MUC11 Matematická analýza 1
Druhé cvičení – Hornerovo schéma, rozklad na parciální zlomky
Petr Liška
Masarykova univerzita
16.10.2020
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 1 / 8
Příklad 1:
Proveďte rozklad polynomů v R a určete jejich znaménko
a) P(x) = x5 − 3x4 − 5x3 + 15x2 + 4x − 12
b) P(x) = x5 − 10x4 + 34x3 − 36x2 − 27x + 54
c) P(x) = x4 − 7x2 − 4x + 20
d) P(x) = x4 + 3x3 − 4x
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 2 / 8
Rozklad na parciální zlomky
Každou ryze lomenou funkci R(x) = P(x)
Q(x) lze rozložit na součet
parciálních zlomků následujícím způsobem:
a) Je-li číslo α reálný k-násobný kořen polynomu Q, pak rozklad
obsahuje součet k parciálních zlomků tvaru
A1
(x − α)
+
A2
(x − α)2
+ · · · +
Ak
(x − α)k
.
b) Jsou-li čísla α ± iβ komplexně sdružené k-násobné kořeny
polynomu Q, pak rozklad obsahuje parciální zlomky tvaru
A1x + B1
ax2 + bx + c
+
A2x + B2
(ax2 + bx + c)2
+ · · ·
Akx + Bk
(ax2 + bx + c)k
.
kde ax2 + bx + c má kořeny α ± iβ.
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 3 / 8
Příklad 2 a)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 4 / 8
Příklad 2 a)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
Řešení:
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
=
A
x − 1
+
B
x − 2
+
C
x − 3
,
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 4 / 8
Příklad 2 a)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
Řešení:
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
=
A
x − 1
+
B
x − 2
+
C
x − 3
,
x2
+ 2x + 2 = A(x − 2)(x − 3) + B(x − 1)(x − 3) + C(x − 1)(x − 2).
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 4 / 8
Příklad 2 a)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
Řešení:
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
=
A
x − 1
+
B
x − 2
+
C
x − 3
,
x2
+ 2x + 2 = A(x − 2)(x − 3) + B(x − 1)(x − 3) + C(x − 1)(x − 2).
x = 1
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 4 / 8
Příklad 2 a)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
Řešení:
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
=
A
x − 1
+
B
x − 2
+
C
x − 3
,
x2
+ 2x + 2 = A(x − 2)(x − 3) + B(x − 1)(x − 3) + C(x − 1)(x − 2).
x = 1 =⇒ 5 = 2A
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 4 / 8
Příklad 2 a)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
Řešení:
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
=
A
x − 1
+
B
x − 2
+
C
x − 3
,
x2
+ 2x + 2 = A(x − 2)(x − 3) + B(x − 1)(x − 3) + C(x − 1)(x − 2).
x = 1 =⇒ 5 = 2A =⇒ A =
5
2
x = 2
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 4 / 8
Příklad 2 a)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
Řešení:
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
=
A
x − 1
+
B
x − 2
+
C
x − 3
,
x2
+ 2x + 2 = A(x − 2)(x − 3) + B(x − 1)(x − 3) + C(x − 1)(x − 2).
x = 1 =⇒ 5 = 2A =⇒ A =
5
2
x = 2 =⇒ 10 = −B
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 4 / 8
Příklad 2 a)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
Řešení:
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
=
A
x − 1
+
B
x − 2
+
C
x − 3
,
x2
+ 2x + 2 = A(x − 2)(x − 3) + B(x − 1)(x − 3) + C(x − 1)(x − 2).
x = 1 =⇒ 5 = 2A =⇒ A =
5
2
x = 2 =⇒ 10 = −B =⇒ B = −10
x = 3
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 4 / 8
Příklad 2 a)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
Řešení:
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
=
A
x − 1
+
B
x − 2
+
C
x − 3
,
x2
+ 2x + 2 = A(x − 2)(x − 3) + B(x − 1)(x − 3) + C(x − 1)(x − 2).
x = 1 =⇒ 5 = 2A =⇒ A =
5
2
x = 2 =⇒ 10 = −B =⇒ B = −10
x = 3 =⇒ 17 = 2C
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 4 / 8
Příklad 2 a)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
Řešení:
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
=
A
x − 1
+
B
x − 2
+
C
x − 3
,
x2
+ 2x + 2 = A(x − 2)(x − 3) + B(x − 1)(x − 3) + C(x − 1)(x − 2).
