 a druhá 223444. Která z nich bude „častěji" vítězit? Přesněji řečeno, určete pravděpodobnost vítězství první kostky, pravděpodobnost remízy a pravděpodobnost vítězství druhé kostky. (Pozn.: Když přidáme třetí kostku s čísly 113555, kostky se „navzájem porazí".) Příklad 3.3: Hodíme červenou a modrou (standardní) kostkou a uvažujeme následující jevy: • Jev A: součet na kostkách je dělitelný třemi. • Jev B: na kostkách jsou stejná čísla. • Jev C: na červené kostce je vyšší číslo než na modré. Rozhodněte, zda jsou tyto jevy stochasticky nezávislé. Příklad 3.4: Karel má ve skříni jsou 2 zelené, 6 modrých a 6 černých ponožek. • Ráno Karel náhodně vytáhne ze skříně 2 ponožky. Jaká je pravděpodobnost, že budou mít stejnou barvu? • Karel přijde ke skříni druhý den a opět vytáhne 2 ponožky (špinavé se do skříně nevrací). S jakou pravděpodbností vytáhne dvě stejnobarevné za předpokladu, že první den vytáhl dvě stejnobarevné? Příklad 3.5: Následující příklady řešte pomocí geometrické pravděpodobnosti: (i) V kruhové ohradě s kůlem uprostřed je zavřený kůň (jehož výskyt je náhodný). Jaká je pravděpodobnost, že je kůň blíž ke středovému kůlu než k ohradě? (ii) Kůň je v obdélníkové ohradě, u jejíž jedné strany stojí pozorovatel. Jaká je pravděpodobnost, že je kůň nejblíž ke straně s pozorovatelem? Příklad 3.6: Když zbyde čas, budeme násobit matice. 4 4. týden — geometrie v rovině Cvičení konané 30. 10. 2020. Příklad 4.1: Určete matici Ä pro n G N, kde Příklad 4.2: (Příklad 1.51 z Drsné matematiky.) Jsou dány přímky p : [2, 0] + í(3, 2), ŕ G IR a q : [-1, 2] + s(l, 3), s G R. Naůezněte průsečík těchto přímek a určete obecnou rovnici přímky p. Příklad 4.3: (Příklad 1.53 z Drsné matematiky.) Najděte obecnou rovnici přímky p, jež prochází bodem [2, 3] a je rovnoběžná s přímkou x — 3y + 2 = 0. Dále určete parametrickou rovnici přímky q procházející body [1,3] a [—2,1]. Příklad 4.4: Je dán trojúhelník ABC, kde A =[1,1], B = [3, 2] a C = [-4,6]. (i) Určete obsah trojúhelníku ABC. (ii) Určete vnitřní úhly. (iii) Je bod R = [0,4] uvnitř trojúhelníka? (iv) Které strany (resp. vrcholy) jsou viditelné z bodu P = [—8,9]? Příklad 4.5: Na množině Z \ {0} je relace p definována vztahem xpy •<=>- x ■ y > 0. Dokažte, že p je ekvivalencí na Z \ {0} a popište rozklad (Z \ {0})/p. 5 5. týden — relace, soustavy lineárních rovnic Cvičení konané 4. 11. 2020. Příklad 5.1: Na množině IR x R je definována relace p. Dokažte, že p je relace ekvivalence a načrtněte, jak vypadá rozklad MxK//) (zde IR x IR chápeme jako množinu všech bodů v rovině). Přitom pro (x, y), [u, v) G M. x E je: (i) (x, y)p(u, v) x — u = 0. (ii) (x, y)p(u, v) -4=^ y - v = 2{x - u). (iii) (x,y)p(u,v) (x-u)(x + u) = (v-y)(v + y). (iv) (x, y)p(u, v) <í=^ x2 + y2 + x + y = u2 + v2 + u + v. Příklad 5.2: Rozhodněte, zda jsou následující relace uspořádání, resp. lineární uspořádání na N. Je-li tomu naznačte Hasseovský diagram uspořádané množiny (N, ^): (i) x -< y ^> x = y, (ii) x^y -<=^ x (ii) Q,SCR4[xl Q = {f (x) I /(l) = 0 A f (2) = 0}, 5 = {• IR3 ve standardní bázi IR3: a) cp splňuje v?