Hledání jistoty: Geometrie a deduktivní myšlení CORE004 Matematika jako součást kultury Zdeněk Pospíšil 707@mail.muni.cz Masarykova univerzita 16. září 2021 Obsah Zrod matematik Exkurs: Vliv pythagorejců Krize Eukleidovy Základy Exkurs: Vliv Základů Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 2 / 14 Zrod matematik Prehistorie Věstonická vrubovka, cca −30 000 let Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 3 / 14 Zrod matematik Velký zlom cca 6 st. BCE Starý svět Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 4 / 14 Zrod matematik Velký zlom cca 6 st. BCE Starý svět Egypt: jistota je v minulosti Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 4 / 14 Zrod matematik Velký zlom cca 6 st. BCE Starý svět Egypt: jistota je v minulosti Izrael: řešení přijde z budoucnosti Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 4 / 14 Zrod matematik Velký zlom cca 6 st. BCE Starý svět Egypt: jistota je v minulosti Izrael: řešení přijde z budoucnosti Persie: o dobru a zlu se rozhoduje v přítomnosti Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 4 / 14 Zrod matematik Velký zlom cca 6 st. BCE Starý svět Egypt: jistota je v minulosti Izrael: řešení přijde z budoucnosti Persie: o dobru a zlu se rozhoduje v přítomnosti Dálný východ: vše je jen iluze Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 4 / 14 Zrod matematik Velký zlom cca 6 st. BCE Řecko Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 5 / 14 Zrod matematik Velký zlom cca 6 st. BCE Řecko Cicero: Lidský život je podoben jedné z těch slavností, které se konají za účasti celého Řecka a jsou spojeny s výpravnými hrami. Tam někteří hledají slávu a čestný věnec v sportovním zápolení, jiné tam přivádí zisk a výdělek při kupování a prodávání, a je také určitá skupina lidí – ta je nejušlechtilejší –, kteří se neshánějí ani po potlesku, ani po výdělku, ale přicházejí tam jako diváci a pozorně si prohlížejí, co a jak se tam děje. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 5 / 14 Zrod matematik Velký zlom cca 6 st. BCE Řecko Cicero: Lidský život je podoben jedné z těch slavností, které se konají za účasti celého Řecka a jsou spojeny s výpravnými hrami. Tam někteří hledají slávu a čestný věnec v sportovním zápolení, jiné tam přivádí zisk a výdělek při kupování a prodávání, a je také určitá skupina lidí – ta je nejušlechtilejší –, kteří se neshánějí ani po potlesku, ani po výdělku, ale přicházejí tam jako diváci a pozorně si prohlížejí, co a jak se tam děje. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 5 / 14 Zrod matematik Velký zlom cca 6 st. BCE Řecko Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 5 / 14 Zrod matematik Velký zlom cca 6 st. BCE Řecko ω = π T Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 5 / 14 Zrod matematik Velký zlom cca 6 st. BCE Řecko ω = π T • •••• •••••• ••• •••••••• •••• •••• Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 5 / 14 Zrod matematik Velký zlom cca 6 st. BCE Řecko ω = π T • •••• •••••• ••• •••••••• •••• •••• • ••• •••••• •••••••••• Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 5 / 14 Zrod matematik Velký zlom cca 6 st. BCE Řecko ω = π T • •••• •••••• ••• •••••••• •••• •••• • ••• •••••• •••••••••• Základem všeho je α ιϑµoς (číslo, počet, veličina, kolikost). Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 5 / 14 Zrod matematik Velký zlom cca 6 st. BCE Řecko ω = π T • •••• •••••• ••• •••••••• •••• •••• • ••• •••••• •••••••••• Základem všeho je α ιϑµoς (číslo, počet, veličina, kolikost). Co je nejmoudřejší? – Číslo a potom ten, kdo dal věcem jména. ...Co je nejkrásnější? – Harmonie. Co je nejmocnější? – Myšlenka. ... číslu se podobá všechno. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 5 / 14 Zrod matematik Velký zlom cca 6 st. BCE Řecko ω = π T • •••• •••••• ••• •••••••• •••• •••• • ••• •••••• •••••••••• Základem všeho je α ιϑµoς (číslo, počet, veličina, kolikost). Co je nejmoudřejší? – Číslo a potom ten, kdo dal věcem jména. ...Co je nejkrásnější? – Harmonie. Co je nejmocnější? – Myšlenka. ... číslu se podobá všechno. Číslo vládne vesmíru. Číslo je uvnitř všech věcí. