MIN301 Matematika III - příklady počítané na cvičení (podzimní semestr 2020) 1 1. týden — úvod do funkcí více proměnných Cvičení konané 9. 10. 2020. Příklad 1.1: Rozmyslete si grafy následujících funkcí dvou proměnných: (i) f(x,y) = x-y. [Rovina.] (ii) f(x, y) = x2 + y2. [Rotační paraboloid.] (iii) f(x,y) = ^/x2 + y2. [Kužel.] (iv) f(x,y) = [Graf vzniká pohybem přímky v IR3.] X y (v) f(x,y) = sin(rr) cos(í/). [Pravidelně zvlněná plocha.] (vi) f(x,y) = sin(xy). [Zvlněná plocha, 'frekvence' vlnění se mění.] (vii) f(x,y) = ^2 +y2 ■ [Zvlněná plocha, rozmyslete si limitní vývoj do nekonečna.] Příklad 1.2: Určete maximální definiční obory následujících funkcí: (í) f(X,y) = y(x3 + x2+x+1) ■ (ii) f(x,y) = -\/arcsin xy. (iii) f(x,y) = HtXJ-y2y Příklad 1.3: Spočtěte následující limity nebo ukažte jejich neexistenci: (i) lim(Xi!/)^(o,o) fsjjy. [Limita je 0.] (ii) lim^^co) ^2+yl■ [Limita neexistuje - rozmyslete si limity "po přímkách"směrem k počátku.] (iii) lim^^co) xx^y . [Limita neexistuje, i když limity "po přímkách"směrem k počátku jsou stejné - použijte limitu po křivce y = 1 — ex.] 2 2 (iv) lim^^co) §2^2 - [Limita neexistuje, což je pěkné vidět při přechodu na polární souřadnice. Příklad 1.4: Spočtěte parciální derivace následujících funkcí a pak požadované směrové derivace: (i) Směrová derivace funkce f(x, y) = x3 + Axy v bodě [2, —1] ve směru vektoru (1, 3). (ii) Směrová derivace funkce f(x,y,z) = cos^ ^ v bodě [1,1,2] ve směru vektoru (1,2,3). [Směrové derivace lze počítat dvěma způsoby - buď přimo z definice nebo pomocí parciálních derivací.] 2 2. týden — derivace vyšších řádů, Taylorův rozvoj a aplikace na průběch funkcí Cvičení konané 13. 10. 2020. Příklad 2.1: S využitím parciálních derivací vyjádřete diferenciál df funkce arctan(x2 + y2) v bodě [1,-1] a vypočtěte pomocí něho směrovou derivaci pro směr u = (1,2). Příklad 2.2: Určete parciální derivace druhého řádu funkce f(x, y) = x4y + xy2 + x + 2 a pak Taylorův polynom druhého stupně této funkce v bodě [1,1]. Příklad 2.3: Určete lokální extrémy následujících funkcí: (i) f(x,y) = x3 + y3 — 3xy. [Stacionární body jsou [0,0] a [1,1], v prvním není extrém, ve druhém je lokální minimum.] (ii) f(x,y,z) = ;r+4^ + ~ + f5 extrémy určete jen v prvním oktantu. [Jediný stacionární bod je [1/2,1,1], je to minimium.] (iii) f(x,y) = x4 + y4 — x2 — 2xy — y2. [(Vyjdou tři stacionární body [0,0], [1,1] a [—1, — 1]; v prvním neumíme rozhodnout podle Hessiánu, další dva jsou minima. V počátku extrém nenastane - v jeho okolí jsou kladné i záporné hodnoty.] 3 3. týden — tečná rovina ke grafu, derivace složených funkcí, implicitně zadané funkce Cvičení konané 20. 10. 2020. Příklad 3.1: Určete následující tečnu a tečnou rovinu: (i) Na křivce c(t) = (t2 — 1, — 2t2 + 5t,t — 5) najděte takový bod, že jím procházející tečna je rovnoběžná s rovinou p : 3x + y — z — 7 = 0. [Nápověda: Směrový vektor tečny ke křivce c(t) v bodě chceme mít kolmý k normálovému vektoru roviny p, takže skalární součin těchto dvou vektorů musí být roven 0.] (ii) Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y)x2+xy+2y2 v bodě [xq, yo, zq] = [1,1, ?]