© Institut biostatistiky a analýz
Vícerozměrné metody - cvičení
RNDr. Eva Koriťáková, Ph.D.
Příklad 1 – Vzdálenosti
• Zadání: Zjistěte, zda má subjekt 𝐱0 = 3,5 9 kratší vzdálenost k subjektu
𝐱1 = 3 8 či k subjektu 𝐱2 = 4 10 pomocí Euklidovy, Hammingovy
(manhattanské), Čebyševovy a Canberrské metriky.
2
• Vizualizace:
1 2 3 4 5 6
7891011
x1
x2
x1
x0
x2
3
Euklidova metrika
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
𝐷 𝐸 𝐱1, 𝐱2 = ෍
𝑖=1
𝑛
x1𝑖 − x2𝑖
2
2 3 4 5
7891011
x1
x2
2 3 4 5
7891011
x1
x2
𝑑 𝐸 𝐱1, 𝐱0 =
𝐱0 = 3,5 9
𝐱1 = 3 8
𝐱2 = 4 10
3 − 3,5 2 + 8 − 9 2 =x11 − x01
2 + x12 − x02
2 =
𝑑 𝐸 𝐱2, 𝐱0 =
0,25 + 1 =
= 1,12
x21 − x01
2 + x22 − x02
2 = 4 − 3,5 2 + 10 − 9 2 = 0,25 + 1 =
Závěr:
Vzdálenost je stejná.
= 1,12
2 3 4 5
7891011
x1
x2
2 3 4 5
7891011
x1
x2
x1
x0
x2
4
Hammingova (manhattanská) m.
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
𝐷 𝐻 𝐱1, 𝐱2 = ෍
𝑖=1
𝑛
x1𝑖 − x2𝑖
2 3 4 5
7891011
x1
x2
2 3 4 5
7891011
x1
x2
𝐱0 = 3,5 9
𝐱1 = 3 8
𝐱2 = 4 10
𝑑 𝐻 𝐱1, 𝐱0 = x11 − x01 + x12 − x02 = 0,5 + 1 =3 − 3,5 + 8 − 9 = 1,5
𝑑 𝐻 𝐱2, 𝐱0 = x21 − x01 + x22 − x02 = 4 − 3,5 + 10 − 9 = 0,5 + 1 = 1,5
Závěr:
Vzdálenost je stejná.
2 3 4 5
7891011
x1
x2
2 3 4 5
7891011
x1
x2
x1
x0
x2
5
Čebyševova metrika
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
𝐷 𝐶 𝐱1, 𝐱2 = max
∀𝒊
x1𝑖 − x2𝑖
2 3 4 5
7891011
x1
x2
2 3 4 5
7891011
x1
x2
𝐱0 = 3,5 9
𝐱1 = 3 8
𝐱2 = 4 10
𝑑 𝐶 𝐱1, 𝐱0 = max x11 − x01 ; x12 − x02 = max 3 − 3,5 ; 8 − 9 = max 0,5; 1 = 1
𝑑 𝐶 𝐱2, 𝐱0 = max x21 − x01 ; x22 − x02 = max 4 − 3,5 ; 10 − 9 = max 0,5; 1 = 1
Závěr:
Vzdálenost je stejná.
2 3 4 5
7891011
x1
x2
2 3 4 5
7891011
x1
x2
x1
x0
x2
6
Srovnání metrik
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
2 3 4 5
7891011
x1
x2
2 3 4 5
7891011
x1
x2
Canberrská metrika
7
𝐷 𝐶𝐴 𝐱1, 𝐱2 = ෍
𝑖=1
𝑛 x1𝑖 − x2𝑖
x1𝑖 + x2𝑖
𝐱0 = 3,5 9
𝐱1 = 3 8
𝐱2 = 4 10
𝑑 𝐶𝐴 𝐱1, 𝐱0 =
x11 − x01
x11 + x01
+
x12 − x02
x12 + x02
=
3 − 3,5
3 + 3,5
+
8 − 9
8 + 9
=
0,5
6,5
+
1
17
= 0,14
𝑑 𝐶𝐴 𝐱2, 𝐱0 =
x21 − x01
x21 + x01
+
x22 − x02
x22 + x02
=
4 − 3,5
4 + 3,5
+
10 − 9
10 + 9
=
0,5
7,5
+
1
19
= 0,12
Závěr:
Subjekt 𝐱0 má kratší
vzdálenost od subjektu
𝐱2 než od subjektu 𝐱1. 1 2 3 4 5 6
6789101112
x0[1, 1]
x0[2,1]
x1
x0
x2
8
Asociační koeficienty
CBA
A
SJT

),( yx
Jaccardův – Tanimotův asociační koeficient
Sokalův – Michenerův asociační koeficient
DCBA
DA
SSM


),( yx
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Příklad 2 – Podobnosti
Zadání: Byla provedena segmentace bílé
hmoty v obrazu mozku z magnetické
rezonance pomocí dvou segmentačních
metod (viz Obrázek 1). Chceme výsledky
segmentace srovnat s maskou bílé
hmoty, která byla získána z atlasu mozku.
