27.B Objemy a povrchy těles
V…..objem
P….. obsah podstavy
Q…..obsah pláště
u….. tělesová úhlopříčka
u1…..stěnová úhlopříčka
S…..povrch tělesa
v…..výška tělesa
r….. poloměr
d…..průměr
Hranol - je těleso, jehož podstavy tvoří dva shodné konvexní n-úhelníky ležící v rovnoběžných
rovinách; pobočné hrany jsou rovnoběžky spojující příslušné vrcholy těchto n-úhelníků. Výška je
vzdálenost jeho podstav.
V = P . v
S = 2P + Q
• Kolmý hranol - roviny podstav jsou kolmé na pobočné
hrany.
• Kosý hranol - rovina podstavy svírá s pobočnou hranou
kosý úhel.
• Pravidelný hranol - je kolmý hranol, jehož podstavou je
pravidelný n-úhelník.
Kvádr – je kolmý hranol, jehož podstavou je pravoúhlý rovnoběžník.
V = abc
S = 2(ab + ac + bc)
u = 222
cba 
u1 = 22
ba 
Krychle - je kolmý hranol, jehož podstavou je čtverec a všechny hrany jsou shodné
V = a3
S = 6a2
u = a 3
u1 =a 2
v
a
b
cu
u1
a
a
a
u1
u
Jehlan – je těleso, jehož podstavu tvoří konvexní n-úhelník, pobočné hrany jsou spojnice
hlavního vrcholu s jednotlivými vrcholy podstavy. Výška je vzdálenost hlavního vrcholu od roviny
podstavy.
V = vP.
3
1
S = P + Q
• Pravidelný jehlan - je jehlan, jehož podstavou je
pravidelný n-úhelník a výška prochází středem
podstavy. Pro něj platí: '.
2
1
voQ 
o ... obvod základny
'v ... výška pobočné stěny
• Čtyřstěn – je trojboký jehlan
• Pravidelný čtyřstěn – je trojboký jehlan, jehož všechny
čtyři stěny tvoří shodné rovnostranné trojúhelníky
Komolý jehlan – vznikne seříznutím jehlanu rovinou rovnoběžnou s rovinou podstavy ve
vzdálenosti v, která je menší než výška původního jehlanu. Pak v je výška komolého jehlanu.
 2211 .
3
PPPP
v
V 
S = P1 + P2 + Q
• Pravidelný komolý jehlan – je komolý jehlan, jehož
obě podstavy jsou čtvercové. Pro něj platí:
  '..
2
1
1 vooQ 
o, o1 …obvody podstav
'v ... výška pobočné stěny
Rotační válec - je těleso, které dostaneme rotací obdélníku kolem jeho jedné strany.
V = πr2
.v
Q = 2πrv
S = 2πr2
+ 2πrv = 2πr . (r + v)
• Rovnostranný válec – je válec, jehož výška je rovna
průměru podstavy. Jeho osový řez je čtverec.
• Kolmý eliptický válec – je válec, jehož podstavy jsou
elipsy a jehož osa je kolmá k rovinám podstav.
V = πabv
  





 abbavQ .
2
3
.
  ababbavS  2.
2
3
. 






a … velikost hlavní poloosy
b … velikost vedlejší poloosy
v
v
d
r
v
'v
Rotační kužel – je těleso, které dostaneme rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem jedné
odvěsny
vrV ..
3
1 2

Q = πrs
S = πr2
+ πrs = πr.(r + s)
(s – je strana kužele)
Komolý rotační kužel – vznikne z rotačního kužele seříznutím rovinou rovnoběžnou s
podstavou ve vzdálenosti v, která je menší než výška původního kužele.
)..(.
3
1 2
221
2
1 rrrrvV  
Q = πs.(r1 + r2)
 21
2
2
2
1 ... rrsrrS  
(s – strana komolého kužele;
 2
21
2
rrvs  )
Kulová plocha – je množina všech bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou
vzdálenost r. Bod S je střed, r je poloměr kulové plochy.
Koule – je množina bodů v prostoru, které mají od bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r.
3
.
3
4
rV 
S = 4 π r2
 Části koule: • Kulová úseč
  












3
..3.
6
.
2
..
3
4
2
.. 222
3
2 v
rvv
vvv
V 


d
r
v
s
v
s
d
v
r1
r2
rS
r
ρ
v
S
• Kulová vrstva
 22
2
2
1 33.
6
.
v
v
V  

• Kulová výseč
vrrvrV 2
3
2
.2.
3
1
 
 Části kulové plochy: • Kulový vrchlík (povrch kulové úseče)
vrQ 2
   vrvrvS  4.2. 2

• Kulový pás (povrch kulové vrstvy)
vrQ 2
 2
2
2
12.   vrS
S
ρ1
ρ2
v
r
r
ρ
v