36.B Neurčitý integrál a určitý integrál
Primitivní funkce a neurčitý integrál
Proces integrování funkce je opačný k procesu derivování funkce.
Primitivní funkce F: y = x3
Derivování - hledám derivaci
Derivace F'=f: y = 3x
Integrování - hledám primitivní funkci
Je-li F(x) funkce primitivní k funkci f(x), pak platí: F'(x) =f(x). Vzhledem k tomu, že přičtení jakékoliv konstanty k funkci i7 její derivaci nezmění, (tzn. (F(x) + C)'= F'(x) =f(x)\ je funkce F(x) + C rovněž funkcí primitivní k/fjcj. Evidentně tedy k dané funkci f(x) existuje nekonečně mnoho primitivních funkcí lišících se vzájemně o konstantu. Grafy všech těchto primitivních funkcí vzniknou z grafu jednoho parciálního řešení rovnoběžným posunutím podél osy y.
Př.:     Daná funkce	Některé k ní primitivní funkce
f: y = 3x2	Fj: y = x3, F2: y = x3 +11, F?: y = x3 - 45, ...
Neurčitý integrál funkce/(x) představuje parametrický systém všech (nekonečně mnoha) primitivních funkcí k dané funkci/(x).    Píšeme:       ^ f(x)dx = F(x)+C .
J   .... integrační znak
/   .... integrand neboli integrovaná funkce .. integrační proměnná
x
dx .... diferenciál
F(x).... primitivní funkce C .... integrační konstanta
Tabulka některých primitivních funkcí:
funkce
její primitivní funkce
x z intervalu
y = x", xeR, neN
x
n + l
y = xr, x > 0, reR, r ^ -1,
(0;°o)
r+1
y = c
y = cx
y = sin x
y = -cos x
y = cos x
y = sin x
y = tgx
y = - In cos x
(   7t 7t ^
- — +2kK\ — + lkK
v  2 2 j
y = cotg x
y = In sin x
{2kx;{2k + l)x) ,keZ
1
y=-
X
y - ln x
(O;-)
1
y = tgx
cos x
- — +2k7u;—+2k7U
v  2 2 j
y=——
sin x
y = cotg x
{2k7U\{2k+ \)tu) ,keZ
y = e
y = e
(— 00; 00)
y = a , a > 0, 1
y = ln x
lna
y = x. (In x - 1)
(— 00; 00)
(O;-)
Výpočet neurčitých integrálů:
1. Přímou integrací s případným využitím vlastností
I    . f(x)dx = c.§ f{x )dx .... konstanta se vynáší před znak integrálu
b) j(f(x)+g(x))dx-jf(x)dx + jg(x)dx ...        integrál součtu (rozdílu) se rovná součtu
(rozdílu) integrálů
x4
Př.: j"(5.cosx + x3)dx-5.jcosxdx + jx3dx =5.sinx-\--+ C
2. Substituční metodou - je založena na souvislosti s derivací složené funkce a používá se
f'(x)
pro výpočet integrálů typu    [ g(f(x)).f'(x)dx     nebo \——-^rdx .
J J g[f\x))
Princip: \g{f{x)).f'{x)dx= \gif)dt= G(t) + C= G{f{x))+C f(x) ~ t
f'(x)dx = dt
4
c                     c        t         sin x Př. 1) jsin3 x.cosxdx = jr dt =— + C=-+ C
sin x = t cos x dx = dt
í
dx
5dx
2)
1 r dt _ 1
(5*+12)3    5J(5^+12)3 "5J7~5
|ř 3dt-
1 ř"
=—.-+ C = -
5 -2
- + C =
10. ŕ 10.(5x+12):
- + C
5x + 12 = t 5dx = dt
3. Metodou per partes - je založena na souvislosti s derivací součinu: (u . v)' = u'. v + u . v'
jj integrací j" (u. v)'dx = j" u. v dx + j" u. v'dx
j u.v' dx=uv-ju'.vdx
uv
Př.: j" x. cos x dx = x. sin x — j" sin x dx = x. sin x + cos jc + C
u v
u = x v' = cos x u'= 1 v = sin x
Určitý integrál
Určitý integrál j f(x)dx je číslo spojované často s obsahem plochy S „pod" křivkou
a
f: y =f(x) v intervalu (a;b). Vypočítá se pomocí Newton - Leibnizovy formule:
]f{x)dx=[F{x)l=F{b)-F{a)
Užití určitého integrálu pro:
1. výpočet obsahu plochy S „pod" křivkou/: y =f(x):
y-
f:y=fM
2. výpočet obsahu rovinného obrazce ohraničeného křivkami:
g:y=g(x
f:y=fM
u
\{f{x)-g{x))dx
3. výpočet délky rovinné křivky:
y 4
f.J=f(x)
—►
b x
b _ b
i = jji+f2(x)dx = JV1+/2 dx
4. výpočet objemu V a pláště Q rotačního tělesa:
f:y=f(x)
V= x.\f2{x)dx = x.\ y dx
b _ b
Q= 271.\f{x).Jl + f'2 {x) dx = 271J y^l + y 2 dx