Bendová V., 2021: Úvod do matematiky - seminář: Téma 0 - Teorie
1
C1480: Úvod do matematiky - seminář Téma 0: Opakování základů matematiky
Teorie
Veronika Bendová podzimní semestr, 2021
Opakování základů matematiky - Přehled pojmů
Obory hodnot, množinový zápis
• R = (—oo ; oo) ... množina reálných čísel
o R+ = (0 ; oo) ... množina kladných reálných čísel
o R^ = (0 ; oo) ... množina kladných reálných čísel + nula
o R~ = (—oo ; 0) ... množina záporných reálných čísel
o Rq~ = (—oo ; 0) ... množina záporných reálných čísel + nula
• N={1,2,3,...}... množina přirozených čísel
o No = {0,1,2,3,...}... množina přirozených čísel + nula
• Z = {..., —3, —2, —1, 0,1, 2, 3,..., } ... množina celých čísel
o Z+ = {1,2,3,...} ... množina kladných celých čísel (Z+ = N)
o Zj = {0,1, 2, 3,... } ... množina kladných celých čísel + nula (Zg~ = No)
o Z~ ={..., —3, —2, —1} ... množina záporných celých čísel
o Zg~ ={..., —3, —2, —1,0} ... množina záporných celých čísel + nula
• R n. {a} ... množina reálných čísel bez čísla a Intervalový zápis
• (a; b) ... otevřený interval (obsahuje reálná čísla mezi a a b vyjma hodnot a a b)
• (a; b) ...zleva uzavřený interval (obsahuje reálná čísla mezi a a b včetně a a vyjma b)
• (a; b) ... zprava uzavřený interval (obsahuje reálná čísla mezi a a b vyjma a a včetně b)
• (a; b) ... uzavřený interval (obsahuje reálná čísla mezi a a b včetně a a b)
• (—oo ; a) U (a; oo) ... analogie množinového zápisu R \ {a} Zlomky
• sčítání, odčítání, násobení, dělení zlomků
• rozšíření a krácení zlomků
• převod nepravých zlomků na smíšená čísla a naopak
• určení znaménka zlomku podle znaménka čitatele a jmenovatele:
e
o a
e
e
(9. září 2021)
Bendová V., 2021: Úvod do matematiky - seminář: Téma 0 - Teorie
Algebraické výrazy
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
• a2 -b2 = (a-b)(a + b) Mocniny a odmocniny
• Vzorce
o x^x71 = £m+n
o (xy)n = xnyn o (xm)n = xmn o 47 = ar"
° -ki= = x
• Specifické hodnoty
o   X2   = \íx
o x 1 = -
_ 1 1
o   X    2 =
Logaritmy
• Přirozný logaritmus ... loge(a;) = ln(a;), x € (0 ; oo)
• ln (f) = ln(a) - ln(6)
• ln(ař>) = ln(a) + ln(6)
• aln(6) = ln(&a)
• lna(&) = (ln(&))a
• ln(0) neexistuje
• ln(l) = 0 Grafy a tvary funkcí
• f(x) = ax + b,   a,b eR
f(x) = x]
2
• m = \
• f(x) =
• f(x) = ex
• f(x) = ln(x)
• f(x) = sin (a;)
• f(x) = cos(o:) Definiční obory funkcí
(9. září 2021)
Bendová V., 2021: Úvod do matematiky - seminář: Téma 0 - Teorie
3
• f(x) = sJ~X —> X > 0
• f(x) = yfx —> x € R . f (x) = i -> x ± 0
• /(a;) = ln(a;) —> x > 0
• /(a;) = ln \x\ —> a; 7^ 0 Goniometrické funkce
• Vzorce
o sina(a:) = (sin(a:))a o cosa(a;) = (cos(a;))a o sin2 (a;) + cos2 (a;) = 1
* sin2 (a;) = 1 — cos2 (a;)
* cos2 (a;) = 1 — sin2 (a;)
sin (a;)
o tanía;) = -——■
cos (a;)
, . cosfa;) o cot(x) = —^
• Specifické hodnoty
o sin(O) = 0, sin (f) = 1, sin(7r) = 0, sin (^) = -1, sin(27r) = 0 o cos(0) = 1, cos (f) = 0, cos(vr) = -1, cos (4f) = 0, cos(2vr) = 1
Řešení rovnic a nerovnic
• Řešení lineární rovnice y = ax + b a analogických nerovnic
o převod prvků z levé strany (ne)rovnice na pravou stranu a naopak o vyjádření y pomocí x a vyjádření x pomocí y
• Řešení kvadratické rovnice y = ax2 + bx + c a analogických nerovnic
o převod prvků z levé strany (ne)rovnice na pravou stranu a naopak o výpočet diskriminantu ... D = b2 — Aac
o výpočet kořenů x\, x2 = -——
2a
• Zakreslení řešení nerovnic na reálnou osu
(9. září 2021)