Příklady (řešené)
1. Je dána množina Z = {x

N
0
; x
2 - 64
≤ 0} a množiny A = {x
Z
; 2x - 1 ≤ 8}, B = {x
Z
; x|6}. Určete A

B, A ∩
B, A \ B, A
∆ B, A'

B', (A' ∩ B' )', množiny zapište charakteristickou vlastností
i výčtem prvků.
Řešení :
Z = {0,1,2,...,8}, A = {0,1,2,3,4},
A' = {5,6,7,8}, B = {1,2,3,6}, B' =
{0,4,5,7,8}.

A

B = {x
Z;
2x - 1 ≤ 8

x | 6} =
{0,1,2,3,4,6}
A ∩ B = {x
Z;
2x - 1 < 8

x
| 6} = {1,2,3}
A \ B = {x
Z;
2x - 1 < 8

x

6} = {0,4}
A ∆ B = {x
Z;
2x - 1 < 8

x
| 6} = {0,4,6}
A'

B' = {x
Z;
2x - 1 > 8

x

6} = {0,4,5,6,7,8}
(A'

B' )' =
[(A ∩ B)' ]' = A ∩ B = {1,2,3}
2.
2. Pro která reálná čísla x jsou intervaly (- 7; 3x + 2) a <
2x,

)
disjunktní?
Řešení:
Množiny jsou disjunktní, jestliže A ∩ B =
Ø. K řešení úlohy můžeme
využít i grafického znázornění množin na číselné ose.

-7 < 3x + 2

3x +
2 ≤ 2x
x > -3

x ≤ -2
M = {x
R;
x

( - 3;
- 2 > }.
Neřešené úlohy :
1.
Je dána množina
Z = {1,2,...,10} a množiny A = { x
Z;
x | 9 }, B = { x
Z;
3 | x }. Určete výčtem prvků :
a) |
A
∆ B |
b) |
B \ A |
c) |
(A
B)' |
d) |
(B'
A)' |
2. Množiny A, B jsou podmnožinami základní
množiny Z =
{1,2,...,20}. Určete výčtem prvků
výsledky operací s množinami A = { x
Z
; x | 20}, B = { x
Z
; x
2 - 17 < 0 } :
a) |
A B |
b) |
A ∩ B' |
c) |
A
∆ B |
3. Je dána množina Z =
{l,2,...,10}a množiny A = {x

Z; 2 | x},
B = {x

Z; x | 10}.
Výčtem prvků
určete:
a) |
A' |
b) |
B' |
c) |
(A B)' |
d) |
A' B' |
4. Je dána množina Z =
{l,2,...,10}a množiny A = {x

Z; 2 | x},
B = {x

Z; x | 10}.
Charakteristickou vlastností prvků určete:
a) |
A \ B |
b) |
A ∆ B |
c) |
B \ A |
d) |
A B' |
5. Množiny
A, B jsou podmnožinami základní
množiny Z =
{1,2,...,20}. Určete charakteristickou vlastností výsledky
operací s množinami A = { x
Z
;18 < 2x }, B = { x
Z
; 2 | x } :
a) |
A ∩ B |
b) |
A
∆ B |
c) |
B \ A |
6.
Určete charakteristickou vlastností i výčtem prvků :
a) |
A \ B |
b) |
B \ A je-li A = { x N;
x | 12 }, B = { x N;
x | 10 } |
7. Množiny
A, B jsou podmnožinami základní
množiny Z =
{1,2,...,20}. Určete charakteristickou vlastností i výčtem prvků
výsledky operací s množinami A = { x
Z
; 9 + 3x > 15 }, B = { x
Z
; x | 12 } :
a) |
A' ∩ B |
b) |
(A
B)' |
c) |
B
\ A |
8.
Pro která reálná čísla x nejsou intervaly ( -