x = 1 =⇒ 5 = 2A =⇒ A =
5
2
x = 2 =⇒ 10 = −B =⇒ B = −10
x = 3 =⇒ 17 = 2C =⇒ C =
17
2
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 4 / 8
Příklad 2 a)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
Řešení:
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
=
A
x − 1
+
B
x − 2
+
C
x − 3
,
x2
+ 2x + 2 = A(x − 2)(x − 3) + B(x − 1)(x − 3) + C(x − 1)(x − 2).
x = 1 =⇒ 5 = 2A =⇒ A =
5
2
x = 2 =⇒ 10 = −B =⇒ B = −10
x = 3 =⇒ 17 = 2C =⇒ C =
17
2
R(x) =
x2 + 2x + 2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
=
5
2(x − 1)
−
10
x − 2
+
17
2(x − 3)
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 4 / 8
Příklad 2 b)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
1
x3(x + 1)
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 5 / 8
Příklad 2 b)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
1
x3(x + 1)
Řešení:
1
x3(x + 1)
=
A
x
+
B
x2
+
C
x3
+
D
x + 1
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 5 / 8
Příklad 2 b)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
1
x3(x + 1)
Řešení:
1
x3(x + 1)
=
A
x
+
B
x2
+
C
x3
+
D
x + 1
.
1 = Ax2
(x + 1) + Bx(x + 1) + C(x + 1) + Dx3
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 5 / 8
Příklad 2 b)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
1
x3(x + 1)
Řešení:
1
x3(x + 1)
=
A
x
+
B
x2
+
C
x3
+
D
x + 1
.
1 = Ax2
(x + 1) + Bx(x + 1) + C(x + 1) + Dx3
x3 : 0 = A + D
x2 : 0 = A + B
x1 : 0 = B + C
x0 : 1 = C,
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 5 / 8
Příklad 2 b)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
1
x3(x + 1)
Řešení:
1
x3(x + 1)
=
A
x
+
B
x2
+
C
x3
+
D
x + 1
.
1 = Ax2
(x + 1) + Bx(x + 1) + C(x + 1) + Dx3
x3 : 0 = A + D
x2 : 0 = A + B
x1 : 0 = B + C
x0 : 1 = C,
=⇒ A = 1, B = −1, C = 1, D = −1
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 5 / 8
Příklad 2 b)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
1
x3(x + 1)
Řešení:
1
x3(x + 1)
=
A
x
+
B
x2
+
C
x3
+
D
x + 1
.
1 = Ax2
(x + 1) + Bx(x + 1) + C(x + 1) + Dx3
x3 : 0 = A + D
x2 : 0 = A + B
x1 : 0 = B + C
x0 : 1 = C,
=⇒ A = 1, B = −1, C = 1, D = −1
R(x) =
1
x3(x + 1)
=
1
x
−
1
x2
+
1
x3
−
1
x + 1
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 5 / 8
Příklad 2 c)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x2 + 4x
x4 − 16
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 6 / 8
Příklad 2 c)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x2 + 4x
x4 − 16
Řešení:
x2 + 4x
x4 − 16
=
A
x − 2
+
B
x + 2
+
Cx + D
x2 + 4
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 6 / 8
Příklad 2 c)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x2 + 4x
x4 − 16
Řešení:
x2 + 4x
x4 − 16
=
A
x − 2
+
B
x + 2
+
Cx + D
x2 + 4
.
x2
+ 4x = A(x + 2)(x2
+ 4) + B(x − 2)(x2
+ 4) + (Cx + D)(x2
− 4).
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 6 / 8
Příklad 2 c)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x2 + 4x
x4 − 16
Řešení:
x2 + 4x
x4 − 16
=
A
x − 2
+
B
x + 2
+
Cx + D
x2 + 4
.
x2
+ 4x = A(x + 2)(x2
+ 4) + B(x − 2)(x2
+ 4) + (Cx + D)(x2
− 4).
x3 : 0 = A + B + C
x2 : 1 = 2A − 2B + D
x1 : 4 = 4A + 4B − 4C
x0 : 0 = 8A − 8B − 4D,
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 6 / 8
Příklad 2 c)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x2 + 4x
x4 − 16
Řešení:
x2 + 4x
x4 − 16
=
A
x − 2
+
B
x + 2
+
Cx + D
x2 + 4
.
x2
+ 4x = A(x + 2)(x2
+ 4) + B(x − 2)(x2
+ 4) + (Cx + D)(x2
− 4).