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 5 / 14 Zrod matematik Velký zlom cca 6 st. BCE Řecko ω = π T • •••• •••••• ••• •••••••• •••• •••• • ••• •••••• •••••••••• Aristoteles: A ježto viděli [pythagorejci] v číslech stavy a poměry harmonií a ježto se jim zdálo, že se i vše ostatní podobá celou svou přirozeností číslům a že čísla jsou první z celé přírody, usoudili, že prvky čísel jsou též prvky všech věcí a že celý vesmír je harmonií a číslem. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 5 / 14 Zrod matematik Exkurs: Vliv pythagorejců Exkurs: Vliv pythagorejského myšlení Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 6 / 14 Zrod matematik Exkurs: Vliv pythagorejců Exkurs: Vliv pythagorejského myšlení Macrobius (370–430): Když se naše myšlení pozvedá od nás samých k božství, první dokonalá netělesnost, s níž se setkává, jsou čísla. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 6 / 14 Zrod matematik Exkurs: Vliv pythagorejců Exkurs: Vliv pythagorejského myšlení Macrobius (370–430): Když se naše myšlení pozvedá od nás samých k božství, první dokonalá netělesnost, s níž se setkává, jsou čísla. Augustin (354–430): Pulchritudo est æqualitas numerosa. De libero arbitrio: Moudře myslet mohou jen málokteří, ale počítat je dáno i hloupým. Žádný člověk se nemůže dotknout všech čísel nějakým tělesným smyslem. Ale ti, jimž Bůh dal vlohy a jejichž zatvrzelost věc nezamlžila, jsou nuceni uznávat, že řád a pravdivost čísel jednak nemají vztah k tělesným smyslům, jednak jsou trvale nezvratné a nepo- rušitelné. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 6 / 14 Zrod matematik Exkurs: Vliv pythagorejců Exkurs: Vliv pythagorejského myšlení Macrobius (370–430): Když se naše myšlení pozvedá od nás samých k božství, první dokonalá netělesnost, s níž se setkává, jsou čísla. Augustin (354–430): Pulchritudo est æqualitas numerosa. De libero arbitrio: Moudře myslet mohou jen málokteří, ale počítat je dáno i hloupým. Žádný člověk se nemůže dotknout všech čísel nějakým tělesným smyslem. Ale ti, jimž Bůh dal vlohy a jejichž zatvrzelost věc nezamlžila, jsou nuceni uznávat, že řád a pravdivost čísel jednak nemají vztah k tělesným smyslům, jednak jsou trvale nezvratné a nepo- rušitelné. Kolikáté je číslo od počátku řady čísel, tolikáté po něm je jeho dvojnásobkem. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 6 / 14 Zrod matematik Exkurs: Vliv pythagorejců Exkurs: Vliv pythagorejského myšlení Macrobius (370–430): Když se naše myšlení pozvedá od nás samých k božství, první dokonalá netělesnost, s níž se setkává, jsou čísla. Augustin (354–430): Pulchritudo est æqualitas numerosa. De libero arbitrio: Moudře myslet mohou jen málokteří, ale počítat je dáno i hloupým. Žádný člověk se nemůže dotknout všech čísel nějakým tělesným smyslem. Ale ti, jimž Bůh dal vlohy a jejichž zatvrzelost věc nezamlžila, jsou nuceni uznávat, že řád a pravdivost čísel jednak nemají vztah k tělesným smyslům, jednak jsou trvale nezvratné a nepo- rušitelné. Kolikáté je číslo od počátku řady čísel, tolikáté po něm je jeho dvojnásobkem. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 6 / 14 Zrod matematik Exkurs: Vliv pythagorejců Exkurs: Vliv pythagorejského myšlení Macrobius (370–430): Když se naše myšlení pozvedá od nás samých k božství, první dokonalá netělesnost, s níž se setkává, jsou čísla. Augustin (354–430): Pulchritudo est æqualitas numerosa. De libero arbitrio: Moudře myslet mohou jen málokteří, ale počítat je dáno i hloupým. Žádný člověk se nemůže dotknout všech čísel nějakým tělesným smyslem. Ale ti, jimž Bůh dal vlohy a jejichž zatvrzelost věc nezamlžila, jsou nuceni uznávat, že řád a pravdivost čísel jednak nemají vztah k tělesným smyslům, jednak jsou trvale nezvratné a nepo- rušitelné. Kolikáté je číslo od počátku řady čísel, tolikáté po něm je jeho dvojnásobkem. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 6 / 14 Zrod matematik Exkurs: Vliv pythagorejců Exkurs: Vliv pythagorejského myšlení Macrobius (370–430): Když se naše myšlení pozvedá od nás samých k božství, první dokonalá netělesnost, s níž se setkává, jsou čísla. Augustin (354–430): Pulchritudo est æqualitas numerosa. De libero arbitrio: Moudře myslet mohou jen málokteří, ale počítat je dáno i hloupým. Žádný člověk se nemůže dotknout všech čísel nějakým tělesným smyslem. Ale ti, jimž Bůh dal vlohy a jejichž zatvrzelost věc nezamlžila, jsou nuceni uznávat, že řád a pravdivost čísel jednak nemají vztah k tělesným smyslům, jednak jsou trvale nezvratné a nepo- rušitelné. Kolikáté je číslo od počátku řady čísel, tolikáté po něm je jeho dvojnásobkem. