26.B Obecný trojúhelník (trigonometrie)
Trigonometrie - oblast goniometrie, která je věnována užití goniometrických funkcí při řešení úloh o
trojúhelnících
Základní vztahy:
Sinová věta: Pro každý trojúhelník ABC, jehož strany mají délky a, b, c a jehož vnitřní úhly
mají velikost α, β, γ, platí:
γβα sinsinsin
cba
== , neboli γβα sin:sin:sin:: =cba
Kosinová věta: Pro každý trojúhelník ABC, jehož strany mají délky a, b, c a jehož vnitřní úhly
mají velikost α, β, γ, platí:
β
α
γ
cos.2
cos.2
cos.2
222
222
222
accab
bccba
abbac
−+=
−+=
−+=
Pozn. Kosinovou větu požíváme v případě, že je trojúhelník zadán prvky sss nebo sus.
Sinovou větu používáme v ostatních případech.
Některé další základní užitečné vztahy:
Pro každý trojúhelník ABC, jehož strany mají délky a, b, c a jehož vnitřní úhly mají velikost
α, β, γ, platí:
Obsah ∆ ABC je ( )( )( )csbsassS −−−= ... , kde
2
cba
s
++
= (Heronův vzorec);
Obsah ∆ ABC je αβγ sin..
2
1
sin..
2
1
sin..
2
1
bcacabS ===
Následující vzorce jsou uvedeny pouze pro zajímavost jako příklad několika z velkého množství vzorců
z oblasti goniometrie. Nepatří k základním znalostem, které by měl student gymnázia zvládnout:
vztahy pro výpočet poloměru kružnice opsané, vepsané:
S
abc
r
4
=
γβα sin2sin2sin2
cba
r ===
cv
ab
r
2
=
s
S
=ρ
( )
2
tan
α
ρ as −=
některé další vztahy:
cba
vvv cba
1
:
1
:
1
:: =
2
cos
2
sin
γ
βα −
=
−
c
ba
;
2
sin
2
cos
γ
βα −
=
+
c
ba
(Mollweidovy vzorce)
2222
224 cbatc −+=
2
tan
2
tan
βα
βα
+
−
=
+
−
ba
ba
(tangentová věta)