Zajímá nás tedy překryv s maskou, na
základě čehož budeme moci usoudit,
která metoda segmentuje obraz lépe.
9
Vizualizace: A
B C D
E F G
Obrázek 1 Vizualizace segmentace bílé hmoty
pomocí dvou segmentačních metod a jejich
srovnání s atlasem mozku.
A) původní obraz mozku z magnetické rezonance;
B) segmentovaný obraz pomocí metody
k-průměrů;
C) segmentovaný obraz pomocí metody knejbližších
sousedů (k-NN);
D) obraz segmentovaný na základě atlasu mozku;
E) obraz bílé hmoty vzniklý prahováním obrazu B
(tzn. na základě metody k-průměrů);
F) obraz bílé hmoty mozkové vzniklý prahováním
obrazu C (tzn. na základě metody k-NN);
G) obraz bílé hmoty mozkové vzniklý prahováním
obrazu D (tzn. na základě atlasu mozku).
V obrazech B až D tmavě červená barva značí
bílou hmotu, žlutá značí šedou hmotu, světle
modrá značí mozkomíšní mok a tmavě
modrá značí pozadí.
Příklad 2 – Podobnosti – řešení
Počty voxelů označených jako bílá
hmota pomocí segmentačních
metod a jejich srovnání s maskou
sumarizujeme:
10
Tabulka 1. Sumarizace počtu voxelů
označených a neoznačených jako bílá
hmota na základě segmentace metodou
k-průměrů a na základě masky.
𝐲
0 1 Celkem
𝐱1
0 28 453 (D1) 477 (C1) 28 930
1 1406 (B1) 8 941 (A1) 10 347
Celkem 29 859 9 418 39 277 (N)
Tabulka 2. Sumarizace počtu voxelů
označených a neoznačených jako bílá
hmota na základě segmentace metodou
k-nejbližších sousedů a na základě
masky.
𝐲
0 1 Celkem
𝐱2
0 29 046 (D2) 284 (C2) 29 330
1 813 (B2) 9 134 (A2) 9 947
Celkem 29 859 9 418 39 277 (N)
E F G
𝐱1 - vektor počtu voxelů neoznačených jako bílá hmota (0) a počtu voxelů označených jako bílá
hmota (1) na základě segmentace metodou k-průměrů;
𝐱2 - vektor počtu voxelů neoznačených a označených jako bílá hmota na základě segmentace
metodou k-nejbližších sousedů;
𝐲 je vektor počtu voxelů neoznačených a označených jako bílá hmota na základě masky.
Příklad 2 – Jaccardův-Tanimotův asociační koef.
11
Tabulka 1. Metoda k-průměrů
𝐲
0 1 Celkem
𝐱1
0 28 453 (D1) 477 (C1) 28 930
1 1406 (B1) 8 941 (A1) 10 347
Celkem 29 859 9 418 39 277 (N)
Tabulka 2. Metoda k-nejbližších sousedů
𝐲
0 1 Celkem
𝐱2
0 29 046 (D2) 284 (C2) 29 330
1 813 (B2) 9 134 (A2) 9 947
Celkem 29 859 9 418 39 277 (N)
𝐱1 - vektor počtu voxelů neoznačených jako bílá hmota (0) a počtu voxelů označených jako bílá
hmota (1) na základě segmentace metodou k-průměrů;
𝐱2 - vektor počtu voxelů neoznačených a označených jako bílá hmota na základě segmentace
metodou k-nejbližších sousedů;
𝐲 je vektor počtu voxelů neoznačených a označených jako bílá hmota na základě masky.
