Množinové operace

příkady (řešené)   |   neřešené úlohy   |   řešení 



Výroková logika

Výrokové formy

Množinové vztahy

Množinové operace

Složené výrokové formy

Kartézský součin

Binární relace

Relace ekvivalence

Relace uspořádání

Relace zobrazení






Vytvoř písemku

Příklady (řešené)


1. Je dána množina Z = {x  N0 ; x2 - 64  ≤ 0} a množiny A = {x  Z ; 2x - 1 ≤ 8}, B = {x Z ; x|6}. Určete A  B, A ∩ B, A \ B, A  ∆ B, A'  B', (A' ∩ B' )', množiny zapište charakteristickou vlastností i výčtem prvků.

Řešení
 : Z = {0,1,2,...,8},  A = {0,1,2,3,4},  A' = {5,6,7,8},  B = {1,2,3,6},  B' = {0,4,5,7,8}.

A B = {x  Z; 2x - 1 ≤ 8 x | 6} = {0,1,2,3,4,6}
A ∩ B = {x  Z; 2x - 1 < 8 x | 6} = {1,2,3}
A  \ B = {x  Z; 2x - 1 < 8 x 6} = {0,4}
A ∆ B = {x  Z; 2x - 1 < 8 x | 6} = {0,4,6}
A'B' = {x  Z; 2x - 1 > 8 x 6} = {0,4,5,6,7,8}
(A'  B' )' = [(A ∩ B)' ]' = A ∩ B = {1,2,3}

2.  2. Pro která reálná čísla x jsou intervaly (- 7; 3x + 2) a < 2x, ) disjunktní?

Řešení:
Množiny jsou disjunktní, jestliže A ∩ B =  Ø. K řešení úlohy můžeme využít i grafického znázornění množin na číselné ose.

-7 <  3x + 2   3x + 2 ≤ 2x
x > -3  x ≤ -2
M = {x  R; x ( - 3; - 2 > }.

Neřešené úlohy :


1.  Je dána množina Z = {1,2,...,10} a množiny A = { xZ; x | 9 }, B = { xZ; 3 | x }. Určete výčtem prvků :
a) A  ∆ B
b) B \ A
c) (A  B)'
d) (B' A)'



2. Množiny A, B jsou podmnožinami základní množiny Z = {1,2,...,20}. Určete výčtem prvků výsledky operací s množinami A = { xZ ; x | 20}, B = { xZ ; x2 - 17 < 0 } :
a) A B
b) A ∩ B' 
c) A  ∆ B



3.  Je dána množina Z = {l,2,...,10}a množiny A = {x  Z; 2 | x},
B = {x  Z; x | 10}. Výčtem prvků určete:
a) A' 
b) B'
c) (AB)'
d) A'B' 



4.  Je dána množina Z = {l,2,...,10}a množiny A = {x  Z; 2 | x},
B = {x  Z; x | 10}. Charakteristickou vlastností prvků určete:
a) A \ B
b) A ∆ B
c) B \ A
d) AB'



5. Množiny A, B jsou podmnožinami základní množiny Z = {1,2,...,20}. Určete charakteristickou vlastností výsledky operací s množinami A = { xZ ;18 < 2x }, B = { xZ ; 2 | x } :
a) A ∩ B
b) A ∆ B
c) B \ A



6.  Určete charakteristickou vlastností i výčtem prvků :
a) A \ B
b) B \ A   je-li A = { xN; x | 12 },  B = { xN; x | 10 }



7. Množiny A, B jsou podmnožinami základní množiny Z = {1,2,...,20}. Určete charakteristickou vlastností i výčtem prvků výsledky operací s množinami A = { xZ ; 9 + 3x > 15 }, B = { xZ ; x | 12 } :
a) A' ∩ B
b) (A  B)'
c) B \ A


8.  Pro která reálná čísla x nejsou intervaly ( -, 2 + x) a < , 3 > disjunktní?


9.  Pro která reálná čísla x mají intervaly < ) a < -11, > prázdný průnik?


10.  Pro která reálná čísla x mají intervaly < , 3 > a ( -, x + 2 > neprázdný průnik?


11.  Nechť C je množina všech čtyřúhelníků, R C je množina všech rovnoběžníků, P C je množina všech pravoúhelníků. Určete:
a) R \ P
b) P \ R