, 2 + x) a
<

, 3 >
disjunktní?
9.
Pro která reálná čísla x mají intervaly <

,

) a <
-11,

>
prázdný průnik?
10.
Pro která reálná čísla x mají intervaly <

, 3 > a ( -

, x + 2 >
neprázdný průnik?
11.
Nechť C je množina všech čtyřúhelníků, R

C je množina všech rovnoběžníků, P

C je množina všech
pravoúhelníků. Určete:
12.
Základní
škola má 624 žáků. Školní klub nebo družinu
navštěvuje celkem 264 žáků. Do klubu chodí šestkrát méně žáků než těch,
kteří nenavštěvují ani jedno zařízení. Do obou chodí o 24 žáků méně než
těch, kteří docházejí do školního klubu.
Kolik žáků navštěvuje jen jedno zařízení, kolik jich chodí do obou a
kolik žáků základní školy nenavštěvuje žádné
zařízení?
(Pavla Katzerová)
13.
Žáci pátých tříd základní školy byli rozděleni do jistých
dvou skupin. Do první skupiny nebylo zařazeno 40, do druhé skupiny
nebylo zařazeno 52 žáků. Do aspoň jedné ze skupin jich patřilo 68.
Těch, kteří patřili do obou skupin je polovina nezařazených do žádné
skupiny.
Kolik žáků má základní škola v pátých třídách? Kolik žáků bylo zařazeno
do obou skupin a kolik právě do jedné skupiny?
14. ZUŠ
navštěvuje 64 žáků. Na housle hraje polovina z
celkového počtu, na klavír o 12 žáků méně než na housle. Těch, co hrají
pouze na klavír je o 6 více než těch, co nehrají na klavír ani nehrají
na housle.
Kolik žáků ZUŠ hraje na právě jeden z nástrojů? Kolik nehraje na žádný
z vyjmenovaných nástrojů a kolik na
oba?
(Pavla Katzerová)
15. Na
gymnáziu studuje 232 studentů, někteří soutěžili v
matematické olympiádě, někteří v olympiádě z jazyka českého.
Matematickou olympiádu neřešilo 199 studentů, právě jedné olympiády se
jich zúčastnilo 36, v obou soutěžilo o 3 méně než jen v matematické.
Kolik studentů řešilo aspoň jednu olympiádu, kolik jen z jazyka českého
a kolik řešilo matematickou olympiádu?
16. V kavárně
prodávají mimo jiné poháry a zákusky. 28 lidí
si objednalo pohár, 46 hostů si nekoupilo pohár nebo si nekoupilo
zákusky. 6 lidí si nekoupilo buď pohár nebo zákusky. 24 lidí si koupilo
zákusky. Kolik hostů bylo v
kavárně.
(Jana Ciosková)
17. Při
akreditaci na jistou konferenci vyznačovali účastníci
znalost jazyků, kterými, mimo svoji mateřštinu, vládnou. Pořadatelé
zjistili, že tři jazyky, tj. angličtinu, němčinu a ruštinu ovládá
celkem 6 účastníků. Anglicky a německy hovoří 14, rusky a německy 13 a
stejně tolik jich ovládá ruštinu a angličtinu. Právě jedním z
vyjmenovaných jazyků hovoří 45 účastníků, angličtinu jich ovládá 41,
německy nebo anglicky hovoří 61 účastníků. Kolik účastníků konference
se akreditovalo?
18. Do
Prahy na MS v ledním hokeji přijelo s jistou cestovní
kanceláří 145 Finů. Na zápas A si jich 80 zakoupilo vstupenky, dvakrát
méně Finů než na zápas A mělo vstupenky na zápas B. Na zápasy A a C
jich šlo 34, dva zápasy vidělo 29, tři zápasy vidělo 20 a na zápas A i
B mělo vstupenky 30 Finů. 5 Finů své zakoupené vstupenky prodalo.
Kolik Finů bylo na právě jednom zápase a kolik jich bylo aspoň na dvou?
19. Zimní
dovolené se zůčastnolo 250 lidí. Jedna pětina z nich si přivezla
běžky. Sjezdovky i běžky mělo 20 lidí. 108 si s sebou nevzalo
sjezdovky. Kolik lidí si přivezlo pouze sjezdovky? Kolik lidí si
nepřivezlo lyžařské
vybavení?
(Jana Ciosková)
20.
Specializovaný trh, kde se prodávají pouze banány, mandarinky a
pomeranče, za jednu hodinu navštívil jistý počet kupujících. Každý
z vyjmenovaných druhů zakoupilo 23 lidí. Všechny druhy nakoupilo 7
lidí, banány a mandarinky koupilo 15, pomeranče a banány 12 lidí.
Mandarinky nebo pomeranče zakoupilo 34 lidí. 2 si nekoupili nic. Kolik
lidí navštívilo za jednu hodinu trh? Kolik lidí si koupilo nejvýše
jeden druh ovoce? Kolik právě dva druhy?
21. Do
sportovní třídy chodí 30 žáků, každý z nich se věnuje aspoň jednomu ze
sportů: hokej, fotbal, tenis. Tenis hraje 8 žáků, hokej 14, fotbal nebo
tenis 25 žáků, hokej a tenis 4, právě jeden 19 a všechny tři úspěšně
hraje 1. Kolik žáků provozuje právě dva sporty? Kolik jen tenis a kolik
hokej nebo fotbal?
Řešení :
1. a)
{1,6};
b)
{6}; c)
{2,4,5,7,8,10};
d)Z \ {6}.
2.
a) |
A B
= {1,2,3,4,5,10,20}
|
b) |
A ∩ B' = {5,10,20} |
c) |
A
∆ B = {3,5,10,20}
|
3.
a) |
A' = {1,3,5,7,9} |
b) |
B' = {3,4,6,7,8,9} |
c) |
(A B)'
= {3,7,9} |
d) |
A' B'
= {4,6,8} |
4.
a) |
A \ B = {x Z;2|x
x 10} |
b) |
A ∆ B = {x Z; 2
| x
x |
10)} |
c) |
B \ A = {x Z;
x | 10 2
x} |
d) |
A B'
= {x Z; 2
| x x 10)} |
5.
a) |
A ∩ B = { x Z
;18 < 2x 2
| x } |
b) |
A ∆ B = { x Z
;18 < 2x
2 | x }
|
c) |
B \ A = { x Z
; 2 | x 18 ≥ 2x} |
6. a) A \ B = {x
N;
x | 12

