34.B Spojitost funkce, limita funkce
Spojitost funkce
Celá řada úloh z diferenciálního počtu souvisí s pojmem „spojitost funkce f v daném bodě a“.
Příklady grafů funkcí v bodě a spojitých (graf „plynule prochází“ přes bod, jehož x-ová souřadnice je a) :
Příklady grafů funkcí v bodě a nespojitých (graf je v bodě s x-ovou souřadnicí a „nějak“ přerušen):
V definici spojitosti (a také limity) funkce se používá okolí bodu a:
• δ-okolím bodu a (δ ∈ R+
) nazveme otevřený interval (a – δ; a + δ), tedy množinu všech x, pro něž
platí: δ〈−ax
• levým δ-okolím bodu a (δ ∈ R+
) nazýváme interval ( a – δ ; a〉
• pravým δ-okolím bodu a (δ ∈ R+
) nazýváme interval ); δ+〈 aa
Def.: Funkce f: y = f(x) je spojitá v bodě a, jestliže:
1. je definovaná v nějakém okolí bodu a (včetně samotného bodu a)
2. ke každému ε-okolí bodu f(a) existuje δ-okolí bodu a tak, že pro všechna x z δ-okolí bodu a
patří funkční hodnoty f(x) do ε-okolí bodu f(a)
Tedy: Funkce f: y = f(x) je spojitá v bodě a, jestliže
1. je v bodě a definovaná
2. ( )( )( ) ( ) ( )( )εδδε 〈−〈−∀〉∃〉∀ afxfaxx:00
Věty o spojitosti funkce v bodě:
Jsou-li funkce f(x) a g(x) spojité v bodě a, pak jsou v tomto bodě spojité i funkce
a) f(x) + g(x)
b) f(x) – g(x)
c) f(x) . g(x)
d) 0)(
)(
)(
≠agpro
xg
xf
V každém bodě x∈R jsou spojité funkce f(x) = c , f(x) = anxn
+ an-1xn-1
+ an-2xn-2
+ … a1x + a0 ,
f(x) = sin x , f(x) = cos x , …
a a
a
a
a
a x
x
xx
x x
y y y
y y y
aa - δ a + δ
a - δ aa - δ
a a + δ
Limita funkce
Limita funkce v daném bodě a je (intuitivně) číslo L, k němuž se neomezeně blízko blíží hodnoty funkce,
jestliže se hodnoty argumentu neomezeně blízko blíží k a. Zápis: ( ) Lxf
ax
=
→
lim
Druhy limit:
Vlastní limita ve vlastním bodě: ( ) ,9lim =
→
xf
cx
( ) 4lim −=
→
xf
gx
( ) ( )( )( ) ( )( )εδδε 〈−〈−≠∀〉∃〉∀⇔=
→
LxfaxaxLxf
ax
:00lim
Vlastní limita v nevlastním bodě: ( ) 7lim −=
∞→
xf
x
( ) ( )( ) ( )( )εε 〈−〉∀∃〉∀⇔=
∞→
LxfxxxLxf
x
:0lim 00 Analogicky: ( )xf
x ∞−→
lim
Nevlastní limita ve vlastním bodě: ( ) ∞=
→
xf
dx
lim
( ) ( )( )( ) ( )( )KxfaxaxKxf
ax
〉〈−≠∀〉∃∀⇔∞=
→
δδ :0lim Analogicky: ( ) ∞−=
→
xf
ax
lim
Nevlastní limita v nevlastním bodě: ( ) ∞+=
∞−→
xf
x
lim
( ) ( )( )( ) ( )( )KxfxxxKxf
x
〉〈∀∃∀⇔∞=
∞−→
00lim Analogicky: ( ) ( ) ,lim,lim ∞−=∞−=
∞→∞−→
xfxf
xx
( ) ∞=
∞→
xf
x
lim
Jednostranné limity: a) vlastní limita zleva: ( ) ( ) 4lim,9lim −== −−
→→
xfxf
gxcx
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )εδδε 〈−−∈∀〉∃〉∀⇔=−
→
LxfaaxLxf
ax
;00lim