12.  Základní škola má 624 žáků. Školní klub nebo družinu navštěvuje celkem 264 žáků. Do klubu chodí šestkrát méně žáků než těch, kteří nenavštěvují ani jedno zařízení. Do obou chodí o 24 žáků méně než těch, kteří docházejí do školního klubu.
Kolik žáků navštěvuje jen jedno zařízení, kolik jich chodí do obou a kolik žáků základní školy nenavštěvuje žádné zařízení?       (Pavla Katzerová)



13.  Žáci pátých tříd základní školy byli rozděleni do jistých dvou skupin. Do první skupiny nebylo zařazeno 40, do druhé skupiny nebylo zařazeno 52 žáků. Do aspoň jedné ze skupin jich patřilo 68. Těch, kteří patřili do obou skupin je polovina nezařazených do žádné skupiny.
Kolik žáků má základní škola v pátých třídách? Kolik žáků bylo zařazeno do obou skupin a kolik právě do jedné skupiny?




14.  ZUŠ navštěvuje 64 žáků. Na housle hraje polovina z celkového počtu, na klavír o 12 žáků méně než na housle. Těch, co hrají pouze na klavír je o 6 více než těch, co nehrají na klavír ani nehrají na housle.
Kolik žáků ZUŠ hraje na právě jeden z nástrojů? Kolik nehraje na žádný z vyjmenovaných nástrojů a kolik na oba?           (Pavla Katzerová)



15. Na gymnáziu studuje 232 studentů, někteří soutěžili v matematické olympiádě, někteří v olympiádě z jazyka českého. Matematickou olympiádu neřešilo 199 studentů, právě jedné olympiády se jich zúčastnilo 36, v obou soutěžilo o 3 méně než jen v matematické.
Kolik studentů řešilo aspoň jednu olympiádu, kolik jen z jazyka českého a kolik řešilo matematickou olympiádu?




16. V kavárně prodávají mimo jiné poháry a zákusky. 28 lidí si objednalo pohár, 46 hostů si nekoupilo pohár nebo si nekoupilo zákusky. 6 lidí si nekoupilo buď pohár nebo zákusky. 24 lidí si koupilo zákusky. Kolik hostů bylo v kavárně.                            (Jana Ciosková)




17. Při akreditaci na jistou konferenci vyznačovali účastníci znalost jazyků, kterými, mimo svoji mateřštinu, vládnou. Pořadatelé zjistili, že tři jazyky, tj. angličtinu, němčinu a ruštinu ovládá celkem 6 účastníků. Anglicky a německy hovoří 14, rusky a německy 13 a stejně tolik jich ovládá ruštinu a angličtinu. Právě jedním z vyjmenovaných jazyků hovoří 45 účastníků, angličtinu jich ovládá 41, německy nebo anglicky hovoří 61 účastníků. Kolik účastníků konference se akreditovalo?




18.  Do Prahy na MS v ledním hokeji přijelo s jistou cestovní kanceláří 145 Finů. Na zápas A si jich 80 zakoupilo vstupenky, dvakrát méně Finů než na zápas A mělo vstupenky na zápas B. Na zápasy A a C jich šlo 34, dva zápasy vidělo 29, tři zápasy vidělo 20 a na zápas A i B mělo vstupenky 30 Finů. 5 Finů své zakoupené vstupenky prodalo.
Kolik Finů bylo na právě jednom zápase a kolik jich bylo aspoň na dvou?



19.  Zimní dovolené se zůčastnolo 250 lidí. Jedna pětina z nich si přivezla běžky. Sjezdovky i běžky mělo 20 lidí. 108 si s sebou nevzalo sjezdovky. Kolik lidí si přivezlo pouze sjezdovky? Kolik lidí si nepřivezlo lyžařské vybavení?                                                            (Jana Ciosková)



20.  Specializovaný trh, kde se prodávají pouze banány, mandarinky a pomeranče, za jednu hodinu navštívil jistý počet kupujících. Každý
z vyjmenovaných druhů zakoupilo 23 lidí. Všechny druhy nakoupilo 7 lidí, banány a mandarinky koupilo 15, pomeranče a banány 12 lidí. Mandarinky nebo pomeranče zakoupilo 34 lidí. 2 si nekoupili nic. Kolik lidí navštívilo za jednu hodinu trh? Kolik lidí si koupilo nejvýše jeden druh ovoce? Kolik právě dva druhy?


