© Institut biostatistiky a analýz
RNDr. Eva Koriťáková, Ph.D.
Vícerozměrné metody - cvičení
Cvičení 3
Analýza rozptylu pro vícerozměrná
data
2Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Analýza rozptylu (ANOVA) jednoduchého třídění
• Srovnáváme tři a více skupin dat, které jsou na sobě nezávislé (mezi
objekty neexistuje vazba).
• Příklady: srovnání objemu hipokampu u pacientů s AD, pacientů s MCI a
kontrol; srovnání kognitivního výkonu podle čtyř kategorií věku.
• Předpoklady: normalita dat ve VŠECH skupinách, shodnost (homogenita)
rozptylů VŠECH srovnávaných skupin, nezávislost jednotlivých pozorování.
• Testová statistika:
3
ҧ𝑥1 ҧ𝑥2 ҧ𝑥3
0
1
2
3
AD MCI Kontroly
ee
AA
dfS
dfS
F
/
/

Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
• Srovnání variability (rozptylu) mezi výběry s variabilitou uvnitř výběrů.
• Tabulka analýzy rozptylu jednoduchého třídění (One-Way ANOVA):
Analýza rozptylu (ANOVA) – princip
4
Variabilita
Součet
čtverců
Počet stupňů
volnosti
Průměrný
čtverec
F statistika p-hodnota
Mezi skupinami SA dfA = a – 1 MSA = SA/dfA
p
Uvnitř skupin
(reziduální var.)
Se dfe = n – a MSe = Se/dfe
Celkem ST dfT = n – 1
ee
AA
dfS
dfS
F
/
/

celkový
průměr
AD MCI CN AD MCI CN
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Analýza rozptylu jako lineární model
• Analýza rozptylu pro jednu vysvětlující proměnnou (jednoduché třídění)
lze zapsat jako lineární model:
• Nulovou hypotézu pak lze vyjádřit jako:
• Rozšířením tohoto zápisu můžeme definovat další modely ANOVA: více
faktorů, hodnocení interakcí, opakovaná měření na jednom subjektu.
5
kH   210 :
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Analýza rozptylu pro vícerozměrná data
• podle počtu faktorů:
– 1 faktor – ANOVA jednoduchého třídění (jednofaktorová ANOVA)
– 2 faktory – ANOVA dvojného třídění (dvoufaktorová ANOVA)
– ...
6
• podle počtu vysvětlovaných proměnných:
– 1 vysvětlovaná proměnná – jednorozměrná analýza rozptylu (ANOVA)
– 2 a více vysvětlovaných proměnných – vícerozměná analýza rozptylu (MANOVA)
• podle toho, zda se faktory ovlivňují či nikoliv:
– faktory se mohou ovlivňovat – model s interakcí
– faktory se neovlivňují – model bez interakce
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Analýza rozptylu pro vícerozměrná data - příklady
7
Počet faktorů: jednoduché x dvojné x trojné, ... třídění
Počet proměnných: jednorozměrná x vícerozměrná analýza rozptylu
Faktory se ovlivňují či neovlivňují: s interakcí x bez interakce
• zkoumáme dlouhodobý vliv třech typů léků na hodnoty systolického tlaku u stovky
osob, přičemž chceme zkoumat i vliv pohlaví, předpokládáme však, že ženy i muži
reagují na jednotlivé léky obdobně (tzn. např. ženy s léky A a C budou mít nižší tlak
než ženy s lékem B a muži s léky A a C budou mít také nižší tlak než muži s lékem B
apod.)
• zkoumáme dlouhodobý vliv třech typů léků na hodnoty systolického tlaku u stovky
osob, přičemž chceme zkoumat i vliv pohlaví, a předpokládáme, že ženy a muži budou
reagovat na léky různě (tzn. např. ženy s léky A a C budou mít nižší tlak než ženy
s lékem B, zatímco muži s léky A a B budou mít vyšší tlak než muži s lékem C apod.)
• zkoumáme dlouhodobý vliv třech typů léků na hodnoty systolického a diastolického
tlaku u stovky osob
• zkoumáme dlouhodobý vliv třech typů léků a vliv pohlaví na hodnoty systolického a
diastolického tlaku u stovky osob
– jednorozměrná analýza rozptylu dvojného třídění bez interakce
– jednorozměrná analýza rozptylu dvojného třídění s interakcí
– vícerozměrná analýza rozptylu jednoduchého třídění
– vícerozměrná analýza rozptylu dvojného třídění
• zkoumáme dlouhodobý vliv třech typů léků na hodnoty systolického tlaku u stovky
osob – jednorozměrná analýza rozptylu jednoduchého třídění
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Analýza rozptylu dvojného třídění (bez interakce)
• Uvažujeme dvě vysvětlující proměnné zároveň.