(l, 0,1) = (0,1, 0), IR2 danou předpisem / i—y (/(l),/(2)) ve standardních bazích těchto vektorových prostorů. 8 8. týden — determinanty, vlastní vektory Cvičení konané 25. 11. 2020. Příklad 8.1: Určete determinant matice /l 0 0 1\ 0 2 3 1 1 0 -11 \2 -3 1 0/ Příklad 8.2: Určete vlastní vektory a čísla matice / 1 0 2 0 \ 0 3 0 -2 -3 0 6 0 \ 0 3 0 8 / 9 9. týden — vlastnosti lineárních zobrazení Cvičení konané 2. 12. 2020. Příklad 9.1: Určete, jaké lineární zobrazení zadává ortogonální matice Příklad 9.2: Určete, jaké lineární zobrazení zadává ortogonální matice / 5 _i _i\ 6 3 6 U 3 3 3' \ 6 3 6 / Dále mějme rovinu p zadanou rovnicí (tj. implicitně) p : x-L — rr3 = 0. Určete obraz roviny p při zobrazení tp. 10 10. týden — lineární diferenční rovnice Cvičení konané 9. 12. 2020. Uvažme diferenční rovnici akVn+k + Ofc-iž/n+fc-i + ... + aiž/n+i + aoVn = P{n)an kde P(n) je nějaký polynom. Proto takovouto pravou stranu hledáme partikulární řešení ve tvaru Vn = Q(n)nran kde Q(n) je polynom stejného stupně jako P(n) a r je násobnost a jakožto kořene charakteristického polynomu dk\k + afc_iAfc_1 + ... + a±X + clq = 0. (Jestliže a není kořenem, tak r = 0.) Příklad 10.1: Rešete následující lineární diferenční rovnice: a) ÍJn+2 — %n+i+%n = 0 s počátečními podmínkami yo = 2 a y\ = 7. [Řešení: yn = 3n+1 —2n.] b) yn+3 = %n+2 — %n+i + 2yn s počátečními podmínkami yo = 3, y± = 3 a y2 = 5. [Řešení: ž/n = l-2n + 2«+1.] Příklad 10.2: Najděte obecné řešení lineární diferenční rovnice yn+i = yn+3 + Vn+i — Vn = 0. [Řešení: yn = d + C2n + C3 sin(^) + C3 cos(^f), Cť G IR.] Příklad 10.3: Řešte následující lineární diferenční rovnice: a) Vn + %n-i + 9í/n_2 = (n + 2)2n s počátečními podmínkami yo = y± = 0. b) yn + %n-i + %n-2 = 4(—3)n s počátečními podmínkami yo = Ví = 0. [Řešení: í/n = 2n(n - l)(-3)n.] Příklad 10.4: Určete řešení lineární diferenciální rovnice yn+4 — 2yn+2 + yn = 3 s počátečními podmínkami y0 = 3, yx = ^, y2 = §, 2/3 = f • [Řešení: yn = 2 + (-l)n + |n2] Příklad 10.5: Odvoďte vzorce pro součty a) sn = J2k=0 b) sn = J2k=0 k3. riS ' \ 1 3 i 1 2 i 1 n(n+l)(2n+l) /-i \ 1 4 , 1 3 , 1 2 n2(n+l)2 i [Resem: a) sn = + ±rr + ±n = v ;6V—:Ľ-L, yo) sn = ±rr + ±nó + |rr = —v 4_ ' .] 11 11. týden — iterační procesy s nezápornými maticemi Cvičení konané 16. 12. 