. Příklad 3.2: (i) Určete diferenciál zobrazení F : IR3 —y IR2, F(x, y, z) = {x2 + y2 + z2, xyz) v bodě [1, 2, 3] jako lineární zobrazení IR3 —> IR2. Dále určete diferenciál zobrazení G : IR2 —> IR, G(s,t) = | v bodě [14, 6] jako lineární zobrazení IR2 —y IR. (ii) Pomocí předchozího napište diferenciál funkce 0, funkce je tedy konvexní a leží nad tečnou.] Příklad 3.6: Vypočtěte všechny parciální derivace prvního a druhého řádu v bodě [—2, 0,1] funkce z = f(x, y) definované v okolí daného bodu implicitně rovnicí x2+y2+z2—xz—\f2yz = 1. Příklad 3.7: V okolí kterých bodů křivky F(x,y) = x2 + 2xy — y2 — 8 = 0 nelze vyjádřit y jako funkci y = f{x)l [Body, kde F(x,y) = 0 a Fy(x,y) = 0 jsou [2,2] a [—2,-2]. V nich vezměte implicitní funkci x = x{y) a spočtěte její první a druhou derivaci a ukažte, že tečna křivky v těchto bodech je rovnoběžná s osou y a křivka leží vlevo nebo vpravo od této tečny. Namalujte si obrázek.] 4 4. týden — vázané extrémy, integrace ve více proměnných Cvičení konané 27. 10. 2020. Příklad 4.1: Najděte extrémy funkce h(x, y) = x — y na elipse F(x, y) = x2 + 2y2 — 6 = O v rovině IR2. [Extrémy musí nastat ve stacionárních bodech, tyto musí mít vlastnost, že gradient h je násobkem gradientu F. Vyjdou body [x,y] s x = ±2, y = =1=1 - jedno minimum, jedno maximum. Tuto skutečnost dokážeme pomocí tvrzení, že spojitá funkce nabývá na uzavřené a omezené množině v IRn svého maxima a minima.] Příklad 4.2: Najděte extrémy funkce h(x, y, z) = x + 2y + 3z za podmínky F(x, y, z = xyz = 36) a x > 0, y > 0 a z > 0. [Stacionární bod je [6,3,2] a jde o minimum. To dokážeme například tak, že vypočteme x jako funkci (y,z) z F(x,y,z) = 0, dosadíme do h a spočteme Hessián modifikované funkce v bodě [3,2].] Příklad 4.3: Vypočtěte JJ^ _± ^(x2 + 2xy)dxdy. [Řešení: |.] Příklad 4.4: Vypočtěte J1 J^2(2 — xy)dydx. [Řešení: 24 'J Příklad 4.5: Vypočtěte J.^ f^x x2_\x+2dy dx. [Řešení: 3 ln 2 — ln 3, je třeba rozložit na parciální zlomky.] Příklad 4.6: Zaměňte pořadí integrace j^2 f*mx f(x, y)dy dx. [Řešení: j^lin f(xiV)dxdy Příklad 4.7: Spočtěte J0 ^2 Jy ÍJ2 sinx2dx dy. [Řešení: |, je třeba zaměnit pořadí integrace a pak použít substituci t = x2.] 5 5. týden — integrace ve více proměnných, transformace souřadnic Cvičení konané 3. 11. 2020. Příklad 5.1: Spočítejte / = JJM 8ydxdy, kde M = {{x, y] e M2 | x > 0, xy > 1, x + y < §}. [Řešení : |.] Příklad 5.2: Spočítejte / = Jjs xy2 dxdy, kde S1 je plocha v 1. kvadrantu ohraničená grafy funkcí y = x a y = x2. [Řešení : ^.] Příklad 5.3: Pomocí přechodu k polárním souřadnicím zjednodušte dvojný integrál I = If m /(aA-2 + V2) dxdy, kde M je množina bodů [x,y] G IR2 splňujících x2 + y2 < 1. [Řešení: 2tt J^rf(r)dr.