• Zápis modelu:
• Nulové hypotézy pak máme dvě: ,
8
kH   2101 : rH   2102 :
Variabilita
Součet
čtverců
Počet stupňů volnosti
Průměrný
čtverec
F statistika p-hodnota
Faktor A SA dfA = a – 1 MSA = SA / dfA FA p
Faktor B SB dfA = b – 1 MSB = SB / dfB FB p
Rezidua Se dfe = n – a – b + 1 MSe= Se / dfe
Celkem ST dfT = n – 1
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Analýza rozptylu dvojného třídění s interakcí
• Uvažujeme dvě vysvětlující proměnné a zároveň i jejich společné
působení.
• Zápis modelu:
• Nulové hypotézy pak máme tři:
9
kH   2102 :krH   121101 :
Variabilita
Součet
čtverců
Počet stupňů volnosti
Průměrný
čtverec
F statistika p-hodnota
Faktor A SA dfA = a – 1 MSA = SA / dfA FA p
Faktor B SB dfA = b – 1 MSB = SB / dfB FB p
Interakce A×B SAB dfAB = (a– 1)(b – 1) MSAB = SAB / dfAB FAB p
Rezidua Se dfe = n – ab MSe= Se / dfe
Celkem ST dfT = n – 1
rH   2103 :
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Hlavní efekty a interakce
10
A B
Faktor 1
8
10
12
14
16
18
20
22
24
A B
Faktor 1
8
10
12
14
16
18
20
A B
Faktor 1
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A B
Faktor 1
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18 Faktor 2 I
Faktor 2 II
SS D.f. MS F p
Faktor 1 1978 1 1978 482.2 0.000
Faktor 2 1 1 1 0.3 0.602
F1*F2 1 1 1 0.3 0.570
Error 804 196 4
A B
Faktor 1
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
SS D.f. MS F p
Faktor 1 4 1 4 1.0 0.314
Faktor 2 1891 1 1891 461.1 0.000
F1*F2 1 1 1 0.3 0.570
Error 804 196 4
A B
Faktor 1
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
SS D.f. MS F p
Faktor 1 5293 1 5293 1290.7 0.000
Faktor 2 861 1 861 209.9 0.000
F1*F2 1 1 1 0.3 0.570
Error 804 196 4
SS D.f. MS F p
Faktor 1 4 1 4 1.0 0.314
Faktor 2 1 1 1 0.3 0.602
F1*F2 867 1 867 211.3 0.000
Error 804 196 4
SS D.f. MS F p
Faktor 1 920 1 920 224.3 0.000
Faktor 2 1 1 1 0.3 0.602
F1*F2 867 1 867 211.3 0.000
Error 804 196 4
SS D.f. MS F p
Faktor 1 4799 1 4799 1443.4 0.000
Faktor 2 316 1 316 95.0 0.000
F1*F2 175 1 175 52.5 0.000
Error 652 196 3
- muži
- ženy
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Analýza rozptylu pro vícerozměrná data - postup
11
Model s interakcemi
Post hoc testy
(všechny skupiny dané
kombinací faktorů proti sobě)
Interakce významné Interakce nevýznamné
Model bez interakcí
Popisná sumarizace + krabicové grafy
Ověření předpokladů
(nezávislost, normalita, homogenita rozptylů)
Post hoc testy
(pro významné faktory s více než
dvěma kategoriemi)
Úkol 1
Zjistěte, zda má vliv pohlaví a typ léku na počet nežádoucích účinků
u pacientů s leukémií (neuvažujeme možnou interakci).
12Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
ID Pohlaví Typ léku
Počet nežádoucích
účinků
P1 M lék X 1
P2 M lék Y 1
P3 M lék Z 6
P4 Z lék X 3
P5 Z lék Y 4
P6 Z lék Z 9
Úkol 1 - řešení
13Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Pohlaví Typ léku
Počet nežádoucích
účinků
1 1 1
1 2 1
1 3 6
2 1 3
2 2 4
2 3 9
Překódování:
1=M
2=Z
1=lék X
2=lék Y
3=lék Z
Legenda:
Zjistěte, zda má vliv pohlaví a typ léku na počet nežádoucích účinků
u pacientů s leukémií (neuvažujeme možnou interakci).
