Příklady
(řešené)
1.
Je dána relace T = {(x,y)
R x
R; y
2
= 3x + 4}. Rozhodněte zda uspořádané dvojice (-2,5) , (-1,-1) jsou
prvky této relace.
Řešení :
Do výrokové formy y
2 = 3x + 4
dosadíme x = -2 , y = 5. Pak dostaneme 5
2
≠ 3*(-2)+4. Z tohoto vztahu vyplyne, že (-2,5)

T.
Obdobným způsobem postupujeme i při rozhodování o uspořádané dvojici
(-1,-1): -1
2=3*(-1)+4; tzn.
(-1,-1)

T
2.
Sestrojte graf relace T = {(x,y)
R x
R; x

<2,6)

y ≥ 9 -
x

y ≤ 8}.
Určete první a druhý obor relace.
Postupně znázorníme množiny
{(x,y)
R x
R; x

<2,6)}
{(x,y)
R x
R; y ≥ 9 -
x}
{(x,y)
R x
R; y ≤
8)}
Grafem relace T je průnik uvedených tří množin.
O
1 = {x
R; x

<2,6)},
O
2 = {y
R; y

(3,8>}.
Neřešené úlohy :
1.
Množiny A, B a relace R a S jsou dány
graficky. Zakreslete
R ∩ S a R

S

2. Množiny
A, B a relace
R jsou dána graficky. Zakreslete doplňkovou relaci

k relaci R.

3.
Množiny A, B, C a relace R a S jsou dány graficky. Zakreslete RS, součin
relací R a S.
4. Množiny
A, B a relace
R jsou dána graficky. Zakreslete inverzní relaci R
-1
k relaci R.

5.
Pět členů rodiny Procházků bydlí ve společné domácnosti. Otec má 39
let, matka 36, dcera 16, babička 63 a teta 34 let. Zapište relaci S
výčtem prvků, je li dána výrokovou formou "osoba x je mladší než osoba
y". Sestrojte její uzlový graf, zapište její obory.
6.
Rozhodněte, zda dvojice
a) (9,6), (-1,3) patří do relace
S = {(x,y)
Q2;
y
2 = 4x},
b) (3,4), (7,-2), (4,1), (-1,-3) patří do relace
T = {(x,y)
C2;
x ≤ 2y+2}.
7. V množině všech úseček, jejichž krajní
body jsou vrcholy
kosočtverce, je dána relace R výrokovou formou: „úsečka x je shodná s
úsečkou y". Charakteristickou vlastností i výčtem prvků zapište relaci
R v množině M. Případně sestrojte šachovnicový a uzlový graf.
8.
Je dán obdélník o stranách a, b,c,d a úhlopříčkách e, f a relace R
1,
R
2 předpisem:
(x, y)

R
1
<=> úsečka x je rovnoběžná s úsečkou y, (x, y)

R
2
<=> úsečka x je kolmá na úsečku y. Charakteristickou vlastností
i výčtem prvků zapište relace R
1, R
2
a sestrojte jejich kartézský i uzlový graf.
9.
V množině M = {1, 2,..., 7} jsou dány relace :
a) R
1 = {(x,y)

M
2;
nejmenší společný násobek čísel x, y se rovná 12},
b) R
2 = {(x,y)

M
2;
největší společný dělitel čísel x, y se rovná 2}.
Obě relace znázorněte na uzlovém grafu.
10.
V množině M = {1,2,3,4,5} je dána relace S = {(x,y)

M
2;
y + 3 ≥ x
2}. Výčtem prvků zapište
relace S, S' a S
-1. Sestrojte jejich kartézské
grafy.
11.
V množině přirozených čísel jsou dány relace
a) R={(x,y)
N2;
x = y},
b) R={(x,y)
N2;
x < y},
c) R={(x,y)
N2;
x | y},
d) R={(x,j/)
N2;
x = 8 - y},
Charakteristickou vlastností zapište k daným relacím relace doplňkové a
inverzní.
12. V množině M = {1,2,..., 5} jsou dány
relace R
1, R
2
předpisem
(x, y)

R
1
<=> x - y < 0,
(x, y)