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 6 / 14 Zrod matematik Exkurs: Vliv pythagorejců Exkurs: Vliv pythagorejského myšlení Macrobius (370–430): Když se naše myšlení pozvedá od nás samých k božství, první dokonalá netělesnost, s níž se setkává, jsou čísla. Augustin (354–430): Pulchritudo est æqualitas numerosa. De libero arbitrio: Moudře myslet mohou jen málokteří, ale počítat je dáno i hloupým. Žádný člověk se nemůže dotknout všech čísel nějakým tělesným smyslem. Ale ti, jimž Bůh dal vlohy a jejichž zatvrzelost věc nezamlžila, jsou nuceni uznávat, že řád a pravdivost čísel jednak nemají vztah k tělesným smyslům, jednak jsou trvale nezvratné a nepo- rušitelné. Kolikáté je číslo od počátku řady čísel, tolikáté po něm je jeho dvojnásobkem. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 6 / 14 Zrod matematik Exkurs: Vliv pythagorejců Exkurs: Vliv pythagorejského myšlení Macrobius (370–430): Když se naše myšlení pozvedá od nás samých k božství, první dokonalá netělesnost, s níž se setkává, jsou čísla. Augustin (354–430): Pulchritudo est æqualitas numerosa. De libero arbitrio: Moudře myslet mohou jen málokteří, ale počítat je dáno i hloupým. Žádný člověk se nemůže dotknout všech čísel nějakým tělesným smyslem. Ale ti, jimž Bůh dal vlohy a jejichž zatvrzelost věc nezamlžila, jsou nuceni uznávat, že řád a pravdivost čísel jednak nemají vztah k tělesným smyslům, jednak jsou trvale nezvratné a nepo- rušitelné. Kolikáté je číslo od počátku řady čísel, tolikáté po něm je jeho dvojnásobkem. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 6 / 14 Zrod matematik Exkurs: Vliv pythagorejců Exkurs: Vliv pythagorejského myšlení Macrobius (370–430): Když se naše myšlení pozvedá od nás samých k božství, první dokonalá netělesnost, s níž se setkává, jsou čísla. Augustin (354–430): Pulchritudo est æqualitas numerosa. De libero arbitrio: Moudře myslet mohou jen málokteří, ale počítat je dáno i hloupým. Žádný člověk se nemůže dotknout všech čísel nějakým tělesným smyslem. Ale ti, jimž Bůh dal vlohy a jejichž zatvrzelost věc nezamlžila, jsou nuceni uznávat, že řád a pravdivost čísel jednak nemají vztah k tělesným smyslům, jednak jsou trvale nezvratné a nepo- rušitelné. Kolikáté je číslo od počátku řady čísel, tolikáté po něm je jeho dvojnásobkem. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 6 / 14 Zrod matematik Exkurs: Vliv pythagorejců Exkurs: Vliv pythagorejského myšlení Tomáš Aquinský (1225–1274) Jsou čísla dobrá? (bonum – jedna z transcedentálií) Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 6 / 14 Zrod matematik Exkurs: Vliv pythagorejců Exkurs: Vliv pythagorejského myšlení Tomáš Aquinský (1225–1274) Jsou čísla dobrá? (bonum – jedna z transcedentálií) Ano (Summa theologiæ) Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 6 / 14 Zrod matematik Exkurs: Vliv pythagorejců Exkurs: Vliv pythagorejského myšlení Tomáš Aquinský (1225–1274) Jsou čísla dobrá? (bonum – jedna z transcedentálií) Ano (Summa theologiæ) Ne (In III Metaphysicorum) Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 6 / 14 Zrod matematik Exkurs: Vliv pythagorejců Mαϑηµατικα µαϑησις poučení, naučení µαϑητης učedník µαϑηµα nauka, to co je k naučení Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 7 / 14 Zrod matematik Exkurs: Vliv pythagorejců Mαϑηµατικα µαϑησις poučení, naučení µαϑητης učedník µαϑηµα nauka, to co je k naučení něco jiného než επιστηµη (známost, lat. scientia) γνωσις (poznání, lat. cognitio) Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 7 / 14 Zrod matematik Exkurs: Vliv pythagorejců Mαϑηµατικα µαϑησις poučení, naučení µαϑητης učedník µαϑηµα nauka, to co je k naučení něco jiného než επιστηµη (známost, lat. scientia) γνωσις (poznání, lat. cognitio) µαϑηµατικoς náležející k nauce (učedník i pojednání) µαϑηµατικα všechny věci, které jsou této naučné povahy Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 7 / 14 Zrod matematik Exkurs: Vliv pythagorejců Mαϑηµατικα µαϑησις poučení, naučení µαϑητης učedník µαϑηµα nauka, to co je k naučení něco