} Příklad 5.4: Spočítejte integrál I = JJM\/(X— l)2 + (y + l)2) dxdy, kde M je množina bodů [x,y] G IR2 splňujících 1 < (rr — l)2 + (y + l)2 < 4. [Řešení: y7r.] Příklad 5.5: Použitím vhodné transformace spočítejte integrál I = jjAx2y2dxdy, kde A je množina bodů [x,y] G IR2 ohraničená křivkami xy = |, xy = 2, 2y = x a x = 2y, přičemž x,y > 0. [Řešení: Vzhledem k omezením se nabízí transformace u = xy, y = vx, tj. x = a y = ^fwv. Jacobián transformace je ^ a integrál je I = || ln 2.] Obsah plochy, hmotnost, těžiště jsou n8sledující integrály • obsah plochy A je jjA dxdy, • hmotná destička daná množinou A s hustotou p(x, y) v bodě [x, y] má hmotnost M = IIa p(x> V) dxdVi • hmotná destička daná množinou A s hustotou p(x, y) v bodě [x, y] souřadnice těžiště [x0, y0], kde x0 = ^ = /fA xp(x, y) dxdy a y0 = ± = JJA yp(x, y) dxdy. Příklad 5.6: Určete obsah rovinného obrazce omezeného křivkami x = 0, y = ^, y = 8 a y = Ax. [Řešení: \ + 2 ln 2.] Příklad 5.7: Hmotná destička ve tvaru rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku s přeponou délky 1, jejíž hustota je přímo úměrná vzdálenosti od jedné z odvěsen a v protějším vrcholu je rovna 2. Najděte těžiště destičky. [Řešení: [^, -gf ].] Příklad 5.8: Určete souřadnice těžiště homogenní destičky ohraničené křivkami y = x2 a x + y = 2. [Řešení: \-\, §].] 6 6. týden — aplikace vícenásobných integrálů, úvod do diferenciálních rovnic Cvičení konané 10. 11. 2020. Příklad 6.1: Určete objem tělesa v IR3, které je ohraničeno částí kužele x2 + y2 = (z - 2)2 a paraboloidem [Řešení: |7r.] x2 + y2 = 4 - z. Příklad 6.2: Řešte rovnici (1 + ex)yy' = ex. Najděte obecné řešení a řešení splňující počáteční podmínku y(0) = 1. [Řešení: obecné řešení je y = ±^2 ln(0%(ex + 1)), C*2 > 0 a partikulární řešení pro y(0) = 1 je y = \J2 \xí[^-[ex + l)~y pro x > -^.] Příklad 6.3: Řešte rovnici y' = x — ^l2^- Najděte obecné řešení a řešení splňující počáteční podmínku y(0) = — 1 a pak řešení splňující počáteční podmínku y(2) = 3. [Řešení: obecné řešení je rovnice je y = (\x2 — 2x + 2 ln \x + 1| + D) x^, D G R \ {±1}.] Příklad 6.4: Řešte rovnici xy' + y\nx = ylnyx. Zjistěte, ve které části roviny má rovnice smysl. Najděte obecné řešení a řešení splňující počáteční podmínku y(l) = 1. [Řešení: y = xe~x+1.] 7 7. týden — lineární diferenciálních rovnice s konstatními koeficienty I. Cvičení konané 20. 11. 2020. Připomeňme, jak najít partikulárních řešení lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Uvažme takovou rovnici tvaru any^ (x) + ... + aiy'(x) + a0y(x) = e^i^P^x) cos(/3x) + Qk(%) sin(/5rr)) kde aj G IR a na pravé straně a, (3 G IR, Pe(x) je polynom stupně l a Qk(x) je polynom stupně k. Pro tento typ pravé strany existuje partikulární řešení tvaru y{x) = xseax (Rr(x) cos((3x) + Tr{x) sin(/5rr)) kde Rr(x) a Tr(x) jsou polynomy stupně r := max{£, A;} a s je násobnost a + i/3 jakožto kořene charakteristického polynomu diferenciální rovnice. Příklad 7.1: Najděte řešení rovnice y" = 2y' — y + 1 splňující y(0) = 0 a y'(0) = 1. [Řešení: -ex + 2xex + 1.] Příklad 7.2: Najděte obecné řešení rovnic y" + 3y' + 2y = (x + l)e 3x a ?/" + 3?/' + 2y = e x. [Řešení: de'* + C2e-2x + (\x + |)e-3x, Ci, C2 G M a Cle"* + C2e-2x + xe~x:, Cu C2 G R.] 8 8. týden — lineární diferenciálních rovnice s konstatními koeficienty II. Cvičení konané 24. 11. 