25. Goniometrické rovnice
Teoretická část
 Typy goniometrických rovnic:
1. rovnice v základním tvaru a využití jednotkové kružnice k nalezení jejich řešení,
2. rovnice vedoucí ke kvadratické či bikvadratické rovnici, možnost řešení pomocí substituce,
3. využívající vztahů mezi goniometrickými funkcemi, užití znalostí o goniometrických funkcích,
4. jiné
Praktická část
Základní poznatky
1. Řešte v R rovnice
a) 2 sin 𝑥 = √3 [𝑡𝑦𝑝 1, 𝐾 = ⋃ {
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋;
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋}𝑘∈𝑍 ]
b) −√3 𝑡𝑔 𝑥 = 1 [𝑡𝑦𝑝 1, 𝐾 = ⋃ {
5𝜋
6
+ 𝑘𝜋}𝑘∈𝑍 ]
2. Přiřaďte ke každé rovnici 1. – 4. její řešení a) – f) v oboru 𝑅: (zdroj státní maturita září 2016)
1. 𝑡𝑔 𝑥 = 0
2. cos 𝑥 = 1
3. sin 2𝑥 = 0
4. 𝑐𝑜𝑡𝑔
𝑥
2
= 1
a) 𝑥 =
𝑘𝜋
2
, 𝑘 ∈ 𝑍
b) 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍
c) 𝑥 = 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍
d) 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍
e) 𝑥 =
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍
f) 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍
[1𝑏, 2𝑐, 3𝑎, 4𝑒]
3. Kolik řešení má rovnice 𝑡𝑔 2𝑥 = 0 v oboru 〈0; 2𝜋〉? (zdroj maturita M+, květen 2017)
[5]
Typové příklady standardní náročnosti
4. Řešte v R rovnice
a) 2 sin (2𝑥 −
𝜋
3
) = 1 [𝑡𝑦𝑝 1, 𝐾 = ⋃ {
𝜋
4
+ 𝑘𝜋;
7𝜋
12
+ 𝑘𝜋}𝑘∈𝑍 ]
b) 3 sin 𝑥 = 2 cos2
𝑥 [𝑡𝑦𝑝 2, 𝐾 = ⋃ {
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋;
5𝜋
6
+ 2𝑘𝜋}𝑘∈𝑍 ]
c) 2 sin2
𝑥 = 2 − cotg2
𝑥 [𝑡𝑦𝑝 2, 𝐾 = ⋃ {
𝜋
4
+
𝑘𝜋
2
;
𝜋
2
+ 𝑘𝜋}𝑘∈𝑍 ]
d) sin 𝑥 + cos 2𝑥 = 1 [𝑡𝑦𝑝 2, 𝐾 = ⋃ {𝑘𝜋;
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋;
5𝜋
6
+ 2𝑘𝜋}𝑘∈𝑍 ]
e) 𝑐𝑜𝑡𝑔3
𝑥 − 2𝑐𝑜𝑡𝑔2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = 0 [𝑡𝑦𝑝 2, 𝐾 = ⋃ {
π
2
+ 𝑘𝜋;
𝜋
4
+ 𝑘𝜋}𝑘∈𝑍 ]
f) cos 𝑥 + √3 sin 𝑥 = 2 [𝑡𝑦𝑝 3, 𝐾 = ⋃ {
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋}𝑘∈𝑍 ]
Rozšiřující cvičení
5. Řešte v R rovnici
sin (𝑥 +
𝜋
2
) = sin(𝜋 − 3𝑥) [𝑡𝑦𝑝 4, 𝐾 = ⋃ {
𝜋
8
+
𝑘𝜋
2
;
𝜋
4
+ 𝑘𝜋}𝑘∈𝑍 ]
Poznámka
Pro případné zadání rovnic do Wolframalpha.com a podobných programů použijte do zadání rovnice
v příkazovém řádku následující syntaxi:
 goniometrické funkce sin(𝑥) , cos(𝑥) , tan(𝑥) , cot(𝑥)
 mocniny goniometrických fcí 𝑠𝑖𝑛^2(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠^2(𝑥)
 odmocnina (angl. square root) 𝑠𝑞𝑟𝑡(𝑥), 𝑠𝑞𝑟𝑡(𝑥 + 1), 𝑠𝑞𝑟𝑡(2), 𝑠𝑞𝑟𝑡(3), …
Ve Wolframalpha si nastavte funkci reálné proměnné, tj. Real-valued plot, nikoliv Complex-valued plot.