x3 : 0 = A + B + C
x2 : 1 = 2A − 2B + D
x1 : 4 = 4A + 4B − 4C
x0 : 0 = 8A − 8B − 4D,
=⇒ A =
3
8
, B =
1
8
, C = −
1
2
, D =
1
2
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 6 / 8
Příklad 2 c)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x2 + 4x
x4 − 16
Řešení:
x2 + 4x
x4 − 16
=
A
x − 2
+
B
x + 2
+
Cx + D
x2 + 4
.
x2
+ 4x = A(x + 2)(x2
+ 4) + B(x − 2)(x2
+ 4) + (Cx + D)(x2
− 4).
x3 : 0 = A + B + C
x2 : 1 = 2A − 2B + D
x1 : 4 = 4A + 4B − 4C
x0 : 0 = 8A − 8B − 4D,
=⇒ A =
3
8
, B =
1
8
, C = −
1
2
, D =
1
2
R(x) =
x2 + 4x
x4 − 16
=
3
8(x − 2)
+
1
8(x + 2)
+
1 − x
2(x2 + 4)
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 6 / 8
Příklad 2 d)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x4 + 6x3 + x − 2
x4 − 2x3
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 7 / 8
Příklad 2 d)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x4 + 6x3 + x − 2
x4 − 2x3
= 1 +
8x3 + x − 2
x3(x − 2)
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 7 / 8
Příklad 2 d)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x4 + 6x3 + x − 2
x4 − 2x3
= 1 +
8x3 + x − 2
x3(x − 2)
Řešení:
8x3 + x − 2
x3(x − 2)
=
A
x
+
B
x2
+
C
x3
+
D
x − 2
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 7 / 8
Příklad 2 d)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x4 + 6x3 + x − 2
x4 − 2x3
= 1 +
8x3 + x − 2
x3(x − 2)
Řešení:
8x3 + x − 2
x3(x − 2)
=
A
x
+
B
x2
+
C
x3
+
D
x − 2
.
8x3
+ x − 2 = Ax2
(x − 2) + Bx(x − 2) + c(x − 2) + Dx3
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 7 / 8
Příklad 2 d)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x4 + 6x3 + x − 2
x4 − 2x3
= 1 +
8x3 + x − 2
x3(x − 2)
Řešení:
8x3 + x − 2
x3(x − 2)
=
A
x
+
B
x2
+
C
x3
+
D
x − 2
.
8x3
+ x − 2 = Ax2
(x − 2) + Bx(x − 2) + c(x − 2) + Dx3
x3 : 8 = A + D
x2 : 0 = −2A + 2B
x1 : 1 = − 2B + C
x0 : −2 = − 2C ,
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 7 / 8
Příklad 2 d)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x4 + 6x3 + x − 2
x4 − 2x3
= 1 +
8x3 + x − 2
x3(x − 2)
Řešení:
8x3 + x − 2
x3(x − 2)
=
A
x
+
B
x2
+
C
x3
+
D
x − 2
.
8x3
+ x − 2 = Ax2
(x − 2) + Bx(x − 2) + c(x − 2) + Dx3
x3 : 8 = A + D
x2 : 0 = −2A + 2B
x1 : 1 = − 2B + C
x0 : −2 = − 2C ,
=⇒ A = 0, B = 0, C = 1, D = 8
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 7 / 8
Příklad 2 d)
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
R(x) =
x4 + 6x3 + x − 2
x4 − 2x3
= 1 +
8x3 + x − 2
x3(x − 2)
Řešení:
8x3 + x − 2
x3(x − 2)
=
A
x
+
B
x2
+
C
x3
+
D
x − 2
.
8x3
+ x − 2 = Ax2
(x − 2) + Bx(x − 2) + c(x − 2) + Dx3
x3 : 8 = A + D
x2 : 0 = −2A + 2B
x1 : 1 = − 2B + C
x0 : −2 = − 2C ,
=⇒ A = 0, B = 0, C = 1, D = 8
R(x) = 1 +
8x3 + x − 2
x3(x − 2)
= 1 +
1
x3
+
8
x − 2
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 7 / 8
Domácí úkol
Příklad 1
Určete znaménko racionální lomené funkce
R(x) =
x5(x − 3)(x2 + 1)3
(x − 1)4(x + 5)5(x − 2)(x2 + 4)5
Příklad 2
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
a)
R(x) =
−2x2 + 21x + 35
x3 + 4x2 − 11x − 30
b)
R(x) =
2x2 − 2x + 3
(x + 2)(x2 + 1)
Petr Liška (Masarykova univerzita) MUC11 Matematická analýza 1 16.10.2020 8 / 8