Příklady (řešené)
1.
Rozhodněte o vztahu množin
K,L,M
Z.
K
= {3,5,{x,y}} ,
L
= {5,{x,y}} ,
M =
{5,3}.
Řešení :
2.
Určete pro která reálná čísla platí, že
množina K je vlastní podmnožinou množiny L, přičemž

a

.
Řešení :
4m
- 1 < m + 2 |
 |
4m -1 > -1 |
 |
m + 2 < 6 |
3m < 3 |
 |
4m > 0 |
 |
m < 4 |
m < 1 |
 |
m > 0 |
 |
m < 4 |

Neřešené
úlohy :
1.
Rozhodněte, která z následujících množin je částí nebo prvkem některé
další množiny :
A =
{{k,l}, l,k}, B =
{k,l}, C =
{k}, D = {{k,l},Ø}.
3.
V rovině jsou dány tři nekolineární body ( neleží na jedné přímce
).Rozhodněte o vzájemném vztahu množin

ABC, →ABC, ∆ABC.
4.
Rozhodněte o vzájemném vztahu množin:
K1 je množina
všech kvádrů,
K2je množina všech hranolů,
K3 je množina
všech krychli,
přičemž K1,K2,K3 jsou
podmnožiny množiny K všech těles v prostoru.
5.
Je dána množina P všech prvočísel a L všech kladných lichých čísel.
Určete jejich vzájemný vztah
6.
Charakteristickou vlastností i výčtem prvků nebo pomocí intervalu
určete doplněk množiny M vzhledem k základní množině Z. Doplněk
zobrazte na číselné ose nebo pomocí Vennova diagramu.
a) |
M = {1,3,4,5}, Z = {1,2,...,7}, |
b) |
M = { x Z ;
x | 28}, Z = { 1,2,...,10}, |
c) |
M = { x Z ;
2x > 3x + 3 }, B = {x C;
x < 0}, |
d) |
M = { x N;x2
+ 2x - 15 = 0 } |
7.
Vytvořte potenční systém následujících množin :
a) |
A = { x,y }, |
b) |
B = { k,l,m }, |
c) |
C = { a,b,c,d }, |
d) |
D = { x C;
2x + x3 - 6 = x2 - 3x + x3
} |
8. Máme čtyři závaží o hmotnostech 5, 10,
20, a 50
dekagramů. Určete které hmotnosti můžeme zvážit, jestliže každé závaží
použijeme nejvýše jednou.
9.
Je dána
základní množina Z = {a,b,c,d,e,f} a množiny A = {b,c,d,e}, B =
{a,b,d,e}, C = {a,b,c,d,e}, D = {a,b,c,d,e,f}.
a) Určete vztahy mezi množinami a množinou Z,
b) Určete vztahy mezi dvojicemi množin A, B, C, D,
c) Určete doplňky jednotlivých množin vzhledem k
množině Z.
10. Jsou dány
množiny K = {k,l,{m,n}}, L = {{k,l},{m,n}}, M = {{k,l}m,n}, O = {k,l},
P = {{m,n}},
S= {m}, které jsou podmnožinami jisté základní množiny Z. Určete
všechny pravé podmnožiny daných množin.
11. Jsou dány
množiny N (množina přirozených čísel), N0
(množina přirozených čísel s nulou), C (množina
všech celých čísel), Q+
(množina všech kladných racionálních čísel) a R
(množina všech reálných čísel). Určete množinové vztahy mezi
jednotlivými množinami.
12. Je dána
základní množina Z = {l,2,...,10}. Určete vztahy mezi množinami A,B:
a) A = {x

Z ;
2|x },B = {x

Z ; 4|x }
b) A = {x

Z ;
3 < x < 6 , B = {x

Z;5 ≤
x < 8 }.
13. Rozhodněte
o vzájemném vztahu množin :
a) A = {x
C
; 3x + 1 > -3}, B = {x

