2. termín zkoušky - MIN101 - podzim 2020 - 11. 2. 2021
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (5 bodů) V prostoru IR3 je dána rovina p a přímka 7r,
p : [-2, -3, 0] + r(l, 1, -4) +      -1,0),       tt : [0,1, 2] + í(l, 0,1). Dále je dán bod B = [3,4,5] a počátek O = [0, 0, 0].
a) Najděte nějaký vektor n, který je kolmý na rovinu p.
b) Určete parametrický popis roviny a, která je rovnoběžná s rovinou p, přičemž vzdálenost těchto dvou rovin je 6.
c) Rozhodněte, zda bod B leží v rovině p.
d) Určete průsečík roviny p s osou z.
e) Určete velikost úhlu a, který svírá rovina p a přímka tt.
2. (2 body) Určete, pro která a má následující soustava nad IR právě jedno řešení, nekonečně mnoho řešení, resp. žádné řešení:
2Xi — X2 + x% = 0 x\ + 2x2 — 2^3 = a x\   —    X2   +  axs   = 0.
3. (4 body) Mějme matice
/l 0 0\ /l 1 o\
,4=111 a   5=0 11.
\0  0   1/ \0 0 1/
a) Najděte Jordánův kanonický tvar J matice A spolu s transformační maticí P, tj. A = PJP-1.
b) Uvažme lineární zobrazení ip : IR3 —^ IR3 dané předpisem f{v) = B ■ v, kde v G IR3 chápeme jako sloupcový vektor. Rozhodněte, zda existuje báze IR3, ve které má zobrazení ip matici A.
4. (4 body) Firma se rozhodla tajně sledovat čas příchodu svých zaměstnanců. Směna začíná v 6:00 a firemní statistik vždy ráno u každého zaměstnance eviduje, jestli přišel buď předčasně (tj. o více než 15 minut před 6:00) nebo včas (o maximálně 15 minut před 6:00) nebo s mírným zpožděním (o maximálně 15 minut po 6:00) nebo s velkým zpožděním (o více než 15 minut po 6:00). Statistik dlouhodobým sledováním zjistil následující údaje.
— Přišel-li některý zaměstnanec v daný den předčasně, pak následující pracovní den přijde s pravděpodobností 1/4 opět předčasně, s pravděpodobností 1/2 včas a s pravděpodobností 1/4 s mírným zpožděním.
— Přišel-li některý zaměstnanec v daný den včas, pak následující pracovní den přijde s pravděpodobností 1/2 předčasně, s pravděpodobností 1/4 včas a s pravděpodobností 1/4 s velkým zpožděním.
— Přišel-li některý zaměstnanec v daný den s mírným zpožděním, pak následující pracovní den přijde s pravděpodobností 1/2 předčasně, s pravděpodobností 1/4 včas a s pravděpodobností 1/4 s velkým zpožděním.
— Přišel-li některý zaměstnanec v daný den s velkým zpožděním, pak následující pracovní den přijde s pravděpodobností 1/4 předčasně, s pravděpodobností 1/2 včas a s pravděpodobností 1/4 s mírným zpožděním.
Jeden z řadových zaměstnanců se jmenuje Rudolf. Jednou večer po mnoha měsících sledování se majitel firmy naštval na nedochvilné zaměstnance a rozhodl se je potrestat: kdo následující pracovní den dorazí s velkým zpožděním, ten bude za trest celý den umývat záchody, a kdo přijde s mírným zpožděním, bude celý den drhnout podlahu. S jakou pravděpodobností stráví Rudolf následující den čištěním záchodu a s jakou pravděpodobností bude drhnout podlahu? Úlohu řešte jako Markovův proces, přičemž dokažte primi-tivnost použité matice.