b) vlastní limita zprava: ( ) ( ) 4lim,6lim −== ++
→→
xfxf
gxbx
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )εδδε 〈−+∈∀〉∃〉∀⇔=+
→
LxfaaxLxf
ax
;00lim
c) nevlastní limita zleva: ( ) ( ) ( ) ∞=∞−== −−−
→→→
xfxfxf
dxexbx
lim,limlim
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )KxfaaxKxf
ax
〉−∈∀〉∃∀⇔∞=−
→
;0lim δδ Analogicky: ostatní nevlastní
jednostranné limity
x
y
b c d e g
6
4
-4
-9
-7
f
a
9
Věty o limitách:
• Funkce f:y = f(x) má v každém bodě a nejvýš jednu limitu.
• Jestliže je funkce f: y = f(x) v bodě a spojitá, pak platí: ( ) ( )afxf
ax
=
→
lim
Př.: ( ) 753lim
4
=−
→
x
x
• Nechť jsou dány funkce f(x) a g(x) a nechť pro všechna x ≠ a z jistého δ-okolí bodu a platí:
f(x) = g(x). Má-li funkce g(x) v bodě a limitu L, tedy ( ) Lxg
ax
=
→
lim , pak má v bodě a limitu i funkce
f(x) a platí: ( ) ( ) Lxgxf
axax
==
→→
limlim .
Př.:
( ) ( ) ( ) 107lim
3
3.7
lim
3
214
lim
33
2
3
=+=
−
−+
=
−
−+
→→→
x
x
xx
x
xx
xxx
• Jestliže pro každé x ≠ a jistého δ-okolí bodu a platí: g(x) < f(x) < h(x) a jestliže existují limity
( ) ( ) Lxhxg
axax
==
→→
limlim , pak existuje také limita f(x) a platí: ( ) Lxf
ax
=
→
lim .
(Pozn. Tuto větu lze použít např. pro důkaz, že 1
sin
lim
0
=
→ x
x
x
)
• Nechť jsou dány funkce f(x) a g(x), které mají limitu v tomtéž bodě a. Nechť platí:
( ) Lxf
ax
=
→
lim a ( ) Mxg
ax
=
→
lim . Pak mají v tomto bodě limitu i funkce představující jejich
součet, rozdíl, součin a pro M ≠ 0 i podíl a platí:
1. ( ) ( )( ) MLxgxf
ax
+=+
→
lim
2. ( ) ( )( ) MLxgxf
ax
−=−
→
lim
3. ( ) ( )( ) MLxgxf
ax
..lim =
→
4.
( )
( ) M
L
xg
xf
ax
=
→
lim
• L´Hospitalovo pravidlo: Pokud je splněna jedna z podmínek a) ( ) ( ) 0limlim ==
→→
xgxf
axax
b) ( ) ( ) ∞==
→→
xgxf
axax
limlim ,
a jestliže existuje
( )
( )xg
xf
ax '
'
lim
→
, pak
( )
( )
( )
( )xg
xf
xg
xf
axax '
'
limlim
→→
= .
Př.: 2
2
4
43.2
23.2
42
22
lim
34
32
lim
32
2
3
==
−
−
=
−
−
=
+−
−−
→→ x
x
xx
xx
xx
• Limita polynomické lomené funkce v nevlastních bodech – řešení užitím vytýkání nejvyšší mocniny
proměnné: Př.:
1. 0
8
7
.0
15
8
2
7
lim.
1
lim
15
8.
2
7.
lim
158
27
lim
6
2
6
6
2
5
6
35
==
+
−
=






+






−
=
+
−
∞→∞→∞→∞→
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xxxx
2.
8
7
15
8
2
7
lim
15
8.
2
7.
lim
158
27
lim
6
2
5
5
2
5
5
35
=
+
−
=






+






−
=
+
−
∞→∞→∞→
x
x
x
x
x
x
x
xx
xxx
3. ∞−=





−∞=
−
=






+






−−
=
+
−−
∞→∞→∞→ 8
7
.
8
7
.lim
15
8.
2
7.
lim
158
27
lim 3
5
5
5
8
5
38
x
x
x
x
x
x
xx
xxx