C ; 3x - 1 ≥ -2},
b) A = {x
Q
; x =

; y
C },
B = {x
Q
; x =

; y
C}
14. Rozhodněte
o vzájemném vztahu množin :
a) A = {x
Q
; x =

; y
C },
B = {x
Q
; x =

; y
C}
b) A = {x
N0
; x
2 - x - 6 = 0}, B = {-2,3}
15. Jsou dány množiny P všech prvočísel, S všech
sudých
přirozených čísel a L všech lichých přirozených čísel. Určete jejich
množinové vztahy.
16. Zapište
potenční systém (potenční množinu) následujících množin :
a) A= {1,2},
b) B = {k,l,m}
c) C = {a,b,c, d}.
17. Pro která
reálná čísla x je interval (2x - 5 ; 5 + 2x) vlastní podmnožinou
intervalu (3x ;

)?
18. Pro která
reálná čísla x je interval < x -1 ; 2x + 3 > pravou podmnožinou
intervalu < 2x - 3 ; 5x: + 6 >?
19. Pro která
reálná čísla x je < 2x-3 ; 3x + 2 >

< x-l ; 5x + 6 >?
20. Pro která
reálná čísla x je < 4x -1 ; x + 2 >

(-1 ; 6) ?
Řešení:
1.
B
A , B
A , B
D , C
A , C
B
2.
a)
A=B |
b) A B |
c)
A=B |
d) B A |
e) A=B |
f)
B A |
g)
A B |
h)
A=B |
3. ∆ABC

ABC,
∆ABC

→ABC,

ABC

→ABC.
4. K
1 
K, K
2

K, K
3

K,
K
2 
K
1,
K
3 
K
1, K
3

K
2
.
5. P = {2,3,5,7,11,13,...}, L =
{1,3,5,7,9,11,...}, P

L

L

P

P
≠ L
6.
a) |
M' = { x Z ; x M }, |
b) |
M' = { x Z
;
x 28} = {
3,5,6,8,9,10}, |
c) |
M' = { x Z ;
2x
≤ 3x + 3 } = { -1, -2, -3 }, |
d) |
M' = { x N;x2
+ 2x - 15 ≠ 0 } = N \ {3}. |
7.
a) |
P(A) = { Ø, {x}, {y}, {x,y}}, |
b) |
P(B) = { Ø, {k}, {l}, {m}, {k,l}, {k,m}, {l,m},
{k,l,m}}, |
c) |
P(C) = { Ø, {a}, {b}, {c}, {d}, {a,b}, {a,c},
{a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d},
{b,c,d}, {a,b,c,d} }, |
d) |
P(D) = { Ø, {2}, {3}, {2,3}
}. |
8. {5}, {10}, {20}, {50}, {5,10}, {5,20},
{5,50}, {10,20}, {10,50}, {20,50}, {5,10,20}, {5,10,50}, {5,20,50},
{10,20,50}, {5,10,20,50},
H = {5,10,15,20, 25,30, 35, 50,55,60,65, 70, 75,80,85}.
9.
a) A, B, C, jsou vlastní podmnožiny množiny Z, D = Z.
b) A ≠ B, A

C ∧ A ≠
C, A

D ∧ A ≠
D, B

C ∧ B ≠
C, B

D ∧ B ≠
D, C

D ∧ C ≠
D,
c) A' = {a,f}, B' = {c,f}, C' = {f}, D' = {Ø}
10. S

M, P

L, P

K, O

K.
11. N je vlastní podmnožina množina množin
N0, C, Q+, R; N0
je vlastní podmnožina množin
C, Q+,
R;C ≠
Q+
,
C je vlastní podmnožina
R; Q+
je vlastní podmnožina
R.
12.
a) B

A,
b) A ≠ B,
13.
a) A

B,
b) A ≠ B,
14.
a) A = B,
b) A

B,
15. P ≠ S, P ≠ *L, S ≠ L
16.
a) P(A)={{Ø},{1},{2},{1,2}},
b) P(B)={{Ø },{k},{l},{m},{k,l},{k,m},{l,m},{k,l,m}},
c)P(C)={{Ø},{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},...,{b,c,d},{a,b,c,d}.
17. x

(-

, -5)
18. x

< -1, 2 >
19. Reálná čísla x pro která platí x > 2.
20. Reálná čísla x pro která platí 0
< x
≤ 1.