4. domácí úkol - MIN101 - podzim 2020 - odevzdat do 10.12.2020
Uvažme vektorový prostor Mar2 (IR) reálných čtvercových matic 2x2 a v něm prvky M, = (J  °) ,   Ah = (J J) ,   A/s = (}  j) ,   M4 = (} }
Na tomto vektorovém prostoru uvažujme skalární součin (, ) definovaný tím, že báze a = (M±, M2M3, M4) je ortonormální. Dále uvažujme vektorový podprostor
V = {(^c       \a + d = 0} CMat2(R).
Najděte nějakou ortonormální bázi (vzhledem k výše definovanému skalánímu součinu (, )) podprostoru V.
Řešení: Dle zadání platí (Mi} Mj) = 1 pro i = j; pro i ^ j; je tento skalární součin nulový. Začneme s libovolnou bazí V, např. 71 = (Ai, A2, A3), kde
.1.     M-,    M..    A,    .][■■    M..   A3 = M4-2M1.
Dále najdeme ortogonální bázi 72 = (B1} B2, B3) prostoru V pomocí Gramm-Schmidtova orto-gonalizačního procesu. Položíme Bx := Ax = M2-Mx a B2 = A2+rBx = M3-M1+r(M2-M1). Kolmost na na B\ znamená
(M3 - Mi + r(M2 - Mi), M2 - Mi) = 1 + 2r = 0,
tj. r = -1/2. Tedy B2 = M3 - \M2 - \Ml. Podobně B3 = A3 + rBl + sB2 = M4 - 2Ml + r(M2 — Mi) + s(M3 — \M2 — \Mi) a kolmost B3 na na B\ a B2 znamená
(M4 - 2Mi + r(M2 - Mi) + s(M3 - \M2 - \MX), M2 - Mx) = 0,
(M4 - 2Mi + r(M2 - Mi) + s(M3 - \M2 - ±Mi), M3 - \M2 - \M±) = 0,
tedy 2 + 2r = 0 a 1 + |s = 0, tj. r = — 1 a s = — |. Prvky ortogonální báze 72 tedy jsou
\Bi\\ = y/2, \M\,    H-B2II = \J\,
\M2-\MX,    \\B3\\ = ^\. Odtud dostaneme ortogonální bázi (3 = (Ci,C2,C3), kde
C, = ^B, = ^(M2 - Ml) C2 = %Bl = f3(M3 - \M2
VŠ r>   _ VŠrn/r        2 n/r 2
B1	= M2-	Mi,
B2	= M3-	\M2
B3	= M4 -	1^3
^ = ^3 = ^(M4-|M3-|M,