Množinové vztahy

příkady (řešené)   |   neřešené úlohy   |   řešení  



Výroková logika

Výrokové formy

Množinové vztahy

Množinové operace

Složené výrokové formy

Kartézský součin

Binární relace

Relace ekvivalence

Relace uspořádání

Relace zobrazení






Vytvoř písemku

Příklady (řešené)

1.  Rozhodněte o vztahu množin K,L,M Z.  K = {3,5,{x,y}} , L = {5,{x,y}} , M = {5,3}.

Řešení :



2.  Určete pro která reálná čísla platí, že množina K je vlastní podmnožinou množiny L, přičemž a .

Řešení :
4m - 1 < m + 2 4m -1 > -1 m + 2 < 6
3m < 3 4m > 0 m < 4
m < 1 m > 0 m < 4



Neřešené úlohy :

1.  Rozhodněte, která z následujících množin je částí nebo prvkem některé další množiny :

    A = {{k,l}, l,k},  B = {k,l},   C = {k},  D = {{k,l},Ø}.


2.  Rozhodněte o vzájemném vztahu množin :

a) A = { xC; 2x - 2 ≥ -3}, B = { xC; 2x > -1},
b) A = { 2, -7}, B = { xN; x2 + 5x - 14 = 0},
c) A = Ø, B = { xN; x2 + x - 20 = 0},
d) A = { xC; 3 | x }, B = { xC; 6 | x},



3.  V rovině jsou dány tři nekolineární body ( neleží na jedné přímce ).Rozhodněte o vzájemném vztahu množin  ABC,  →ABC,  ∆ABC.


4.  Rozhodněte o vzájemném vztahu množin:
    K1 je množina všech kvádrů,
    K2je množina všech hranolů,
    K3 je množina všech krychli,
přičemž K1,K2,K3 jsou podmnožiny množiny K všech těles v prostoru.


5.  Je dána množina P všech prvočísel a L všech kladných lichých čísel. Určete jejich vzájemný vztah


6.  Charakteristickou vlastností i výčtem prvků nebo pomocí intervalu určete doplněk množiny M vzhledem k základní množině Z. Doplněk zobrazte na číselné ose nebo pomocí Vennova diagramu.
a) M = {1,3,4,5},  Z = {1,2,...,7},
b) M = { xZ ; x | 28}, Z = { 1,2,...,10},
c) M = { xZ ; 2x > 3x + 3 }, B = {xC; x < 0},
d) M = { xN;x2 + 2x - 15 = 0 }



7.  Vytvořte potenční systém následujících množin :
a) A = { x,y },
b) B = { k,l,m },
c) C = { a,b,c,d }, 
d) D = { xC; 2x + x3 - 6 = x2 - 3x + x3 }



8. Máme čtyři závaží o hmotnostech 5, 10, 20, a 50 dekagramů. Určete které hmotnosti můžeme zvážit, jestliže každé závaží použijeme nejvýše jednou.



9. Je dána základní množina Z = {a,b,c,d,e,f} a množiny A = {b,c,d,e}, B = {a,b,d,e}, C = {a,b,c,d,e}, D = {a,b,c,d,e,f}.
a)   Určete vztahy mezi množinami a množinou Z,
b)   Určete vztahy mezi dvojicemi množin A, B, C, D,
c)   Určete doplňky jednotlivých množin vzhledem k množině Z.



10. Jsou dány množiny K = {k,l,{m,n}}, L = {{k,l},{m,n}}, M = {{k,l}m,n}, O = {k,l}, P = {{m,n}},
S= {m}, které jsou podmnožinami jisté základní množiny Z. Určete všechny pravé podmnožiny daných množin.



11. Jsou dány množiny N (množina přirozených čísel), N0 (množina přirozených čísel s nulou), C (množina všech celých čísel), Q+ (množina všech kladných racionálních čísel) a R (množina všech reálných čísel). Určete množinové vztahy mezi jednotlivými množinami.



12. Je dána základní množina Z = {l,2,...,10}. Určete vztahy mezi množinami A,B:
a)   A = {xZ ; 2|x },B = {xZ ; 4|x }
b)   A = {xZ ; 3 < x < 6 , B = {x Z;5 ≤  x < 8 }.