2020. Příklad 11.1: (Leslieho model růstu.) Mějme populaci ovcí rozdělenou do tří skupin: • jehňata (0-2 roky) - porodnost 1/2, úmrtnost 1/2 (na jedno jehně), • dospělé ovce (1-2 roky) - porodnost 3/2, úmrtnost 1/2 (na jednu dospělou ovci), • staré ovce (2-3 roky) - porodnost 1/2 (na jednu starou ovci), všechny staré ovce jdou na jatka. Popište dlouhodobý vývoj populace. Příklad 11.2: (Leslieho model růstu.) Mějme populaci ovcí rozdělenou do čtyř skupin: • jehňata (0-1 rok) - porodnost 0, úmrtnost 1/2 (na jedno jehně), • mladé ovce (1-2 roky) - porodnost 2, úmrtnost 1/2 (na jednu mladou ovci), • dospělé ovce (2-3 roky) - porodnost 4, úmrtnost 1/2 (na jednu dospělou ovci), • staré ovce (3-4 roky) - porodnost 2 (na jednu starou ovci), všechny staré ovce jdou na jatka. Farmář chce navíc prodávat jehňata na kožešinu. Jakou část jich má prodat, aby měl stabilní chov? A jaké pak bude rozložení populace? Příklad 11.3: (Markovův proces.) Malé dítě si hraje se 4 kostkami, snaží se z nich postavit věž. Když má rozházené kostky, tak se mu s pravděpodobností 1/2 podaří dát dvě kostky na sebe (věž výšky 2). Když má věž výšky 2 nebo 3, tak se mu podaří s pravděpodobností 1/2 přidat jednu kostku (výška se zvýší o 1) a s pravděpodobností 1/2 stávající věž zboří. Když má věž výšky 4, tak dítě radostně zatleská a věž zboří. Po dlouhé době se na dítě přijde podívat tatínek. S jakou pravděpodobností najde věž výšky 4 (nebo 3 nebo 2 nebo 1)? Příklad 11.4: Roztržitý profesor ztrácí s pravděpodobností 1/2 deštník všude, kam přijde, přičemž jeho denní trasa je každý den domov-práce-restaurace-práce-domov. S jakou pravděpodobností se bude deštník na Štědrý večer 2021 nacházet v restauraci? 12 12. týden — Jordánovy kanonické tvary Cvičení konané 6. 1. 2021. Příklad 12.1: Určete Jordánův kanonický tvar následujících matic / 1 0 3 \ í-2 1 1 \ /l 1 1\ /O —4 0 \ A = -2 3 -7 , 5=11 -2 1, C = 0 1 1 , D = I 1 -4 0 \0 0 -2/ \ 1 1 —2/ \0 0 2/ \1 -2 -2/ spolu s příslušnými transformačními maticemi. 13 13. týden — Afinní a Euklidovská geometrie Cvičení konané 13. 1. 2021. Budeme pracovat s krychlí A =[0,0,0], B =[1,0,0], C = [1,1,0], D =[0,1,0], i? =[0,0,1], F =[1,0,1], G =[1,1,1], #=[0,1,1]. Příklad 13.1: (a) Určete příčku mimoběžek DE a GH procházející bodem B. (b) Rozmyslete si příčku mimoběžek DE a GH procházející bodem C. (c) Určete vzdálenost přímek AF a EG. [Řešení: (a) příčka protíná přímku DE v bodě [—1,1,1] a přímku GH v bodě [0, |,|], (b) neexistuje, (c) ^.] Příklad 13.2: Určete vzdálenost bodu X = [1,3,0,1] od podprostoru p: [1,0, 0,1]+r(l, 1,0,1)+ s(l,0,l,-l)+í(2,1,2,0). [Řešení: \/6.] Příklad 13.3: Určete vzájemnou polohu rovin (a) BEG a ACH, (a) BDE a AFH. Příklad 13.4: Určete odchylku (a) přímek AG a BD, (b) přímek AF a AH, (c) přímky CG a roviny BDE, (d) rovin AFG a BDE. [Řešení: (a) f, (b) f, (c) f - arccos^, (d) §.] Příklad 13.5: Určete objem čtyřstěnu (a) ABCE a (b) ACFH. [Řešení: (a) |, (b) ...]