MATEMATICKÁ ANALÝZA 3, učitelské studium
vzorová písemka
I. část
1. Pomocí kvantifikátorů a nerovností (tedy aniž uvedete pojem okolí) zapište, co pro funkci /: IR2 —► IR znamená, že
a)   lim  f(x,y) = —oo   b)   lim  f(x,y) = 7.
x—> —oo x—> —3
y^oo y^ — oo
2. Podle definice vypočtěte /ý(3, 2) pro funkci f(x, y) = x2y + ex.
3. Zapište limitu, kterou je definována hodnota fyX(4, —5). (Uvnitř limity smí být použita parciální derivace prvního řádu.)
4. Má zadaná funkce f(x,y) = x2 — 3xy + 2y2 v některém bodě diferenciál tvaru -8dx +4dy?
x + 2
5. Napište rovnici tečné roviny k ploše z = - s bodem dotyku [2, 3, ?].
y + 1
6. Určete d2 f pro funkci f(x, y) = x3 — x2y — y3 v obecném bodě [a;o, yo] s obecnými přírůstky dx a dy.
7. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice y' — 4xy = 0.
8. Kterou substitucí zahájíte řešení diferenciální rovnice
a) (x2 + y2)y' = 4xy ,   b) y = 6 + x y ?
yá
V obou případech pak pro novou neznámou funkci najděte diferenciální rovnici, kterou splňuje - neřešte ji, jen zapište, jakého je druhu.
9. Sestavte diferenciální rovnici 2. řádu s obecným řešením y = C\ e2x +C2 e~x. 10. V jakém tvaru budete hledat řešení rovnice y" + 4y = x2 sin 2a;? (Neznámé
koeficienty nepočítejte.)
II. část
1. U funkce f(x, y) = 3x2 — 6xy + y3 — 9y+7r najděte všechny body lokálních maxim a minim a funkční hodnoty v nich.
x
2. Najděte to řešení diferenciální rovnice y' ■ \J\ + x2 = —, pro které y(0) = —2.
y
(Varianta: počáteční úloha y' = 2x(e~x —y), 2/(0) = 1.)
3. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice 4y" + 12y' + 9y = 9x2 + 24x + 8.
VÝSLEDKY PŘÍKLADŮ II. ČÁSTI
1. Lokální maxium neexistuje, lokální minimum v jediném bodě [x,y] = [3,3] a má hodnotu /(3, 3) = 7r — 27. (Lokální extrém nenastává v jediném dalším stacionárním bodě [x,y] = [—1, —1].)
2. y = -yJ2 (l + VTTx2) (Varianta: y = (x2 + 1) e"
3. y (x) = Ci e~zx +C2xe~?x +x2.
Typeset by AmS-T^K.