5. domácí úkol - MIN101 - podzim 2020 - odevzdat do 10.1.2021
U každého z lineárních zobrazení ipi, i = 1,..., 4 rozhodněte, zda se jedná o ortogonální zobrazení a určete jeho vlastní čísla a vektory (nad IR). V případě ortogonálních zobrazení navíc toto zobrazení geometricky popište použitím pojmů symetrie, rotace apod. V případě neortogonálních zobrazení rozhodněte, zda se jedná o kolmou projekci na nějaký podprostor.
(a) v?i
(b) v?2 :
(c)
(d) v?4
S.3 je určeno násobením maticí
A
i
"4
3
4
\ _^/Í \ 4
_3	Vě \
4 _ 1	4
4 4	4 i )
je určeno násobením maticí
B
(\  o 0
0   ± i
o ? l
u    2 2
o o
i\
o
0
1
2
i3 je určeno vztahy ^s(ei)
i3 je určeno vztahy
ě2,    f 3(^2) = e3,    ^(£3) = ei-
V?4(ei) = e2,    V?4(ě2) = e3,    ^(£3) = e2.
Zde ei jsou vektory standarní báze, tj. e± = (1,0, 0), e2 = (0,1, 0) a 63 = (0, 0,1).
Řešení:
(a) ipi je ortogonální; má vlastní číslo —1 s vlastním vektorem (1,1,0) a dále vlastní čísla | ± ^i. Je to tedy rotace kolem osy (1,1,0) o úhel | složená se symetrií podle roviny kolmé na (1,1,0) procházející počátkem.
(b) ip2 není ortogonální; má vlastní číslo 0 s vlastním podprostorem o\ = ((0, —1,1, 0), (—1, 0, 0,1)) a vlastní číslo 1 s vlastním podprostorem a2 = ((0,1,1, 0), (1, 0, 0,1)). Jelikož o\ _L a2, jedná se o kolmou projekci na podprostor a2.
(c) Ze zadání je vidět, že 993 je rotace kolem osy (1,1,1) o |, tj. je to ortogonální zobrazení. Totéž lze spočíst z matice tohoto zobrazení, která je
/0  0 l\
1 0 o . \0   1 0/
Ze zadání vidíme dva vlastní vetory: ^3(62 + £3) =62 + 63 (vlastní číslo 1) a ^(ei — 63) = 0 (vlastní číslo 0). Tedy se nejedná o ortogonální zobrazení a ani to není kolmá projekce (vlastní vektory na sebe nejsou kolmé). Vše lze též spočíst z matice tohoto zobrazení, která je
'0  0 0N 1   0 1 0   1 0,