Hesla k otázkám kurzu DM 2
01. Geometrie, její historie a výuka
Předmět geometrie. Milníky její historie od starověku po práci D. Hilberta.
Výuka G na ZŠ, její obsah a charakter.
Výuka G na SŠ, její odlišnosti od výuky na ZŠ. Odborný cíl výuky G na SŠ.
Neprofesní význam výuky G.
02. Základní planimetrické pojmy a poznatky
Axiomatické pojetí, pět skupin axiomů v Hilbertově systému.
I. stupeň ZŠ
Bod a přímka. Přímka AB, značení ↔ AB. Úsečka AB, jak říkáme bodům A a B,
jak jejím ostatním bodům.
Porovnání a sčítání úseček. Délka |AB| úsečky AB. Shodné úsečky AB a CD, zápis
AB ∼= CD.
Polopřímka AB (značení → AB), jak říkáme bodu A, jak ostatním jejím bodům.
Navzájem opačné polopřímky.
Co je střed dané úsečky a jak ho sestrojíme. Co je osa úsečky a jak ji sestrojíme.
Polorovina, zápis → pX nebo → ABX, pojmenování jejích bodů. Navzájem opačné
poloroviny.
Kterou část roviny nazýváme úhlem. Pojmenování obou polopřímek a jejich společného
počátku, jak říkáme ostatním bodům úhlu. Zápis úhlu třemi body. Dvojice
úhlů se stejnými rameny, jejich vymezení pomocí průniku a sjednocení polorovin.
Obecný význam termínu konvexní a nekonvexní rovinný útvar.
Shodné úhly, velikost úhlů. Jak třídíme úhly podle jejich velikosti: úhel nulový,
ostrý, pravý, tupý, konvexní, přímý, nekonvexní, úplný — u zkoušky ten výčet bude
smazán :-).
Porovnání a sčítání úhlů. Jak měříme úhly (ve stupních a menších jednotkách). Co
je osa úhlu a jak ji sestrojíme.
Přímky různoběžné, rovnoběžné a navzájem kolmé (a ∦ b, a b, a ⊥ b). Jak sestrojíme
rovnoběžku procházející daným bodem. Jak sestrojíme kolmici procházející
daným bodem.
Jak určujeme vzdálenost bodu od přímky. Kdy a jak určujeme vzdálenost dvou
přímek téže roviny.
Dvojice úhlů: co jsou vrcholové a vedlejší úhly, souhlasné a střídavé úhly, a jaké
mají vlastnosti.
Kružnice, její střed, poloměr a průměr (dva významy). Tětiva kružnice a kružnicový
oblouk. Kruh.
Trojúhelník a jeho základní prvky, pojmenování jeho prvků, hranice a obvod. Zápis
△ABC – má v něm význam pořadí vrcholů? Třídění trojúhelníků podle velikostí
vnitřních úhlů.
Čtyřúhelník a jeho základní prvky. Konvexní a nekonvexní čtyřúhelníky. Hranice a
obvod.
II. stupeň ZŠ
Trojúhelníkové nerovnosti. Nerovnosti mezi stranami a mezi vnitřními úhly téhož
trojúhelníku (s důkazem ze cvičení). Věta o součtu vnitřních úhlů trojúhelníku.
Věta o vnějším úhlu trojúhelníku. Věta o součtu vnitřních úhlů čtyřúhelníku.
Trojúhelníky rovnoramenné, jejich základna a ramena. Trojúhelník rovnostranný.
1
Intuitivní přístup ke shodnosti dvou útvarů na ZŠ. Shodné trojúhelníky, zápis
△ABC ∼= △KLM a pořadí vrcholů v něm. Co platí pro dva shodné trojúhelníky.
Věty sss, sus, usu a Ssu o shodnosti dvou trojúhelníků.
Střední příčky trojúhelníků a jejich vlastnosti (s důkazem ze cvičení).
