27. Objemy a povrchy těles
Teoretická část
 Umět definovat a popsat tělesa
 hranol, kolmý hranol, pravidelný hranol, kvádr, krychle
 jehlan, pravidelný jehlan, komolý jehlan, čtyřstěn, pravidelný čtyřstěn
 rotační válec, rovnostranný válec
 rotační kužel, komolý kužel
 koule, kulová plocha, kulová výseč, kulová úseč (vrchlík), kulová vrstva
 Umět vypočítat jejich objem a povrch, případně další jejich důležité prvky.
 Orientovat se v MFCh tabulkách
Praktická část
Základní poznatky
1. Délka tělesové úhlopříčky krychle je 3√6 cm. Vypočítejte objem krychle. [54√2 𝑐𝑚3
]
2. Hranu krychle zvětšíme dvakrát. Kolikrát se zvětší
a) její objem? [8𝑥]
b) její povrch? [4𝑥]
3. O kolik procent se zvětší objem krychle, jestliže se hrana krychle zvětší o 15%? [𝑜 52%]
Typové příklady standardní náročnosti
4. Rozměry kvádru jsou v poměru 2: 3: 6, tělesová úhlopříčka má délku 14 𝑐𝑚. Určete povrch,
objem a odchylku tělesové úhlopříčky od roviny podstavy. [288 𝑐𝑚2
, 288 𝑐𝑚3
, 59°]
5. Nálevka má tvar rovnostranného kužele. Vypočítejte obsah plochy smáčené vodou v případě, že
do nálevky nalijete 3 litry vody. [6√ 𝜋
3
𝑑𝑚2
]
6. (Státní maturita, květen 2017) Kapka rtuti tvaru koule o průměru 3 mm se rozdělila na dvě
stejně velké kapičky tvaru koule. Jaký je poloměr nově vytvořené kapičky rtuti? Výsledek
zaokrouhlete na setiny. [1,19 𝑚𝑚]
7. (Státní maturita, květen 2017) Cvičební pomůcka z šedé pěny je rotační těleso, které lze popsat
jako dutý válec. Dutý válec má výšku 70 cm, vnější průměr 180 cm a vnitřní průměr (tj. průměr
dutiny) 120 cm. Jaký je povrch tělesa (včetně plochy uvnitř dutiny)? Výsledek zaokrouhlete na
desetiny 𝑚2
. [9,4 𝑚2]
8. (Státní maturita, září 2016) V rovnostranném válci je vytvořena dutina
tvaru polokoule. Poloměr podstavy válce i poloměr polokoule je 𝑟 = 10
cm, výška válce je 2𝑟. Jaký je povrch vytvořeného tělesa (tj. válce
s dutinou)? [700 𝜋 𝑐𝑚2]
9. (Státní maturita, květen 2016) Z kvádru 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 se vyřízne jehlan
𝐴𝐵𝐶𝐷𝑉. Vrchol 𝑉 je středem stěny 𝐸𝐹𝐺𝐻. Určete,
a) kolikrát je objem kvádru větší než objem jehlanu? [3 𝑘𝑟á𝑡]
b) Je-li |𝐵𝐷| = 4√7 cm a |𝐵𝑉| = 8 cm, vypočtěte v cm výšku jehlanu.
[𝑣 = 6 𝑐𝑚]
10.Vypočítejte objem pravidelného trojbokého jehlanu, který má podstavnou hranu 𝑎 = 4 cm
a odchylku pobočné stěny od roviny podstavy 𝛽 = 45°. [
8
3
𝑐𝑚3
]
11. Krychli vepište a opište kouli. Vypočítejte poměr objemů koule opsané, krychle a koule
vepsané.
[3𝜋√3: 6: 𝜋]
Rozšiřující cvičení
12.Pravidelný komolý čtyřboký jehlan má podstavné hrany délek 6 cm a 4 cm. Boční hrana svírá
s rovinou podstavy úhel 60°. Vypočtěte objem a povrch komolého jehlanu.
[
76
3
√6 𝑐𝑚3
, 52 + 20√7 𝑐𝑚2
]
13. Do koule daného objemu V je vepsán rotační kužel, jehož osový řez má při vrcholu úhel 𝛼.
Určete objem tohoto kužele. [𝑉2 =
1
2
𝑉 sin2
𝛼 cos2 𝛼
2
]
14. Vypočítejte objem a povrch čočky, která vznikne průnikem dvou koulí o poloměrech
8 cm a 4 cm. Vzdálenost středů je 10 cm. [30,58 𝑐𝑚3
; 65,3 𝑐𝑚2]