Pohlaví:
Typ léku:
Úkol 1 - řešení
14
Pohlaví Typ léku Počet než. účinků
1 1 1
1 2 1
1 3 6
2 1 3
2 2 4
2 3 9
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Úkol 1 - řešení
15
Pohlaví Typ léku Počet než. účinků
1 1 1
1 2 1
1 3 6
2 1 3
2 2 4
2 3 9
X.1. = 4;
X.2. = 5;
X.3. = 15;
M.1. = Τ4 2 = 2
M.2. = Τ5 2 = 2,5
M.3. = Τ15 2 = 7,5
X1.. = 8
M1.. = Τ8 3
X2.. = 16
M2.. = Τ16 3 X... = 24;
𝑎 = 2; 𝑏 = 3; 𝑐 = 1; 𝑛 = 6;
S 𝐴 = 𝑏𝑐 ෍
𝑖=1
𝑎
M𝑖.. − M...
2
= 3 ∙ Τ8 3 − 4 2
+ Τ16 3 − 4 2
= Τ32 3 = 10,67
Součet čtverců pro faktor A (pohlaví):
S 𝐵 = 𝑎𝑐 ෍
𝑗=1
𝑏
M.𝑗. − M...
2
= 2 ∙ 2 − 4 2
+ 2,5 − 4 2
+ 7,5 − 4 2
= 37
Součet čtverců pro faktor B (typ léku):
S 𝑇 = ෍
𝑖=1
𝑎
෍
𝑗=1
𝑏
෍
𝑘=1
𝑐
X 𝑖𝑗𝑘 − M... = 1 − 4 2
+ 1 − 4 2
+ ⋯ + 9 − 4 2
= 48
S 𝐸 = S 𝑇 − S 𝐴 − S 𝐵 = 0,33
M... = Τ24 6 = 4
Celkový součet čtverců :
Reziduální součet čtverců :
počet stupňů volnosti: f 𝐴 = 𝑎 − 1 = 1
počet stupňů volnosti: f 𝐵 = 𝑏 − 1 = 2
počet stupňů volnosti: f 𝑇 = 𝑛 − 1 = 5
počet stupňů volnosti: f 𝐸 = 𝑛 − 𝑎 −
𝑏 + 1 = 2
Úkol 1 - řešení
16
Zdroj variability
Součet
čtverců
Stupně
volnosti
Podíl S/f F =
ΤS f
ΤS 𝐸 f 𝐸
Faktor A (pohlaví) S 𝐴 = 10,67 f 𝐴 = 1 10,67 63,99
Faktor B (typ léku) S 𝐵 = 37 f 𝐵 = 2 18,5 110,98
Reziduální S 𝐸 = 0,33 f 𝐸 = 2 0,16 Celkový
S 𝑇 = 48 f 𝑇 = 5 - Tabulka
analýzy rozptylu dvojného třídění:
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Srovnání s kvantily:
F 𝐴 = 63,99 > F0,95 1,2 = 18,1 → pohlaví má vliv na počet nežádoucích účinků
F 𝐵 = 110,98 > F0,95 2,2 = 19 → typ léku má vliv na počet nežádoucích účinků
p-hodnoty: p 𝐴 = 0,015; p 𝐵 = 0,009
Úkol 1 – řešení v softwaru SPSS
Zjistěte, zda má vliv pohlaví a typ léku na počet nežádoucích účinků u pacientů
s leukémií.
17
Pohlaví Typ léku Počet než. účinků
M lék X 1
M lék Y 1
M lék Z 6
Z lék X 3
Z lék Y 4
Z lék Z 9
V softwaru SPSS: Analyze – General Linear Model – Univariate – Dependent Variable: kvantitativní
proměnná, Fixed Factor(s): kategoriální proměnné –>
• Model – Build terms – vybereme Type: Main effects – do Model přetáhneme kategoriální
proměnné (pokud bychom chtěli model s interakcemi, necháme zatržené Full factorial) –
odškrtneme Include intercept in model – Continue
• Post Hoc – Post hoc Tests for: zvolit kat. proměnnou – zatrhneme Tukey’s-b či Scheffe – Continue
• Plots: zvolit proměnné do Horizontal Axis a Separte Lines – Add – Continue
• Options... – Homogeneity tests – Continue
Vykreslení krabicových grafů podle obou proměnných: Graphs – Legacy Dialogs – Boxplot... –
Clustered – Define – zvolit Variable, Category Axis a Define Clusters by – OK
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Úkol 1 – řešení v softwaru R
Zjistěte, zda má vliv pohlaví a typ léku na počet nežádoucích účinků u pacientů
s leukémií.
