45.B Hyperbola
Hyperbola H(F,G, 2a) je množina všech bodů X roviny ρ, pro něž platí, že absolutní hodnota
rozdílu jejich vzdáleností od dvou daných bodů F, G (tzv. ohnisek) je konstantní a rovná se 2a, kde
2a je menší než vzdálenost bodů F, G.
Tedy ( ) { ,2;2,, aXGXFXaGFH =−∈= ρ kde 2a < }FG
S …střed
A, B…vrcholy
F, G…ohniska
a …velikost hlavní poloosy
b…velikost vedlejší poloosy
e …excentricita
a1, a2…asymptoty
e2
= a2
+ b2
Rovnice hyperboly H(F, G, 2a):
1) Středová:
a) S [0;0]......H:
2
2
x
a
–
2
2
y
b
= 1
2
2
x
b

−

+
2
2
1
y
a

= 

b) S [m;n]......H:
2
2
( )x m
a
−
–
2
2
( )y n
b
−
= 1
2 2
2 2
( ) ( )
1
x m y n
b a
 − −
− + = 
 
2) Obecná: H: Ax2
– By2
+ Cx + Dy + E = 0
A.B > 0
Vzájemná poloha bodu a hyperboly:
Nechť je dána hyperbola H: Ax2
- By2
+ Cx + Dy + E = 0 a bod M[xM, yM]. Levou stranu rovnice
hyperboly označíme L(x, y). Pak platí:
1) Je-li L(xM, yM) = 0, pak M∈ H.
2) Je-li L(xM, yM) > 0, pak M leží uvnitř útvaru ohraničeného hyperbolou H.
3) Je-li L(xM, yM) < 0, pak M leží vně H
Vzájemná poloha přímky (lineárního útvaru) a hyperboly – je dána počtem společných
bodů. Řeší se tedy soustava kvadratické rovnice (hyperboly) a lineární rovnice (přímky)
H: Ax2
- By2
+ Cx + Dy + E = 0
p: ax + by + c = 0
- soustava dvou rovnic o dvou neznámých
Může nastat, že soustava má:
1) 2 řešení: }{ 21;PPpH =∩ … p = s …sečna
2) 1 řešení: }{TpH =∩ … p = t …tečna nebo
p = r … rovnoběžka s asymptotou
3) 0 řešení: ∅=∩ pH … p … vnější přímka
Pozn.: Určujeme-li vzájemnou polohu hyperboly a některé podmnožiny přímky (úsečka,
polopřímka), pak při řešení pracujeme raději s parametrickou rovnicí dané podmnožiny.
Rovnice asymptot:
a) FG || x: a1,2: y= ±
b
a
(x-m)+n b) FG || y: a1,2: y= ±
a
b
(x-m)+n
Rovnice tečny vedené k hyperbole H(F, G, 2a) v jejím bodě T[xo,yo]:
nebo
Vnitřek hyperboly
Vnějšek hyperboly
( )( ) ( )( )
12
0
2
0
=
−−
−
−−
b
nyny
a
mxmx
( )( ) ( )( )
12
0
2
0
=
−−
+
−−
−
b
nyny
a
mxmx
t
r
p s
T2
T1
P1
P2
Rovnoosá hyperbola - je hyperbola pro kterou platí, že a = b (její asymptoty jsou na sebe
kolmé). Platí tedy: a = b e2
= 2a2
Speciální případ rovnoosé hyperboly je taková hyperbola, která má
asymptoty přímo v souřadnicových osách,
případně v rovnoběžkách se souřadnicovými osami.
Středová rce:
Je-li S [0;0], pak
H: 2xy = a2
Je-li S [m;n], pak
H: 2·(x-m)(y-n) = a2