15.B Úhly v kružnicích
Body 𝐴, 𝐵 dělí kružnici na dva oblouky:
 menší oblouk 𝐴𝐵̂
 větší oblouk 𝐴𝐵̂
Pozn.
1) Je-li 𝐴𝐵 průměr kružnice 𝑘, pak jsou oba oblouky
stejné, tj. polokružnice. Kružnice 𝑘 je Thaletovou
kružnicí nad 𝐴𝐵.
2) Je-li 𝑉 vnitřní bod oblouku, pak lze tento oblouk
označit 𝐴𝑉𝐵̂.
∢𝐴𝑆𝐵 = 𝜔 … středový úhel příslušný k menšímu 𝐴𝐵̂
∢𝐴𝑉𝐵 = 𝛼 … obvodový úhel příslušný k menšímu 𝐴𝐵̂
(𝑉 – libovolný vnitřní bod většího 𝐴𝐵̂ )
∢𝐵𝐴𝑋 = 𝜑 … úsekový úhel příslušný k menšímu 𝐴𝐵̂
(𝑋 – libovolný bod na tečně ke kružnici 𝑘 v bodě 𝐴 zvolený tak, aby menší 𝐴𝐵̂ byl
součástí tohoto úhlu)
Platí:
1) Všechny obvodové úhly příslušné k témuž oblouku kružnice jsou shodné a jejich velikost je
rovna polovině velikosti středového úhlu příslušného k témuž oblouku. Tj. 𝛼 =
𝜔
2
a 𝜔 = 2𝛼.
Důkaz:
 ∆𝐴𝑉𝑆 je rovnoramenný
⇒ |∢𝐴| = |∢𝑉| = 𝛼1
 𝜔1 je vnější úhel ∆𝐴𝑉𝑆 při vrcholu S
⇒ 𝜔1 = |∢𝐴| + |∢𝑉| = 2𝛼1
 obdobně ∆𝐵𝑉𝑆 je rovnoramenný, …, 𝜔2 = 2𝛼2.
 𝜔 = 𝜔1 + 𝜔2 = 2𝛼1 + 2𝛼2 = 2(𝛼1 + 𝛼2) = 2𝛼.
2) Úsekový úhel příslušný k danému oblouku kružnice je shodný s obvodovými úhly
příslušnými k témuž oblouku, tj. 𝜑 = 𝛼.
Pozn. Na této větě stojí princip konstrukce množiny bodů, ze kterých je úsečka viděna pod úhlem 𝛼.
3) Všechny obvodové úhly nad průměrem kružnice jsou pravé.
4) Obvodové úhly příslušné k menšímu a většímu 𝐴𝐵̂ téže kružnice jsou výplňkové, neboli
jejich součet je 180°.