Relace zobrazení

příkady (řešené)   |   neřešené úlohy   |   řešení 



Výroková logika

Výrokové formy

Množinové vztahy

Množinové operace

Složené výrokové formy

Kartézský součin

Binární relace

Relace ekvivalence

Relace uspořádání

Relace zobrazení






Vytvoř písemku

Příklady (řešení)


1.  Určete, zda relace S = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,5), (5,4)} je zobrazení v množině A = {1,2,3,4,5}. Pokud ano, určete definiční obor a obor hodnot. Dále rozhodněte, zda S-1 je teké zobrazení v množině A.

Řešení:

Relaci S znázorníme na kartézském, případně uzlovém grafu:



Na kartézském grafu je v každém sloupci znázorněn jeden prvek relace, tzn. že relace S je zobrazení. V uzlovém grafu z každého uzlu vychází nejvýše jedna orientovaná hrana a tím se opět potvrdil předchozí závěr. Definiční obor, tj. O1(S)  =  {1,2,3,4,5}  =  A. Jde o množinu všech prvnich složek uspořádaných dvojic relace zobrazení S. Obor hodnot O2(S) = {2,3,4,5} = A \ {1} je množina všech druhých složek uspořádaných dvojic ze zobrazení S.
Relace S-1 = {(4,1), (3,2), (2,3), (5,4), (4, 5)} není zobrazení, neboť obsahuje dvě uspořádané dvojice, které mají stejné první složky, druhé se sobě nerovnají. Z uvedeného vyplývá, že jeden vzor má dva různé obrazy. Závěrem můžeme konstatovat, že zobrazení S není zobrazení prosté.



2.  V množině A = {x  N; 3 ≤ x ≤ 9} přiřadíme každému číslu x největší prvočíslo y, pro které platí y≤x. Znázorněte uvedenou relaci S na kartézském grafu a zjistěte, zda je zobrazení.

Řešení:

Množinu A zapíšeme výčtem prvků: A = {3,4,5,6,7,8,9}. Vybereme uspořádané dvojice kartézského součinu A x A, pro které platí příslušná výroková forma.
Znázornění:




Relace S je zobrazení, které není prosté.



Neřešené úlohy :


1.  Určete, které z následujících relací v množině A = {0,1,2,...,6} jsou zobrazení. V případě zobrazení zapište definiční obor a obor hodnot. Zobrazení znázorněte graficky
a)  R1 = {(0,0), (0,1), (4,4), (3,2), (2,3)},
b)  R2 = {(4,6), (2, 5), (3,4), (2,3), (2,0), (1,1), (0,0)},
c)  R3 = {(2, 3), (3,4), (1,3), (4, 5), (0,3)},
d)  R4 = {(3,2), (2,3), (1,5), (3,4), (1,2)}.


2.  Rozhodněte, zda následující relace jsou zobrazení z množiny M = {a, b, c, d, e} do množiny
P = {1, 3, 5, 7, 9}.
a)  S1 = {(a, 5), (b,3), (c, 9), (d, 7), (e, 3)},
b)  S2 = {(d,7),(e,9),(b,1),(a,5)},
c)  S3 = {(c,3),(a,3),(e,3),(d,3),(b,3)},
d)  S4 = {(b,9),(a,7),(c,5),(b,1),(e,3)},
e)  S5 = {(e,1),(d,7))(c,3),(b,9),(a,5)}.

Určete typ zobrazení a rozhodněte, které je prosté.


3.  Je dána množina A = {x  Z; 4|x}, přičemž Z = {1,2,..., 19}. Doplňte uspořádané dvojice (4, ), (12, ), ( ,8) tak, že relace bude:
a) prostým zobrazením,
b) zobrazením, které není prosté.


4.  Relace R v množině M = {0,1,2,... ,6} obsahuje všechny prvky (a,b), kde b je zbytek při dělení čísla a třemi. Určete R výčtem, graficky znázorněte; určete, zda R je zobrazení a zapište obor hodnot.


