45. Hyperbola
Teoretická část
• Hyperbola: definice, pojmy: ohniska h., střed h., vrcholy h., hlavní a vedlejší poloosa h.,
excentricita h., asymptoty h., rovnoosá hyperbola.
• Rovnice hyperboly ve středovém a v obecném tvaru.
• Vzájemná poloha bodu a hyperboly, vzájemná poloha přímky a hyperboly.
• Tečny hyperboly, přímky asymptotického směru.
Tečna vedená bodem na hyperbole.
Tečna vedená bodem mimo hyperbolu
Tečna rovnoběžná s danou přímkou.
Tečna kolmá na danou přímku.
Praktická část
Základní poznatky:
1) Hyperbola je dána rovnicí ve středovém tvaru:
( )
( ) 12
4
3 2
2
=−−
−
y
x
. Zapište její obecnou
rovnici, určete všechny její základní parametry a načrtněte ji v soustavě souřadnic.
[x2
- 4y2
- 6x + 16y – 11 = 0, S[3; 2], a = 2, b = 1, e = 5 , A1[1; 2], A2[5; 2], F[3 - 5 ; 2],
G[3+ 5 ; 2], a1: x - 2y + 1 = 0, a2: x + 2y – 7 = 0]
2) Obecná rovnice hyperboly je H: -16x2
+ 9y2
+ 32x - 36y = 124. Zapište středovou
rovnici, určete všechny základní parametry hyperboly a načrtněte ji v soustavě souřadnic.
( ) ( )
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]












+−=+=
−−====
−
+
−
−
3
10
3
4
:,
3
2
3
4
:
,7;1,3;1,6;1,2;1,5,3,4,2;1,1
16
2
9
1
21
21
22
xyaxya
GFAAebaS
yx
3) Ověřte, zda bod T[-2; 2] je bodem hyperboly 4x2
– y2
– 12 = 0 a určete rovnici tečny hyperboly
vedené bodem T. [4x + y + 6 = 0]
4) MA + 2016 Jaro: Hyperbola je dána rovnicí (x + 4)2
– y2
= 16. Rozhodněte o každém
z následujících tvrzení, zda je pravnivé (A), či nikoli (N).
4.1 Hyperbola má se souřadnicovou osou y právě jeden společný bod. ____
4.2 Vzdálenost obou vrcholů hyperboly je 8. ____
4.3 Přímka p: y = x má s hyperbolou právě jeden společný bod. ____
[A, A, A]
Typové příklady standardní náročnosti
5) Určete rovnici hyperboly, která má ohniska F [-10; 2] a G [16; 2] a mezi jejímiž vrcholy je
vzdálenost 24.
( ) ( )








=
−
−
−
1
25
2
144
3
22
yx
6) Dokažte, že přímka 2x – y – 8 = 0 je tečnou hyperboly 8x2
– 18y2
= 144. Vypočtěte souřadnice
jejího dotykového bodu s hyperbolou. 











1;
2
9
T
7) Určete rovnice tečen hyperboly H: 4x2
– y2
– 8x +1 = 0, které jsou rovnoběžné s přímkou
p: 4x – y + 3 = 0 [y = 4x – 1; y = 4x – 7]
8) Napište rovnice tečen hyperboly 2(x + 2)2
- 9(y - 4)2
= 18, které jsou kolmé k přímce
p: 2x + y – 7 = 0. [x – 2y + 11 = 0, x – 2y + 9 = 0]
9) Je dána hyperbola H: x2
– 9y2
= 1 a bod M [3;1]. Určete rovnice všech přímek, které procházejí
bodem M a mají s hyperbolou právě jeden společný bod. [5x – 12y – 3 = 0; x + 3y – 6 = 0]