13. Rozhodněte o vzájemném vztahu množin :
a)    A = {x  C ; 3x + 1 > -3}, B = {x  C ; 3x - 1 ≥ -2},
b)    A = {x Q ; x =  ; yC }, B = {x Q ; x = ; yC}



14. Rozhodněte o vzájemném vztahu množin :
a)   A = {x Q ; x =  ; yC }, B = {x Q ; x = ; yC}
b)   A = {x N0 ; x2 - x - 6  = 0}, B = {-2,3}


15. Jsou dány množiny P všech prvočísel, S všech sudých přirozených čísel a L všech lichých přirozených čísel. Určete jejich množinové vztahy.



16. Zapište potenční systém (potenční množinu) následujících množin :
a)     A= {1,2},
b)     B = {k,l,m}
c)     C = {a,b,c, d}.



17. Pro která reálná čísla x je interval (2x - 5 ; 5 + 2x) vlastní podmnožinou intervalu (3x ; )?



18. Pro která reálná čísla x je interval < x -1 ; 2x + 3 > pravou podmnožinou
 intervalu < 2x - 3 ; 5x: + 6 >?



19. Pro která reálná čísla x je < 2x-3 ; 3x + 2 >  < x-l ; 5x + 6 >?



20. Pro která reálná čísla x je < 4x -1 ; x + 2 >  (-1 ; 6) ?




Řešení:


1.  BA ,  BA ,  BD ,  CA ,  CB


2.  
a)  A=B b)  AB c)  A=B d) BA 
e)  A=B f)  BA g)  AB h)  A=B


3.  ∆ABC  ABC,    ∆ABC  →ABC, ABC  →ABC.



4. K1  K, K2  K, K3 K, K2 K1, K3 K1, K3  K2 .


5. P = {2,3,5,7,11,13,...},   L = {1,3,5,7,9,11,...},   P  P  ≠ L


6. 
a) M' = { xZ ; xM },
b) M' = { xZ ; x  28} = { 3,5,6,8,9,10},
c) M' = { xZ ; 2x  ≤ 3x + 3 } = { -1, -2, -3 },
d) M' = { xN;x2 + 2x - 15 ≠ 0 } = N \ {3}.



7. 
a) P(A) = { Ø, {x}, {y}, {x,y}},
b) P(B) = { Ø, {k}, {l}, {m}, {k,l}, {k,m}, {l,m}, {k,l,m}},
c) P(C) = { Ø, {a}, {b}, {c}, {d}, {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}, {a,b,c,d} }, 
d) P(D) = { Ø, {2}, {3}, {2,3} }.



8.  {5}, {10}, {20}, {50}, {5,10}, {5,20}, {5,50}, {10,20}, {10,50}, {20,50}, {5,10,20}, {5,10,50}, {5,20,50}, {10,20,50}, {5,10,20,50},
H = {5,10,15,20, 25,30, 35, 50,55,60,65, 70, 75,80,85}.



9.  
a) A, B, C, jsou vlastní podmnožiny množiny Z, D = Z.
b) A ≠ B, A C ∧ A ≠ C, A D ∧ A ≠ D, B C ∧ B ≠ C, B D ∧ B ≠ D, C D ∧ C ≠ D,
c) A' = {a,f}, B' = {c,f}, C' = {f}, D' = {Ø}


10. S M, P L, P K, O K.


11.  N je vlastní podmnožina množina množin N0, C, Q+, R; N0 je vlastní podmnožina množin C, Q+, R;C ≠ Q+ , C je vlastní podmnožina R; Q+ je vlastní podmnožina R.
 

12.
a) BA,
b) A ≠ B,


13.  
a) A  B,
b) A ≠ B,
 

14.
a) A = B,
b) A  B,   


15.  P ≠ S, P ≠ *L, S ≠ L


16.  
a) P(A)={{Ø},{1},{2},{1,2}},
b) P(B)={{Ø },{k},{l},{m},{k,l},{k,m},{l,m},{k,l,m}},
c)P(C)={{Ø},{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},...,{b,c,d},{a,b,c,d}.



17. x (-, -5)


18.  x < -1, 2 >


19. Reálná čísla x pro která platí x > 2. 


20.  Reálná čísla x pro která platí 0 < x  ≤ 1.