Bendová V., 2021: Úvod do matematiky - seminář: Téma 0 - Skupina 0V
1
C1480: Úvod do matematiky - seminář Téma 0: Opakování základů matematiky
Skupina: OV
Veronika Bendová podzimní semestr, 2021
1.1 Obory hodnot, množinový zápis
Příklad 1.1. Obory hodnot, množinový zápis
Určete, zda jsou následující tvrzení pravdivá.
1. 4.6 g R pravda
2. -10 g N nepravda
3. 6 g Z pravda
4. 1 e R n. {2, 3, 4} pravda
5. 3 g R n. {2, 3, 4} nepravda
6. 6.4 g N nepravda
7. {14,3,0,1,12} € Zq nepravda
8. {i, 0,-0.524,-50,102, 0.666} e R pravda
9. {—oo, — 6, — 1, 0, 2, 5} g Z nepravda
10. {-10, -2, -oo,-1,0} g Rq" nepravda
11. {6, 7, oo,2,0} g N0 nepravda
12. {14,3,0,1,12} e N0 pravda
13. {-2,0,4.0,-§} g Z pravda
14. {4,-5, 3, oo,-15} g N nepravda
15. {4.0, 2.5, -3.7, -6.0, 4.3} g Z nepravda
16. {6,1, 8, 0,15} g N0 pravda
17. {4,2,0,6,4,oo} e Zj nepravda
18. {4,2,0,6,4,16} g Zj pravda
19. {—5.3,17.0, 6.2, 00, —1.1} g R nepravda
20. {4, 6, 8,15} g N0 pravda
Příklad 1.2. Obory hodnot, množinový zápis
Určete, které z vypsaných čísel porušují uvedená tvrzení.
1. {4,-5,3,0,-15} e N {-5,-15}
2. {4.0,2.5,-3.7,-6.0,4.3} e Z {2.5,-3.7,4.3}
3. {4.6, v^O,-1.2, \, 0.845} e R žádné
4. {1,4,7,8} g R žádné
5. {§,2,-2,^,0.2,1} e Z {§, V2, 0.2}
(9. září 2021)
Bendová V., 2021: Úvod do matematiky - seminář: Téma 0 - Skupina 0V Příklad 1.3. Intervalový zápis
Určete, zda krajní hodnoty náleží nebo nenáleží do uvedeného intervalu.
1. (4; 5)
2. (-oo; -3) U (6; oo)
3. (0; 1)
4 náleží, 5 nenáleží —3 nenáleží, 6 náleží 0 nenáleží, 1 nenáleží
Příklad 1.4. Intervalový zápis
Zapište
1. interval v rozsahu 8-10 obsahující 8 i 10
2. interval obsahující všechna reální čísla vyjma -2
3. interval od ^ (včetně) do 2 (vyjma)
4. interval obsahující všechna reálná čísla vyjma intervalu (—3: 6)
(8; 10)
(-oo; -2) U (-2; oo)
(é;2)
(-oo: -3) U (6; oo)
Příklad 1.5. Zlomky
Vypočítejte, výsledky krácením upravte na pravý zlomek a následně převeďte na smíšená čísla (je-li to možné).
3 ~ 4 12 O     S _ 1 4_ I
Z-   5      3 6
10 3
X xz
10      1 10
13 12
12
x+1
X +
x+1
1
x-1
16 3
xá-x -2x+2 2(x + l)
__x—A
(x-l)(x+2)
8.
1^ 1 3
ä - 1 3 1
10.
1 + 1
3-1
L7
Příklad 1.6. Zlomky
Doplňte chybějící znaménka, resp. čísla, aby platila rovnost.
1.
z.  Q -.
-6 -12
e e
2
-6
(9. září 2021)
Bendová V., 2021: Úvod do matematiky - seminář: Téma 0 - Skupina 0V
3
Příklad 1.7. Algebraické výrazy
Roznásobte podle vzorce.
1. (9a: -2)2
2. (3:c2 - l)2
3. (6a: + 1)2
4. (x +
5. (2a; + i)2
6. (a:2 + ±)(a:2 - i)
Příklad 1.8. Algebraické výrazy
Roznásobte.
1. (2x - l)(a: + 3)
2. (-2a; + l)(a:2 - 1)
3. (x-\){x+l)
Příklad 1.9. Algebraické výrazy
Rozložte na součin pomocí vzorců a je-li to možné, zkraťte.
^    9x- + 12.t+4
2.
-3x-2
2 o
x2-(íx+9 2x —6
A x +1 ^-    x + 1
x2-10x+25
X2 — 5.t ^1
81a;2 - 36a; + 4 9a;4 - 6a;2 + 1 36a-2 + 12a; + 1 a;2 - 2
4a;2
■ 2x + \
2xz + 5.t - 3 -2a;3 + a;2 + 2a; - 1 a;2-i
-(3a:+ 2) x — \fŽ
x-3 2
2 , -,
nejde zkrátit;
x — 5
6.