Těžnice trojúhelníku a jejich vlastnosti (s důkazem). Těžiště trojúhelníku.
Kružnice opsaná a kružnice vepsaná danému trojúhelníku. Existence a konstrukce
těchto kružnic (s důkazem z otázky 3).
Výšky trojúhelníku (dvojí význam) a jejich vlastnosti (s důkazem z otázky 3).
Průsečík výšek (ortocentrum) daného trojúhelníku.
Vzájemná poloha přímky a kružnice, pojmenování dotyčné přímky ve třech případech.
Vzdálenosti středu kružnice od dotyčné přímky ve třech případech v porovnání
s poloměrem kružnice.
Vzájemná poloha dvou (nesoustředných) kružnic, rozlišení možných případů.
03. Množiny všech bodů dané vlastnosti
Dva aspekty tvrzení „Množina M v rovině ̺ je množina všech těch jejích bodů,
které mají vlastnost V .
S důkazy uveďte vlastnost V charakterizující danou množinu bodů, nebo naopak
tuto množinu nazvanou podle její charakteristické vlastnosti V explicitně popište:
(1) Osa úsečka AB,
(2) kružnice k(S, r),
(3) osa úhlu AV B (při jakém omezení na jeho velikost?),
(4) osa dvou různých rovnoběžek,
(5) osa dvou různoběžek,
(6) ekvidistanta dané přímky,
(7) ekvidistanta dané kružnice,
(8) Thaletova kružnice (obecněji ekvigonála úsečky v otázce 6).
Významné aplikace: Existence a konstrukce kružnic opsaných a vepsaných danému
trojúhelníku. Důkaz věty o výškách trojúhelníku. Konstrukce tečen z daného
bodu k dané kružnici.
04. Konstrukční úlohy (polohové a nepolohové), etapy řešení
Polohové a nepolohové úlohy – jejich rozdíly v zadání a při rozlišování stejných,
resp. různých výsledných řešení.
Vyjmenujte jednotlivé etapy úplného řešení konstrukční úlohy, popište náplň a zásady
realizace každé z nich.
05. Úhly příslušné oblouku kružnice
Dva oblouky AB téže kružnice, jakým zápisem je rozlišujeme. Střed oblouku.
Středový úhel, jeho slovní vymezení. Shodnost dvou oblouků téže kružnice a shodnost
jejich středových úhlů.
Obvodový úhel, jeho slovní vymezení. Věta o obvodovém a středovém úhlu, její
důkaz. Shodnost dvou oblouků téže kružnice a shodnost jejich obvodových úhlů.
Co platí pro obvodové úhly příslušné oběma obloukům AB téže kružnice.
Úsekový úhel, jeho slovní vymezení. Věta o úsekovém a obvodovém úhlu, její důkaz.
Rozšířená sinová věta.
2
06. Ekvigonála úsečky a mocnost bodu ke kružnici
Nerovnosti mezi obvodovým úhlem AV B a obecným úhlem AXB, jejich důkazy.
Věta o rovnosti úhlů AV B a AXB pro případ X ∈ →ABV .
Věta o ekvigonále úsečky. Konstrukce ekvigonály.
Věta o tětivovém čtyřúhelníku, její důkaz.
Invariant všech sečen kružnice k procházejících daným bodem X /∈ k, důkazy pro
obě možné polohy bodu X.
Mocnost bodu ke kružnici. Povaha této skalární veličiny a její možné hodnoty.
Věta o mocnosti bodu a sečnách, které tímto bodem procházejí.
Konstrukce kružnice, která prochází danými dvěma body a dotýká se dané přímky.
07. Podobné trojúhelníky, Pythagorova a Eukleidovy věty
Intuitivní přístupy k zavedení shodných, resp. podobných útvarů.
K čemu slouží zavedení podobných trojúhelníků na základní škole.
Středoškolská definice podobných trojúhelníků, koeficient (poměr) podobnosti.