18
V softwaru R:
data <- data.frame(pohl=c(1,1,1,2,2,2),lek=c(1,2,3,1,2,3),pocet=c(1,1,6,3,4,9))
data
model_bez_interakce <- aov(data$pocet ~ (as.factor(data$pohl)+as.factor(data$lek)))
summary(model_bez_interakce)
TukeyHSD(model_bez_interakce) # post-hoc test
# 2. zpusob: anova(lm(data$pocet ~ (as.factor(data$pohl)+as.factor(data$lek))))
model_s_interakci <- aov(data$pocet ~ (as.factor(data$pohl)*as.factor(data$lek)))
summary(model_s_interakci)
boxplot(data$pocet ~(as.factor(data$pohl)*as.factor(data$lek)))
library("car") # instalace baliku car pomoci: install.packages("car")
leveneTest(data$pocet ~ (as.factor(data$pohl)*as.factor(data$lek)),center=mean)
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Úkol 1 – řešení v softwaru STATISTICA
Zjistěte, zda má vliv pohlaví a typ léku na počet nežádoucích účinků u pacientů
s leukémií.
19Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Pohlaví Typ léku Počet uzdrav. pacientů
M lék X 1
M lék Y 1
M lék Z 6
Z lék X 3
Z lék Y 4
Z lék Z 9
V softwaru STATISTICA: Statistics – ANOVA – Main effects ANOVA – Quick specs dialog – OK –
Variables – Dependent variable list: X, Categorical predictors (factors): A, B – OK – All effects.
Post hoc testy: More results – Post hoc – zvolit Effect – Unequal N HSD, Tukey HSD nebo Scheffé
Levenův test: More results – Assumptions – zvolit proměnnou – Levene‘s test (ANOVA)
Vykreslení krabicových grafů podle obou proměnných: Graphs – 2D Graphs – Box Plots... – zvolit
kvantitativní proměnnou jako Dependent variable, zvolit jednu kategoriální proměnnou jako Grouping
variable – na listu Categorized u X-Categories zatrhnout On a Layout změnit na Overlaid – pokud
chceme spojit mediány či průměry, na záložce Advanced zatrhnout Connect middle points – OK
Pokud bychom uvažovali model s interakcemi, zvolíme Factorial ANOVA (namísto Main effects A.)
Úkol 2
20
Zjistěte, zda má vliv pohlaví a typ onemocnění na objem hipokampu.
Ukázka datového souboru:
ID Group_3kat Gender_rek Hippocampus_volume (mm3)
101 1 M 6996.1
102 1 F 7187.3
103 1 M 7030.2
331 2 M 6891.6
332 2 M 6332.9
334 2 F 6303.7
737 3 M 6170.8
739 3 F 5984.1
740 3 F 6052.4
Legenda k proměnné Group_3kat:
1...CN (kontroly)
2...MCI (mírná kognitivní porucha)
3...AD (Alzheimerova choroba)
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Úkol 2 – popisná sumarizace dat
21
Skupina Pohlaví N Průměr SD Medián Minimum Maximum
CN
F 110 7018.3 190.1 7036.1 6509.6 7430.1
M 120 7087.3 176.0 7081.1 6674.4 7486.6
Celkem 230 7054.3 185.7 7048.6 6509.6 7486.6
MCI
F 146 6476.7 171.8 6460.4 6155.1 6984.8
M 260 6595.2 164.1 6589.5 6159.1 7125.6
Celkem 406 6552.6 176.2 6555.0 6155.1 7125.6
AD
F 95 6215.0 178.8 6237.8 5805.2 6619.0
M 102 6293.0 174.8 6250.8 5844.3 6756.9
Celkem 197 6255.4 180.6 6248.0 5805.2 6756.9
Celkem
F 351 6575.6 364.8 6498.2 5805.2 7430.1
M 482 6653.8 323.9 6610.0 5844.3 7486.6
Celkem 833 6620.9 343.7 6580.9 5805.2 7486.6
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Úkol 2 – krabicový graf
22
→ interakci sice očekávat
nebudeme, přesto si ale
model s interakcí raději
spočítáme
(nejdřív ale musíme ověřit
předpoklady)
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Úkol 2 – ověření normality
23Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Úkol 2 – homogenita rozptylů a nezávislost
24Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Nezávislost:
Protože žádný subjekt nebyl současně ve více skupinách, nezávislost
můžeme předpokládat.
