Výroková logika

příkady (řešené)   |   neřešené úlohy   |   řešení  



Výroková logika

Výrokové formy

Množinové vztahy

Množinové operace

Složené výrokové formy

Kartézský součin

Binární relace

Relace ekvivalence

Relace uspořádání

Relace zobrazení






Vytvoř písemku

Příklady (řešené)

1.  Rozhodněte, zda uvedená tvrzení jsou výroky.
a)  číslo 32 je prvočíslo.
b)  čísla 3 a 6 dělí 2a+b

Řešení:
a)   Výrok - tvrzení nepravdivé
b)   Není výrok, nelze rozhodnout o pravdivosti tvrzení


2.
Zapište symbolicky následující výroky:
a)  Přijde alespoň jedna z dvojice Pavla, Renata.
b)  Pavla přijde s Renatou.
c)  Přijde právě jedna z dvojice Pavla, Renata.
d)  Pokud přijde Pavla, přijde i Renata.
e)  Právě když přijde Renata, tak přijde i Pavla.

Řešení:
a)  Výrok - tvrzení nepravdivé
b)  Pavla přijde s Renatou.
c)  Přijde právě jedna z dvojice Pavla, Renata.
d)  Pokud přijde Pavla, přijde i Renata.
e)  Není výrok, nelze rozhodnout o pravdivosti tvrzení

Neřešené úlohy :


1.  Rozhodněte které z následujících vět jsou výroky a přiřaďte jim odpovídající pravdivostní hodnotu.
a)  Fyzika je přírodní věda.
b)  Jdi k tabuli!
c)  Venku prší?


2.  Rozhodněte které z následujících vět jsou výroky a přiřaďte jim odpovídající pravdivostní hodnotu.
a)  Nejmenší čtyřciferné číslo je 1001.
b)  Vídeň je hlavní město Rakouska.
c)   x > 7.
d)  číslo 153 je násobkem čísla 9.


3.  Rozhodněte, zda uvedená tvrzení jsou výroky :
a)  Otevřel jsem okno.
b)  Devět krát tři je šest.
c)  Kolik je 7x7 ?


4.  Rozhodněte, zda uvedená tvrzení jsou výroky :
a)  Po ulici jdou velbloudi.
b)  Nemluv na mne!
c)  Ema mele maso.


5.  Rozhodněte, zda jsou pravdivé následující výroky:
a)  číslo 4 dělí číslo 18 nebo číslo 4 dělí číslo 24.
b)  číslo 4 dělí číslo 18 a číslo 4 dělí číslo 24.
c)  Buď číslo 4 dělí číslo 18 nebo dělí číslo 24.


6.  Nechť p, q, r, s jsou čtyři jisté výroky, z nichž první dva jsou pravdivé a druhé dva nepravdivé, Přiřaďte pravdivostní hodnotu následujícím výrokům:
a) p  r
b) p => r
c)  r => p
d) q <=> s
e) s => q



7.  Rozhodněte, zda jsou pravdivé následující výroky:
a)  Jestliže 5 + 2 = 9, potom 8 + 4 = 11.
b)  Jestliže 5 + 2 = 9, potom 3 * 5 = 15.
c)  Jestliže 5 + 2 = 7, potom 3 * 5 = 18.


8.  Rozhodněte, zda jsou pravdivé následující výroky:
a)  Jestliže číslo 781 je dělitelné číslem 11, potom číslo 2232 je dělitelné číslem 11.
b)  číslo 136 je dělitelné číslem 14, právě když číslo 1000 je dělitelné číslem 14.


9.  Nechť p, q, r, s jsou čtyři jisté výroky, z nichž první dva jsou pravdivé a druhé dva nepravdivé, Přiřaďte pravdivostní hodnotu následujícím výrokům:
a)   ¬ q
b)   ¬ p
c) (p r) => q
d)   ¬ p     ¬ q
e)  (p q) ∧ r



10. Adam řekl: „Budu-li mít na vysvědčení samé jedničky, dostanu nové kolo." Rozhodněte, který ze čtyř případů, které mohou nastat, je nepravdivý.


11.  Utvořte negaci výroku "dnes je sobota"


12.  Ve kterých dvojicích tvrzení jde o výrok a jeho negaci?
a)  11 ≥ 8; 11 ≤ -8.
b)  čísla 81, 3 3 jsou různá; čísla 81, 3 3 jsou si rovna.


13.  Ve kterých dvojicích tvrzení jde o výrok a jeho negaci?
a)  Dané přímky v prostoru jsou různoběžné; dané přímky v prostoru jsou rovnoběžné.
b)   16 + 9 > 25; 9 + 16 ≤ 25.


14.  Zapište symbolicky následující výroky:
a)  Přijde Pavel, ale Renata ne.
b)  Ze sourozenců Pavel, Renata přijde nejvýše jeden.
c)  Ze sourozenců Pavel, Renata přijde aspoň jeden.


15.  Zapište symbolicky následující výroky:
a)  Z kamarádů Karel, Lukáš, Marek přijdou všichni.
b)  Z kamarádů Karel, Lukáš, Marek nepřijde nikdo.
c)  Jestliže přijdou Karel s Lukášem, pak nepřijde Marek.