R
2
<=> x I y.
Charakteristickou vlastností i výčtem prvků určete relace R
1,
R
2, sestrojte jejich uzlový graf. Jaký je vztah
mezi relacemi R
1, R
2?
13.
Zapište následující relace v množině reálných čísel a graficky
znázorněte.
a) číslo x je větší než y + 2;
b) číslo x je rovno dvojnásobku druhé mocniny čísla y;
c) číslo y je rovno 3 - 2x + x2;
d) číslo y je menší než - 4 - x.
14. Rozhodněte,
zda dvojice
a) (9,6), (-1,3) patří do relace S = {(x,y)
Q2;
y
2 = 4x},
b) (3,4), (7,-2), (4,1), (-1,-3) patří do relace T =
{(x,y)
C2;x ≤ 2y
+ 2}.
15. Na množině všech obdelníků (v rovině),
jejichž rozměry
jsou vyjádřeny celými čísly v cm, určete pomocí rozměrů a, b obdelníky,
jejichž obsah je S = 24cm2. Který z nich bude
mít největší a který nejmenší obvod?
16. M je
množina všech úseček na obrázku (celkem 7 úseček). Relace R
1
obsahuje všechny dvojice, kde úsečka z je shodná s úsečkou y. Relace R
2
obsahuje všechny dvojice, kde úsečka x je rovnoběžná s úsečkou y. Na
šachovnicovém grafu znázorněte relaci R
1, R
2,
R'
1,R'
2.
Určete R
1 
R
2,
R
1 ∩ R
2.

17. Je
dána relace A = {(x,y)
R2
; y
≥ 1 + 2x}. Charakteristickou vlastností zapište relaci inverzní a
sestrojte jejich kartézský graf.
18. Je
dána relace B = {(x, y)
R2
; y - 1 = x
2}. Na kartézském grafu ji
znázorněte. Na tomto grafu znázorněte i relaci inverzní.
Řešení
:
1.

2.

3.

4.

5.
P = {o,m,d,b,t}
S = {(x,y)

P x P; x je
mladší než y},
S = {(d,o), (d,m), (d,b), (d,t), (t,o), (t,m), (t,b), (m,o), (m,b),
(o,b)},
O
1(
S)
= {d,t,m,o}, O
2(
S) = {o,m,b,t}
6.
a) (9,6)

S,
(-1,3)

S;
b) (3,4)

T,
(7,-2)

T,
(4,1)

T,
(-1,-3)

T.
7. M = {a,b,c,d,e,f }, R = {(x,y)

M
2;
x

y} = {(a,a), (6,6),
(c,c), (d,d), (e,e), (f,f), (a,b), (b,a), (b,c), (c,b), (c,d), (d,c),
(a,d), (d,a), (a,c), (c,a), (b,d), (d,b)}.
8. M = {a,b,c,d,e,f}, R1
= {(x,y)
M2;
x || y} = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (f,f), (a,c), (c,a),
(b,d), (d,b)}, R2 = {(x,y)
M2;x
y} = {(a,d), (d,a),
(d,c), (c,d), (c,b), (b,c), (a,b), (b,a)}.

9.

10.
a) S =
{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),
b) S'
= (M x M) - S,
c )S
-1 = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1),
(2,2), (3,2),
(4,2), (5,2)}.


11.
a) R' = {(x, y)
N2;
x
≠
y}, R
-1 = R;
b) R' = {(x,y)
N2;x
≥ y}, R
-1 = {(x,y)
N2;y
< x};
c) R' = {(x,y)
N2;x

y}, R
-1
= {(x,y)
N2;y
| x};
d) R' = {(x,y)
N2;x ≠
8 - y}, R
-1 = {(x,y)
N2;y
= 8 -
x}.
12.
R
1 = {(x,y)

M
2;
x - y < 0 } - {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5),
(2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5),
R
2 = {(x,y)

M
2;x
| y} = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (1,2),
(1,3), (1,4), (1,5), (2,4)}.
13.
a) A = {(x,y)
R
x
R ; x > y+2} ;
b) B = {(x,y)
R
x
R ; x = 2y
2} ;
c) C = {(x,y)
R
x
R ; y = 3 - 2x + x
2 } =
{(x,y)
R
x
R ; y = 2 + (1 - x)
2} ;
d) D = {(x,y)
R
x
R ; y < -4 -x} ;

14.
a) (9,6)

S,
(-1,3)

S,
b) (3,4)

T,
(7,-2)

T, (4,1)

T, (-1,-3)

T.
15.
A = {(1,24) ,(24,1)
,(2,12) ,(12,2) ,(3,8) ,(8,3) ,(4,6) ,(6,4)}, nejmenší obvod má
obdelník o rozměrech 6, 4, největší obvod má obdelník o
rozměreh
1, 24.
16.

17. A
-1 =
{(x,y)
R2
; 2y
≤ x - 1 }

18.
