3. termín zkoušky - MIN101 - podzim 2020 - 18. 2. 2021
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (5 bodů) V prostoru IR3 je dána přímka p parametricky a rovina p obecnou rovnicí:
p: [1,1,0] +r(2, 2,-1),       p : xx - x3 = 8 .
Dále je dán bod X = [1, —2, 3]. Určete
a) vzdálenost bodu X od roviny p,
b) odchylku přímky p a roviny p,
c) parametrické vyjádření roviny p,
d) obecnou rovnici roviny a, která obsahuje přímku p a je kolmá na rovinu p,
e) vzdálenost bodu X od přímky p.
2. (5 bodů) Uvažme matici A a vektor w,
/l 2
A =   0    1    10 I    a   w = (-7,5,1),
s parametrem a G IR. Dále uvažme bázi a = (vi, V2,v3) prostoru IR3 takovou, že A je matice přechodu z báze a do standardní báze e, tj. (iď)ejOC = A. Určete hodnotu tohoto parametru tak, aby
a) determinant matice A byl roven 0,
b) matice A měla vlastní číslo 1,
c) vektor w byl vlastním vektorem matice A,
d) báze a byla ortogonální,
e) objem čtyřstěnu P ABC, kde P = [0, 0, 0], A = P + vu B = P + v2 a C = P + v3, byl roven 1.
3. (5 bodů) Nechť ip je lineární zobrazení prostoru IR3 do sebe, které je symetrií podle roviny o zadané implicitně rovnicí x — y + 2z = 0. Určete matici zobrazení ip ve standardní bázi.