x

10} = {3,4,6,12},
b) B \ A = {x
N;
x | 10

x

12} = {5,10}.
7.
a) |
A' ∩ B = { x Z
; 9 + 3x
≤ 15 x | 12 } = {1,2} |
b) |
(A
B)' = A'
∩ B' = { x Z
; 9 + 3x
≤ 15 x 12 } = Ø |
c) |
B
\ A = { x Z
; x | 12 9 +
3x ≤ 15 } = {1,2} |
8. 
< 3

2
+ x >

;
x

(-7;5).
9. -11 <



>

; x

(-7;3).
10. 
<
3

x + 2 ≥

; x

<5,7).
11. a) R \ P, tj. množina všech kosoúhlých
čtyřůhelníků; S ∩ R = S.
12. Jen do jednoho zařízení chodí 228, do
obou
13. ZŠ má v pátých třídách 84 žáků, do obou skupin
bylo zařazeno 8 a do právě jedné skupiny 60 žáků.
(c + d = 40, a + d = 52, a+b+c= 68, b = d/2 ).
14. Na právě jeden nástroj hraje 50 žáků,
na žádný nehraje 13 a na oba hraje 1 žák.
(a + b + c + d = 64, a + b = 32,c = d + 6, b + c = a + b - 12).
15. Aspoň jedné olympiády se zúčastnilo 51
studentů, jen z jazyka českého 18 a matematické olympiády 33.
(a + b + c + d = 232, c + d = 199, a + c = 36, b = a-3).
16. Hostů bylo 50.
(a + b = 28, a + c + d = 46, b + d = 6, b + c = 24).
17. Účastníků bylo 73.
(e = 6, b + e = 14, f + e = 13, d + e = 13, a + c + g = 45, a + b + d +
e = 41, a + b + c + d+ e + f = 61).
18. Na právě jednom zápasu bylo 91 Finů,
na aspoň dvou zápasech 49. (a + b + c + d+ e + f + g + h = 145, a + b +
d + e = 80,
b + c + e + f = 40, d + e = 34, d + b + f = 29, e = 20, e + b = 30, h =
5).
19. Sjezdovky si přivezlo 122 účastníků,
lyžařské vybavení si nepřivezlo 78 lidí.
(a + b + c + d = 250, a + b = 50, b = 20, a + d = 108).
20. 25) Za 1 hodinu navštívilo trh 39
lidí, nejvýše jeden druh ovoce zakoupilo 14. právě dva druhy 18 lidí.
(a + b + d + e = 23, b + c + e + f = 23, d + e + f + g = 23,
e = 7, b + e = 15, d + e = 12, b + c + e + f+ d + g = 34, h = 2).
21. 26) Právě dva sporty provozuje 10
žáků, jen tenis 2 a hokej nebo fotbal 28 žáků.
(a+ b + c + d + e + f + g = 30, d + e + f + g = 8, a + b +d + e = 14, b
+ c + d + e + f + g = 25, d + e = 4, a + c + g = 19, e = l).