2020. Příklad 8.1: Najděte všechna řešení rovnice y" + y' = x2 — x + 6e2x. [Řešení: C\ + C^e^ + \xz - \x2 + 3x + e2x, Ci, C2 G BL] Příklad 8.2: Najděte všechna řešení rovnice y"+ 2y'+ 2y = 3e~x cosx. [Řešení: C\e~x cosx + C2e_:E cos x + \xe~x sin rr, Ci, C2 G IR.] Příklad 8.3: Najděte všechna řešení rovnice y^ + y^ = x2 — 1. [Řešení: Ci + C2:r + C3X2 + C4 sinrr + C5 cosx + rr3(^:r2 — |), Ci, C2, C3, C4, C5 G IR.] Příklad 8.4: Najděte všechna řešení rovnice x2y" — 2xy' + 2y = x2 + 2. [Řešení: nejprve použijte substituci rr = ez, čímž se původní rovnice převede na rovnici — 3^ + 2y = e2z + 2 s neznámou funkcí y = y(z).] 9 9. týden — soustavy diferenciálních rovnic s konstatními koeficienty Cvičení konané 1. 12. 2020. Příklad 9.1: Napište diferenciální rovnici popisující všechny kružnice v rovině IR2. Příklad 9.2: Řešte soustavu rovnic kde y(x) je vektorová funkce se třemi složkami. [Řešení: Příklad 9.3: Řešte soustavu rovnic s počáteční podmínkou y(0) = íg j? kde y(x) je vektorová funkce se dvěma složkami. Příklad 9.4: Řešte soustavu rovnic 10 0 V' = | 3 1 -2\y, .2 2 1 kde y(x) je vektorová funkce se třemi složkami. Příklad 9.5: Řešte soustavu rovnic y ={-25 -13.'*' kde ?/(rr) je vektorová funkce se dvěma složkami. 10 10. týden — úvod do teorie grafů Cvičení konané 8. 12. 2020. Příklad 10.1: Rozmyslete si počty vrcholů, hran, stupně, skóre, matici apod. grafů K$, K^, Příklad 10.2: (a) Kolik existuje různých grafů na na n vrcholech? (Rozlišujeme pojmenování vrcholů, různé grafy mohou být izomorfní.) (b) Mějme množinu vrcholů V = Ví U 14 s pevně zadaným rozdělením vrcholů na dvě podmnožiny V = Ví U Vj. Kolik existuje různých bipartitních G = (V, E), je-li m = |Ví| a n = IV2I? (Rozlišujeme pojmenování vrcholů, různé grafy mohou být izomorfní.) [Řešení: 2© a T Příklad 10.3: (a) Kolik existuje různých bipartitiních grafů na tříprvkové množině vrcholů při rozlišení vrcholů? A kolik jich bude navzájem neizomorfních? (b) Který bipartitiní graf na n-prvkové množině vrcholů má nejvíce hran? Příklad 10.4: Určete počet podgrafů grafu K5. [Řešení: 1450] Příklad 10.5: Určete, kolik existuje různých cest mezi pevně zvolenými vrcholy v grafu Kj. [Řešení: 326.] Příklad 10.6: Určete, kolik existuje různých cyklů v grafu K§. [Řešení: 37.] Příklad 10.7: Kolik existuje sledů délky 4 mezi vrcholy 1 a 2 v grafu zadaném maticí sou-sednosti /o 1 o o o\ 10 111 0 10 11 0 110 1 \0 1 1 1 OJ 11 11. týden — grafy: souvislost, Eulerovské tahy Cvičení konané 15. 12. 2020. Příklad 11.1: (a) Kolik komponent má graf s deseti vrcholy stupně 5? Dokažte. [Řešení: jedna komponenta.] (b) Kolik komponent může mít graf s deseti vrcholy stupně 2? Dokažte. [Řešení: jedna, dvě nebo tři komponenty.] Příklad 11.2: Určete stupeň souvislosti bipartitiního grafu Km 0 udává dálku hrany i-tého do j-tého vrcholu. Pomocí Dijkstrova algoritmu určete délku nejkratších cest z prvního vrcholu do všech ostatních. 12 12. týden — algoritmy na hledání minimální kostry Cvičení konané 5. 1. 2021. 13 13. týden — hledání maximálního toku v sítích, konzultace diferenciálních rovnic Cvičení konané 12. 1. 2021.