21.  Do sportovní třídy chodí 30 žáků, každý z nich se věnuje aspoň jednomu ze sportů: hokej, fotbal, tenis. Tenis hraje 8 žáků, hokej 14, fotbal nebo tenis 25 žáků, hokej a tenis 4, právě jeden 19 a všechny tři úspěšně hraje 1. Kolik žáků provozuje právě dva sporty? Kolik jen tenis a kolik hokej nebo fotbal?





Řešení :


1. a)  {1,6};        b) {6};      c) {2,4,5,7,8,10};        d)Z \ {6}.



2.
a) A  B = {1,2,3,4,5,10,20}
b) A ∩ B'  = {5,10,20}
c) A  ∆ B  = {3,5,10,20}



3. 
a) A'  = {1,3,5,7,9}
b) B' =  {3,4,6,7,8,9}
c) (AB)' = {3,7,9}
d) A'B'  = {4,6,8}




4. 
a) A \ B =  {x  Z;2|x   x 10}
b) A ∆ B = {x  Z;  2 | x   x | 10)}
c) B \ A =  {x  Z;  x | 10   2 x}
d) AB' = {xZ; 2 | x x10)}




5.
a)  A ∩ B =  { xZ ;18 < 2x  2 | x }
b) A ∆ B = { xZ ;18 < 2x  2 | x }
c) B \ A = { xZ ; 2 | x 18 ≥ 2x}


6. a) A \ B = {x  N; x | 12  10} = {3,4,6,12},    b) B \ A = {x  N; x | 10  12} = {5,10}.


7.
a)  A' ∩ B = { xZ ; 9 + 3x  ≤ 15  x | 12 } = {1,2}
b) (A  B)' = A' ∩ B' = { xZ ; 9 + 3x  ≤ 15  12 } = Ø
c) B \ A = { xZ ; x | 12 9 + 3x ≤ 15 } = {1,2}


8.  < 3 2 + x > ;  x(-7;5).


9.  -11 <  >; x(-7;3).


10.  < 3  x + 2 ≥; x <5,7).


11.  a) R \ P, tj. množina všech kosoúhlých čtyřůhelníků; S ∩ R = S.


12. Jen do jednoho zařízení chodí 228, do obou 


13. ZŠ má v pátých třídách 84 žáků, do obou skupin bylo zařazeno 8 a do právě jedné skupiny 60 žáků.
(c + d = 40, a + d = 52, a+b+c= 68, b = d/2 ). 


14.  Na právě jeden nástroj hraje 50 žáků, na žádný nehraje 13 a na oba hraje 1 žák.
(a + b + c + d = 64, a + b = 32,c = d + 6, b + c = a + b - 12).


15.  Aspoň jedné olympiády se zúčastnilo 51 studentů, jen z jazyka českého 18 a matematické olympiády 33.
(a + b + c + d = 232, c + d = 199, a + c = 36, b = a-3).


16.  Hostů bylo 50.
(a + b = 28, a + c + d = 46, b + d = 6, b + c = 24). 


17. Účastníků bylo 73.
(e = 6, b + e = 14, f + e = 13, d + e = 13, a + c + g = 45, a + b + d + e = 41, a + b + c + d+ e + f = 61). 


18.  Na právě jednom zápasu bylo 91 Finů, na aspoň dvou zápasech 49. (a + b + c + d+ e + f + g + h = 145, a + b + d + e = 80,
b + c + e + f = 40, d + e = 34, d + b + f = 29, e = 20, e + b = 30, h = 5).


19.  Sjezdovky si přivezlo 122 účastníků, lyžařské vybavení si nepřivezlo 78 lidí.
(a + b + c + d = 250, a + b = 50, b = 20, a + d = 108).


20.  25) Za 1 hodinu navštívilo trh 39 lidí, nejvýše jeden druh ovoce zakoupilo 14. právě dva druhy 18 lidí.
(a + b + d + e = 23, b + c + e + f = 23, d + e + f + g = 23,
e = 7, b + e = 15, d + e = 12, b + c + e + f+ d + g = 34, h = 2).


21.  26) Právě dva sporty provozuje 10 žáků, jen tenis 2 a hokej nebo fotbal 28 žáků.
(a+ b + c + d + e + f + g = 30, d + e + f + g = 8, a + b +d + e = 14, b + c + d + e + f + g = 25, d + e = 4, a + c + g = 19, e = l).