5.  Znázorněte relaci M = {(x,y)  N x N; y-1 = x} a rozhodněte, zda jde o zobrazení.


6.  Znázorněte relaci N = {(x,y)  N x N; x = 2y} a rozhodněte, zda jde o zobrazení.


7.  Znázorněte relaci O = {(x,y)  N x N; x = y2} a rozhodněte, zda jde o zobrazení.


8.  Je relace S = {(x,y)  C x C; 1=y-2x2} zobrazení? Znázorněte ji graficky. Určete O1(S) aO2(S).


9.  Znázorněte danou relaci v množině R, určete její obory. Vyslovte závěr, zda jde o zobrazení, případně prosté zobrazení.  S : y = 2 - x


10.  Na kartézském grafu znázorněte následující relace. Rozhodněte, jestli jde o zobrazení (zobrazení prosté) a určete jejich obory.
a)  V1: |y| = 2  y - x = 0,
b)  V2 : y + x = 0  x2 ≥ 1,
c)  V3: x ≤ y2 - 1  y2 + x - 1 = 0.



11.  Znázorněte danou relaci v množině R, určete její obory. Vyslovte závěr, zda jde o zobrazení, případně prosté zobrazení.  S : y = log(x + 1)



12.  Znázorněte danou relaci v množině R, určete její obory. Vyslovte závěr, zda jde o zobrazení, případně prosté zobrazení.  S : y = sin(x) - 0,5



13.  Znázorněte danou relaci v množině R, určete její obory. Vyslovte závěr, zda jde o zobrazení, případně prosté zobrazení.  S : x = y-1 



14.  Znázorněte danou relaci v množině R, určete její obory. Vyslovte závěr, zda jde o zobrazení, případně prosté zobrazení.  S : (x - 3)2 + (y + 2)2 = 9


15.  Znázorněte danou relaci v množině R, určete její obory. Vyslovte závěr, zda jde o zobrazení, případně prosté zobrazení.   S : x = 1 + y2


16.  Znázorněte danou relaci v množině R, určete její obory. Vyslovte závěr, zda jde o zobrazení, případně prosté zobrazení.  S : y + x2 - 4


17.  Znázorněte danou relaci v množině R, určete její obory. Vyslovte závěr, zda jde o zobrazení, případně prosté zobrazení.  S : 2x ≥  y - 3



Řešení :


1.  a) R1 není zobrazení,
b)  R2 není zobrazení,
c)  R3 je zobrazení; O1(R3) = {0,1,2,3,4}, O2(R3) = {3,4,5},
d)  R4 není zobrazení.



2.  a)  S1 je zobrazení množiny M do množiny P, 
b)  S2 je zobrazení z množiny M do množiny P; prosté,
c)  S3 je zobrazení množiny M do množiny P,
d)  S4 není zobrazení,
e)  S5 je zobrazení množiny M na množinu P; bijekce.



3.  A = {4,8,12,16}.

a)  Např. (4,16), (12,4), (8,8).
b)  Např. (4,8), (12,12), (16,8).


4.  R = {(0,0),(1,1),(2,2),(3,0),(4,1),(5,2),(6,0)}  Relace je zobrazení. O2(R) = {0,1,2}.






5.  Upozornění: x,y  N!,  Body na přímce y = x - 1, M je zobrazení.



6.  Upozornění: x,y  N!,  Body na přímce y = x / 2 , N je zobrazení.


7.   Upozornění: x,y  N!,  Body na parabole y = ± x1/2, O není zobrazení.



8.  Relace S je zobrazení (body na parabole y = 2x2 + 1), O1(S) = C, O2(S) = {1,3,9,19,33,...}.



9.     S - zobrazení prosté, O1(S) = R; O2(S) = R.



10.   a)   Zobrazení prosté,  O1(V1) = {-2,2},  O2(V1) = {-2,2}





b)  Zobrazení prosté,  
O1(V2) =  {x  R; x   (-,-1> <1,)},
O2(V2) =  {y  R; y   (-,-1> <1,)},


c)   Není zobrazení,
O1(V3) =  {x  R; x   <0, 1>},
O2(V3) =  {y  R; y   <-1,1>}, 



11.   S - zobrazení prosté, O2(S) =  {x  R; x   (-1, )},  O2(S) = R.




12.   S - zobrazení,  O1(S) = R,  O2(S) = {y  R; y   <-1.5 ; 0.5>}.





13.   S - zobrazení prosté,  O1(S) = R \  {0};  O2(S) = R \  {0}.

 




14.   S - není zobrazení, O1(S) = {x  R; x   <0,6>},  O2(S) = {y  R; y   <-5,1>}.





15.   S - není zobrazení, O1(S) = {x  R; x  ≥ 1}, O2(S) = R

 





16.   S - zobrazení,  O1(S) = R; O2(S) = {y  R; y ≤ 4}.

>





17.   S - není zobrazení,  O1(S) = R; O2(S) = R.