1. termín zkoušky - MIN101 - podzim 2020 - 28. 1. 2021 Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.) 1. (5 bodů) V prostoru IR3 uvažujeme rovinu o zadanou rovnicí (tj. implicitně) x+2y — 2z = 6. Určete: a) parametrický popis roviny a, b) vzdálenost roviny a od bodu [0, 0, 0], c) průsečík roviny a s přímkou p, která prochází bodem [0, 0, 0] a má směrový vektor (1,1,0), d) úhel, který svírá rovina a s přímkou p, e) rovnici roviny p, která je rovnoběžná s rovinou o a jejíž vzdálenost od roviny o je rovna 1. Napište vždy všechna řešení, je-li jich více. Jestliže některá z částí a) - e) nemá řešení, zdůvodněte, proč tomu tak je. 2. (4 body) V prostoru IR3 jsou zadány přímky p, q a bod C takto: p: [1,3,0]+r(-l, 1,2), q : [-1, 2, 2] + s(2,1,0), C = [0,4,3]. Určete bod A E p a bod B E q tak, že přímka procházející body A a, B prochází i bodem C. 3. (4 body) Nechť ip je shodné zobrazení prostoru IR3 do sebe a to symetrie podle přímky zadané parametricky [0, 0, 0] + r(l, 1, 0). Určete matici zobrazení ip ve standardní bázi. 4. (3 body) Velká firma poskytuje všem svým 220 zaměstnancům služební notebook. Díky exkluzivní smlouvě se značkovým dodavatelem se notebooky vždy o prázdninách zkontrolují a notebooky s vážnější závadou nahrazují novými notebooky. Statisticky bylo zjištěno, že z notebooků, které jsou v provozu jeden rok, je závadných 20% a z notebooků, které jsou v provozu dva roky, je závadných 50%. Firma se nejprve rozhodla, že bude používat každý notebook nejvýše tři roky, tj. po třech letech vyřadí všechny notebooky. Dodavatelská firma tedy nahradí závadné notebooky po jednom a dvou letech a všechny notebooky po třech letech. Určete, jak vypadá věková struktura notebooků ve firmě po dlouhodobém vývoji. Dále určete, kolik lze očekávat, že se notebooků o letošních prázdninách vymění za nové. Příklad řešte jako úlohu na Leslieho populační model pro populaci notebooků, přičemž dokažte primitivnost použité matice. (Ale poznamenejme, že příklad lze řešit i jako Mar-kovův proces.) Řešení a bodování: 1. [5 bodů] Označme n = (1, 2, —2) normálový vektor roviny a a v = (1, 1, 0) směrový vektor přímky p. a) [lb] K určení parametrického popisu potřebujeme nějaký bod v rovině a (např. [6, 0, 0]) a dva vektory kolmé na n (např. (2, —1, 0) a (0,1,1)). Odpovídající parametrický popis je [6,0,0]+r(2,-l,0) + S(0,l,l). b) [lb] Kolmá projekce bodu P = [0, 0, 0] do roviny a je bod A = [0, 0, 0] + r(l, 2, -2) pro nějaké íel. Podmínka A G a znamená, že ŕ + 2(2ŕ) — 2(—2ŕ) = 6, tj. ŕ = | a tedy A = [|, |, — |]. Hledaná vzdálenost je rovna \PA\ = 2. c) [lb] Každý bod B E p je tvaru B = [0, 0, 0] + s(l, 1,0). Jestliže také B e cr, pak s + 2s = 6, tj. s = 2. Tedy B = [2, 2, 0] je hledaný průsečík. d) [lb] Nejprve určíme úhel a, který svírá přímka p s normálovým směrem roviny a, tj. úhel, který svírají vektory nav. Platí cos a -p s rovinou er, je 90° - 45° = 45° Jíl J_ IMHMI tj. a = 45°. Tedy úhel, který svírá přímka 19 e) [lb] Rovina p je dána rovnicí x + 2y — 2z = d pro nějaké d £ M a k určení d stačí najít libovolný bod Cep. Povedeme-li kolmici k rovině a například bodem D = [6, 0, 0] G a, pak bod C můžeme hledat na této kolmici, tj. C = [6, 0, 0] + r(l, 2, —2), přičemž musí platit 11CD|| = 1. Jelikož | |CD|| = "(1, 2, —2)||, dostaneme |r| = |, tj. budou dvě řešení. Pro r = | je C = [^, |, —|] a C G p znamená -2-|-2(-|) = d, tj. d = 9. Pro r = -| je C = [^,-f, |] a C G p znamená ^+2-(-|)-2-| = d, tj. cř = 3. Tedy existují dvě možnosti pro rovinu p: x + 2y — 2z = 9 a x + 2y — 2z = 3. [4 body] Bod a směrový vektor přímky p označíme P = [1, 3, 0] a f i = (—1,1, 2) a bod a směrový vektor přímky q označíme Q = [—1, 2, 2] a i>2 = (2,1, 0). Dále položíme w := PČ = C — P = (—1,1, 3). Pak bod B musí ležet v rovině P + rv\ + tw, tedy B = P + rt>i + tw. Jelikož také B = Q + st>2, dostaneme P + rvi +tw = Q + sv2, tj. rvi +tw — sv 2 = Q — P, kde Q — P = (—2, —1, 2). Přepíšeme-li tento vztah do matice, dostaneme což má řešení r = —2, ŕ = 2 a s = 1. Odtud hned dostáváme B = Q + sv2 = [—1, 2, 2] + (2,1, 0) = [1, 3, 2]. Bod A určíme jako průsečík přímky B + aBÔ a přímky p : P + řvi. (Parametry rař mohou být rozdílné!) Tedy A = P + řv1=B + aĚO, kde BŮ = C - B = (-1,1,1). Tedy tv\ - aB(5 = B-P, kde B — P = (0, 0, 2). Přepsáním do matice dostaneme -1 1 z čehož dopočítáme f = 2 a a = 2. Tedy A = P + řv± = [1,3, 0] + 2(-l, 1,2) = [-1,5, 4]. [4 body] Směrový vektor přímky je u\ = (1,1,0). Tento vektor doplníme na bázi a = (w1; w2, u3) tak, aby vektor u\ byl kolmý na vektory it2 a it3, např. it2 = (1, —1, 0) a w3 = (0, 0,1). V této bázi má zobrazení ip jednoduchý tvar /l 0 0 (