p=0,440 > 0,05 → nezamítáme homogenitu rozptylů
Homogenita rozptylů:
Úkol 2 – model s interakcí
25
→ není statisticky významná interakce, proto spočítáme model bez interakce
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Úkol 2 – model bez interakce
26
→ statisticky významný vliv pohlaví i typu onemocnění na objem hipokampu
→ protože typ onemocnění má více než 2 kategorie, musíme provést post-hoc
test, abychom zjistili, mezi kterými kategoriemi je statisticky významný rozdíl
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Úkol 2 – post-hoc testy a interpretace
27
- statisticky významný vliv pohlaví i typu onemocnění na objem hipokampu,
přičemž mezi pohlavím a typem onemocnění nenastává interakce
- u mužů statisticky významně vyšší objem hipokampu než u žen
CN MCI AD
- statisticky významný rozdíl v objemu hipokampu u všech 3 skupin subjektů
podle typu onemocnění, přičemž u pacientů s AD je objem nejmenší a u CN
největší
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Upozornění I
Pozor, pokud mediány ukazují úplně jiný „trend“ než průměry!
28
• znamená to, že tam zřejmě není splněn předpoklad normality
• pokud rozdíl není statisticky významný, není zpravidla potřeba to řešit
• pokud by ten rozdíl vyšel statisticky významně, je to problém!
• poznámka: je dobré mít měřítko na ose y stejné u obou grafů
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Upozornění II
Pozor na interpretaci!
Na první pohled z grafu vypadá, že tam je vliv kraje i nezaměstnanosti, že to
nevychází statisticky významně může být:
– malým počtem subjektů ve skupině
– ale i velikostí efektu! (tady efekty malé, průměry ve všech čtyřech skupinách se
podle posledního grafu pohybují jen od cca 41,4 do 42!)
29Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Doplnění – model s interakcemi
30
Tests of Between-Subjects Effects
Dependent Variable: Celková_bílkovina
Source
Type III Sum of
Squares df Mean Square F Sig.
Corrected Model 152178,501a 5 30435,700 4942,124 ,000
Intercept 1562235,885 1 1562235,885 253674,570 ,000
Živočišný_druh 146815,301 2 73407,651 11919,874 ,000
Pohlaví 931,626 1 931,626 151,277 ,000
Živočišný_druh * Pohlaví 4431,573 2 2215,787 359,798 ,000
Error 3288,599 534 6,158
Total 1717702,985 540
Corrected Total 155467,100 539
a. R Squared = ,979 (Adjusted R Squared = ,979)
Závěr:
- Nejvyšší koncentrace celkové bílkoviny zjištěny u kočky domácí a nejnižší u karase obecného.
- Vliv pohlaví různý u různých druhů. Největší vliv u bource morušového, přičemž F statisticky
významně vyšší koncentrace než u M. Žádný vliv u kočky domácí. U karase obecného významně
vyšší koncentrace u M než F. Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Úkol 3
Vyberte (případně vymyslete) si vícerozměrný datový soubor, zvolte statistický
software podle svého uvážení a spočítejte analýzu rozptylu. Nezapomeňte
ověřit předpoklady! Udělejte i popisnou sumarizaci dat.
Datový soubor a wordovský dokument s přehledně popsanými výstupy vložte
do odevzdávárny v ISu.
Pokud nemáte k dispozici vhodný reálný datový soubor, můžete si data
s normálním rozdělením vygenerovat – např. v softwaru R:
a=rnorm(30,160,5) # 30 hodnot se střední hodnotou 160 a směrodatnou
odchylkou 5
Poznámka 1: když vygenerujeme 1000 hodnot, minimum bude opravdu cca
145 a maximum cca 175 (platí pravidlo ±3 sigma)
Poznámka 2: tímto způsobem si vygenerujete data pro každou podskupinu a
data pak spojíte do jedné datové tabulky
31Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení