3. domácí úkol - MIN101 - podzim 2020 - odevzdat do 27.11.2020
Uvažme následující vektory v IR3
vi = (1,2,1),    v2 = (-1,-1, a),    v3 = (a, a + 1,-1)   a   w = (1, 2, a + 2)
s parametrem a G IR. Dále uvažme podprostory V = (vi,v2,v3) CM.3 &W = (w).
a) Určete dimenzi podprostoru V v závislosti na parametru a.
b) Určete dimenzi podprostoru V + W v závislosti na parametru a.
c) Napište w jako lineární kombinaci vektorů v±, v2 a v% (nebo ukažte, že to není možné) v závislosti na parametru a.
Řešení: Napíšeme-li tyto čtyři vektory do sloupců matice, tak Gaussovou eliminací dostaneme
Hodnost této matice je odpověď na část b) a hodnost podmatice tvořené prvními třemi sloupci je odpověď na část a). Budeme-li první matici chápat jako matici soustavy tří rovnic o třech neznámých s pravou stranou danou posledním sloupcem, dostaneme odpověď na část c). Tedy
a) dim V = 2 pro a G { — 1,2} a dim V = 3 pro ostatní hodnoty a,
b) dim(V^ + W) = 2 pro a = — 1 a dim(V^ + W) = 3 pro ostatní hodnoty a,
c) pro a = 2 toto není možné, pro a ^ {—1, 2} je tato lineární kombinace dána jednoznačně 2řo'yi + s-^kv2 H—= w & pro a = — 1 jsou tyto lineární kombinace tvaru (3p + l)vi +
Ob        Á Ob        Á Ob Á
2pU2 + pv% = w pro libovolné p G IR.