Příklad 1.10. Mocniny a odmocniny
Převeďte jednotlivé prvky následujících výrazů na mocninné tvary se základem x (resp. y), tj. na tvary typu x0
_2__, _J_
-;/? - 2a;"6 2a;-6
'ar'
a: — a; 5 — a: 2 — x
Příklad 1.11. Mocniny a odmocniny
Převeďte jednotlivé prvky následujících výrazů na odmocninnové tvary, tj. na tvary typu v7^.
1. 4a;_T + y-'ž
2. 3yi - xi
3. x3 +    + x 3 + y
4. a;-2 + a:-1 + x~? + x° + xi + x1 + x2
x4 + y2
3 \/V - a;2
x'1 X
(9. září 2021)
Bendová V., 2021: Úvod do matematiky - seminář: Téma 0 - Skupina 0V
4
Příklad 1.12. Mocniny a odmocniny
Zjednodušte následující výrazy. Výsledky s odmocninami převeďte do odmocninového tvaru.
1. x4x7 — (y2)b
2. í/V3 + {x2)2x~A
3. (.t3)J + y2y~^
Příklad 1.13. Logaritmy Zjednodušte následující výrazy.
1. 21n(3) -41n(2)
2. ±ln(4) + ln(5)
3. 21n(9) -31n(3)
4. 31n(4) +ln(3) - 41n(2)
5. 41n(l) - ±ln(9) +ln(3)
Příklad 1.14. Definiční obory funkcí
Určete, pro která x nejsou definovány následující funkce.
1- f(x)
xí + yt
-y y+i
1xA + y y
ln (10) ln(3) ln(12) 0
2- f(x)
3. f(x)
4- f(x)
5. f(x)
6. f(x)
x2 + l 1
\/x - 5
ln|rc + 3| i
f(x) je definována pro libovolné a; € R
x / ±2 x 5
x > 5 x ^ -3 x < -1
ln(-.T-l)
Příklad 1.15. Grafy a tvary funkcí
Načrtněte vedle sebe dvojice grafů následujících funkcí (zpaměti). U každé dvojice si uvědomte rozdíly mezi tvary funkcí.
1.
• f(x)
• fix)
x+ 3 2x - 1
4
0 -■-
-4 ■
4
0 -■-
-4 ■
2.
fix) fix)
-2a;+ 3 -x-2
o ■
-4 -
(9. září 2021)
Bendová V., 2021: Úvod do matematiky - seminář: Téma 0 - Skupina 0V
3.     • f(x) = x • /(*) = ~x
• f(x)
• f(x)
• f(x) = ex
• f(x) = ln(x)
• f(x) = sin(a;)
• f(x) = cos(aj)
4 ■ o
-4 -
4 ■
X
*N     0 ■
"I-1-
1-1-
-1-1-
4 ■ 0
-4 -
4 ■ 0
-4 -
"I-1-
4 ■
0 -■--4 -
4 ■
V)
8 0 4-
-4 -
-i-r
i-r
(9. září 2021)
Bendová V., 2021: Úvod do matematiky - seminář: Téma 0 - Skupina 0V
6
Příklad 1.16. Goniometrické funkce
Vypočítejte následující příklady.
-.     sin2(x)+cos2(x)       -i _X
1. 2                  1 2
2. tan(a;)cot(a;) - 1 0
. sm(x)(l+cos(>))
3. tan(a;) + sm(i)
4. sin(O) + cos(tt) + 1 - sin2(f) + cos(O) 0
5. -sin(^) + 3cos(7r)-cos2(0)+sin(f) + 4sin(0) -2
Příklad 1.17. Řešení rovnic
Vyřešte následující rovnice.
i    (2*-l) _ 4x=5 x = II
7               2 8
Z-        5      —     4 2
3. a;2 = 2a; + 8 x = -2, a; = 4
4. 3a;2 - 10 = 13a; a; = -§, a; = 5
5. 9a; - a-2 = 20 x = 4, x = 5 Příklad 1.18. Řešení nerovnic
Vyřešte následující nerovnice. Výsledek převeďte do intervalového zápisu a následně zakreslete na reálnou osu.
1. 3^1 > m xe (5; oc)
2. %píi > 4a; - 3 a; e (-0° 5 0)
3. a;2 -x - 6 < 0 a; e (-2: 3)
4. -7a- + 2 > -5a;2 x e (-00 ; f) U (1; oo)
5. 8a;2 < 6a;+ 5 x e (-f ; f)
(9. září 2021)