Výpočet podobnosti mezi osegmentovanými obrazy a maskou:
Jaccardův-Tanimotův asociační koeficient:
𝑠𝐽𝑇 𝐱1, 𝐲 =
A1
A1+B1+C1
=
8 941
8 941 + 1 406 + 477
= 0,826
𝑠𝐽𝑇 𝐱2, 𝐲 =
A2
A2+B2+C2
=
9 134
9 134 + 813 + 284
= 0,893
Větší podobnost s maskou má obraz segmentovaný metodou k-nejbližších sousedů,
metoda k-nejbližších sousedů tedy osegmentovala obraz lépe než metoda k-průměrů.
Příklad 2 – Sokalův-Michenerův asociační koef.
12
Tabulka 1. Metoda k-průměrů
𝐲
0 1 Celkem
𝐱1
0 28 453 (D1) 477 (C1) 28 930
1 1406 (B1) 8 941 (A1) 10 347
Celkem 29 859 9 418 39 277 (N)
Tabulka 2. Metoda k-nejbližších sousedů
𝐲
0 1 Celkem
𝐱2
0 29 046 (D2) 284 (C2) 29 330
1 813 (B2) 9 134 (A2) 9 947
Celkem 29 859 9 418 39 277 (N)
𝐱1 - vektor počtu voxelů neoznačených jako bílá hmota (0) a počtu voxelů označených jako bílá
hmota (1) na základě segmentace metodou k-průměrů;
𝐱2 - vektor počtu voxelů neoznačených a označených jako bílá hmota na základě segmentace
metodou k-nejbližších sousedů;
𝐲 je vektor počtu voxelů neoznačených a označených jako bílá hmota na základě masky.
Výpočet podobnosti mezi osegmentovanými obrazy a maskou:
Sokalův-Michenerův (simple matching = jednoduchý srovnávací) asoc. koeficient:
𝑠𝑆𝑀 𝐱1, 𝐲 =
A1+D1
A1+B1+C1+D1
=
8 941 + 28 453
8 941 + 1 406 + 477 + 28 453
= 0,952
𝑠𝑆𝑀 𝐱2, 𝐲 =
A2+D2
A2+B2+C2+D2
=
9 134 + 29 046
9 134 + 813 + 284+ 29 046
= 0,972
Větší podobnost s maskou má obraz segmentovaný metodou k-nejbližších sousedů,
metoda k-nejbližších sousedů tedy osegmentovala obraz lépe než metoda k-průměrů.
Příklad 2 – Srovnání koeficientů
13
Sokalův-Michenerův (simple matching = jednoduchý srovnávací) asoc. koeficient:
𝑠𝑆𝑀 𝐱1, 𝐲 =
A1+D1
A1+B1+C1+D1
=
8 941 + 28 453
8 941 + 1 406 + 477 + 28 453
= 0,952
𝑠𝑆𝑀 𝐱2, 𝐲 =
A2+D2
A2+B2+C2+D2
=
9 134 + 29 046
9 134 + 813 + 284+ 29 046
= 0,972
Jaccardův-Tanimotův asociační koeficient:
𝑠𝐽𝑇 𝐱1, 𝐲 =
A1
A1+B1+C1
=
8 941
8 941 + 1 406 + 477
= 0,826
𝑠𝐽𝑇 𝐱2, 𝐲 =
A2
A2+B2+C2
=
9 134
9 134 + 813 + 284
= 0,893
Závěr:
- Oba koeficienty dokázaly určit, že větší podobnost s maskou má obraz
segmentovaný metodou k-nejbližších sousedů, metoda k-nejbližších sousedů tedy
osegmentovala obraz lépe než metoda k-průměrů.
- Protože Jaccardův-Tanimotův asociační koeficient nezahrnuje negativní shody (tzn.
voxely pozadí), umožňuje lépe postihnout rozdíl v úspěšnosti mezi segmentačními
metodami.