jiného než επιστηµη (známost, lat. scientia) γνωσις (poznání, lat. cognitio) µαϑηµατικoς náležející k nauce (učedník i pojednání) µαϑηµατικα všechny věci, které jsou této naučné povahy (plurál neutra µαϑηµα) Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 7 / 14 Zrod matematik Exkurs: Vliv pythagorejců Mαϑηµατικα µαϑησις poučení, naučení µαϑητης učedník µαϑηµα nauka, to co je k naučení něco jiného než επιστηµη (známost, lat. scientia) γνωσις (poznání, lat. cognitio) µαϑηµατικoς náležející k nauce (učedník i pojednání) µαϑηµατικα všechny věci, které jsou této naučné povahy (plurál neutra µαϑηµα) Vlivem pythagorejských učedníků (µαϑηµατικoι) se význam slova matematika zúžil na zabývání se čísly. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 7 / 14 Zrod matematik Exkurs: Vliv pythagorejců Mαϑηµατικα µαϑησις poučení, naučení µαϑητης učedník µαϑηµα nauka, to co je k naučení něco jiného než επιστηµη (známost, lat. scientia) γνωσις (poznání, lat. cognitio) µαϑηµατικoς náležející k nauce (učedník i pojednání) µαϑηµατικα všechny věci, které jsou této naučné povahy (plurál neutra µαϑηµα) Vlivem pythagorejských učedníků (µαϑηµατικoι) se význam slova matematika zúžil na zabývání se čísly a geometrickými objekty. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 7 / 14 Krize Nesouměřitelnost veličin Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 8 / 14 Krize Nesouměřitelnost veličin Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 8 / 14 Krize Nesouměřitelnost veličin Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 8 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 9 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie Ptolemaios (306–285 BCE) ho pozval do Alexandrie při založení Múseia a Velké kmihovny. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 9 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie Ptolemaios (306–285 BCE) ho pozval do Alexandrie při založení Múseia a Velké kmihovny. V geometrii neexistuje cesta vyhrazená králům. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 9 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie Ptolemaios (306–285 BCE) ho pozval do Alexandrie při založení Múseia a Velké kmihovny. V geometrii neexistuje cesta vyhrazená králům. Mladík, který se právě naučil první geometrickou větu, se Eukleida zaptal, jaký z toho bude mít zisk. Ten přikázal otrokovi, aby dal mladíkovi tři oboly. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 9 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Základní pojmy / výměry ( O oι) Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 10 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Základní pojmy / výměry ( O oι) Bod je to, co nemá žádnou část. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 10 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Základní pojmy / výměry ( O oι) Bod je to, co nemá žádnou část. Čára je délka bez šířky. Hranice čáry jsou body. Přímá čára je ta, která je vůči bodům na ní ležícím umístěna stejně. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 10 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Základní pojmy / výměry ( O oι) Bod je to, co nemá žádnou část. Čára je délka bez šířky. Hranice čáry jsou body. Přímá čára je ta, která je vůči bodům na ní ležícím umístěna stejně. Plocha je to, co má pouze délku a šířku. Hranice plochy jsou čáry. Rovinná plocha je ta, která je vůči přímým na ní ležícím umístěna stejně. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 10 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Základní pojmy / výměry ( O oι) Rovinný úhel je vzájemný sklon dvou čar, které se navzájem stýkají v rovině a které neleží na jedné přímé. Když jsou čáry svírající úhel přímé, nazývá se tento úhel přímočarý. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 10 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Základní pojmy / výměry ( O oι) Rovinný úhel je vzájemný sklon dvou čar, které se navzájem stýkají v rovině a které neleží na jedné přímé. Když jsou čáry svírající úhel přímé, nazývá se tento úhel přímočarý. Když přímá, která je postavena na přímou, vytváří navzájem stejně velké sousední úhly, je každý z těchto stejně velkých úhlů pravý a postavená přímá se nazývá kolmá na tu, na kterou byla postavena. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 10 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Základní pojmy / výměry ( O oι) Rovinný úhel je vzájemný sklon dvou čar, které se navzájem stýkají v rovině a které neleží na jedné přímé. Když jsou čáry svírající úhel přímé, nazývá se tento úhel přímočarý. Když přímá, která je postavena na přímou, vytváří navzájem stejně velké sousední úhly, je každý z těchto stejně velkých úhlů pravý a postavená přímá se nazývá kolmá na tu, na kterou byla postavena. Tupý úhel je ten, který je větší než pravý. Ostrý úhel je ten, který je menší než pravý. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 10 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Základní pojmy / výměry ( O oι) Mez je to, co je hranicí něčeho. Útvar je to, co je sevřeno nějakou mezí nebo nějakými mezemi. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 10 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Základní pojmy / výměry ( O oι) Mez je to, co je hranicí něčeho. Útvar je to, co je sevřeno nějakou mezí nebo nějakými mezemi. Kruh je rovinný útvar sevřený jednou čarou [nazývanou kružnice / okraj (πε ιϕε εια)], a to tak, že všechny přímé, které jsou k ní vedeny z jednoho z bodů ležících uvnitř útvaru, se rovnají. Uvedený bod se nazývá střed kruhu. Průměr kruhu je nějaká přímá vedená středem a ukončená na obou stranách kružnicí; průměr rovněž dělí kruh napůl. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 10 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Základní pojmy / výměry ( O oι) Mez je to, co je hranicí něčeho. Útvar je to, co je sevřeno nějakou mezí nebo nějakými mezemi. Kruh je rovinný útvar sevřený jednou čarou [nazývanou kružnice / okraj (πε ιϕε εια)], a to tak, že všechny přímé, které jsou k ní vedeny z jednoho z bodů ležících uvnitř útvaru, se rovnají. Uvedený bod se nazývá střed kruhu. Průměr kruhu je nějaká přímá vedená středem a ukončená na obou stranách kružnicí; průměr rovněž dělí kruh napůl. Půlkruh je útvar sevřený průměrem a obloukem, který průměr vytíná. Střed půlkruhu je týž jako střed kruhu. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 10 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Základní pojmy / výměry ( O oι) Přímočaré útvary jsou sevřené přímými; trojstranné útvary jsou sevřené třemi přímými, čtyřstranné čtyřmi a mnohostranné více než čtyřmi. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 10 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Základní pojmy / výměry ( O oι) Přímočaré útvary jsou sevřené přímými; trojstranné útvary jsou sevřené třemi přímými, čtyřstranné čtyřmi a mnohostranné více než čtyřmi. Mezi trojstrannými útvary je rovnostranný trojúhelník útvar, který má tři strany stejné, rovnoramenný ten, který má jen dvě strany stejné, nepravidelný ten, který má tři nestejné strany. Dále, mezi trojstrannými útvary je pravoúhlý trojúhelník ten, který má pravý úhel, tupoúhlý ten, který má tupý úhel, a ostroúhlý ten, který má tři ostré úhly. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 10 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Základní pojmy / výměry ( O oι) Mezi čtyřstrannými útvary je čtverec ten, který je rovnostranný a pravoúhlý, obdélník ten, který je sice pravoúhlý, ale není rovnostranný, kosočtverec ten, který je sice rovnostranný, ale není pravoúhlý, kosodélník ten, který má sice jak protilehlé strany, tak protilehlé úhly navzájem stejné, avšak není ani rovnostranný ani pravoúhlý. Jiné útvary než tyto nechť se nazývají různoběžníky (τ απεζια). Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 10 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Základní pojmy / výměry ( O oι) Mezi čtyřstrannými útvary je čtverec ten, který je rovnostranný a pravoúhlý, obdélník ten, který je sice pravoúhlý, ale není rovnostranný, kosočtverec ten, který je sice rovnostranný, ale není pravoúhlý, kosodélník ten, který má sice jak protilehlé strany, tak protilehlé úhly navzájem stejné, avšak není ani rovnostranný ani pravoúhlý. Jiné útvary než tyto nechť se nazývají různoběžníky (τ απεζια). Rovnoběžné jsou ty přímé, které se nacházejí v téže rovině, a jestliže jsou prodlouženy do nekonečna (απει oν) na obě strany, na žádné z nich se neprotnou. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 10 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Postuláty / úkoly prvotné (Aιτηµατα) Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 11 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Postuláty / úkoly prvotné (Aιτηµατα) Vytvořit přímou čáru z každého bodu do každého bodu. Omezenou přímou čáru souvisle prodloužit přímým směrem (tak daleko, jak potřebujeme). Pro každý střed a každý rozestup (διαστηµα) vytvořit kruh. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 11 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Postuláty / úkoly prvotné (Aιτηµατα) Vytvořit přímou čáru z každého bodu do každého bodu. Omezenou přímou čáru souvisle prodloužit přímým směrem (tak daleko, jak potřebujeme). Pro každý střed a každý rozestup (διαστηµα) vytvořit kruh. Aby si všechny pravé úhly byly navzájem rovny. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 11 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Postuláty / úkoly prvotné (Aιτηµατα) Vytvořit přímou čáru z každého bodu do každého bodu. Omezenou přímou čáru souvisle prodloužit přímým směrem (tak daleko, jak potřebujeme). Pro každý střed a každý rozestup (διαστηµα) vytvořit kruh. Aby si všechny pravé úhly byly navzájem rovny. Jestliže dvě přímé čáry protne jiná přímá tak, že vytvoří na jedné straně vnitřní úhly menší než dva pravé, potom na této straně jest tyto přímé čáry prodloužiti tak, aby se protly. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 11 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Obecné principy / zásady (Koιναι εννoιαι) Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 12 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Obecné principy / zásady (Koιναι εννoιαι) Co se navzájem kryje, rovno jest. Celek je větší než část. Co se rovná témuž, rovná se i navzájem. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 12 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Obecné principy / zásady (Koιναι εννoιαι) Co se navzájem kryje, rovno jest. Celek je větší než část. Co se rovná témuž, rovná se i navzájem. Když se přidají veličiny rovné k rovným, i celky jsou rovny. Odejmou-li se od rovných rovné, i celky jsou rovny. Když se přidají k nerovným rovné, celky jsou nerovny. Dvojnásobky téhož vespolek rovny jsou. Poloviny téhož vespolek rovny jsou. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 12 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy Obecné principy / zásady (Koιναι εννoιαι) Co se navzájem kryje, rovno jest. Celek je větší než část. Co se rovná témuž, rovná se i navzájem. Když se přidají veličiny rovné k rovným, i celky jsou rovny. Odejmou-li se od rovných rovné, i celky jsou rovny. Když se přidají k nerovným rovné, celky jsou nerovny. Dvojnásobky téhož vespolek rovny jsou. Poloviny téhož vespolek rovny jsou. Dvě přímé čáry neohraničují místo. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 12 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy (Στoιχε˜ια, Elementa) Obecné principy, zásady Základní pojmy Prvotní, primitivní Složené, definice Postuláty Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 13 / 14 Eukleidovy Základy Eukleidés z Alexandrie a Základy (Στoιχε˜ια, Elementa) Obecné principy, zásady Základní pojmy Prvotní, primitivní Složené, definice Postuláty Platón: ...máme uvažovat, jaké asi je to, o čem ještě nevíme, co to jest. Nuže uvolni mi aspoň něco málo svou vládu a dovol mi to zkoumat s užitím předpokladu...Slovy „s užitím předpokladu“ rozumím zkoumati tak, jak to často dělají geometrové. Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 13 / 14 Eukleidovy Základy Exkurs: Vliv Základů Exkurs: Vliv Eukleidových Základů Galileo Galilei (1564–1642): Filosofie je zapsaná v této velké knize, v univerzu, která je stále otevřená našemu pohledu. Ale této knize nelze porozumět, pokud se nenaučíme chápat jazyk a číst písmena, jejichž pomocí je napsaná. Je napsaná jazykem matematiky a jejímy písmeny jsou trojúhelníky, kružnice a ostatní geometrické útvary, bez nichž není možné porozumět jedinému slovu. Báruch (Benedict) Spinoza (1632–1677): Ethica Ordine Geometrico Demonstrata, 1677 Z. Pospíšil ·Geometrie a deduktivní myšlení ·16. září 2021 14 / 14