Příklady (řešené)
1. Doplňte
graf
(viz obrázek) tak, aby
představoval uzlový graf kartézského
součinu A x B. Množiny A, B zapište výčtem prvků.

Řešení:
Z uzlů y, z grafu (viz obrázek) vystupují
orientované hrany, prvky y, z patří do
téže množiny (jsou prvními složkami
uspořádaných dvojic) A.
Zbývající prvky x, u, v jsou
druhými složkami uspořádaných dvojic
(do uzlů vstupují orientované hrany),
patří do jedné a téže množiny B, tedy
A = {y,z}, B = {x,u,v}. Doplníme
uspořádané dvojice (y,v), (z,u), kde jsou
orientované hrany na
následujícím obrázku
znázorněny čárkovaně.

2.
Na kartézském grafu znázorněte kartézský součin množin
S
a
T,
je li

Řešení:

Neřešenéúlohy :
1. Nechť A, B, C, D jsou množiny, přičemž
A má n
prvků, B má m
prvků, C má k
prvků. Kolik prvků má množina :
a) A x B x C
b) A4 x B x C
c) A x B x C x A
2.
Nechť A, B, C jsou množiny. Za jakých předpokladů je množina A x B x C
neprázdná?
3.
Nechť A, B jsou množiny, přičemž A má m prvků a B má n prvků. Kolik
prvků mají množiny P(A) x P(B) a P(A x B)?
4.
Oddíl plážového volejbalu má 3 chlapce a 4 dívky. Uveďte všechny
možnosti vytvoření týmů, když v každém z nich bude jeden chlapec a
jedna dívka.
5.
Sestrojte kartézský, uzlový a šachovnicový graf kartézského součinu A x
B, jsou-li dány množiny A, B výčtem prvků.A= { - 3,
3, 5 } a B = { 1, 2 }.
6. Utvořte všechna dvojciferná čísla, která
mají na místě
desítek některou z číslic 3, 5, 6 a na místě jednotek některou z číslic
0, 2. Jakou vlastnost mají utvořená dvojciferná čísla?
7.
Zapište množiny A,B, z nichž
jsou vytvořeny kartézské součiny:
a) A x B
= {(7,5), (1,2), (1,4), (7,2), (7,4), (1,5)},
b) A x B
= {(5,0), (5,1), (5,2), (5,3)},
c) A x B
= {(2,3), (2,2), (3,2), (3,3)},
d) A x B = {(m,a),(n,a),(p,a),(m,i),(n,i),(p,i)}
a sestrojte jejich kartézské grafy.
8. Sestrojte graf kartézského součinu K
x L, je-li K = {1,2,5}, L = R,
9. Sestrojte
graf kartézského součinu K x L, je-li K = {x
R
; x

< -4,0>},
L = {y
R
; y

< -1,2>}.
10. Určete
množiny A, B, jejichž kartézský součin A x B má uzlový graf zakreslený
na obrázcích:

11. Sestrojte
kartézský graf kartézského součinu A x B, je-li A = {x
R
; -2 < x < 5}, B =
R.
12. Sestrojte
kartézský graf kartézského součinu A x B, je-li A = {x
R
; x ≤ 1},
B = {y
R
; y
≥ 3}.
13. Sestrojte
kartézský graf kartézského součinu K x L, je-li K = {x
C
; x | 5},
L = {y
R
; y - 1 ∨ 1 ≤ y ≤ 3}.
14. Znázorněte kartézským grafem kartézský součin W x V, je-li
V = {y
R
; y

(-3,-1)

(2,4}, W = {x
C
; x | 3}.
15. Znázorněte kartézským grafem kartézský součin S x T, je-li
S = {x
R
; -5 ≤ x -2 ∨ 1< x ≤ 3 )

(2,4}, T = {y
N
; y | 4}.
16. Znázorněte kartézským grafem
kartézský součin A x B, je-li
A = {x
Q
;log( 7x + 3 ) = 1}, B = {y
R
; y

(-4,-2)

(< 2,4)}.
17. Zapište
množiny A, B, z nichž vznikne následující graf kartézského součinu :

18. Zapište
množiny A, B, C, D z nichž vznikne následující graf kartézského součinu
:

Řešení :
1.
a) nmk
b) n
4 mk
c) n
2 mk
2.
Jsou-li množiny A, B, C neprázdné.
3. 2
m+n
, 2
mn
4. Chlapce
označíme např. a,
b, c a dívky k, I, m,
n. potom
{(a, k), (a, l), (a, m), (a, n), (b, k), (b, l),
(b, m), (b, n), (c, k), (c, l), (c,m),(c,n)}.
5. Kartézský
graf : např

6.
A = {3,5,6} , B = {0,2}
A x B = M =
{(3,0),(3,2),(5,0),(5,2),(6,0),(6,2)}
M = {30,32,50,52,60,62}, všechna takto vzniklá čísla jsou lichá.
7.
a) A
= {7,1}, B = {5,2,4} |
b) A = {5}, B =
{0,1,2,3} |
c) A = {2,3}, B = {2,3} |
d) A =
{m,n,p}, B = {a,i} |


8.

9.

10.
a) A = {3,5,7,9}, B = {2}
b) A = {y,z}, B = {u,x,z}
c) A = {1,4,5}, B = {2,3}
11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.
A = {x
R
; x

(-

, -3
)

(3,

)},
B = {2}.
18. A x B, A = {-1}, B = {y
C
; y

< -1,1>},
C x D, C = {1}, D = {-1,1}, (A x B)

(C x D).