46. Komplexní čísla
Teoretická část
 Pojem komplexní číslo, jeho obraz v Gaussově rovině, reálná a imaginární část komplexního čísla,
množina komplexních čísel.
 Tvary komplexních čísel a vzájemné převody (definiční tvar, algebraický tvar (a pojem imaginární
jednotka), goniometrický tvar. Čísla komplexně sdružená.
 Absolutní hodnota komplexního čísla, její geometrický význam. Komplexní jednotka.
 Operace s komplexními čísly: sčítání, odčítání, násobení, dělení, mocnina a odmocnina. Moivreova
věta. (Pro každou operaci použít nejvhodnější tvar čísla.)
 Kvadratická rovnice s reálnými koeficienty, binomická rovnice.
Praktická část
Základní poznatky
1. Zapište v algebraickém tvaru číslo 𝑧 = (5𝑖 − 1): (2 −
𝑖+3
2+𝑖
) [1 + 8𝑖]
2. Zapište v goniometrickém tvaru číslo 𝑧 = (
3−𝑖5
1+3𝑖
)
10
[cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋 ]
3. Řešte v 𝐶 rovnici |𝑧| = 1 + 2𝑖 + 𝑧̅ [𝐾 = {
3
2
+ 2𝑖}]
4. Státní maturita M+ 2016
[𝐷]
Typové příklady standardní náročnosti
5. Vypočítejte
a) (
1+𝑖
2−𝑖
)
̅̅̅̅̅̅̅
[
1
5
−
3
5
𝑖]
b) |√5 + 2 + 2𝑖 − 𝑖√5| [3√2]
6. Zjistěte, zda číslo
1
2
+
√3
2
𝑖 je komplexní jednotka. [ 𝑎𝑛𝑜]
7. Státní maturita M+ 2017
[
𝑘: 𝑥2
+ 𝑦2
= 9,
𝑝: 𝑥 + 1 = 0
]
8. Státní maturita M+ 2015
[𝐴, 𝑁, 𝐴]
9. Státní maturita M+ 2014
[𝐵]
10. Určete součin 𝑢 ∙ 𝑣 a podíl
𝑢
𝑣
komplexních čísel 𝑢 = 2 (cos
𝜋
6
+ i sin
𝜋
6
), 𝑣 = 3 (cos
𝜋
3
+ i sin
𝜋
3
)
[6𝑖,
√3
3
−
1
3
𝑖]
11. Vyjádřete pomocí jednoduchého argumentu 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 a 𝑐𝑜𝑠 3𝑥.
[3𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 4 sin3
𝑥 ; 4 cos3
𝑥 − 3 cos 𝑥]
12. Řešte v 𝐶 rci 𝑥4
+ 16𝑥2
− 225 = 0. [𝐾 = {3; −3; 5𝑖; −5𝑖}]
13.Řešte v 𝐶 rci 𝑥4
+ 8 − 8√3 𝑖 = 0. [𝐾 = {√3 + 𝑖; −1 + √3𝑖; −√3 − 𝑖; 1 − √3𝑖}]