16.  Zapište symbolicky následující výroky:
a)  Přijde Petr, ale Radim nepříjde.
b)  Ze dvou automobilů Peugeot a Renault bude ukraden nejvýše jeden.
c)  Aspoň jeden ze sourozenců  Pavel, Renata večer přijde .


17. Vyhodnoťte výrokové formule a určete jejich typ:
a) Ψ { ¬p [(qp) => ¬q]},
b) Ψ {[ ¬q <=> (¬pq)] p}.


18. Paní Adamová sdělovala kamarádce průběh svého zájezdu po kulturních památkách jižních Cech. Řekla: Navštívila jsem nejvýše jednu památku z památek A, B. Památku C jsem nenavštívila, právě když jsem byla v památce B a byla-li jsem v památkách A nebo B, pak jsem byla také v památce C. Ze kterých památek mohla paní Adamová předložit vstupenky?


19. Tři kamarádi A, B, C se domlouvají, že půjdou do kina. Účast omezili podmínkami: A půjde nebo B nepůjde. Když nepůjde aspoň jeden z dvojice A, C, potom půjde B. Jestliže nepůjde C, potom nepůjde také A, ale půjde B. Zjistěte všechny možnosti. Setkají se v kině všichni?


20. O spolužácích A, B, C je známo, že A nejde na oběd bez C, zatímco B nejde nikdy s C, ale jde vždy, když jde A. Víme-li, že B jde na oběd, kdo jej doprovází?


21. V okamžiku, kdy na chodbě dohlížející učitel uslyšel řinčení skla, byli ve třídě žáci A, B, C. Při vyšetřování se zjistilo, že u okna byl nejvýše jeden z žáků A, B. Žák C byl u okna právě když tam nebyl žák A. Když B nebyl u okna, nebyl tam ani A. Lze určit pachatele v případě, že byl jen jeden?


22. Před posledním extraligovým kolem soutěže hodnotil fanoušek šance tří nejlepších klubů A, B, C takto: Jestliže zvítězí B, potom C nezvítězí, ale určitě zvítězí A. Zvítězí C nebo A. B nezvítězí právě když zvítězí C. Kdo se stal vítězem extraligy, když fanouškova úvaha se potvrdila?



Řešení:

1.  
a) výrok, Ph(a) = 1; b) není výrok; c) není výrok;


2.  
a) výrok, Ph(e) =1 ; b) není výrok; c) výrok, Ph(g) = 1; d) výrok, Ph(d) = 0;


3.  
a)  Je výrok.
b)  Je výrok.
c)  Není výrok.


4. 
a)  Je výrok.
b)  Není výrok.
c)  Je výrok.


5. a - pravdivý, b - nepravdivý, c - pravdivý.


6.
a)  Ph = 1
b)  Ph = 0
c)  Ph = 1
d) Ph = 0
e) Ph = 1
 

7. a - pravdivý, b - pravdivý, c - nepravdivý.
 

8. a - nepravdivý, b - pravdivý.


9.
a) Ph = 0
b) Ph = 0
c) Ph = 1
d)  Ph = 0
e)  Ph = 0


10. Nepravdivý výrok, bude-li mít samé jedničky, nedostane nové kolo.


11.  Dnes je pondělí, nebo úterý, nebo středa, nebo čtvrtek, nebo pátek, nebo neděle.


12. a) druhý výrok není negací prvního,
b) druhý výrok je negací prvního,  


13.
a) druhý výrok není negací prvního,
b) druhý výrok je negací prvního,


14. a)  p   ¬ r,    b)    ¬ (p r),    c)  p r,    


15.  a)   k l m,   b)    ¬ k   ¬ l   ¬ m,   c)  (k l) =>   ¬ m.


16. a)  p   ¬ r,    b)    ¬ (p r),    c)  p r,    


17.  a) tautologie,  b) kontradikce


18. Sestavíme výrokovou formuli Ψ {[ ¬(ab)( ¬c<=>b)] [(ab) => c]}. Úloha má dvě řešení :
    1. Paní Adamová navštívila památku A a C.
    2. Paní Adamová navštívila jen památku C.


19.  Ověříme výrokovou formuli  Ψ { (a¬b)[ ¬(ac) => b] [¬c => (¬ab)]}. Úloha má tři řešení:
    1. Do kina půjde jen C
    2. Do kina půjde A a C
    3. Do kina půjde A,B,C - všichni


20.  Vyhodnotíme výrokovou formuli  Ψ { (a => c)[ ¬(bc)] (a => b)}. Spolužáka B na oběd nikdo nedoprovází.


21. Ověříme výrokovou formuli  Ψ { ¬(ab)(c<=>¬a)(¬b =>¬a) }. Okno rozbil žák C.


22. Ověříme výrokovou formuli  Ψ { [b => (¬ca) ] (ca) (¬b<=> c) }. Úloha má tři řešení, vítězem extraligy se stal sportovní klub C