Vlastnosti podobných trojúhelníků. Věty o podobnosti dvou trojúhelníků.
Které veličiny dvou podobných trojúhelníků jsou ve stejném poměru jako jejich
strany. Poměr obsahů dvou podobných trojúhelníků.
Dva způsoby zápisu poměrů stran podobných trojúhelníků.
Praktický význam podobnosti útvarů. Užití podobných trojúhelníků v geometrii.
Věty o pravoúhlém trojúhelníku a jejich odvození pomocí podobnosti. Význam
těchto vět pro konstrukce délek určených vzorci z jiných délek.
Geometricky úměrné veličiny, konstrukce čtvrté geometrické úměrné. Konstrukční
rozdělení dané úsečky v daném poměru.
08. Shodná zobrazení, vlastnosti a klasifikace
Intuitivní přístup k shodným zobrazením. Dvojí význam termínu shodnost.
Středoškolská definice shodného zobrazení. Možná varianta: vzdálenostní definice.
Obecné vlastnosti shodných zobrazení s jejich důkazy. Shodnosti přímé a nepřímé.
Klasifikace shodných zobrazení na pět druhů, definice nejméně známého z nich.
Skládání shodných zobrazení, výsledky o skládání osových souměrností.
Konstrukce shodného zobrazení k zadané shodnosti △ABC ∼= △A′
B′
C′
. Proč je
takové zobrazení jediné?
Věta o určenosti shodného zobrazení.
09. Osové souměrnosti, vlastnosti a užití
Definice osové souměrnosti.
Vlastnosti osové souměrnosti. Souměrně sdružené body a útvary v dané osové souměrnosti.
Osově souměrné útvary.
Úlohy o nejkratších lomených čarách. Úlohy o odrazech. Konstrukce osově souměrných
útvarů. Konstrukce trojúhelníků v případech vymezených typem jednoho ze
tří zadaných prvků (o jaké typy se jedná?).
3
10. Středové souměrnosti, vlastnosti a užití
Definice středové souměrnosti.
Vlastnosti středové souměrnosti. Souměrně sdružené body a útvary v dané středové
souměrnosti. Středově souměrné útvary.
Konstrukce úsečky s daným středem. Konstrukce středově souměrných útvarů. Konstrukce
trojúhelníků se zadanou těžnicí.
11. Posunutí, vlastnosti a užití
Orientovaná úsečka, její délka. Orientované úsečky nulové a nenulové. Směr přímek,
polopřímek a orientovaných úseček.
Definice posunutí. Vlastnosti posunutí.
Konstrukce úsečky dané délky a směru. Posunutí kopie útvaru. Konstrukce lichoběžníků.
Čtyřúhelníky se zadanými úhlopříčkami a úhlem mezi nimi.
12. Otočení, vlastnosti a užití
Orientovaný úhel, jeho základní a obecná velikost.
Definice otočení. Vlastnosti otočení.
Konstrukce rovnoramenných trojúhelníků. Otočení kopie útvaru. Využití úhlu mezi
přímkou a jejím obrazem.
13. Podobná zobrazení, stejnolehlosti
Definice podobného zobrazení.
Vlastnosti podobných zobrazení.
Historicky původní definice stejnolehlých trojúhelníků.
Definice stejnolehlosti jako zobrazení, její vektorová alternativa.
Vlastnosti stejnolehlosti. Vlastnost, která odlišuje stejnolehlosti od ostatních podobných
zobrazení.
Praktická konstrukce obrazů ve stejnolehlosti.
14. Užití stejnolehlostí
Stejnolehlost úseček. Stejnolehlost kružnic.
Společné tečny dvou kružnic. Konstrukce úsečky rozdělené v daném poměru. Zvětšení
či zmenšení podobné kopie. Využití dotyku dvou kružnic. Složení stejnolehlosti
s otočením. Vpisování útvarů užitím stejnolehlé kopie.
Konec dokumentu
4